Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 16 Chương 3: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan Bài 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ Sơ ñồ khảo sát hàm số 1) Tìm t ậ p xác ñị nh c ủ a hàm s ố (Xét tính ch ẵ n l ẻ , tính tu ầ n hoàn (n ế u có)). 2) Kh ả o sát s ự bi ế n thiên hàm s ố a) Xét chi ề u bi ế n thiên c ủ a hàm s ố • Tính ñạ o hàm • Tìm các ñ i ể m t ớ i h ạ n ( ð i ể m t ớ i h ạ n thu ộ c TX ð và t ạ i ñ ó )x(f ′ không xác ñị nh ho ặ c b ằ ng 0) • Xét d ấ u c ủ a ñạ o hàm trong các kho ả ng xác ñị nh b ở i các ñ i ể m t ớ i h ạ n. (Gi ữ a hai ñ i ể m t ớ i h ạ n k ề nhau thì )x(f ′ gi ữ nguyên m ộ t d ấ u) • Suy ra chi ề u bi ế n thiên hàm s ố trong m ỗ i kho ả ng ( ðồ ng bi ế n n ế u )x(f ′ >0, ngh ị ch bi ế n n ế u )x(f ′ <0). b) Tính các c ự c tr ị (suy ra ngay t ừ ph ầ n xét chi ề u bi ế n thiên) c) Tìm các gi ớ i h ạ n c ủ a hàm s ố • Khi x d ầ n t ớ i vô c ự c ( +∞ → x và −∞ → x ) • Khi x d ầ n t ớ i bên trái và bên ph ả i, các giá tr ị c ủ a x t ạ i ñ ó hàm s ố không xác ñị nh ( o xx + → , o xx − → ) • Tìm ti ệ m c ậ n (n ế u là hàm s ố phân th ứ c) - N ế u ∞→ x lim ∞ = )x(f thì x = x o là m ộ t ti ệ m c ậ n ñứ ng c ủ a hàm s ố - Ti ệ m c ậ n xiên: y = ax + b . Trong ñ ó x )x(f lima x ∞→ = ; ]ax)x(f[limb x − = ∞→ (khi +∞ → x ( −∞ → x ), o xx + → ( o xx − → ) thì ñ ó là ti ệ m c ậ n bên ph ả i (trái)) d) Xét tính l ồ i, lõm và tìm ñ i ể m u ố n c ủ a ñồ th ị hàm s ố (n ế u là hàm s ố ñ a th ứ c) • Tính ñạ o hàm c ấ p 2 • Xét d ấ u c ủ a ñạ o hàm c ấ p 2 • Suy ra tính l ồ i, lõm và ñ i ể m u ố n c ủ a ñồ th ị (l ậ p b ả ng l ồ i lõm) ( n ế u 0)x(f < ′ ′ v ớ i )b;a(x ∈ ∀ thì ñồ th ị hàm s ố l ồ i trên kho ả ng ñ ó) e) L ậ p b ả ng bi ế n thiên (ghi t ấ t c ả các k ế t qu ả tìm ñượ c vào b ả ng bi ế n thiên) 3)V ẽ ñồ th ị • Chính xác hóa ñồ th ị (tìm giao ñ i ể m c ủ a ñồ th ị v ớ i các tr ụ c t ọ a ñộ và nên l ấ y thêm m ộ t s ố ñ i ể m c ủ a ñồ th ị , nên v ẽ ti ế p tuy ế n ở m ộ t s ố ñ i ể m ñặ c bi ệ t) • V ẽ ñồ th ị ( ñọ c l ạ i các ví d ụ m ẫ u SGK t ừ trang 80 ñế n trang 97). Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 17 BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I. Tìm giao ñiểm của hai ñường Gi ả s ử hàm s ố )x(fy = có ñồ th ị là (C) và hàm s ố )x(gy = có ñồ th ị là )C( 1 . Rõ ràng )y;x(M ooo là giao ñ i ể m c ủ a (C) và )C( 1 khi và ch ỉ khi )y;x( oo là nghi ệ m c ủ a h ệ ph ươ ng trình    = = x(gy )x(fy Do ñ ó ñể tìm hoành ñộ các giao ñ i ể m c ủ a (C) và )C( 1 ta gi ả i ph ươ ng trình: )x(g)x(f = (1) S ố nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình chính là s ố giao ñ i ể m c ủ a hai ñồ th ị (C) và )C( 1 . N ế u , x,x 1o là các nghi ệ m c ủ a (1) thì các ñ i ể m )) x(f;x(M)),x(f;x(M 111ooo là các giao ñ i ể m c ủ a (C) và )C( 1 . Bài toán: Tìm m ñể ñồ th ị hàm s ố c ắ t ñườ ng th ẳ ng t ạ i m ộ t s ố ñ i ể m th ỏ a mãn yêu c ầ u bài toán. Ví dụ 1 . Bi ệ n lu ậ n theo m s ố giao ñ i ể m c ủ a ñồ th ị các hàm s ố 2 x 3x6x y 2 + +− = và m x y − = Ví dụ 2. Bi ệ n lu ậ n s ố nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình m2x3x 23 =−+ Ví dụ 3 . V ớ i giá tr ị nào c ủ a k thì ñườ ng th ẳ ng 2kkxy + − = c ắ t ñồ th ị hàm s ố 1 x 1xx y 2 − −+ = t ạ i hai ñ i ể m phân bi ệ t. Ví dụ 4 . Tìm k ñể ñườ ng th ẳ ng y = kx + 1 c ắ t ñồ th ị 2 x 3x4x y 2 + ++ = t ạ i hai ñ i ể m phân bi ệ t Ví dụ 5 . Tìm m ñể ñườ ng th ẳ ng m x y + − = c ắ t ñồ th ị 1 x 1xx y 2 − −+ = t ạ i hai ñ i ể m phân bi ệ t Ví dụ 6 . Tìm m ñể ñồ th ị hàm s ố 1 x mxmx y 2 − ++ = c ắ t tr ụ c hoành t ạ i 2 ñ i ể m phân bi ệ t có hoành ñộ d ươ ng. Ví dụ 7 . Tìm m ñể ñườ ng th ẳ ng y = m c ắ t ñồ th ị hàm s ố )1x(2 3x3x y 2 − −+− = t ạ i hai ñ i ể m A và B sao cho ñộ dài ñ o ạ n AB = 1. Ví dụ 8 . Tìm m ñể ñồ th ị 1mxx3xy 23 +++= c ắ t ñườ ng th ẳ ng y = 1 t ạ i 3 ñ i ể m phân bi ệ t. Ví dụ 9 . Tìm m ñể ñồ th ị 3 2 mxmxx 3 1 y 23 ++−−= c ắ t tr ụ c hoành t ạ i 3 ñ i ể m phân bi ệ t. Ví dụ 10. Tìm a ñể ñườ ng th ẳ ng 1)1x(ay + + = c ắ t ñồ th ị hàm s ố 2 x 1 1xy + ++= t ạ i hai ñ i ể m có hoành ñộ trái d ấ u. Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 18 II. Viết phương trình tiếp tuyến Cho hàm s ố y = f(x) có ñồ th ị (C) a) Ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a ñườ ng cong (C) t ạ i ñ i ể m ))x(f;x(M ooo )xx)(x(fyy ooo − ′ = − b) Ph ươ ng trình ñườ ng th ẳ ng ñ i qua ñ i ể m )y;x(M 111 và ti ế p xúc v ớ i (C) ðườ ng th ẳ ng d ñ i qua )y;x(M 111 có d ạ ng )xx(kyy 11 − = − 11 y)xx(ky + − = ⇔ ðể cho ñườ ng th ẳ ng d ti ế p xúc v ớ i (C), h ệ ph ươ ng trình sau ph ả i có nghi ệ m:    = ′ +−= k)x(f y)xx(ky 11 H ệ ph ươ ng trình này cho phép xác ñị nh hoành ñộ o x c ủ a ti ế p ñ i ể m và h ệ s ố góc )x(fk ′ = Chú ý: Hai ñồ th ị hàm s ố )x(fy = và )x(gy = ti ế p xúc v ớ i nhau n ế u và ch ỉ n ế u h ệ ph ươ ng trình sau ñ ây có nghi ệ m:    ′ = ′ = )x(g)x(f )x(g)x(f c) Ph ươ ng trình ñườ ng th ẳ ng có h ệ s ố góc k và ti ế p xúc (C). Ph ươ ng trình ñườ ng th ẳ ng có h ệ s ố góc k có d ạ ng bkxy + = ti ế p xúc v ớ i ñồ th ị (C), ta gi ả i ph ươ ng trình k)x(f = ′ tìm ñượ c hoành ñộ các ti ế p ñ i ể m , x,x,x 21o T ừ ñ ó suy ra ph ươ ng trình các ti ế p tuy ế n ph ả i tìm: )xx(kyy ii − = − ( i = 0, 1, ) Bài toán : Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a hàm s ố khi bi ế t ph ươ ng c ủ a ti ế p tuy ế n ho ặ c ñ i qua m ộ t ñ i ể m cho tr ướ c nào ñ ó. Ví dụ 1 . Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a ñồ th ị (C) c ủ a hàm s ố 22 )x2(y −= bi ế t ti ế p tuy ế n ñ ó ñ i qua ñ i ể m A(0 ; 4) Ví dụ 2 . Vi ế t ph ươ ng trình các ñườ ng th ẳ ng vuông góc v ớ i ñườ ng th ẳ ng 3x 4 1 y += và ti ế p xúc v ớ i ñồ th ị hàm s ố 2x4x3x)x(fy 23 +−+−== Ví dụ 3. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a ñồ th ị (C) c ủ a hàm s ố 1x3xy 3 ++−= bi ế t ti ế p tuy ế n ñ ó song song v ớ i ñườ ng th ẳ ng 1x9y + − = Ví dụ 4. T ừ g ố c t ọ a ñộ có th ể k ẻ ñượ c bao nhiêu ti ế p tuy ế n c ủ a ñồ th ị hàm s ố 1x3xy 23 ++= Vi ế t ph ươ ng trình các ti ế p tuy ế n ñ ó. Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 19 Ví dụ 5 . Cho hàm s ố 2 3 x3x 2 1 y 24 +−−= có ñồ th ị là (C) a) Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a ñồ th ị (C) t ạ i các ñ i ể m u ố n. b) Tìm ti ế p tuy ế n c ủ a (C) ñ i qua ñ i ể m ) 2 3 ;0(A Ví dụ 6. Cho hàm s ố 2 x 2x3 y + + = có ñồ th ị là (C). Ch ứ ng minh r ằ ng, không có ti ế p tuy ế n nào c ủ a ñồ th ị (C) ñ i qua giao ñ i ể m c ủ a hai ti ệ m c ậ n c ủ a ñồ th ị ñ ó. Ví dụ 7 . Cho hàm s ố 1 x 1 xy + −= có ñồ th ị là (C) Ch ứ ng minh r ằ ng trên (C) t ồ n t ạ i nh ữ ng c ặ p ñ i ể m mà ti ế p tuy ế n t ạ i ñ ó song song v ớ i nhau. Ví dụ 8 . Cho hàm s ố 2 x 4m2mxx y 2 + −−+ = có ñồ th ị (C) Gi ả s ử ti ế p tuy ế n t ạ i )C(M ∈ c ắ t hai ti ệ m c ậ n t ạ i P và Q. Ch ứ ng minh r ằ ng MP=MQ Ví dụ 9 . Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n v ớ i ñồ th ị hàm s ố 2 x 5x4x y 2 − +− = bi ế t r ằ ng ti ế p tuy ế n ñ i qua ñ i ể m A(1;1). Ví dụ 10. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a ñồ th ị 1 x 1xx y 2 + −− = bi ế t ti ế p tuy ế n song song v ớ i ñườ ng th ẳ ng y = x − . Ví dụ 11. Cho hàm s ố 1 x 1xx y 2 + −− = có ñồ th ị là (C) Tìm t ấ t c ả các ñ i ể m trên tr ụ c tung mà t ừ ñ ó có th ể k ẻ ñượ c 2 ti ế p tuy ế n v ớ i ñồ th ị (C) Ví dụ 12. Tìm a ñể ñồ th ị 1 x ax3x y 2 + ++ = có ti ế p tuy ế n vông góc v ớ i ñườ ng th ẳ ng y = x. Ví dụ 13 . Tìm m ñể ñồ th ị 2223 m4x)1m4(mx2y ++−= ti ế p xúc v ớ i tr ụ c hoành. Ví dụ 14. Tìm m ñể ñồ th ị 2 x 1m2mx3mx y 2 + +++ = ti ế p xúc v ớ i ñườ ng th ẳ ng y = m. Ví dụ 15. Tìm a ñể ti ệ m c ậ n xiên c ủ a ñồ th ị a x 3x)1a(x2 y 2 + −++ = ti ế p xúc v ớ i parabôn 5xy 2 += . Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 20 III. Sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số Cho hàm s ố y = f(x) có ñạ o hàm trên kho ả ng (a;b) a) Hàm s ố f(x) ñồ ng bi ế n trên (a;b) 0)x(f ≥ ′ ⇔ v ớ i )b;a(x ∈ ∀ b) Hàm s ố f(x) ngh ị ch bi ế n trên (a;b) 0)x(f ≤ ′ ⇔ v ớ i )b;a(x ∈ ∀ Bài toán : Yêu c ầ u tìm m ñể cho hàm s ố ñồ ng bi ế n, ngh ị ch bi ế n trong m ộ t kho ả ng nào ñ ó Chú ý: C ầ n n ắ m v ữ ng các ñị nh lý v ề d ấ u c ủ a tam th ứ c b ậ c hai Ví dụ 1. Cho hàm s ố 1x)1m2(3mx3xy 23 +−+−= Xác ñị nh m sao cho hàm s ố ñồ ng bi ế n trên t ậ p xác ñị nh. Ví dụ 2. Cho hàm s ố 1mmx2x2y 2 −++= Xác ñị nh m sao cho hàm s ố ñồ ng bi ế n trong kho ả ng );1( +∞ − Ví dụ 3. Cho hàm s ố m4x)1m(x3xy 23 ++++= Tìm m ñể hàm s ố ngh ị ch bi ế n trên (-1,1) Ví dụ 4. Cho hàm s ố 1 x 2x)1m(2x y 2 + +++ = Tìm m ñể hàm s ố ñồ ng bi ế n trong kho ả ng );0( +∞ Ví dụ 5. Cho hàm s ố 2mx)1m2(mxx 3 1 y 23 +−−+−= Tìm m ñể hàm s ố ngh ị ch bi ế n trên (-2;0). Ví dụ 6. Cho hàm s ố 1 x mx3x2 y 2 − +− = Tìm m ñể hàm s ố ñồ ng bi ế n trên ),3( +∞ Ví dụ 7. Cho hàm s ố 1x)2m(m3x)1m(3xy 23 +−+−−= Tìm m ñể hàm s ố ñồ ng bi ế n trên t ậ p h ợ p các giá tr ị c ủ a x sao cho 2x1 ≤≤ Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 21 IV.Cực ñại và cực tiểu Cho hàm s ố y = f(x) , x o thu ộ c t ậ p xác ñị nh c ủ a hàm s ố . N ế u khi x ñ i qua x o ñạ o hàm ñổ i d ấ u thì x o là m ộ t ñ i ể m c ự c tr ị c ủ a hàm s ố . o N ế u ñổ i d ấ u t ừ + sang – thì x o là ñ i ể m c ự c ñạ i c ủ a hàm s ố . o N ế u ñổ i d ấ u t ừ - sang + thì x o là ñ i ể m c ự c ti ể u c ủ a hàm s ố . ðể tìm các ñ i ể m c ự c tr ị c ủ a hàm s ố ta có hai quy t ắ c: o Tìm các ñ i ể m t ớ i h ạ n sau ñ ó xét d ấ u c ủ a ñạ o hàm )x(f ′ o Gi ả i ph ươ ng trình )x(f ′ = 0. G ọ i i x là các nghi ệ m. Xét d ấ u c ủ a )x(f ′ ′ Bài toán : Tìm m ñể hàm s ố y = f(x) có c ự c tr ị và các ñ i ể m c ự c tr ị th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n nào ñ ó. - Tìm ñ i ề u ki ệ n m ñể cho ñạ o hàm c ủ a hàm s ố có ñổ i d ấ u (s ố l ầ n ñổ i d ấ u b ằ ng s ố c ự c tr ị ) - Tìm t ọ a ñộ c ủ a các ñ i ể m c ự c tr ị r ồ i ñặ t ti ế p ñ i ề u ki ệ n c ủ a m ñể th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n mà bài toán yêu c ầ u. Ví dụ 1. Tìm m ñể hàm s ố m x 1mxx y 2 + ++ = ñạ t c ự c ñạ i t ạ i x = 2. Ví dụ 2. Cho hàm s ố mmxx3x)2m(y 23 ++++= V ớ i giá tr ị nào c ủ a m, hàm s ố có c ự c ñạ i và c ự c ti ể u. Ví dụ 3. Ch ứ ng minh r ằ ng hàm s ố 2 x mx2x y 2 2 + ++ = luôn có m ộ t c ự c ñạ i và m ộ t c ự c ti ể u. Ví dụ 4. Cho hàm s ố 1x)1m2(3mx3xy 23 +−+−= Xác ñị nh m sao cho hàm s ố có m ộ t c ự c ñạ i và m ộ t c ự c ti ể u. Tính t ọ a ñộ c ủ a ñ i ể m c ự c ti ể u. Ví dụ 5. Cho hàm s ố 1m2mx2xy 24 +−+−= Bi ệ n luân theo m s ố c ự c tr ị c ủ a hàm s ố . Ví dụ 6. Cho hàm s ố 1 mx 1m2mxx y 2 + +++ = Xác ñị nh m sao cho hàm s ố có c ự c tr ị và ti ệ m c ậ n xiên c ủ a ñồ th ị ñ i qua g ố c t ọ a ñộ . Ví dụ 7. Cho hàm s ố 2 x 4m2mxx y 2 + −−+ = Xác ñị nh m ñể hàm s ố có hai c ự c tr ị . Ví dụ 8. Tìm a và b ñể các c ự c tr ị c ủ a hàm s ố bx9ax2xa 3 5 y 232 +−+= ñề u là nh ữ ng s ố d ươ ng và 9 5 x o −= là ñ i ể m c ự c ñạ i. Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 22 Ví dụ 9. Cho hàm s ố 1mmx2x2y 2 −++= Xác ñị nh m sao cho hàm s ố có c ự c tr ị trong kho ả ng ),1( +∞ − Ví dụ 10. Xác ñị nh m sao cho hàm s ố 1 x 1m4x)m42(mx y 2 − −+−+ = Có c ự c tr ị trong mi ề n x > 0. Ví dụ 11. Cho hàm s ố m x mxmx y 2 + ++ = . Tìm m ñể hàm s ố không có c ự c tr ị . Ví dụ 12. Cho hàm s ố 4x)3m2m(mx3xy 223 +−++−= . Tìm m ñể ñồ th ị hàm s ố có c ự c ñạ i, c ự c ti ể u n ằ m ở hai phía tr ụ c tung. Ví dụ 13. Cho hàm s ố 1 x mxx y 2 + ++ = . Tìm m ñể ñồ th ị hàm s ố có c ự c ñạ i, c ự c ti ể u n ằ m ở hai phía tr ụ c tung Ví dụ 14. Tìm t ấ t c ả các giá tr ị c ủ a tham s ố m ñể hàm s ố m x m4mx)3m2(x y 22 + ++++ = có hai c ự c tr ị và giá tr ị c ủ a ñ i ể m c ự c tr ị t ươ ng ứ ng trái d ấ u nhau. Ví dụ 15. Cho hàm s ố m x 1mx)1m(x y 2 − +−++ = có hai c ự c tr ị và giá tr ị c ủ a ñ i ể m c ự c tr ị t ươ ng ứ ng cùng d ấ u nhau. Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 23 . Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 16 Chương 3: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan Bài 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ Sơ ñồ khảo sát hàm số. th ị hàm s ố 1x3xy 23 ++= Vi ế t ph ươ ng trình các ti ế p tuy ế n ñ ó. Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 19 Ví dụ 5 . Cho hàm s ố 2 3 x3x 2 1 y 24 +−−=. Tự ôn luyện thi ñại học môn toán Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội 17 BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I. Tìm giao ñiểm của hai ñường Gi ả s ử hàm s ố