Dạng 2. Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau. 2.1. Phương pháp chung: +) Dạng bài tập này các em gặp rất nhiều, nó rất phong phú và đa dạng. Bài thường cho 2 dữ kiện, cũng có khi chỉ cho 1 dữ kiện. Từ những mối quan hệ đó ta có thể tìm được đáp án của bài, nhưng cũng có thể phải biến đổi rồi mới sử dụng được. +) Có thể sử dụng phương pháp ở dạng 1. +) Lưu ý đến dấu của số cần tìm trong trường hợp có số mũ chẵn hoặc tích của 2 số, để tránh tìm ra số không thoả mãn yêu cầu của bài. Cũng lưu ý các trường hợp có thể xảy ra để không bỏ xót những giá trị cần tìm. 2.2. Một số ví dụ: Ví dụ 1. Tìm x, y khác 0 biết: a) x y = 3 4 và 2x + 5y = 10 b) 2x 3y = - 1 3 và 2x + 3y = 7 c) 21.x = 19.y và x – y = 4 d) x 3 = y 7 và x.y = 84 Bài này tương đối dễ, chỉ cần áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là tìm được ngay đáp số của bài; Nhưng trước tiên phải biến đổi tỉ lệ thức của bài một chút cho phù hợp với mối quan hệ còn lại. Lời giải: a) Có x y = 3 4  x 3 = y 4 = 2x 6 = 5y 20 áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2x 6 = 5y 20 = 2x+5y 6+20 = 10 26 = 5 13 Do đó: +) x 3 = 5 13 suy ra x = 3.5 13 = 15 13 +) y 4 = 5 13 suy ra y = 4.5 13 = 20 13 Vậy: x = 15 13 và y = 20 13 b) Có 2x 3y = - 1 3  2x -1 = 3y 3 Do đó: 2x -1 = 3y 3 = 2x+3y -1+3 = 7 2 Hay: +) 2x -1 = 7 2 suy ra: 2x = -1.7 2  x = - 7 4 +) 3y 3 = 7 2 suy ra: y = 7 2 Vậy: x = - 7 4 và y = 7 2 c) 21.x = 19. y  x 19 = y 21 Do đó: x 19 = y 21 = x-y 19-21 = 4 -2 = -2 Hay: +) x 19 = -2  x = -2.19 = -38 +) y 21 = -2  y = -2.21 = -42 Vậy: x = - 38 và y = - 42 d) x 3 = y 7  x 2 9 = y 2 49 = xy 21 = 84 21 = 4 Hay: +) x 2 9 = 4  x 2 = 36  x =  6 +) y 2 49 = 4  y 2 = 196  y =  14 Vậy: x = 6 và y = 14 hoặc x = - 6 và y = -14 * Cũng có em làm cách khác: Có x 3 = y 7  x y = 3 7 mà xy = 84 ( x và y cùng dấu) nên x y . xy = 3 7 . 84  x 2 = 36  x =  6 và xy: x y = 84: 3 7  y 2 = 196  y = 14 Ví dụ 2. Tìm x, y, z biết: a) x 3 = y 4 ; y 5 = z 7 và 2x + 3y – z = 186 b) x : y : z = 3 : 5 (- 2) và 5x – y + 3z = 124 c) y+z+1 x = x+z+2 y = x+y-3 z = 1 x+y+z Lời giải: a) Chắc chắn là phải sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nhưng lại chưa có, hãy làm xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau. Có: x 3 = y 4  x 15 = y 20 y 5 = z 7  y 20 = z 28 Do đó: x 15 = y 20 = z 28 = 2x 30 = 3y 60 = 2x+3y-z 30+60-28 = 168 62 = 3 Hay: +) x 15 = 3  x = 3.15 = 45 +) y 20 = 3  y = 3.20 = 60 +) z 28 = 3  z = 3.28 = 84 Vậy: x = 45 ; y = 60 ; z = 84 b) Tương tự như câu a): Có x : y : z = 3 :5 : (- 2)  x 3 = y 5 = z -2 Do đó, ta có: x 3 = y 5 = z -2 = 5x 15 = 3z -6 = 5x-y+3z 15-5+(-6) = 124 4 = 31 Hay: +) x 3 = 31  x = 31.3 = 93 +) y 5 = 31  y = 31.5 = 155 +) z -2 = 31  z = 31.(-2) = -62 Vậy: x = 93 ; y = 155 ; z = -62. c) Bài chỉ cho dãy tỉ số bằng nhau chứ không cho thêm mối quan hệ khác như những bài trước. Khác những bài trước, học sinh thấy mới lạ. Vậy thì làm thế nào? Liệu có làm xuất hiện mối quan hệ khác từ dãy tỉ số bằng nhau không? Có: y+z+1 x = x+z+2 y = x+y-3 z = 1 x+y+z = (y+z+1)+(x+z+2)+(x+y-3) x+y+z = 2 Suy ra: x+y+z = 1 2 . Khi đó: y+z = 1 2 - x ; x+z = 1 2 - y ; x+y = 1 2 - z Do đó: +) y+z+1 x = 2  1 2 -x+1 x = 2  x = 1 2 +) x+z+2 y = 2  1 2 -y+2 y = 2  y = 5 6 +) x+y-3 z = 2  1 2 -z-3 z = 2  z = - 5 6 Vậy: x = 1 2 ; y = 5 6 ; z = - 5 6 . Ví dụ 3. Tìm các số x, y, z biết: x-1 2 = y+3 4 = z-5 6 và 5z – 3x – 4y = 50 Gặp bài này, các em không tránh khỏi băn khoăn: Tạo ra 5z, 3x, 4y bằng cách nào đây? Vì x còn vướng -1, y vướng 3 và z vướng -5. Cứ bình tĩnh và làm như bình thường xem sao? Lời giải: Có: x-1 2 = y+3 4 = z-5 6 & 5z – 3x – 4y = 50  3(x-1) 6 = 4(y+3) 16 = 5(z-5) 30 & 5z – 3x – 4y = 50  3x-3 6 = 4y+12 16 = 5z-25 30 = (5z-25)-(3x-3)-(4y+12) 30-6-16 = 50-34 8 = 2 Hay: +) x-1 2 = 2  x – 1 = 4  x = 5 +) y+3 4 = 2  y + 3 = 8  y = 5 +) z-5 6 = 2  z – 5 = 12  z = 17 Vậy: x = y = 5 ; z = 17 Ví dụ 4. Tìm a, b, c biết rằng: 2a = 3b = 4c và a – b + c = 35 Đã có dãy tỉ số bằng nhau chưa? Làm thế nào để có dãy tỉ số bằng nhau? Lời giải: Có: 2a = 3b = 4c  2a 12 = 3b 12 = 4c 12 = a 6 = b 4 = c 3 Khi đó: a 6 = b 4 = c 3 = a–b+c 6–4+3 = 35 5 = 7 Hay: +) a 6 = 7  a = 7.6 = 42 +) b 4 = 7  b = 7.4 = 28 +) c 3 = 7  c = 7.3 = 21 Vậy: a = 42 ; b = 28 ; c = 21 Ví dụ 5. Tìm x biết: 44–x 3 = x–12 5 Đầu bài thật đơn giản, nhưng làm như thế nào? Chỉ có mỗi một mối quan hệ, có thể làm triệt tiêu x được không? Lời giải: Có: 44–x 3 = x–12 5 = (44–x)+(x–12) 3+5 = 32 8 = 4 Hay: x–12 5 = 4  x – 12 = 20  x = 20 + 12  x = 32 Vậy: x = 32. Ví dụ 6. Tìm a, b biết rằng: a) a 5 = b 4 và a 2 – b 2 = 36 b) a 3 = b 4 và ab = 48 Muốn sử dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thì phải qua bước biến đổi đã: Phải làm xuất hiện được a 2 , b 2 ở câu a và tích ab ở câu b. Làm được điều đó thì coi như bài toán đã được hoàn thành 90%. Lời giải: a) Có: a 5 = b 4 (a, b cùng dấu) Suy ra: a 2 25 = b 2 16 = a 2 –b 2 25–16 = 36 9 = 4 Hay: a 2 25 = 4  a 2 = 100  a =  10 b 2 16 = 4  b 2 = 64  b =  8 Vậy: a = 10 và b = 8 hoặc a = - 10 và b = - 8. b) Có: a 3 = b 4 Suy ra: a 2 9 = b 2 16 = ab 3.4 = 48 12 = 4 Hay: a 2 9 = 4  a 2 = 36  a =  6 b 2 16 = 4  b 2 = 64  b =  8 Vậy: a = 6 và b = 8 hoặc a = - 6 và b = - 8. Ví dụ 7. Tìm x 1 , x 2 , x 3 , …, x 9 biết rằng: x 1 –1 9 = x 2 –2 8 = x 3 –3 7 = … = x 9 –9 1 và x 1 + x 2 + x 3 + … + x 9 = 90 Nhìn có vẻ khó vì nhiều số chưa biết phải tìm quá. Không vấn đề gì, đã có tính chất cuă dãy tỉ số bằng nhau đây rồi. Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x 1 –1 9 = x 2 –2 8 = x 3 –3 7 = … = x 9 –9 1 = x 1 –1+x 2 –2+x 3 –3+…+x 9 –9 9+8+7+…+1 =     1 2 9 1 2 9 9 8 1 x x x           = 90 45 45  = 1 +) x 1 –1 9 = 1  x 1 = 9 + 1 = 10 +) x 2 –2 8 = 1  x 2 = 8 + 2 = 10 +) x 3 –3 7 = 1  x 3 = 7 + 3 = 10 ……………… +) x 9 –9 1 = 1  x 9 = 1 + 9 = 10 Vậy: x 1 = x 2 = x 3 = … = x 9 = 10. Ví dụ 8. a) Tìm phân số có dạng tối giản a b biết a b = a+6 b+9 với a, b  Z và b ≠ 0. b) Cho phân số a b . Tìm các số nguyên x, y sao cho a+x b+y = a b . Lời giải: a) a b = a+6 b+9 áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b = a+6 b+9 = a+6–a b+9–b = 6 9 = 2 3 Phân số cần tìm có dạng tối giản a b = 2 3 nên phân số cần tìm có dạng 2k 3k với k  Z và k ≠ 0. b) Tương tự như câu a, nhưng tổng quát hơn. Có: a+x b+y = a b = a+x–a b+y–b = x y Với a b = x y thì ta có thể tìm được vô số các số nguyên x, y thoả mãn. Ví dụ 9. Tìm x, y biết: [...]... z = 3 hoặc x = –1; y = –2; z = –3 2.3 Tiểu kết: Dạng bài tập này tương đối phức tạp, nếu không làm và trình bày cẩn thận thì rất dễ bị nhầm lẫn Kiến thức thì không phải là quá khó nhưng rất cần đến khả năng quan sát và kĩ năng biến đổi Cũng cần đến sự khéo léo đưa bài toán về dạng quen thuộc đã biết cách làm ở dạng 1 2.4 Bài tập tương tự: Bài 1 Tìm các số a, b, c, d biết: a) a : b : c : d = 15 : 7 :...a) x y = 2 4 & x4 y4 = 16 2 2 2 2 b) y –x = x +y & x10 y10 = 1024 3 5 c) 2x+1 3y–2 2x+3y–1 = = 5 7 6x Bài này khó đây, số mũ to, có 2 số chưa biết mà chỉ có 1 mối quan hệ Làm bằng cách nào, làm như thế nào? Lời giải: a) Có thể đưa về số mũ nhỏ hơn không? Đưa về bài toán đã biết cách làm có được không? Còn chần chừ gì nữa, cứ thử xem? Từ Với x y = 2 4 2 2 xy suy ra: x = y = và x, y cùng dấu (1)... Tìm x1, x2, …, xn–1, xn biết: x1 x2 = = a1 a2 …… = xn–1 xn và x +x + … +x +x = c = 1 2 n–1 n an–1 an (Với a1, a2, … ,an–1, an khác 0 và a1+a2+ … +an–1+an ≠ 0) Bài 3 Tìm a, b, c, d biết: a) a b c d = = = & a + b + c + d = 12 3 5 7 9 b) a b c = = & a – 2b + 3c = 35 3 4 5 c) a b b c = ; = 5 6 8 7 d) 1 2 3 a = b = c & a – b = 15 2 3 4 e) a–1 b–2 c–3 = = 2 3 4 & a + b – c = 69 & 2a + 3b – c = 95 Bài 4 Tìm. .. và 2x + 3y – 1 Bây giờ thì bài lại trở thành quá đơn giản với những gì có trong hành trang của các em 2x+1 3y–2 2x+3y–1 = = (1) 5 7 6x 2x+1 3y–2 2x+1+3y–2 2x+3y–1 = = = (2) 5 7 5+7 12 Từ (1), (2) ta có: 6x = 12  x = 2 thay vào (1) thì y = 3 Vậy: x = 2 và y = 3 x3 = y3 = z3 (1) và x2 + y2 + z2 = 14 Ví dụ 10 Tìm ba số x, y, z biết 8 64 216 Làm thế nào đây khi vừa có mũ 3 lại có cả mũ 2? Thường thì hạ... y2 + z2 = 217 x  16 y  25 z  9   9 16 25 và 2x3 – 1 = 1 n) x y  ; x2 – y2 = 81 với x, y > 0 5 4 p) x 2  y 3 và x2 + y2 = 208 Bài 5 Tìm x biết: a) x2 x4  x 1 x  7 b) x 3 5  x5 7 d) x  18 x  17  x  4 x  16 e) 72  x 3  x  18 5 Bài 6 Tìm a, b, c biết a) a b c   và 3a + b – 2c = 14 3 8 5 c) x 1 x  2  x2 x3 b) a 1 b  2 c  2   và a + 2b – c = 6 5 3 2 c) a b c   10 6 21... + c + d = 12 3 5 7 9 b) a b c = = & a – 2b + 3c = 35 3 4 5 c) a b b c = ; = 5 6 8 7 d) 1 2 3 a = b = c & a – b = 15 2 3 4 e) a–1 b–2 c–3 = = 2 3 4 & a + b – c = 69 & 2a + 3b – c = 95 Bài 4 Tìm x, y, z biết: a) b) c) x y  và xy = 54 2 3 x y  ; x2 – y2 = 4 với x, y > 0 5 3 x y  2 3 ; y z  và x + y + z = 92 5 7 d) 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95 e) x y z    x yz y  z 1 x  z 1 x  y  2 g) x... +) 16 4  y2 = 4  y=2 Vậy: x = 1 và y = 2 hoặc x = - 1 và y = - 2 b) Có sử dụng được cách làm như ở câu a không? Tại sao lại không thử xem? Chú ý đến dấu của x, y vì rất dễ kết luận thiếu giá trị cần tìm 2 2 2 2 2 2 2 2 y2–x2 = x2+y2 = (x +y )+(y –x ) = (x +y )–(y –x ) Có: 5+3 5–3 3 5  2y2 = 2x2 8 2  y2 = x2 4  x= y 2 y Khi đó: x10y10 = (± )10.y10 = 1024 2  y20 = 220   y20 = 210.1024 y=2 Do . thiếu giá trị cần tìm. Có: y 2 –x 2 3 = x 2 +y 2 5 = (x 2 +y 2 )+(y 2 –x 2 ) 5+3 = (x 2 +y 2 )–(y 2 –x 2 ) 5–3  2y 2 8 = 2x 2 2  y 2 4 = x 2  x =  y 2 Khi đó: x 10 y 10 . = 3b = 4c và a – b + c = 35 Đã có dãy tỉ số bằng nhau chưa? Làm thế nào để có dãy tỉ số bằng nhau? Lời giải: Có: 2a = 3b = 4c  2a 12 = 3b 12 = 4c 12 = a 6 = b 4 = c 3 Khi đó:. Dạng 2. Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau. 2. 1. Phương pháp chung: +) Dạng bài tập này các em gặp rất nhiều, nó rất phong phú và đa dạng. Bài thường cho 2 dữ kiện, cũng