Mục lục Các toán Đại số Lượng giác 1.1 Các đẳng thức Đại số tuý 1.2 Các đẳng thức Lượng giác 15 1.3 Phương trình bất phương trình 30 Ch­¬ng Các toán Đại số Lượng giác 1.1 Các đẳng thức Đại số tuý Chứng minh r»ng (a2 + b2 + c2 + d2 )(x2 + y + z + t2 ) = (ax − by − cz − dt)2 + (bx + ay − dz + ct)2 + (cx + dy + az − dt)2 + (dx − cy + bz + at)2 Chứng minh từ đẳng thức axbyczdt cx + dy + az − dt = 0, vµ dx − cy + bz + at a = b = c = d = hc x = y = z = t = = 0, bx+ay−dz+ct = 0, = ta suy r»ng hc Chøng minh r»ng ta cã ®ång nhÊt sau (a2 +b2 +c2 )(x2 +y +z )−(ax+by+cz)2 = (bx−ay)2 +(cy−bz)2 +(az−cx)2 Chứng minh đồng nói to¸n tr­íc cã thĨ më réng nh­ sau (a2 + a2 + · · · + a2 )(b2 + b2 + · · · + b2 ) − (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 = n n = (a1 b2 − a2 b1 )2 + (a1 b3 − a3 b1 )2 + · · · + (an−1 bn − an bn−1 )2 Gi¶ sư r»ng n(a2 + a2 + r»ng a1 = a2 = · · · = an · · · + a2 ) = (a1 + a2 + · · · + an )2 Chøng minh n (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = (y + z − 2x)2 + (z + x − 2y)2 + (x + y − 2z)2 ta suy r»ng x = y = z Chứng minh từ đẳng thức Chứng minh đồng thức sau (a2 b2 )2 + (2ab)2 = (a + b)2 (6a2 −4ab+4b2 )3 = (3a2 +5ab−5b2 )3 +(4a2 −4ab+6b2 )3 +(5a2 −5ab−3b2 )3 Hà Duy Hưng Các toán đại số c¸c cuéc thi Olympic To¸n Chøng minh r»ng (p2 − q )4 + (2pq + q )4 + (2pq + p2 )4 = 2(p2 + pq + q )4 Chøng minh r»ng X + XY + Y −3pq(p + q), vµ Z = p2 + pq + q = Z nÕu X = q + 3pq − p3 , Y = 10 Chøng minh r»ng (3a + 3b)k + (2a + 4b)k + ak + bk = (3a + 4b)k + (a + 3b)k + (2a + b)k víi k = 1, 2, 11 Chøng minh r»ng nÕu x + y + z = th× (ix − ky)n + (iy − kz)n + (iz − kx)n = (iy − kx)n + (iz − ky)n + (ix − kz)n n = 0, 1, 2, i đơn vị ảo, ie i2 = −1 xn + (x + 3)n + (x + 5)n + (x + 6)n + (x + 9)n + (x + 10) + (x + 12) + (x + 15)n = (x + 1)n + (x + 2)n + (x + 4)n + (x + 7)n + (x + 8)n + (x + 11)n + (x + 13)n + (x + 14)n mµ n = 0, 1, 2, 12 Chøng minh r»ng n n 13 Chøng minh c¸c ®ång nhÊt thøc sau ®©y i (a + b + c + d)2 + (a + b − c − d)2 + (a + c − b − d)2 + (a + d − b − c)2 = 4(a2 + b2 + c2 + d2 ) ii (a2 − b2 + c2 − d2 )2 + 2(ab − bc + dc + ad)2 = (a2 + b2 + c2 + d2 )2 − 2(ab − ad + bc + dc)2 iii.(a2 −c2 +2bd)2 +(d2 −b2 +2ac)2 = (a2 −b2 +c2 −d2 )2 +2(ab−bc+dc+ad)2 14 Chøng minh ®ång nhÊt thøc sau ®©y (a+b+c)4 +(a+b−c)4 +(a−b+c)4 +(−a+b+c)4 = 4(a4 +b4 +c4 )+24(a2 b2 +b2 c2 +c2 a2 ) 15 Cho s = a + b + c = 2p Chøng minh r»ng s(s − 2b)(s − 2c) = (s − 2a)(s − 2b)(s − 2c) + 8abc sym a(p − a)2 = abc − 2(p − a)(p − b)(p − c) sym 16 Cho s = a + b + c vµ 2δ = a2 + b2 + c2 Chøng minh r»ng (δ − a2 )(δ − b2 ) = 4s(s − a)(s − b)(s − c) sym Hà Duy Hưng Các toán đại 17 Chứng minh r»ng nÕu sè c¸c cuéc thi Olympic To¸n a + b + c = th× a3 + b3 + c3 = 3abc H·y chó ý r»ng ta có đẳng thức Bài giải a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) 18 Cho số a, b, c Đơn giản biểu thức sau (a + b + c)3 (a + b − c)3 sym 19 Chøng minh r»ng (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a)3 = 3(a − b)(b − c)(c − a) [(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ]2 = 2[(a − b)4 + (b − c)4 + (c − a)4 ] 20 Cho a + b + c = , chứng minh ta có đẳng thức sau ã 2(a4 + b4 + c4 ) = (a2 + b2 + c2 )2 • a5 +b5 +c5 = abc · a2 +b2 +c2 • a3 +b3 +c3 · • a7 +b7 +c7 = a2 +b2 +c2 · a5 +b5 +c5 • a7 +b7 +c7 = a3 +b3 +c3 · a4 +b4 +c4 · a2 +b2 +c2 = a5 +b5 +c5 21 Cho 2n sè a1 , a2 , , an vµ b1 , b2 , , bn giả sử r»ng sk = a1 b1 + a2 b2 + · · · + ak bk víi k = 1, 2, , n Chøng minh r»ng n n (ak − ak+1 )sk ak b k = k=1 theo modulo k=1 n (Khai triĨn Abel ) 22 Gi¶ sư r»ng a1 + a2 + · · · + an = n s Chøng minh r»ng n n a2 k (s − ak ) = k=1 k=1 23 Cho ®a thøc hai biÕn d¹ng Ax2 + 2Bxy + Cy Chøng minh r»ng qua phÐp ®ỉi biĨn x = u + v y = u + v đa thức viết lại dạng M u2 + 2N uv + P v víi N − M P = (B − AC)(αδ − βγ)2 HÃy mở rộng toán cho dạng bậc hai nhiều chiều Hà Duy Hưng 24 Cho Các toán đại số thi Olympic Toán 2n sè a1 , a2 , , an vµ b1 , b2 , , bn thoả mÃn + bi = a= a1 + a2 + · · · + an n b= b1 + b2 + · · · + bn n Chøng minh r»ng n ak bk = nab − (a1 − a)2 − (a2 − a)2 − · · · − (an − a)2 k=1 25 Chøng minh r»ng 1− 1 1 1 1 + − + ··· + − = + + ··· + 2n − 2n n+1 n+2 2n 26 Chøng minh r»ng (1+ 1 1 )(1− )(1+ ) · · · (1+ )(1− )= x−1 2x − 3x − (2n − 1)x − 2nx − = (n + 1)x (n + 2)x (n + n)x · ··· (n + 1)x − (n + 2)x − (n + n)x − 27 Chøng minh r»ng x3 = (x · x3 − 2y 3 2x3 − y 3 ) + (y · ) x3 + y x + y3 28 Chøng minh ®ång nhÊt thøc sau ®©y x2 = 11 20 + + + ··· + −1 x −4 x −9 x − 100 1 + + ··· + (x − 1)(x + 10) (x − 2)(x + 9) (x − 10)(x + 1) 29 Chøng minh r»ng từ đẳng thức a c = b d ta suy đẳng thức ab (a + b)2 = cd (c + d)2 Hà Duy Hưng Các toán đại 30 Giả sử x= số thi Olympic To¸n b−c c−a a−b ;y = ;z = a+b b+c c+a Chøng minh r»ng (1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 − x)(1 − y)(1 − z) 31 Chứng minh từ đẳng thức (a + b + c + d)(a − b − c + d) = (a − b + c − d)(a + b c d) suy đẳng thức a b = c d 32 Gi¶ sư r»ng ax + by + cz = Chøng minh r»ng ax2 + by + cz = bc(y − z)2 + ca(z − x)2 + ab(x − y)2 a+b+c 33 Chứng minh tính đắn đẳng thức sau x2 y z (x2 − a2 )(y − a2 )(z − a2 ) (x2 − b2 )(y − b2 )(z − b2 ) + + a2 b a2 (a2 − b2 ) b2 (b2 − a2 ) = x + y + z − a2 − b 34 Gi¶ sö r»ng Sk = ak bk ck + + (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) 1 S−2 = abc · ( a + + ); S−1 = abc ; S0 = S1 = 0; S2 = b c 2 a + b + c; S4 = ab + bc + ca + a + b + c ; S5 = a + b3 + c3 + a2 b + ab2 + b2 c + bc2 + c2 a + ca2 Chøng minh r»ng 35 Gi¶ sư r»ng Sk = Chøng minh r»ng ak (a − b)(a − c)(a − d) cyclic S0 = S1 = S2 = 0; S3 = 1; S4 = a + b + c + d 36 Gi¶ sư r»ng ak Sk = cyclic HÃy xác định S0 , S1 , S2 , S3 , S4 (a + b)(a + c) (a − b)(a − c) Hµ Duy H­ng Các toán đại số thi Olympic Toán 37 Chứng minh ta có đồng thức sau ab cyclic (c x)(c y)(c − z) = abc − xyz (c − a)(c − b) 38 Chøng minh r»ng a2 b c = abc + bcd + cda + dab (a − d)(b d)(c d) cyclic 39 HÃy làm đơn giản biểu thức sau ak (a b)(a c)(x − a) cyclic víi k = 1, 40 Chứng minh đồng thức sau b+c+d xabcd = (a − b)(a − c)(a − d)(a − x) (x − a)(x − b)(x − c)(x − d) cyclic 41 Chøng minh r»ng ak cyclic víi (x − b)(x − c) = xk (a − b)(a − c) k = 0, 1, 42 Chøng minh r»ng nÕu ( a + b + c = th× a−b b−c c−a c a b + + )( + + )=9 c a b a−b b−c c−a 43 H·y chøng minh r»ng a−b b−c c−a a−b b−c c−a + + + · · =0 a+b b+c c+a a+b b+c c+a 44 Chøng minh r»ng b−c =2 (a − b)(a − c) a−b sym cyclic 45 Cho sym b + c − a2 =1 2bc Chøng minh r»ng hai ba phân thức 1 phân thức lại Hà Duy Hưng Các toán đại sè c¸c cuéc thi Olympic To¸n 46 Chøng minh từ đẳng thức 1 1 + + = a b c a+b+c Chøng minh r»ng víi số nguyên dương lẻ n ta có đẳng thức 1 1 + n+ n = n an b c a + bn + c n 47 Chøng minh từ đẳng thức cx + az ay + bx bz + cy = = x(−ax + by + cz) y(ax − by + cz) z(ax + by − cz) suy a(b2 x y z = = − a2 ) + a2 − b ) + b2 − c ) +c b(c c(a 48 Cho a+b+c=x+y+z = x y z + + =0 a b c Chøng minh r»ng xa2 + by + cz = 49 Cho a3 +b3 +c3 2 = (b+c)(c+a)(a+b) vµ (b2 +c2 −a2 )x = (c2 +a2 −b2 )y = (a + b − c )z Chøng minh r»ng x3 + y + z = (x + y)(y + z)(z + x) 50 Cho 1 + = x y z Chøng minh r»ng (z − x)2 + z x2 = (z − y)2 + z y 51 Chøng minh r»ng tỉng ba ph©n sè b−c c−a a−b , , + bc + ca + ab b»ng tÝch cđa chóng 52 Chøng minh đẳng thức sau ak cyclic với k = 0, 1, 2, (x − b)(x − c)(x − d) = xk (a − b)(a − c)(a − d) Hà Duy Hưng Các toán đại 53 [HongKong TST 2004] Đặt thức x= số 4+ c¸c cuéc thi Olympic To¸n √ + HÃy xác định giá trị biểu (1 + )3 x 54 Chứng minh đồng thức sau ã (a + b + c)(bc + ca + ab) = abc + (b + c)(c + a)(a + b) • (a2 − 1)(b2 − 1)(c2 − 1) + (a + bc)(b + ca)(c + ab) = (abc + 1)(a2 + b2 + c2 + 2abc − 1) • (b + c − a)3 + (c + a − b)3 + (a + b − c)3 − 4(a3 + b3 + c3 − 3abc) = 3(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) 2 • cyclic a (b − c ) = ( cyclic a (b − c))(a + b)(b + c)(c + a) • a5 + b5 − (a + b)5 = −5ab(a2 + ab + b2 ) • (a + b)7 − a7 − b7 = 7ab(a + b)(a2 + ab + b2 )2 55 Chøng minh r»ng nÕu xy + yz + zx = th× x4 (y + z)2 (x + y)2 + 24x2 y z = sym sym 56 Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc xy + yz + zx = ta nhận đẳng thức 4xyz x = 2 )(1 − y )(1 − z ) 1−x (1 x sym 57 Đặt f (a, b, c) = | Chøng minh r»ng |b − a| b + a |b − a| b + a + − |+ + + |ab| ab c |ab| ab c 1 f (a, b, c) = 4max{ , , } a b c 58 Chøng minh r»ng nÕu b c a + + =1 b+c c+a a+b th× ta có đẳng thức a2 b2 c2 + + =0 b+c c+a a+b 59 HÃy tìm giá trị nhËn cđa biĨu thøc x+y y+z z+t t+x + + + z+t t+x x+y y+z nÕu biÕt r»ng x y z t = = = y+z+t z+t+x t+x+y x+y+z Hµ Duy Hưng Các toán đại 60 Chứng minh từ đẳng thức số thi Olympic Toán.10 x + y = z + t ta suy ®¼ng thøc x2 + y + z + t2 = (x + y)2 + (x − z)2 + (x − t)2 61 Cho ab + bc + ca = , chứng minh ta có đẳng thức (1 + a2 )(1 + b2 )(1 + c2 ) = [(a + b)(b + c)(c + a)]2 62 Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n b = c , a + b = Chøng minh r»ng ta cã đẳng thức sau c c2 + 2(ab bc − ca) = a2 + (a − c)2 a−c = + (b − c)2 b b−c 63 Chøng minh r»ng nÕu b c a + + =0 bc ca ab ta có đẳng thức a b c + + =0 2 (b − c) (c − a) (a − b)2 64 Cho c¸c sè thùc x, y, z tho¶ m·n xy + yz + zx = 0, a = √ b = z + zx + x2 , c = y + yz + z x2 + xy + y Chøng minh ta có đẳng thức (a + b c)(b + c − a)(c + a − b) = 65 Cho sè thùc a, b, c, d thoả mÃn đẳng thức d a + c) Chøng minh r»ng ac + bd = (b + d + a − c)(b + (ab + cd)(ad + bc) = (ac + bd)(a2 − ac + c2 ) 66 Cho số thực a, b, c thoả mÃn minh r»ng a + b2 + c3 = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = Chøng 67 Cho sè d­¬ng a, b, c, d tho¶ m·n a + b2 = c + d2 , a2 + b minh r»ng nÕu a + b + c + d ≤ th× {a, b} = {x, y} 68 Gi¶ sư r»ng = c2 + d Chøng a, b, c, d lµ sè thùc thoả mÃn đẳng thức a + b + c + d = a + b + c + d7 = Chøng minh r»ng 7 (a + b)(a + c)(a + d) = Hà Duy Hưng Các toán đại số thi Olympic Toán.68 296 [Proposed by Trần Nam Dũng] Xác định số thực c lớn thoả mÃn điều kiện: với cặp số nguyên dương (m, n) bất phương trình sin(mx) + cos(nx) c có nghiệm 297 Giải hệ phương tr×nh √ √ m x = m un i √ √ m xi + a = m u + an n k=1 n k=1 298 n k=1 n k=1 ®ã √ xi + a = pn √ xi + c = qn a, c, p, q ∈ R vµ a − c = p2 − q 299 Giả sử a, b số dương thoả mÃn phương trình x3 ax2 + bx a có ba nghiệm lớn Xác định giá trị a, b để biểu thức bn 3n an đạt giá trị bé tìm giá trị 300 Giải phương trình x+ 5+ x1=6 301 Giải phương tr×nh 4x2 − 4x − 10 = √ 8x2 − 6x − 10 302 Chøng minh r»ng nÕu x0 nghiệm dương phương trình xn = xn1 + xn−2 + · · · + x + ta có bất đẳng thức < x0 < n n số nguyên lớn 2 =0 Hà Duy Hưng Các toán đại 303 Giải hệ số c¸c cuéc thi Olympic To¸n.69  x1 (x2 − x3 + x4 ) <    x (x − x + x ) <     · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·   x (x − x8 + x9 ) <   x7 (x8 − x9 + x1 ) <    x (x − x + x ) <     x (x − x + x ) < 304 Giải biện luận theo tham số arctan m R phương trình sau 2x = m − x2 + arctan x x2 305 Giải phương trình a+ a + sin x = sin x 306 Giải phương trình a5 + x = a − x √ 307 Tìm a để phương trình x3 a = x + a có ba nghiệm phân biệt 308 Giải phương trình 5x + log5 (x + 1) = 309 Tìm a để phương trình 310 Giải phương trình 3a + √ 3a + 2x − x2 = 2x − x2 cã nghiÖm x4 − 13x2 + 18x − = 6x4 + 8x2 + = (x4 + 2x2 + 1)(1 + 4y − y ) 312 Giải phương trình 5x2 + 14x + − x2 − x − 20 = x + 311 Giải phương trình 313 Giải phương tr×nh (1 + cos x)(2 + 4cos x ) = à 4cos x 314 Giải hệ phương trình x2 + y = √ 125y − 125y + 15 = 315 Giải phương trình √ 2(x2 − 3x + 2) = x3 + 316 [Proposed by Hà Duy Hưng] Giải hệ phương tr×nh x2 + 3y = y + 4(2x − 3)y + 155 = 48(x + y) Hµ Duy Hưng Các toán đại số thi Olympic Toán.70 317 Cho hai phương trình cos 2x + a cos x + = cos 2x + b cos x + = Gi¶ sư phương trình có bốn nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2) Chứng minh phương trình cos 2x + (a + b) cos x + = vô nghiệm 318 Các số thực a, b, c thoả mÃn điều kiện phương trình ax2 + bx + c nghiệm thuộc đoạn [0; 1] Xác định giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc P = 319 X ¸c định tất giá trị thực = có hai (a − b)(2a − b) a(a − b + c) a thoả mÃn phương trình cos x3 = cos(x + a)3 víi mäi x 320 X Ðt tam thøc bËc hai Hái r»ng biÓu thøc f (x) = ax2 + bx + c víi a < b vµ f (x) ≥ víi mäi x a+b+c b−a cã thĨ nhận giá trị bé bao nhiêu? 321 Giải phương trình 1998x4 + x4 x2 + 1998 = 1998 1997 322 [Vietnam MO 1998 for Secondery School] Gi¶i phương trình x4 2x + 12 = 323 Giải phương trình x4 4x3 2x2 + 12x = 324 Giải phương trình (x − a)(x − b) (x − b)(x − c) (x − c)(x − a) + + = c(c − a)(c − b) a(a − b)(a − c) b(b c)(b a) x 325 Giải phương trình (a2 − a)2 (x2 − x + 1)3 = (a2 − a + 1)3 (x2 x)2 Hà Duy Hưng Các toán đại số thi Olympic Toán.71 326 Giải phương trình (a + x)n + (a x)n = (a + b)n + (a − b)n ®ã a = vµ n lµ mét sè tù nhiên lớn hai 327 Giải phương trình x = − 1978(1 − 1978x2 )2 328 Gi¶i phương trình x(x2 1) = 329 Giải phương trình n 330 Giải phương trình n xn an + xn − an + √ n √ n √ 2an − xn = a 2an − xn = a 331 Giải phương trình x2 + 332 Giải phương trình 333 Giải phương trình 334 Giải phương trình x2 + x + √ √ − x2 = ( − x)2 √ x2 − = √ − x3 √ log7 x = log3 ( x + 2) 335 Giải hệ phương trình a x1 = (x2 + x )  2   x2 = (x3 + a )   x3 ··············· · ·   xn−1 = (xn + a )  xn   x a = (x1 + x1 ) n 336 Giải phương trình 1x=1 3x1  √ 3 3x √ 3 3x3  √   3x4 = cos(πx2 ) = cos(πx3 ) = cos(x4 ) = cos(x1 ) Hà Duy Hưng Các toán đại 337 Giải hệ phương trình số c¸c cuéc thi Olympic To¸n.72  x2 = x2 +    x  = x3 +  ············   xn−1 = xn +    x = x1 + n 338 Giải phương trình x2 + y = bx + cy − az  y + z = ay + bz − cx   z + x2 = cz + ax by 339 HÃy xác định số a, b, c, d, e, f để hai phương trình ax2 + dx + ey + f = vµ x2 + y = tương đương với 340 Tìm điều kiện để hai phương trình nghiệm chung ax2 + bx + c = vµ px2 + qx + r = có 341 HÃy xác định xem phương trình x = 1978 sin x 197 có nghiệm thực? 342 HÃy xác định tất giá trị a b cho hÖ xy −1 = xy +1 2 a x +y =b chØ cã ®óng mét nghiƯm thùc víi x > 343 HÃy xác định tất giá trÞ cđa a cho hƯ 2bx + (a + 1)by = a2 (a − 1)x3 + y = cã Ýt nhÊt mét nghiƯm thùc víi mäi b 344 HÃy xác định tất giá trị cđa a vµ b cho hƯ  x1 − x2 = a  x − x4 = b   x1 + x2 + x3 + x4 = cã Ýt nhÊt mét nghiƯm tho¶ m·n bxy + cy + xk > víi k = 1, 2, 3, Hà Duy Hưng Các toán đại số thi Olympic Toán.73 345 Giải phương trình 1+ x+ x + ÃÃà = 346 Giải phương trình (x + 1) 347 Cho tr­íc (x+1)(x+1) =4 12 sè thùc ak , bk , ck víi k = 1, 2, 3, Đặt A = (x a1 )2 + (x − b1 )2 − c2 B = (x − a2 )2 + (x − b2 )2 − c2 C = (x − a3 )2 + (x − b3 )2 − c2 D = (x − a4 )2 + (x − b4 )2 − c2 Chøng minh 24 = 16 hệ bất phương trình d¹ng  A   B C    D cã Ýt nhÊt hai hÖ vô nghiệm 348 Giải bất phương trình 12x − 2x + − 2 − x > √ 9x2 + 16 349 [Czech and Slovak Republics MO 1999] HÃy xác định tất số thực cho hệ hai phương trình x+y x2 +y x3 +y x2 +y a, b =a =b có nghiệm thực 350 [Romania MO 1999] Với phương trình a, b dương, ta ký hiệu t(a, b) nghiệm d­¬ng cđa (a + b)x2 − 2(ab − 1)x − (a + b) = Đặt M = { (a, b) a = b, t(a, b) ≤ ab } HÃy xác định tất cặp (a, b) M cho t(a, b) đạt giá trị bé Hà Duy Hưng Các toán đại số c¸c cuéc thi Olympic To¸n.74 351 [Romania MO 1999] Cho c¸c sè thùc a, b, c víi a = số phức Ký hiệu z1 , z2 nghiệm phương trình az + bz + c = đặt w1 , w2 nghiệm phương trình (a + c)z + (b + b)z + (a + c) = Chøng minh r»ng nÕu |z1 |, |z2 | < th× |w1 | = |w2 | = 352 [ Vietnam MO 1999] Giải hệ phương trình (1 + 42xy ) à 51−2x+y = + 262x − y + y + 4x + ln(y + 2x) = 353 [Vietnam Selection Team for IMO 1999] XÐt tÊt số thực a = 0, a = b tất nghiệm phương trình a, b tho¶ m·n ax3 − x2 + bx − = số thực dương Xác định giá trÞ bÐ nhÊt cã thĨ cđa biĨu thøc P = 5a2 − 3ab + a( b − a) 354 [Poland MO 2000] Cho số nguyên nghiệm thực không âm n ≥ Hái r»ng hƯ sau cã bao nhiªu  x1 + x2 = 4xn n   x + x2 = 4x · · · · · · · · · · · ·    xn + x2 = 4xn−1 n−1 355 Gi¶i hệ phương trình 2x2 xy + 3y = 13 x2 + 4xy − 2y = 16 356 Giải biện luận hệ xyz x+y = m  xyz =1 y+z  xyz  =2 z+x 357 Giải phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c 358 Gi¶i hƯ  x + y = z  x = 2(y + z)  xy = 2(z + 1) Hà Duy Hưng Các toán đại số thi Olympic Toán.75 359 Gi¶i hƯ  xy = x + 3y  yz = 2(2y + z)   zx = 3(3z + 2x) 360 Gi¶i hƯ  (x + y + z)3 = 12t   (y + z + t)3 = 12x (x + z + t)3 = 12y    (x + y + t)3 = 12z 361 Gi¶i hƯ √ √ √ √ √ x+1+ x+3+ x+5= y−1+ y−3+ y−5 x + y + x2 + y = 80 362 Giải phương trình sau ®©y √ √ √ x2 − = 3x2 − 5x − − x2 − 3x + √ √ (b) x2 + 15 = 3x − + x2 + √ √ (c) x2 − + x = x3 − √ √ √ x+4+ x−4 (d) = x + x2 − 16 − (a) (e) 3x2 − 7x + − √ (2 − x)(5 − x) = x + (2 x)(10 x) 363 Giải phương trình bất phương trình (a) (b) 2x + 15 = 32x2 + 32x − 20 √ √ √ x2 − x + 19 + 17x2 + 8x + 13 + 13x2 + 17x + = 3(x + 2) 2x2 + 4x = x+3 √ √ (d) − x2 + 4x + + (c) x2 + y − 2y − = √ x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ≥ 16 √ √ √ (f) x2 − 8x + 816 + x2 + 10x + 267 = 2003 (e) 35 x + √xx−1 > 12 √ (h) − x2 = 4x3 − 3x (g) 364 Gi¶i hÖ  x + x − y − =   y + y − z − = z + z − t − =   2 t +t−x−1=0 x4 − 16 + − y Hµ Duy H­ng 365 Xác định Các toán đại số thi Olympic Toán.76 m để hệ sau có nghiệm  x2 + y − x2 + xy − yz − zx =  y + z + yz =   x + z + zx = m 366 Gi¶i hƯ  (x − 1)4 (y − 2)2 z t6 = 1024  4x2 + z + 16y + t6 = 8x + 76   x ≥ 1; y ≥ 2; z ≥ 0; t ≥ 367 Gi¶i hƯ 368 T×m √ √ x2 + 21 = y − + y √ y + 21 = x + x2 m để phương trình √ √ x2 + x + − x2 − x + = m cã nghiƯm 369 Gi¶ sư đa thức p(x) = x5 +ax2 +b có năm nghiÖm thùc x1 , x2 , x3 , x4 , x5 Ký hiÖu f (x) = x2 − Chứng minh bất đẳng thức f (x1 ) à f (x2 ) · f (x3 ) · f (x4 ) à f (x5 ) 234 370 HÃy xác định tất giá trị tham số 2+x+ 4x a để phương trình + 2x − x2 = a cã nhÊt mét nghiÖm thùc 371 Giải hệ sau y + y + 2x2 = xy − x2 y 4xy + y + ≥ 2x2 + + (2x y)2 372 Giải hệ sau x + y + z =  x2 + y + z = 10   x + y + z = 350 373 Giải biện luận theo tham số a phương trình 9x8 + 84x6 + 126x4 + 36x2 + 9a8 + 84a6 + 126a4 + 36a2 + a· +x· = x + 36x6 + 126x4 + 84x2 + a + 36a6 + 126a4 + 84a2 + Hà Duy Hưng Các toán đại số thi Olympic Toán.77 374 Giải phương trình x + = x + 80 √ √ (b) 2x3 − x2 + 2x3 − 3x + = 3x + − x2 + (a) 375 T×m √ √ x+ m để phương trình sau có nghiệm √ √ √ x+ 41−x+ x+ 1−x=m 376 Gi¶i hệ phương trình xy = x + 3y = 377 Gi¶i hƯ √  + x1 + √1 + x2 + · · · + √1 + x n = n √1 − x1 + √1 − x2 + · · · + √1 − xn = n n+1 n n1 n n > số nguyên 378 Chứng minh nghiệm phương trình nằm khoảng 3; 379 Gi¶ sư r»ng x5 − x3 + x − = ®Ịu a, b, c số thực thoả mÃn a b c + + =0 2003 2004 2005 Chứng minh phương trình kho¶ng (0; 1) ax2 + bx + c = có nghiệm 380 Giải hệ phương tr×nh x3 + y = 3xy + 1 x2004 + y 2004 = 22003 381 Giải phương trình x−1+ (x − 1)2 (x − 2)+ x − + 382 Cho số dương (x 2)2 (x − 1) = x, y, z tho¶ m·n hÖ  3x2 + 3xy + y = 75  y + 3z = 63   z + zx + x2 = 48 H·y x¸c định giá trị biểu thức xy + 2yz + 3zx (2x 3)3 Hà Duy Hưng Các toán đại 383 HÃy tìm tất giá trị số thi Olympic Toán.78 a, b để bất phương trình sin2 x + a sin x + b ≤ nghiƯm ®óng víi mäi x ∈ R 384 Giải phương trình x2 + với x2 =a (x + 1)2 a tham số 385 Giải phương tr×nh √ √ cot2 x + 2 sin2 x = (2 + 2) cos x 386 Gi¶i hệ phương trình sau x(x + y) + y(y + z) =   x(x + 1) + y(2z + 1) = 2   (x + y)2 + (y + z)2 = (x + 1) + (2z + 1) 2004 387 [04-30 Mathematical Olympiad 2000] Giải hệ phương trình (3 (3 + ) 2y = y+42x √ ) x=2 y+42x 388 [04-30 Mathematical Olympiad 2000] Giải phương trình √ sin 2x − sin x + cos x = 389 Giải phương tr×nh x+1 x+6 x+2 x+5 + = + 2 + 2x x x + 12x + 35 x + 4x + x + 10x + 24 390 Tìm m để phương trình cos x + − cos2 x + cos x − cos2 x = m có nghiệm? 391 Giải phương trình 2x2 + √ √ − x2 + 2x x2 = Hà Duy Hưng Các toán đại số thi Olympic Toán.79 392 Giải hÖ  6x(y + z ) = 13yz  3y(z + x2 ) = 5zx   6z(x2 + y ) = 5xy 393 Giải phương tr×nh x2 + (1 − √ 3x + + x2 + (1 + √ 3)x + + √ √ x2 − 2x + = 394 Gi¶i hƯ  x = (y − 1)2   y = (z − 1)2 z = (t − 1)2    t = (x − 1)2 395 Gi¶ sử hai phương trình x2 + ax + = vµ x2 + bx + = thoả mÃn tích nghiệm phương trình thứ với nghiệm phương trình thứ hai nghiệm phương trình x2 + cx + = Chøng minh r»ng ta cã hÖ thøc a2 + b2 + c2 + abc = 396 Chứng minh điều kiện cần đủ để tam thøc f (x) = ax2 + bx + c cã nghiệm khoảng (0; 1) tồn số dương m < n < p thoả mÃn mp n2 vµ ma + nb + pc = 397 Gi¶i hƯ  x − 3x = y(3x2 − 1)   y − 3y = z(3y − 1) z − 3z = t(3z − 1)   3 t − 3t = x(3t2 − 1) 398 Giải phương trình sin 2x − sin x + cos x − = 399 [04-30 Mathematical Olympiad 2000] H·y x¸c định m để phương trình (4m 3) x + + (3m − 4) − x + m − = cã nghiƯm? Hµ Duy Hưng Các toán đại số thi Olympic Toán.80 400 Giả sử a, b, c ba nghiệm phương trình x3 3x + theo thứ tự tằng dần HÃy xác định giá trị cđa biĨu thøc P = = s¾p xÕp a b c + + b c a 401 Giải phương tr×nh (x4 + x2 + + √ )(x2 + x + 1) = x2 + 2x + 402 HÃy xác định giá trị bé tham số nguyên dương trình n cho phương x12 − 4x4 xn − + = cã nghiệm 403 Giải hệ phương trình sau  xn+2 = xn · xn+1 + 5xn víi n = 1,   xn − xn+1 x1 = x10   x = x 404 Cho hai hµm sè f (x) = ax2 + bx + c vµ g(x) = a(x2 − x)2 + b(x2 − x) + c Tìm a, b, c để giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [0, 1] f (x) tương ứng giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn [0, 1] cđa hµm sè g(x) 405 [Mathematical Excalibur Vol.8, No.5, 2003] Giải phương trình x3 3x = x+2 406 [ Proposed by Fei Zhenpeng, Math Excalibur Vol.8, No.5, 2003] Giả sử , , số phức tho¶ m·n hƯ  α + β + γ =  α2 + β + γ =   α + β3 + γ3 = HÃy xác định giá trị biểu thức 21 + β 21 + γ 21 407 [Dutch Mathematical Olympiad 1983] Cho a+ a, b, c số thùc tho¶ m·n 1 =b+ =c+ =p b c a HÃy xác định tất giá trị cã thĨ cđa p vµ chøng minh r»ng abc + p = Hà Duy Hưng Các toán đại số thi Olympic Toán.81 408 [Putnam Exam 1974] Chứng minh nghiệm phương trình cos x = số vô tỷ 409 [Math.Excal 1996] Cho n > lµ mét sè nguyên c số thực khác không z nghiệm không thực phương trình xn + cx + = Chøng minh r»ng |z| ≥ √ n n−1 410 [Problem 52, Math.Excal.] Cho số thực phân biệt a, b, c thoả mÃn hÖ  a3 = 3(b2 + c2 ) − 25  b3 = 3(c2 + a2 ) − 25   c = 3(a2 + b2 ) − 25 HÃy xác định giá trị biểu thức abc 411 [British MO 1975; Problem 59, Math.Excali.] Cho n lµ mét số nguyên lớn HÃy xác định tất c¸c sè thùc x1 , x2 , , xn thoả mÃn điều kiện (1 x1 )2 + (x1 − x2 )2 + · · · + (xn−1 − xn )2 + x2 = n n+1 412 [Greek MO 1995; Problem 68, Math.Excali.] Chøng minh r»ng phương trình ax2 + (c b)x + (e d) = thoả mÃn tất nghiệm thực lớn phương tr×nh ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thùc 413 [Israel MO 1995; Problem 71, Math.Excali.] HÃy xác định tất số thực x, y, z thoả mÃn hệ √ x + ln(x + x2 + 1) = y  y + ln(y + y + 1) = z  √  z + ln(z + z + 1) = x 414 [Problem 86, Math Excali.] Gi¶i hệ phương trình 3x +  =2 x+y 7y + =2 x+y Hà Duy Hưng Các toán đại số cuéc thi Olympic To¸n.82 415 [Vietnam MO 1996; Problem 91, Math Excali.] Giải hệ phương trình 3x +  =2 x+y  7y −  =2 x+y 416 [Russia MO 1994; Problem 143, Math Excali.] Giải phương trình cos cos cos cos x = sin sin sin sin x 417 [HongKong TST 2001] H·y xác định tất số thực x thoả mÃn (2x − 4)3 + (4x − 2)3 = (4x + 2x 6)3 418 [HongKong TST 1989] Giải bất phương tr×nh x−3x−8 > x7 víi x>0 419 [HongKong TST 1989] Hỏi phương trình x = sin x 1988 có nghiệm? 420 [Chọn đội tuyển trường KHTN Hanoi 2003] Giải phương trình 8t3 + 12t2 + 469t − 48 22t + 69 = 421 [Crux Mathematicorum 1996, Vol.22, No.4, Problem M 2150] Giải phương trình sau ®©y √ √ − x = 2x2 − + 2x x2 422 Giải phương trình 4x = 2x + Hà Nội ngày 30 tháng năm 2003 Hà Duy Hưng ... Longlist 19 87 ] Gi¶ sử số a 11 , a 22 số thùc cßn x1 , x2 , a 12 , b1 , b2 số phức thoả mÃn a 11 a 22 = a 21 a 12 Xét hai phương trình x1 (a 11 x1 + a 12 x2 = b1 x2 (a 21 x1 + a 22 x2 = b2 a) HÃy xác định điều... (x2 − 2x cos − = (x − 1) k =1 n x 2n +1 (x2 − 2x cos 2kπ + 1) 2n + (x2 − 2x cos 2kπ + 1) 2n + − = (x − 1) k =1 n x 2n +1 + = (x + 1) k =1 n? ?1 x 2n +1 (x2 − 2x cos +1= kπ + 1) n k=0 (2k + 1) + 1) 2n 64... a )2 − (a2 − a )2 − · · · − (an − a )2 k =1 25 Chøng minh r»ng 1? ?? 1 1 1 1 + − + ··· + − = + + ··· + 2n − 2n n +1 n +2 2n 26 Chøng minh r»ng (1+ 1 1 ) (1? ?? ) (1+ ) · · · (1+ ) (1? ?? )= x? ?1 2x − 3x − (2n − 1) x