BÀI TẬP VỀ PHƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1: Cho phơng trình :   2 2 m 2x 2 1 2 x m      a) Giải phơng trình khi m 2 1   b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x 3 2   c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất Bài 2: Cho phơng trình :   2 m 4 x 2mx m 2 0      (x là ẩn ) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x 2  .Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt c) Tính 2 2 1 2 x x  theo m Bài 3: Cho phơng trình :   2 x 2 m 1 x m 4 0      (x là ẩn ) a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m c) Chứng minh biểu thức M =     1 2 2 1 x 1 x x 1 x    không phụ thuộc vào m. Bài 4: Tìm m để phơng trình a)   012 2  mxx có hai nghiệm dơng phân biệt b) 2 4x 2x m 1 0     có hai nghiệm âm phân biệt c)     2 2 m 1 x 2 m 1 x 2m 1 0       có hai nghiệm trái dấu Bài 5: Cho phơng trình :   2 2 x a 1 x a a 2 0       a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x 1 và x 2 .Tìm giá trị của a để 2 2 1 2 x x  đạt giá trị nhỏ nhất Bài 6: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức: 1 1 1 b c 2   . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau phải có nghiệm x 2 + bx + c = 0 và x 2 + cx + b = 0 Bài 7: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm số chung: 2x 2 – (3m + 2)x + 12 = 0 và 4x 2 – (9m – 2)x + 36 = 0 Bài 8: Cho phơng trình : 2 2 2x 2mx m 2 0     a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng trình Bài 9: Cho phơng trình bậc hai tham số m : 2 x 4x m 1 0     a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn điều kiện 2 2 1 2 x x  = 10 Bài 10: Cho phơng trình   2 x 2 m 1 x 2m 5 0      a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ? Bài 11: Cho phơng trình   2 x 2 m 1 x 2m 10 0      (với m là tham số ) a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x 1 ; x 2 hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x 1 ; x 2 mà không phụ thuộc vào m c) Tìm giá trị của m để 2 2 1 2 1 2 10x x x x   đạt giá trị nhỏ nhất Bài 12: Cho phơng trình   2 m 1 x 2mx m 1 0      với m là tham số a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1   b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phơng trình c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn hệ thức: 1 2 2 1 x x 5 0 x x 2    Bài 13: Cho phơng trình: 2 x mx m 1 0     (m là tham số) a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm x 1 ; x 2 với mọi m; tính nghiệm kép ( nếu có) của phơng trình và giá trị của m tơng ứng b) Đặt 2 2 1 2 1 2 A x x 6x x    . Chứng minh 2 A m 8m 8    . c) Tìm m để A = 8 và tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng. d) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia Bài 14: Giả sử phơng trình 2 a.x bx c 0    có 2 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 . Đặt n n n 1 2 S x x   (n nguyên dơng) a) Chứng minh: n 2 n 1 n a.S bS cS 0      b) Áp dụng Tính giá trị của : A= 5 5 1 5 1 5 2 2                    Bài 15: Cho f (x) = x 2 - 2 (m + 2).x + 6m + 1 a) CMR phơng trình f (x) = 0 có nghiệm với mọi m b) Đặt x = t + 2 .Tính f (x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để ph- ơng trình f (x) = 0 có 2 nghiệm lớn hơn 2 Bài 16: Cho phơng trình:   2 2 x 2 m 1 x m 4m 5 0       a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau d) Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính 2 2 1 2 x x  theo m Bài 17: Cho phơng trình 2 x 4x 3 8 0    có hai nghiệm là x 1 ; x 2 . Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của biểu thức : 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 6x 10x x 6x M 5x x 5x x     Bài 18: Cho phơng trình   2 x 2 m 2 x m 1 0      a) Giải phơng trình khi m = 1 2 b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để : 2 1 2 2 1 x (1 2x ) x (1 2x ) m     Bài 19: Cho phơng trình 2 x mx n 3 0     (1) (n , m là tham số) a) Cho n = 0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m b) Tìm m và n để hai nghiệm x 1 ; x 2 của phơng trình (1) thoả mãn hệ : 1 2 2 2 1 2 x x 1 x x 7        Bài 20: Cho phơng trình:   2 x 2 k 2 x 2k 5 0      ( k là tham số) a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k b) Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho 2 2 1 2 x x 18   Bài 21: Cho phơng trình   2 2m 1 x 4mx 4 0     (1) a) Giải phơng trình (1) khi m = 1 b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m Bài 22: Cho phơng trình:   2 2 x 2m 3 x m 3m 0      a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 1 2 1 x x 6    Bài 23: Cho phơng trình 2 x 2mx 2m 1 0     a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x 1 ; x 2 với mọi m. b) Đặt A = 2 2 1 2 1 2 2(x x ) 5x x   . CMR A = 2 8m 18m 9   . Tìm m sao cho A = 27 c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia Bài 24: Giải và biện luận phơng trình : x 2 – 2(m + 1) + 2m + 10 = 0 Bài 25: Giải và biện luận phơng trình: (m - 3) x 2 – 2mx + m – 6 = 0 Bài 26: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất a) 2x 2 + 2007x – 2009 = 0 b) 17x 2 + 221x + 204 = 0 c) x 2 + ( 3 5  )x - 15 = 0 d) x 2 –(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0 Bài 27: Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số) a) x 2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 b) (m – 3)x 2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 Bài 28: Gọi x 1 , x 2 là các nghịêm của phơng trình : x 2 – 3x – 7 = 0 a) Tính: A = x 1 2 + x 2 2 B = 1 2 x x  C= 1 2 1 1 x 1 x 1    D = (3x 1 + x 2 )(3x 2 + x 1 ) b) Lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là 1 1 x 1  và 2 1 x 1  Bài 29: Cho phơng trình: x 2 – ( k – 1)x - k 2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số) a) Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k b) Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu c) Gọi x 1 , x 2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x 1 3 + x 2 3 > 0 Bài 30: Cho phơng trình: x 2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số) a) Giải phơng trình (1) với m = -5 b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x 1 , x 2 phân biệt với mọi m c) Tìm m để 1 2 x x  đạt giá trị nhỏ nhất (x 1 , x 2 là ha1 nghiệm của ph- ơng trình (1) nói trong phần b) Bài 31: Cho phơng trình (m + 2) x 2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số) a) Giải phơng trình khi m = - 9 2 b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia. Bài 32: Cho phơng trình : mx 2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số . a) Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1) b) Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu. c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai. Bài 33: Cho phơng trình : x 2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số a) Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép b) Tìm k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện : x 1 2 + x 2 2 = 10 Bài 34: Cho phơng trình : x 2 – 6x + 1 = 0, gọi x 1 và x 2 là hai nghiệm của ph- ơng trình. Không giải phơng trình, hãy tính: a) x 1 2 + x 2 2 b) 1 1 2 2 x x x x  c)       2 2 1 2 1 x 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 x x x x x x x x 1 x x 1       . Bài 35: Cho phơng trình bậc hai: x 2 – 2(m + 1)x + m 2 + 3m + 2 = 0 a) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm giá trị của m thoả mãn x 1 2 + x 2 2 = 12 (trong đó x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình). Bài 36: Cho phơng trình: x 2 – 2mx + 2m – 5 = 0. a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. c) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x 1 và x 2 , tìm các giá trị của m để: x 1 2 (1 – x 2 2 ) + x 2 2 (1 – x 1 2 ) = -8. Bài 37: Cho phơng trình: x 2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. a) Giải phơng trình với m = 0. b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x 1 và x 2 . Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x 1 + x 2 = 4. Bài 38: Cho phơng trình: x 2 + 4x + 1 = 0 (1) a) Giải phơng trình (1). b) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x 1 3 + x 2 3 . Bài 39: Cho phơng trình : x 2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số). a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn x 1 3 + x 2 3  0. Bài 40: Cho phơng trình: (m – 1)x 2 + 2mx + m – 2 = 0 (*) a) Giải phơng trình khi m = 1. b) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. Bài 41: Cho phơng trình (2m - 1)x 2 - 2mx + 1 = 0. Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1, 0) Bài 42: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó: a) 2x 2 + (3m + 1)x – 9 = 0 và 6x 2 + (7m – 1)x – 19 = 0. b) 2x 2 + mx – 1 = 0 và mx 2 – x + 2 = 0. c) x 2 – mx + 2m + 1 = 0 và mx 2 – (2m + 1)x – 1 = 0. Bài 43: Xét các phơng trình sau: ax 2 + bx + c = 0 (1) và cx 2 + bx + a = 0 (2) Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung duy nhất. Bài 44: Cho hai phơng trình: x 2 – 2mx + 4m = 0 (1) và x 2 – mx + 10m = 0 (2) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phơng trình (1) Bài 45: Cho hai phơng trình: x 2 + x + a = 0 và x 2 + ax + 1 = 0 a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung. b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng. Bài 46: Cho hai phơng trình: x 2 + mx + 2 = 0 (1) và x 2 + 2x + m = 0 (2) a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung. b) Định m để hai phơng trình tơng đơng. c) Xác định m để phơng trình (x 2 + mx + 2)(x 2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt Bài 47: Cho các phơng trình: x 2 – 5x + k = 0 (1) và x 2 – 7x + 2k = 0 (2) Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm của phơng trình (1). . BÀI TẬP VỀ PHƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1: Cho phơng trình :   2 2 m 2x 2 1 2 x m      a) Giải phơng trình khi m 2 1   b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x 3 2   c). gọi x 1 và x 2 là hai nghiệm của ph- ơng trình. Không giải phơng trình, hãy tính: a) x 1 2 + x 2 2 b) 1 1 2 2 x x x x  c)       2 2 1 2 1 x 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 x x x x x x x x. : 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 6x 10x x 6x M 5x x 5x x     Bài 18: Cho phơng trình   2 x 2 m 2 x m 1 0      a) Giải phơng trình khi m = 1 2 b) Tìm các giá trị của m để phơng trình