SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc MẪU BÁO CÁO YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP TỈNH HOẶC CƠ SỞ I. THÔNG TIN CHUNG: Họ và tên tác giả sáng kiến: Tô Minh Hải Ngày, tháng, năm sinh: 26 tháng 08 năm 1961 Đơn vị công tác: Trường THPT Trưng Vương Trình độ chuyên môn nghiệp vụ: Đại học Sư phạm Toán Quyền hạn, nhiệm vụ được giao hoặc đảm nhiệm: Phó hiệu trưởng Đề nghị xét, công nhận sáng kiến: Cấp ngành Tên đề tài SKKN: "Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức, giải các bài toán cực trị, bài toán điều kiện về nghiệm của phương trình, bất phương trình". II. BÁO CÁO MÔ TẢ SÁNG KIẾN BAO GỒM: 1. Tình trạng sáng kiến đã biết: Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, tôi nhận thấy ứng dụng của đạo hàm trong giải các bài toán cấp THPT rất lớn nhưng học sinh thường không mạnh dạn, tự tin sử dụng công cụ đắc lực này trong giải toán vì: Đạo hàm là phần kiến thức mới với học sinh, gắn liền với toán học hiện đại, học sinh bắt đầu được làm quen ở cuối chương trình lớp 11. Trong khi đó từ cấp Trung học cơ sở đến cấp THPT học sinh đã được tiếp xúc với rất nhiều bài toán về giải PT, HPT, BPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN của hàm số; chứng minh bất đẳng thức; các bài toán chứa tham số và đã quen sử dụng các phương pháp giải toán đại số kinh điển để giải. Sách giáo khoa viết về ứng dụng của đạo hàm không nhiều và đa số theo chương trình cũ do đó học sinh không nhận diện được các dạng toán và chưa được hướng dẫn một cách hệ thống phương pháp để giải quyết bài toán trọn vẹn. 1 SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương Số lượng bài toán có thuộc các dạng toán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và học sinh giỏi những năm gần đây và phương pháp sử dụng để giải chủ yếu là sử dụng phương pháp ứng dụng của đạo hàm. 2. Nội dung sáng kiến đề nghị công nhận: + Mục đích của sáng kiến : giúp cho học sinh biết phương pháp sử dụng đạo hàm để giải các bài toán về : chứng minh bất đẳng thức, giải các bài toán cực trị, bài toán điều kiện về nghiệm của phương trình, bất phương trình. + Nội dung sáng kiến được chia thành ba chuyên đề : ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm số, ứng dụng đạo hàm để chứng minh BĐT, ứng dụng đạo hàm để giải PT, HPT, BPT, HBPT. 3. Khả năng áp dụng của sáng kiến: - Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức, cực trị của hàm số, bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình. - Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp trong chương trình THPT. - Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập của học sinh lớp 12. - Các biện pháp thực hiện: Bước 1: Hệ thống hóa kiến thức. Bước 2: Đưa ra một số ví dụ điển hình. Bước 3: Rèn luyện kỹ năng giải các bài tập ứng dụng cho học sinh thông qua một số bài tập bổ sung nâng cao. Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng. - Kết quả thực hiện : Trong thực tiễn giảng dạy, tôi đã giúp học sinh hệ thống dạng toán và phương pháp giải theo các chuyên đề. 4. Phạm vi áp dụng của sáng kiến : Tổ toán trường THPT và học sinh THPT. 5. Hiệu quả, lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến : - Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả năng 2 SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương hợp tác; rèn kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh. - Quá trình dạy học với các nhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn luyện các kỹ năng hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực… được xây dựng trên quá trình hoạt động thống nhất giữa thầy và trò, trò và trò, tính tự giác, tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm thực hiện tốt các nhiệm vụ đã được đề ra. - Sau khi học xong các chuyên đề ứng dụng chung của đạo hàm, học sinh tự tin và có thêm kỹ năng làm các bài toán về cực trị của hàm số, về giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình. Tôi cam đoan những nội dung trong báo cáo. Nếu có gian dối hoặc không đúng sự thật trong báo cáo, xin chịu hoàn toàn trách nhiệm theo quy định của pháp luật./. Thủ trưởng đơn vị xác nhận, đề nghị Văn Lâm, ngày 24 tháng 3 năm 2014 Người báo cáo yêu cầu công nhận sáng kiến TÔ MINH HẢI 3 SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương B. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa. Cho hàm số y = f (x) có TXĐ là D f (x) ≤ M ∀ x ∈ D Số M được gọi là GTLN của hàm số nếu ∃ x 0 ∈ D: f (x 0 ) = M Kí hiệu M = Maxf (x) x ∈ D f (x) ≥ m ∀ x ∈ D Số m được gọi là GTNN của hàm số nếu ∃ x 0 ∈ D: f (x 0 ) = m Kí hiệu m = Minf (x) x ∈ D Nhận xét: Theo đó GTLN, GTNN của hàm số có thể không tồn tại. Để tìm GTLN, GTNN của hàm số học sinh thường đã được làm quen với một số phương pháp như: - Phương pháp sử dụng các BĐT. - Phương pháp tam thức bậc hai. - Phương pháp sử dụng tập giá trị của hàm số. Đó là những phương pháp đại số thông thường, tuy nhiên ta có thể sử dụng một phương pháp khá hiệu quả là sử dụng đạo hàm. 4 SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn. Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên đoạn [a, b] với y = f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong khoảng (a, b) ta thực hiện theo các bước như sau: Bước 1: Tính đạo hàm y’ rồi tìm những giá trị của biến số trong khoảng (a,b) làm cho y’ = 0. Giả sử ta tìm được các nghiệm là x 1 , x 2 … Bước 2: Tính các giá trị f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 )… Bước 3: Kết quả. Miny = Min {f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), …} x ∈ [a, b] Maxy = Max {f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), …} x ∈ [a, b] 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng. Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng ta thực hiện theo các bước như sau: Bước 1: Tìm miền xác định. Bước 2: Tính đạo hàm y’, sau đó giải phương trình y’ = 0 Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số (thông thường trong trường hợp hàm số không đơn điệu trên tập cần tìm). Bước 4: Từ bảng biến thiên của hàm số ta kết luận được GTLN, GTNN. B. VÍ DỤ MINH HỌA. I. Hàm một biến. Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = sin 20 x + cos 20 x Lời giải: Nhận xét sin 20       + 2 π x + cos 20 xxx 2020 cossin 2 +=       + π Nên hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ T = 2 π 5 SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương Do đó ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một chu kỳ là đoạn       2 ,0 π Ta có y’ = 20 sinx. cosx (sin 18 x– cos 18 x) cos x = 0 x = 2 π Do đó y’ = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = 0 sin x = cos x x = 4 π Tính giá trị y(0) = 1; y 4 π = 9 2 1 ; y 2 π = 1 Từ đó suy ra Maxy = 1, miny = 9 2 1 Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = y(x) = x x cos2 sin + với x ∈ [0, π ] Lời giải: Xét hàm số đã cho trên đoạn [0, π] ta có y’ = 22 2 )cos2( cos21 )cos2( sin)cos2(cos x x x xxx + + = + ++ y’ = 0 ⇔ 3 2 2 1 cos0 )cos2( cos21 2 π xx x x ⇔−=⇔= + + Ta có: f(0) = 0, f 0)(, 3 1 3 2 ==       π π f Vậy Maxy = 3 1 đạt được khi x = 3 2 π x ∈[0, π] Miny = 0 đạt được khi x = 0 hoặc x = π x ∈[0, π] Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) = x + 2 2 x− Lời giải: Điều kiện 2 – x 2 ≥ 0 ⇔ 22 ≤≤− x Suy ra tập xác định của hàm số đã cho là D = [ 2;2− ] 6 SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương x ≥ 0 Ta có y’ = ⇔=−⇔=⇒ − −− xxy x xx 2 2 2 20' 2 2 ⇔ x = 1 2 – x 2 = x 2 Tính f (- 2 ) = - 2 ; f (1) = 2 ; f( 2 ) = 2 Vậy Maxy = 2 khi x = 1 x ∈D Min y = - 2 khi x = - 2 x ∈D Ví dụ 4: Tìm GTNN của f(x) = x axax 22 )1( +−− với 0 < x ≤ 1 2 +− aa (a > 0) Lời giải: Ta có f’(x) = 1 - 1 1 22 2 +− − ≤ aa a x a *Nếu a ≥ 1 ⇒ f’(x) ≤ 0 ∀ 0 < x ≤ 1 2 +− aa ⇒ f(x) nghịch biến ⇒ f(x) ≥ f ( 1 2 +− aa ) = 1 12 2 2 +− +− aa aa - (a – 1) Với x = 1 2 +− aa (a ≥ 1) thì Min f (x) = 1 – a + 1 12 2 2 +− +− aa aa Nếu 0 < a < 1 ⇒ f (x) = 0 có nghiệm x = a Bảng biến thiên x 0 1 2 +− aa a f’ - 0 + f a + 1 Từ bảng biến thiên suy ra: f (x) ≥ f (a) = a + 1 với x = a ∈ (0 ; 1) thì Minf (x) = a + 1 II. Hàm hai biến. 7 SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ giữa chúng rồi tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức đã cho về hàm một biến để khảo sát. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức. S = (4x 2 + 3y) (4y 2 + 3x) + 25 xy Phân tích: Từ giả thiết x + y = 1 có thể đưa bài toán về một ẩn không? Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện x + y để sử dụng giả thiết. Chú ý các hằng đẳng thức: x 2 + y 2 = (x + y) 2 – 2xy x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2 ) Sau khi khai triển và thế vào x + y = 1, ta có S = 16x 2 y 2 – 2xy + 12 Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc có thể đưa S về hàm một biến số nếu ta đặt t = xy. Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức: 0 ≤ xy ≤ 4 )( 2 yx + Lời giải: Do x + y = 1 nên ta có: S = 16x 2 y 2 + 12(x 3 + y 3 ) + 9xy + 25 xy = 16x 2 y 2 + 12[(x+y) 3 – 3xy (x + y)] + 34xy = 16(xy) 2 – 2xy + 12 Đặt t = xy, ta được S = 16t 2 – 2t + 12; 0 ≤ xy ≤ 4 )( 2 yx + =       ∈⇒ 4 1 ;0 4 1 t Xét hàm số f (t) = = 16t 2 – 2t + 12 trên đoạn       4 1 ;0 8 SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương max f (t) = f 2 25 4 1 =       ; min f (t) = f 16 191 16 1 =             4 1 ;0       4 1 ;0 x + y = 1 Giá trị lớn nhất của S bằng 2 25 khi ⇔ (x : y) =       2 1 ; 2 1 xy = 4 1 x + y = 1 (x; y) =         −+ 4 32 ; 4 32 Giá trị nhỏ nhất của S bằng 16 191 khi ⇔ xy = 16 1 (x;y) =         +− 4 32 ; 4 32 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 3(x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) – 2(x 2 + y 2 ) + 1 Với x, y là các số thỏa mãn điều kiện: (x+y) 3 + 4xy ≥ 2 Phân tích: Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để sử dụng dễ dàng hơn. Chú ý hằng đẳng thức: x 2 + y 2 = (x + y) 2 – 2xy x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2 ) Và (x+y) 2 ≥ 4xy. Khi đó điều kiện bài toán trở thành: x + y ≥ 1 Ta biến đổi được A như sau: A = 3(x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) – 2(x 2 + y 2 ) + 1 = 2 3 (x 2 + y 2 ) 2 + 2 3 (x 4 + y 4 ) – 2(x 2 +y 2 ) + 1 ≥ 2 3 (x 2 + y 2 ) 2 + 1)(2 4 )(3 222 222 ++− + yx yx (do x 4 + y 4 ≥ ) 2 )( 222 yx + 9 SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương Hay A ≥ 4 9 (x 2 + y 2 ) 2 - 2(x 2 + y 2 ) + 1 Vì vậy ta có thể nghĩa đến việt đưa A về hàm một biến bằng cách đặt t = x 2 +y 2 Tìm điều kiện của biến t ta sử dụng bất đẳng thức x 2 + y 2 ≥ 2 )( 2 yx + Lời giải: Ta luôn có kết quả: (x+y) 2 ≥ 4xy, từ đó ta có: (x+y) 3 + 4xy ≥ 2 ⇒ (x+y) 3 + (x+y) 2 ≥ (x+y) 3 + 4xy ≥ 2 ⇒ (x+y) 3 + (x+y) 2 ≥ 2 ⇒ [(x + y) – 1] [(x + y) 2 + (x + y) + 2 ] ≥ 0 ⇒ (x + y) – 1 ≥ 0 Do [(x+y) 2 + (x + y) + 2] = [(x + y) + ) 2 1 2 + 4 7 ≥ 0 ∀ x, y Bài toán được đưa về tìm max, min của: A = 3(x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) – 2(x 2 + y 2 ) + 1 với x, y thỏa mãn x + y ≥ 1 Ta biến đổi biểu thức A như sau: A = 3(x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) – 2(x 2 + y 2 ) + 1 = 2 3 (x 2 + y 2 ) 2 + 2 3 (x 4 + y 4 ) – 2(x 2 +y 2 ) + 1 ≥ 2 3 (x 2 + y 2 ) 2 + 1)(2 4 )(3 222 222 ++− + yx yx (do x 4 + y 4 ≥ ) 2 )( 222 yx + Hay A ≥ 4 9 (x 2 + y 2 ) 2 - 2(x 2 + y 2 ) + 1 Vì x 2 + y 2 ≥ 2 )( 2 yx + (do x + y ≥ 1) nên x 2 + y 2 ≥ 2 1 Đặt t = x 2 + y 2 ta có hàm số f (t) = 4 9 t 2 – 2t + 1 với t ≥ 2 1 f’ (t) = 4 9 t – 2 f’ (t) = 0 ⇔ t = 9 4 10 [...]... I: Ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 CHUYÊN ĐỀ II: Ứng dụng đạo hàm để chứng minh BĐT 16 CHUYÊN ĐỀ III: Ứng dụng đạo hàm để giải PT, HPT, BPT, HBPT 21 SỎ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM "Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức, giải các bài toán cực trị, bài toán điều kiện về nghiệm của phương trình, bất phương trình" Lĩnh vực/Môn: Toán 33 SKKN. .. Hải – THPT Trưng Vương SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG  35 SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ, BÀI TOÁN ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Môn : TOÁN Tên tác giả: TÔ MINH HẢI Chức vụ : PHÓ HIỆU TRƯỞNG N¨m häc 2013 – 2014 36 ... sau: - Xét hàm số h (x) = f(x) – g(x) - Tìm miền xác định của h(x) - Tính đạo hàm cấp một và giải phương trình h’(x) = 0 - Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra bất đẳng thức cần chứng minh - Các trường hợp: + Chứng minh f(x)≥ A nghĩa là chứng minh min f(x)≥ A, ở đây A là hằng số + Chứng minh f(x)≤ A nghĩa là chứng minh max f(x)≤A, ở đây A là hằng số + Nếu phương trình h’(x) = 0 không giải được... 27 27 20 SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương CHUYÊN ĐỀ III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PT, HPT, BPT, HBPT Để giải các PT, HPT, BPT, HBPT bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm ta cần nắm vững các mệnh đề (MĐ) sau: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập D MĐ 1: Phương trình f(x) = m có nghiệm x∈D ⇔ minf(x) ≤ m ≤ max f(x) x∈D x∈D MĐ 2: BPT f(x) ≤ m, có nghiệm x∈D ⇔ min f(x) ≤ m x∈D MĐ 3: BPT f(x) ≤ m, nghiệm. .. (t + 3) 3 Ứng với mỗi t > 0 thỏa mãn phương trình (3) ta được đúng một nghiệm x∈  π  π  0;  của phương trình (1) Do đó phương trình (1) có duy nhất nghiệm x∈  0;  khi  2  2 và chỉ khi phương trình (3) có duy nhất nghiệm t > 0 Từ bảng biến thiên suy ra m > 2 Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình m x 2 − 2 x + 2 + 1 + x(2 − x) ≤ 0 (1) có nghiệm x ∈[0; 1; 3 ] Lời giải: 30 SKKN – Tô Minh Hải –... BPT f(x) ≥ m, có nghiệm x∈D ⇔ max f(x) ≥ m x∈D MĐ 5: BPT f(x) ≥ m, có nghiệm đúng với mọi x∈D ⇔ min f(x) ≥ m x∈D MĐ 6 : Cho hàm số y = f(x) đơn điệu trên tập D khi đó F(u) = f(v) ⇔ u = v (với mọi u, v ∈D) Dạng 1: Bài toán PT, HPT, BPT, HBPT không chứa tham số I Phương pháp Để giải phương trình f(x) = g(x) bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm ta thường chứng minh hai miền giá trị của hai hàm f(x) và g(x)...  3 ;3 Từ kết quả của trường hợp 1, ta có: P(a,b,c) ≤ 8 5 (a − b)(b − c)(a − c) 8 Mặt khác: P(a,b,c) – P(c,b,a) = (a + b)(b + c)(a + c) ≤ 0 ⇒ P(a, b, c) ≤ 5 Vậy Max S = 8 , đạt được khi (a,b,c) = 5  1 1   1   3;1; ,  ;3;1,  3; ;1 3   3   3   15 SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương Chuyên đề II ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Để chứng minh bất đẳng thức dạng: f(x)... đó phương trình f(x) = g(x) chỉ có thể có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm + Nếu f(t) là hàm đơn điệu trên D thì f(x) = f(y) ⇔ x = y II Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải các phương trình a) x + xlog23 = xlog25 b) x 2 + 15 = 3x − 2 + x 2 + 8 c) 2x+1 – 4x = x – 1 Lời giải: a) x + xlog23 = xlog25 (1) Điều kiện: x > 0 Phương trình (1) ⇔ xlog22 + xlog25 ⇔ 2log2x + 3log2x = 5log2x Đặt t = log2x ta được phương trình. .. chứa các biểu thức phức tạp ta làm như sau: - Đặt t = ϕ(x) 27 SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương - Từ điều kiện ràng buộc của ẩn số x, tìm điều kiện của ẩn số t - Đưa PT, BPT ẩn số x về PT, BPT ẩn số t ta được f(t) = h (m) (hoặc f(t) ≥ h(m), hoặc f(t) ≤ h(m)) - Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) - Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán II Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham... biến thiên hàm f(t) trên đoạn 0;   2 9 28 SKKN – Tô Minh Hải – THPT Trưng Vương t 0 9 2 1 f’(t) + f(t) 0 - 10 9 - 9 4  9 PT (1) có nghiệm x ∈ [0; 9] khi và chỉ khi PT (3) có nghiệm t ∈ 0; 2  Điều   này xảy ra khi và chỉ khi - 9 ≤ m ≤ 10 4 2 2 Ví dụ 2: Cho phương trình log 2 x + log 1 x − 3 = m (log2x – 3) (1) 2 Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [32; + ∞ ] Lời giải: Từ điều kiện bài toán ta . kiến: Cấp ngành Tên đề tài SKKN: " ;Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức, giải các bài toán cực trị, bài toán điều kiện về nghiệm của phương trình, bất phương trình& quot;. II. BÁO CÁO MÔ. chứng minh bất đẳng thức, giải các bài toán cực trị, bài toán điều kiện về nghiệm của phương trình, bất phương trình. + Nội dung sáng kiến được chia thành ba chuyên đề : ứng dụng đạo hàm để. minh bất đẳng thức, cực trị của hàm số, bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình. - Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp trong chương trình THPT.