Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3 Tuyển tập một số bài toán dãy số thi hsg Bài1) Tính tổng: 2 1n2 2 5 2 3 2 1 S n32 giải: Đặt n32 n 2 1n2 2 5 2 3 2 1 S 1n32 n 2 1n2 2 7 2 5 2 3 1S2 nn 1n n2n2 n 2 3n2 3 2 1n2 2 1 1 2 1 1.1 1 2 1n2 2 1 2 1 2 1 11S . Vậy S = 3Slim n n . Bài 2) Cho dãy (u n ) với ; 7 13 u; 5 10 u; 3 7 u 321 Chứng minh rằng khi n dãy có giới hạn là 2 3 . Giải. Mỗi số hạng của dãy là một phân thức, các mẫu thức lập thành CSC có u 1 = 3, d = 2 số hạng tổng quát w n = 3 + (n 1).2 = 2n + 1, n = 1, 2, các tử thức lập thành CSC có u 1 = 7, d = 3 số hạng tổng quát v n = 7 + (n 1).3 = 3n + 4, n = 1, 2, Vậy 1n2 4n3 w v u n n n , n = 1, 2, 2 3 1 n 2 4n3 limLimu n . Bài 3. Cho CSC a 1 , a 2 , và CSN b 1 , b 2 , thỏa mãn: a 1 = b 1 ; a 1 + a 2 = 2b 2 ; a 1 + a 2 + a 3 = b 1 + b 2 + b 3 . Tìm 2 cấp số đó. Giải. gt a 1 = b 1 ; a 2 = 2b 2 b 1 ; a 3 = b 1 b 2 + b 3 và a 1 + a 3 = 2a 2 nên 2b 1 b 2 + b 3 = 4b 2 2b 1 4b 1 5b 2 + b 3 = 0 (*). Mặt khác: b 1 , b 2 , là CSN nên b 2 = qb 1 , b 3 = q 2 b 1 , thay vào (*) b 1 (q 2 5q + 4) = 0 b 1 = 0 q = 1 q = 4. Từ đó tìm đợc các cấp số là: CSC: b 1 , b 1 , ; CSN: b 1 , b 1 , Hoặc CSC: b 1 , 7b 1 , 13b 1 ,; CSN: b 1 , 4b 1 , 16b 1 , Bài 4. Cho 2 dãy số (u n ) và (v n ) thỏa mãn: u 1 = 1995, v 1 = 1997, nn nn 1nnn1n vu vu2 v),vu( 2 1 u , n = 1, 2, Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3 Chứng minh rằng: n 2 1n1n 2 2 vu n , n 1. Giải. gt u n > 0, v n > 0 n = 1, 2, Ta có: u n + 1 v n + 1 = 0 )vu(2 )vu( vu vu2 )vu( 2 1 nn 2 nn nn nn nn , n = 1, 2, u n + 1 > v n + 1 , n = 1, 2, 1 )vu(2 vu 0 nn nn , n = 2, 3, nn nn 2 nn vu )vu(2 )vu( , n = 2, 3, u n + 1 v n + 1 < u n v n < < u 2 v 2 = 1 1996 1 )19971995(2 4 )vu(2 )vu( 11 2 11 . Mặt khác, dễ thấy 1 2 2 n 2 n . Từ đó suy ra đ.p.c.m. Bài5. Cho dãy số (u n ) thỏa mãn: u 0 = 2, u 1 = 6, u n + 1 = 6u n + 2u n 1 , n 1. Tìm công thức tính u n theo n. Giải Phơng trình đặc trng của dãy số là: x 2 = 6x + 2 có 2 nghiệm phân biệt : 113x,113x 21 . Ta chứng minh: nn n )113()113(u , n = 0, 1, 2, Thậy vậy: Với n = 0: 2)113()113(u 00 0 đúng Với n = 1: 6)113()113(u 11 1 đúng. n 1, ta có: 6u n + 2u n 1 = 1n1nnn )113(2)113(2)113(6)113(6 = = )11620()113()11620()113( 1n1n = = 1n 1n1n u)113()113( (đ.p.c.m). Bài 6. Dãy số (u n ) đợc xác định nh sau: a) u 1 = a; u 2 = b (a, b R, a < b) b) )uu( 2 1 u 2n1nn . Chứng tỏ rằng tồn tại giới hạn của dãy và tìm giới hạn đó theo a, b. Giải. Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3 )uu( 2 1 u 2n1nn )uu( 2 1 uu 2n1n1nn (1). Đặt v n 1 = u n u n 1 , n 2 v 1 = u 2 u 1 = b a. Từ (1) 2n1n v 2 1 v (v n ) là CSN có công bội 2 1 q . Do đó: 1n1n 1n 2 1 )ab( 2 1 vv . Ta có: u n = (u n u n 1 ) + (u n - 1 u n 2 ) + + (u 2 u 1 ) + u 1 = = v n 1 + v n 2 + + v 1 + u 1 = 1n 1 1n 1 2 1 )ab( 3 2 3 ab2 u 2 1 1 2 1 1 v . Vì 3 ab2 0 2 1 lim 1n n ulimnnê . Bài 7. Cho dãy số xác định bởi căn dấu n n a aau với a > 0. Chứng minh dãy đã cho có giới hạn. Tìm lim u n . Giải. Từ công thức xác định dãy suy ra: 1nn1 uau;au , n 2. n = 2, 3, ta có: 1n 1nn n ua aaa aau căn dấu căn dấu . Mặt khác: 2 a411 u n (*) n = 1, 2, Thậy vậy: 2 a411 au 1 . Giả sử (*) đúng đến n 1, ta có: 2 a411 2 a411 auau 1nn , tức (*) đúng n = 1, 2, u n tăng và bị chặn trên tồn tại lim u n = L. Khi đó: L > 0 và LaL 2 a411 L . Vậy lim u n = 2 a411 L . Bài 8. a) Cho dãy số u 1 , u 2 , , u n , có tất cả các số hạng khác 0 và thỏa mãn: k1k1k3221 uu 1k uu 1 uu 1 uu 1 , k 3 (*). Chứng minh dãy đã cho là cấp số cộng. Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3 b) Cho dãy số thực (u n ) đợc xác định u 1 = a, u 2 = b, )uu( 2 1 u 2n1nn , n 3. Chứng minh tồn tại lim u n và tính giới hạn đó theo a, b. Giải. a) Viết (*) dới dạng: 313221 uu 2 uu 1 uu 1 ; 41433221 uu 3 uu 1 uu 1 uu 1 ; ; n1n1n3221 uu 1n uu 1 uu 1 uu 1 . Hay: 313221 uu 2 uu 1 uu 1 (1) ; 414331 uu 3 uu 1 uu 2 (2) ; ; n1n1n1n1 uu 1n uu 1 uu 2n (n 2). Từ (1) u 1 + u 3 = 2u 1 u 1 , u 2 , u 3 lập thành CSC, gọi d là công sai của CSC này. Từ (2) 2u 4 + u 1 = 3u 3 2u 4 = 3(u 1 + 2d) u 1 = 2(u 1 + 3d) u 4 = u 1 + 3d. Suy ra u 1 , u 2 , u 3 , u 4 lập thành CSC. Giả sử đã chứng minh đợc: u n-1 = u 1 + (n 2)d (**). Từ (n 2) (n 2)u n + u 1 = (n 1)u n 1 , kết hợp (**) (n 2)u n = (n 1)[u 1 + (n 2)d] u n = u 1 + (n 1)d. Vậy theo nguyên lý qui nạp suy ra: u n = u 1 + (n 1)d n = 2, 3, Điều đó chứng tỏ u 1 , u 2 , , u n , lập thành CSC (đ.p.c.m). b) Xem bài 6 Bài 9. Tìm giới hạn của tổng dãy số sau: 5 . 4 1 4 . 3 1 3 . 2 1 2 . 1 1 S Giải. a) Đặt )1n(n 1 4.3 1 3.2 1 2.1 1 S n . Ta dễ dảng tìm đợc 1 n 1 1S n . Từ đó 1 1n 1 1limSlimS n . Bài 10. Cho số thực > 2 và dãy số thực dơng 1n n a thỏa mãn điều kiện: 1n21n a aaa , với mọi n 2. Chứng minh dãy 1n n n a có giới hạn khi n và tìm giới hạn đó. Giải Ta có: nnnn211n aaaa aaa hay a 2 < a 3 < a 4 < Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3 n1n1n211nnn a)2n(aa)1n(aa aaaaa n a hay (*) +) Nếu a 1 < 1 thì 1a1a1aa n212 Từ (*) 1naa)1n(a)2n(aa 1 nnnnn 21 1 n n n 1 1 n 1n n a 0 . Vì 0 n a lim0 n n 1 1 lim 1 n n 2 n n nê . +) Nếu a 1 1 thì a n > 1, n 2 Từ (*) suy ra 11 1 1 n 1 1 1 n n 2n n a n 2n an a n a 0 . 0 n a 0 n 2n n a lim 1 n 11 1 n n lim n nê . Bài 11. Cho dãy số n (u ) đợc xác định nh sau: 1 2 n 1 n n u 0 u 5u 24u 1, n 1,2 Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên. Giải. Từ giả thiết ta có: 2 n 1 n n u 5u 24u 1 (1) và u 2 = 1. 2 2 2 2 2 n 1 n 2 n n 1 n n 1 n n 1 n (1) u 25u 10u .u 24u 1 u u 10u .u 1 0 (2) Trong (2) thay n bởi n -1 ta đợc: 2 2 2 2 n n n 1 n 1 n 1 n n 1 n u 10u .u u 1 0 u 10u .u u 1 0 (3) Từ (2) và (3) suy ra u n+1 và u n-1 là 2 nghiệm của phơng trình 2 2 n n t 10u t u 1 0 Theo dụng định lí Vi-et, ta có: n 1 n 1 n n+1 n n 1 u u 10u hay u 10u u (4) Từ u 1 = 0; u 2 = 1 và (4) ta suy ra các số hạng của dãy đã cho đều là số nguyên Bài 12. Cho dãy số (u n ) với u n = -n 4 + 8n 3 0,5n 2 + 4n, với n N * . Tìm số hạng lớn nhất của dãy số đã cho. Giải. a) Xét hàm số f(x) = -x 4 + 8x 3 0,5x 2 + 4x, x 1. Ta có: f(x) = -4x 3 + 24x 2 x + 4. Nếu x 6 thì f(x) = 4x 2 (6 x) + (4 x) < 0; Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3 Nếu x 5 thì f(x) = 4x 2 (5 x) + 4x 2 x + 4 > 0 Suy ra bảng biến thiên của f(x): Từ BBT suy ra u n lớn nhất n = 5 hoặc n = 6. Ta có: u 5 = 382,5; u 6 = 438. Vậy số hạng lớn nhất của dãy là: u 6 = 438. Bài 13. Cho dãy {u n }: 1n, u21 u2 u 2u n n 1n 1 Chứng minh {u n } không tuần hoàn. Giải. Đặt tg = 2, (0 ; 2 ). Ta dễ dàng chứng minh đợc rằng u n = tgn, n 1. Giả sử {u n } tuần hoàn chu kỳ T, tức là: u n + T = u n n tg(n + T) = tgn, n sinT = 0 tgT = 0 u T = 0. n ta có: u 2n = tg2n = 2 n n 2 u1 u2 ntg1 tgn2 (*) Vì vậy nếu u 2n = 0 thì u n = 0. Viết T dới dạng T = 2 k (2s + 1), k, s nguyên 0. Vì u T = 0 nên sử dụng (*) k lần ta đi đến u 2s + 1 = 0, mà s s 1s2 u21 u2 u nên từ u 2s + 1 = 0 u 2s = -2. Sử dụng (*) suy ra: 01uu1 u1 u s 2 s 2 s s u s là số vô tỉ (vì PT X 2 X 1 = 0 có nghiệm vô tỉ). Mặt khác, do u 1 = 2 và từ n 2 n 1n u21 u2 u suy ra mọi số hạng của dãy đều hữu tỉ. Mâu thuẩn. Vậy {u n } không tuần hoàn. Bài 14. Ký hiệu [x] là phần nguyên của x và {x} = x [x] là phần thập phân của x. Tìm })22{(lim n x . Giải. + x f(x) f(x) 1 5 6 + _ Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3 n N, ta có: 2yx)22(,2yx)22( nn với x, y Z (dễ dàng chứng minh bằng qui nạp) Suy ra: nn )22()22( Z n N. Mặt khác: Để ý nếu a Z và 0 < d < 1 thì [a + d] = a, ta có: ])22(11)22()22[(])22[( nnnn , Vì 1)22()22( nn Z và 1)22(10 n (do 1)22(0 n ) nên 1)22()22(])22[( nnn . Do đó: nnnn )22(1])22[()22(})22{( . Vì 0)22(lim n n nên 1})22{(lim n n . Bi 15 Tớnh: 2 2 2 3 2 2 2 3 1 1 1 1 4 cos 4 cos 4 cos 4 cos 2 2 2 2 n n n S a a a a Giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 sin 4 cos 4sin 2 2 1 1 1 4 cos 4sin 4 sin 2 2 2 1 1 1 4 cos 4 sin 4 sin 2 2 2 1 1 sin 4 sin 2 n n n n n n n n n a a a a a a a a a S a a Cõu 16. Cho dóy s (U n ) xỏc nh bi U n = n 2 3 . Chng minh rng [U n ] l mt s l vi mi n (ký hiu [U n ] l phn nguyờn ca U n ). Ta cú 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 sin cos 4 1 4 1 (1) cos sin sin cos sin 2 cos sin 2 sin x x x x x x x x x x Thay x trong (1) ln lt bi 2 ; ; ; 2 2 2 n a a a thỡ ta cú: Gv: NguyÔn NhuËn Trêng THPT Yªn Thµnh 3 Giải: Ta có:        n n k n k k n k 0 2 3 C 2 ( 3)         k n n k k n k n k 0 2 3 ( 1) C 2 ( 3)               n n n k k k n k n k 0 2 3 2 3 (1 ( 1) )C 2 3 n k k n k n k sè ch¨n, k=0 2C 2 3 2.m víi m N       Do 0 < 2 -          n * 3 1 0 2 3 1 n N Mặt khác:                        n n n n 2 3 2 3 2 3 1 1 2 3 Mà             n 0 1 2 3 1 Suy ra                     n n n 2 3 2 3 2 3 1 2.m 1 là số lẻ Bài 17: Cho dãy số (a n ) , a 1 = 1 và n 1 n n 1 a a a    . Chứng minh: n n a lim 2 n   . Gi¶i: n n 1 n 1 2 2 2 2 k 1 k i j 2 2 i 2 j 1 j 1 k j 1 1 a a 2 a a 2(n 1). a a                   n 1 2 n 2 j 1 j 1 a 2n 1 . a       Vy a n > 2n 1 , n 2.     2 k 4 2 2 k 1 1 1 1 1 1 1 a 2k 1 k 2 a (2k-1) (2k-1) 1 4k(k+1) 4 k 1 k                   .  Suy ra: n 1 n 1 4 4 k 2 j 1 k j 1 1 1 1 1 1 5 (1 ) 1 a 4 n 1 4 a 4 4               .  Suy ra: n 1 n 1 2 4 j 1 j 1 j j 1 1 5 (n 1) (n 1) (n 2). a a 4             Vậy: 2 n 5(n 1) a 2n 1 (n 2) 2      . Gv: Ngun Nhn Trêng THPT Yªn Thµnh 3  Suy ra: n n 5(n-1) 5(n-1) a1 n 2; 2n-1<a < 2n-1+ 2- < 2n-1+ 2 n 2 n    .  Do đó: n n a lim 2 n  . Bµi 18. Cho dãy số ( n x ) thỏa : )1( 1 2006 1,1 11     n x xx n n . Chứng minh dãy số ( n x ) có giới hạn và tìm giới hạn ấy. Giải 2 3 2006 2006 1 1004; 1 2 1005     x x Hàm số 2006 ( ) 1 1    f x x liên tục và nghịch biến trên [0,+), 1 ( ) 2007   f x Ta có 1 2006 1 ( ), 1       n n n x f x n x  ( ) n x bị chặn 1 3 1 3 2 4 2 4 3 5 ( ) ( ) ( ) ( )           x x f x f x x x f x f x x x suy ra dãy 2 1 ( )  n x đồng biến và dãy 2 ( ) n x nghịch biến suy ra 2 1 2 ( ),( )  n n x x là các dãy hội tụ. Giả sử 2 2 1 lim ;lim ( , 1)     n n x x     Từ 2 1 2 2 1 2 ( ) lim lim ( ) ( )        n n n n x f x x f x f   Từ 2 2 2 1 2 2 2 1 ( ) lim lim ( ) ( )          n n n n x f x x f x f   Giải hệ phương trình 2006 1 1 2007 2006 1 1                      . Vậy lim 2007  n x . các số hạng của dãy đã cho đều là số nguyên Bài 12. Cho dãy số (u n ) với u n = -n 4 + 8n 3 0,5n 2 + 4n, với n N * . Tìm số hạng lớn nhất của dãy số đã cho. Giải. a) Xét hàm số f(x). Gv: Nguyễn Nhuận Trờng THPT Yên Thành 3 Tuyển tập một số bài toán dãy số thi hsg Bài1 ) Tính tổng: 2 1n2 2 5 2 3 2 1 S n32 giải: Đặt n32 n 2 1n2 2 5 2 3 2 1 S . n nê . Bài 11. Cho dãy số n (u ) đợc xác định nh sau: 1 2 n 1 n n u 0 u 5u 24u 1, n 1,2 Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên. Giải. Từ giả thi t ta có: 2 n