Thông tin tài liệu
Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2) I. Dạng lượng giác II. Định nghĩa Môdun của số phức: Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như sau: 22 barzMod ký hiệu z vậy môdun của số z bằng khoảng cách từ điểm M biểu thị nó đến gốc tọa độ . Ví dụ: Tìm môdun của số phức sau: z = 4 + 3i Giải : Ta có a = 4 , b = 3 vậy Mod(z) = 534 22 III. Định nghĩa argument của số phức : 2 2 2 2 2 2 a bi z a bi a b a b a b Trong đó 2 2 2 2 2 2 r a b a cos z r cos sin i a b b sin a b là dạng lượng giác Mọi nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 2 a cos a b b sin a b gọi là argument của số phức z a bi 0 . Mọi argument của số phức z khác nhau bội lần 2 và ký hiệu thống nhất Argz .mỗi giá trị argument trùng với véctơ bán kính OM của điểm M Imz b M(a; b) a + bi r Trục thực Rez a Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 2 Góc được giới hạn trong khoảng 0 2 hoặc Ví dụ: Tìm argument của số phức z 1 3i Giải : a 1 , b 3 ta tìm góc a 1 cos r 2 3 b 3 sin r 2 vậy Argz = 3 IV. Bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác: 1 2 1 2 1 2 k2 z z r r V. Phép nhân ở dạng lượng giác: Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và argument cộng lại. 1 2 1 2 1 2 1 2 z .z r .r cos sin .i Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : z 1 i 1 3i Giải : z 1 i 1 3i 2 cos sin .i 2 cos isin . 4 4 3 3 2 2 cos isin 4 3 4 3 2 2 cos sin i 12 12 VI. Phép chia ở dạng lượng giác: Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và argument trừ ra. Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 3 1 1 2 2 z r z r 1 2 1 2 cos sin .i Ví dụ: Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức : 2 12i z 3 i Giải : 1 3 4 i 2 2 2 12i 2 2 3i z 3 i 3 i 3 1 2 i 2 2 2 cos isin 7 7 3 3 2 cos isin 5 5 6 6 cos isin 6 6 VII. Dạng mũ số phức 1. Định lý Euler (1707-1783): i z e cos isin Ví dụ: Tìm dạng mũ của số phức sau. z 3 i Giải : 5 i. 6 3 1 z 3 i 2 i 2 2 5 5 2 cos isin 6 6 2e Ví dụ: Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức : 2 i z e Giải : 2 i 2 i 2 z e e e e cos isin Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 4 Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn. 2. Dạng lũy thừa 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 z a bi z z.z a bi a bi a b 2abi z a bi a 3a bi 3ab i b i n n n k n k k n k 0 0 n 0 1 n 1 1 0 1 n 1 1 0 n n n n n z a bi C a b C a b C a b C a b C a b A Bi Ví dụ: Tính 5 z của z 2 i Giải : 5 k 5 k k 5 k 0 1 5 0 1 4 1 2 3 2 3 2 3 4 1 4 1 0 5 5 5 5 5 5 5 1 z 2 i C 2 i C 2 i C 2 i C 2 i C 2 i C 2 i C 2 i 32 80i 80 40i 10 i 38 41i 3. Lũy thừa bậc n của số phức i: 2 3 2 4 2 2 i i i 1 i i .i i i i .i 1 5 4 6 4 2 7 4 3 8 4 4 i i .i i i i .i 1 i i .i i i i .i 1 vậy ta có qui luật sau đây . Giả sử n là số tự nhiên, khi đó n r i i , với r là phần dư của n chia cho 4. Ví dụ: Tính z của 403 z i Giải : Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 5 Ta . 403 = 100.4 +3 403 100.4 3 3 z i i i 1 về bài toán dễ ta có thể làm theo cách này nhưng bài toán phức tạp ta nhờ vào công thức De Moivre . 4. De Moivre : Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó ta có: n n r cos isin r cosn isinn Ví dụ: Sử dụng công thức de Moivre’s, tính: 25 25 z 1 i Giải : 1 1 z 1 i 2 i 2 2 2 cos isin 4 4 vậy . 25 25 25 25 25 z 1 i 2 cos isin 4 4 = 4096 2 cos isin 4 4 5. Định nghĩa căn bậc n của số phức: Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho w n = z, trong đó n là số tự nhiên z a bi cos isin n n n k z r cos isin k2 k2 z r cos isin n n với k 1,2,3, n 1 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 6 Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt. 6. Số nghiệm của một đa thức: Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm. Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây . Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức. Ví dụ: Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận 1 z 3i và 2 z 5 i Giải : Vì i3z 1 và i5z 2 là hai nghiệm nên 1 z 3i và 2 z 5 i cũng hai nghiệm vậy không tồn tại đa thức bậc 3 thỏa ycbt. Bài tập 1) Tính trong C a) 9 + 5i +(7-2i) b) (2+6i)(5 )i8 c ) 2 1 5i 1 2i d) 2 i 1 itan e) 1 itan Giải : a) 9 + 5i +(7-2i) = 12 +3i b) (2+6i)(5 )i8 = 2 10 16i 30i 48i 58 14i c) 2 2 1 5i 1 10i 25i 24 10i Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 7 2 1 2i 2 i 1 2i 2 i 4i 2i 5i d) 2 i 2 i 2 i 3 3 2 2 2 2 1 itan 1 itan 1 itan e) 1 itan 1 itan 1 itan 1 2itan tan cos 2isin cos sin 1 tan cos2 isin2 2) giải phương trình trong C : a) 2 x 2x 2 0 b) 2 x 5x 7 0 Giải : a) 2 x 2x 2 0 1 1,2 x 1 1 phương trình có hai nghiệm phức : 1 2 x 1 i , x 1 i b) 2 x 5x 7 0 3 1,2 5 3 x 2 phương trình có hai nghiệm phức 1 2 5 3i 5 3i x , x 2 2 2 2 3) Tìm nghiệm thực của phương trình : a) x 6i 7 yi Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 8 b) 1 i x 2 5i y 4 17i c) 12 2x i 1 i x y 3 2i 17 6i Giải : a) x 7 y 6 b) 1 i x 2 5i y 4 17i x xi 2y 5yi 4 17i x 2y x 5y i 4 17i x 2y 4 x 2 x 5y 17 y 3 a) 12 17 6i 2x i 1 i x y 3 2i 12 2 2x 2xi i i 3x 2xi 3y 2yi 1 5x 3y 1 2y i 1 17 x 1 5x 3y 3 12 6 1 1 2y y 12 4 4) Giải phương trình trong C : a) 2 x 1 i x 1 i 0 b) 2 x 1 2i x i 1 0 Giải : a) 2 x 1 i x 1 i 0 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 9 2 x 1 i 4 1 i 4 2i gọi 2 a bi 4 2i 2 2 a b 2abi 4 2i 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 4 a b 4 2ab 2 a b 2 5 a 5 2 a 5 2 b 5 2 b 5 2 a 5 2 ab 1 b 5 2 Vậy phương trình có nghiệm: 1,2 1 i 5 2 i 5 2 x 2 b) 2 x 1 2i x i 1 0 2 x 2 1 2i 4 i 1 4i 5 1 Vậy phương trình có nghiệm: 1 2 x 1 i , x i 5) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận 1 z 3i và 2 z 2 i làm nghiệm . Giải : Đa thức cần tìm là . 1 1 2 2 2 2 f(z) z z z z z z z z z 3i z 3i z (2 i) z (2 i) z 9 z 4z 5 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ Biên t ậ p viên : Nguy ễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 10 6) Tìm tất cả các nghiệm của 4 3 2 P(z) z 4z 14z 36z 45 biết z 2 i là một nghiệm . Giải : Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả ta có 2 –i là một nghiệm. P(z) có thể phân tích thành: 2 z (2z i z (2 i) z 4z 5 P(z) có thể tách thành: 2 2 P(z) z 4z 5 z 9 Mà 2 z 9 z 3i z 3i vậy phương trình có 4 nghiệm: 2 i, 2 i ,3i, 3i 7) Giải phương trình sau trong C : 9 z i 0 Giải: 9 9 9 k z i 0 z i cos isin 2 2 k2 k2 2 2 z cos isin 9 9 với 8, ,2,1,0k 8) Giải phương trình sau trong C 5 a)z 1 i 0 2 b)z z 1 0 2 c)z 2z 1 i 0 Giải : a) [...]... mũ của số phức sau: z 3 i Giải : 5 5 z 3 i 2 cos isin 6 6 i 2e 5 6 11) Chứng minh công thức Ơle (Euler) : cos 13 ei e i 2 Giải : Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ ei cos isin Ta có i e cos isin ei e i cos isin cos isin cos 2 2 12) Chứng... công thức Ơle (Euler): sin ei e i 2i Giải : ei cos isin Ta có i e cos isin ei e i cos isin cos isin sin 2i 2i Bài tập tự làm 13) Chứng minh công thức Moivre : Nếu z r.ei thì zn r n ein 14) Tính theo Moivre : 10 a) 1 i 5 1 i b) 3 1 i 1 3i c) 1 i 8 20 d) 1 i 1 i 3 6 15) Chứng minh các đẳng thức. .. 3 phương trình có hai nghiệm x1,2 1 3 1 i 3 2 2 x1 1 3 1 3 i , x2 i 2 2 2 2 c)z2 2z 1 i 0 i phương trình có 2 nghiệm z1,2 1 i 9) Mô tả hình học các tập số phức thỏa mãn các điều kiện sau : a) Re z 0 f )1 z 2 2 b) 0 Im z 1 g) z 1 Re z c) Im z 2 k) z 1 z 2 d) z 1 e) z 1 2 11 4 n) arg z 4 m)0 arg z Giải : Biên tập... n n n b) 3 i 2n cos isin 6 6 Biên tập viên : Nguyễn Thu Hương http://www.hoc360.vn 2011 Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ 16) Tìm căn bậc 3 của số: a 2 2i 3 17) Tìm nghiệm của đa thức z 6 2z 3 1: 18) Giải phương trình trong C : a) z 2 2z 5 0 b)4 z 2 2z 1 0 c) z2 2i 3 z 5 i 0 d)z3 1 0 4 e) z 1 16 4 f ) z 1 16 19) . http://www.hoc360.vn 2011 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2) I. Dạng lượng giác II. Định nghĩa Môdun của số phức: Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa. isin 4 4 5. Định nghĩa căn bậc n của số phức: Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho w n = z, trong đó n là số tự nhiên z a bi cos isin n n n k z. đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng sau đây . Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức. Ví dụ: Tìm đa thức
Ngày đăng: 12/08/2014, 08:20
Xem thêm: KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2) pdf, KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ SỐ PHỨC (PHẦN 2) pdf