08/14/14 (c)2001-2004, Michae l P. Frank 1 University of Florida Dept. of Computer & Information Science & Engineering COT 3100 Applications of Discrete Structures Dr. Michael P. Frank Slides for a Course Based on the Text Slides for a Course Based on the Text Discrete Mathematics & Its Applications Discrete Mathematics & Its Applications (5 (5 th th Edition) Edition) by Kenneth H. Rosen by Kenneth H. Rosen Slides are online at http://www.cise.ufl.edu/~mpf/cot3100lecs 08/14/14 (c)2001-2004, Michae l P. Frank 2 Module #0: Tổng quan Course Overview A few general slides about the subject A few general slides about the subject matter of this course. matter of this course. 14 slides, ½ lecture 14 slides, ½ lecture 08/14/14 (c)2001-2004, Michae l P. Frank 3 Toán học trên thực tế là gì? • Đây không phải chỉ về các số Đây không phải chỉ về các số ! ! • To To án học thực tế nhiều hơn thế án học thực tế nhiều hơn thế : : • Nh Nh ưng ưng , nh , nh ững khái niệm này có thể là về các con ững khái niệm này có thể là về các con số số , k , k ý hiệu ý hiệu , , đối tượng đối tượng , h , h ình ảnh ình ảnh , , âm thanh hay bất âm thanh hay bất cứ cái gì khác cứ cái gì khác ! ! Toán học, nói tổng quát, là nghiên cứu về mọi chân lý đúng tuyệt đối về mọi khái niệm được định nghĩa một cách đúng đắn. 08/14/14 (c)2001-2004, Michae l P. Frank 4 Physics from Mathematics • Starting from simple structures of logic & Starting from simple structures of logic & set theory, set theory, – Mathematics builds up structures that include Mathematics builds up structures that include all the complexity of our physical universe… all the complexity of our physical universe… • Except for a few “loose ends.” Except for a few “loose ends.” • One theory of philosophy: One theory of philosophy: – Perhaps our universe Perhaps our universe is is nothing other than just a nothing other than just a complex mathematical structure! complex mathematical structure! • It’s just one that happens to include us! It’s just one that happens to include us! From Max Tegmark, ‘98 08/14/14 (c)2001-2004, Michae l P. Frank 5 Vậy môn học này dạy về cái gì? C C ấu trúc “rời rạc” là cái gì? ấu trúc “rời rạc” là cái gì? • “ “ Discrete Discrete ” ” - r - r ời rạc g ời rạc g ồm các phần riêng biệt ồm các phần riêng biệt . ( . ( Đối Đối nghịch với liên tục nghịch với liên tục ) ) rời rạc rời rạc :liên tục :: kỹ thuật số:tương tự :liên tục :: kỹ thuật số:tương tự • “ “ Cấu trúc” Cấu trúc” – C – C ác đối tượng được xây dựng từ các ác đối tượng được xây dựng từ các đối tượng đơn giản hơn nhờ các mẫu xác định đối tượng đơn giản hơn nhờ các mẫu xác định . . • “ “ Toán rời rạc” Toán rời rạc” – nghi – nghi ên cứu về các cấu trúc và đối ên cứu về các cấu trúc và đối tượng toán học rời rạc tượng toán học rời rạc . . 08/14/14 (c)2001-2004, Michae l P. Frank 6 Chúng ta sẽ học • M M ệnh đề - ệnh đề - Propositions Propositions • V V ị t ị t ừ - ừ - Predicates Predicates • Ch Ch ứng minh - ứng minh - Proofs Proofs • T T ập hợp - ập hợp - Sets Sets • H H àm số - àm số - Functions Functions • T T ốc độ tăng - ốc độ tăng - Orders of Orders of Growth Growth • Thu Thu ật toán - ật toán - Algorithms Algorithms • S S ố nguyên - ố nguyên - Integers Integers • L L ấy tổng - ấy tổng - Summations Summations • D D ãy - ãy - Sequences Sequences • X X âu - âu - Strings Strings • Ho Ho án vị - án vị - Permutations Permutations • T T ổ hợp - ổ hợp - Combinations Combinations • Quan h Quan h ệ - ệ - Relations Relations • Đồ thị - Đồ thị - Graphs Graphs • C C ây - ây - Trees Trees • M M ạch logic - ạch logic - Logic Logic Circuits Circuits • Ôtômat - Ôtômat - Automata Automata 08/14/14 (c)2001-2004, Michae l P. Frank 7 Mối quan hệ giữa các cấu trúc • “ “ → → ” ” : : ≝ ≝ “Can be defined in terms of” “Can be defined in terms of” Sets Sequences n-tuples Matrices Natural numbers Integers Relations Functions Graphs Real numbers Complex numbers Strings Propositions Proofs Trees Operators Programs Infinite ordinals Vectors Groups Bits Not all possibilities are shown here. 08/14/14 (c)2001-2004, Michae l P. Frank 8 Một số ký hiệu mà ta sẽ học   )(deg][)|(),,;( ][)( ) (mod modlcmgcd,/|max min,,, )(: || )}(|{,,},,{)( )( 1 ][T 0 1 1 1 1 vaRFEpnnnC r n aaa mbabaO aaxgfxfBAf AABASTS SxxPxaaxPx xPxqpqpqpqpp Rm n ijbk n i i S n i i n +∗ = ∈ − = ∆         ⋅ ≡ΘΩ → ∪⊆∅ ∉∴∃ ∀⇔→⊕∧¬ ∏ ∑      ABAA RNZ Ο α α 08/14/14 (c)2001-2004, Michae l P. Frank 9 Tại sao phải học Toán rời rạc? • Cơ sở của mọi quá trình xử lý thông tin kỹ thuật Cơ sở của mọi quá trình xử lý thông tin kỹ thuật số là: số là: Thao tác rời rạc của các cấu trúc rời rạc Thao tác rời rạc của các cấu trúc rời rạc trong bộ nhớ trong bộ nhớ . . • L L à ngôn ngữ cơ bản và khái niệm cơ sở cho mọi à ngôn ngữ cơ bản và khái niệm cơ sở cho mọi thức khác của Khoa học máy tính thức khác của Khoa học máy tính . . • C C ác khái niệm toán rời rạc được dùng rộng rãi ác khái niệm toán rời rạc được dùng rộng rãi trong Toán học, Khoa học, Công nghệ, Kinh tế, trong Toán học, Khoa học, Công nghệ, Kinh tế, Sinh học, Sinh học, … … • L L à công cụ có ích nói chung cho mọi suy nghĩ hợp à công cụ có ích nói chung cho mọi suy nghĩ hợp lý lý ! ! 08/14/14 (c)2001-2004, Michae l P. Frank 10 Ứng dụng của Toán rời rạc trong Khoa học máy tính • C C ấu trúc dữ liệu và ấu trúc dữ liệu và giải thuật giải thuật • Ch Ch ương trình dịch ương trình dịch . . • M M ạng máy tính ạng máy tính Computer networks Computer networks • H H ệ điều hành ệ điều hành Operating systems Operating systems • Ki Ki ến trúc máy tính ến trúc máy tính Computer architecture Computer architecture • H H ệ quản trị cơ sở dữ ệ quản trị cơ sở dữ liệu liệu • M M ã hoá- ã hoá- Cryptography Cryptography • L L ập trình chỉnh lỗi ập trình chỉnh lỗi Error correction codes Error correction codes • C C ơ chế trò chơi, thuật ơ chế trò chơi, thuật toán mô phỏng và đồ toán mô phỏng và đồ họa họa … … • Mọi lĩnh vực Mọi lĩnh vực ! ! [...]... Tuần 15: Mô hình & Tổng ôn 08/14/14 (c)200 1-2 004, Michae 15 Kế hoạch bài tập, thực hành, kiểm tra • • • • • • • • Mỗi tuần có 1 tiết chữa bài tập Trong tuần 4 nộp bài cài đặt 1, 2 Trong tuần 7: nộp vở bài tập đợt 1 Trong tuần 8: bài kiểm tra giữa kỳ 20% Trong tuần 9: nộp bài cài đặt 3, 4 Trong tuần 13: nộp vở bài tập đợt 2 Trong tuần 14: nghiệm thu bài cài đặt 1-6 20% Thi viết: phần đầu trắc nghiệm,... 08/14/14 (c)200 1-2 004, Michae 12 Mục đích môn học • Học xong môn này sinh viên có thể: – – – – Lập luận các suy luận logic đơn giản (chứng minh) Kiểm tra tính đúng đắn của các thuật toán đơn giản Tự xây dựng các suy luận và các thuật toán đúng đắn Mô tả các định nghĩa và các tính chất của nhiều kiểu cấu trúc dữ liệu rời rạc – Hiểu, biểu diễn và phân tích đúng đắn nhiều kiểu cấu trúc dữ liệu rời rạc sử dụng... đắn nhiều kiểu cấu trúc dữ liệu rời rạc sử dụng các khái niệm chuẩn 08/14/14 (c)200 1-2 004, Michae 13 Kế hoạch học tập • • • • • • • • Tuần 1: Logic Tuần 2: Logic (tiếp) Tuần 3: Chứng minh Tuần 4: Tập hợp Tuần 5: Hàm số Tuần 6: Quan hệ Tuần 7: Thuật toán Tuần 8: Cấp độ tăng và độ phức tạp thuật toán 08/14/14 (c)200 1-2 004, Michae 14 Kế hoạch học (tiếp) • • • • • • • Tuần 9: Qui nạp & Đệ qui Tuần 10:... Recurrences (§6. 1-3 ) Relations (ch 7) Graph Theory (chs 8+9) Boolean Algebra (ch 10) Computing Theory (ch.11) (c)200 1-2 004, Michae 11 Một số chủ đề bỏ qua Do có thể học ở các môn khác: 8 Lý thuyết số (ch 8) - học trong môn an toàn thông tin 9 Ứng dụng lý thuyết số (ch 9) 10 Ma trận: Đại số tuyến tính 13 Tính tổng: Giải tích 19 Xác suất: Môn Xác suất & thống kê 24 Đại số trừu tượng: An toàn thông tin - Groups,... 9 10 11 12 08/14/14 Logic (§1. 1-4 ) Proof methods (§1.5) Set theory (§1. 6-7 ) Functions (§1.8) Algorithms (§2.1) Orders of Growth (§2.2) Complexity (§2.3) Number theory (§2. 4-5 ) Number theory apps (§2.6) Matrices (§2.7) Proof strategy (§3.1) Sequences (§3.2) 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Summations (§3.2) Countability (§3.2) Inductive Proofs (§3.3) Recursion (§3. 4-5 ) Program verification (§3.6)... 60% = 20% + 40% 08/14/14 (c)200 1-2 004, Michae 16 A Proof Example • Theorem: (Pythagorean Theorem Pythagoras of Samos (ca 56 9-4 75 B.C.) of Euclidean geometry) For any real numbers a, b, and c, if a and b are the base-length and height of a right triangle, and c is the length of its hypo2 2 2 c = a2 + b2 tenuse, then a + b = c b • Proof: See next slide a 08/14/14 (c)200 1-2 004, Michae 17 Proof of Pythagorean... of the longer of the two perpendicular sides of the triangle) These steps would also need to be included in a more complete proof (c)200 1-2 004, Michae Areas in this diagram are in boldface; lengths are in a normal font weight 18 Finally: Have Fun! 08/14/14 (c)200 1-2 004, Michae 19 . định . . • “ “ Toán rời rạc Toán rời rạc – nghi – nghi ên cứu về các cấu trúc và đối ên cứu về các cấu trúc và đối tượng toán học rời rạc tượng toán học rời rạc . . 08/14/14 (c)200 1-2 004, Michae l. tăng - ốc độ tăng - Orders of Orders of Growth Growth • Thu Thu ật toán - ật toán - Algorithms Algorithms • S S ố nguyên - ố nguyên - Integers Integers • L L ấy tổng - ấy tổng - Summations Summations • D D ãy. Summations Summations • D D ãy - ãy - Sequences Sequences • X X âu - âu - Strings Strings • Ho Ho án vị - án vị - Permutations Permutations • T T ổ hợp - ổ hợp - Combinations Combinations • Quan h Quan h ệ -