Dạng 1. Bài tập chứng minh tỉ lệ thức. 1.1. Phương pháp chung: +) Thường thì ở dạng bài tập này, bài sẽ cho sẵn một số điều kiện nào đó và yêu cầu chứng minh tỉ lệ thức. +) Để làm xuất hiện tỉ lệ thức đã cần chứng minh thì chúng ta có thể biến đổi từ tỉ lệ thức bài cho hoặc từ điều kiện bài cho. Với tính chất các phép toán và tính chất của tỉ lệ thức hoặc tính chất của dãy tỉ số bằng nhau chúng ta có thể biến đổi linh hoạt điều đã cho thành điều cần có. +) Có nhiều con đường để đi đến một cái đích, hãy lựa chọn phương pháp phù hợp, hợp lí nhất trong khi chứng minh. +) Lưu ý: Trong quá trình biến đổi chứng minh nên luôn nhìn về biểu thức cần chứng minh để tránh tình trạng biến đổi dài, vô ích. 1.2. Một số ví dụ: Ví dụ 1. Cho 1 a c b d   Với a, b, c, d  0. Chứng minh rằng: a c a b c d    Đây không phải là bài toán khó đối với đa số học sinh, nhưng các em sẽ lúng túng khi lựa chọn cách làm bài toán này. Có rất nhiều cách để làm bài toán cơ bản này; tuy nhiên, ở đây Tôi xin được trình bày một số cách mà học sinh thường nghĩ tới và sử dụng trong quá trình chứng minh. Lời giải: Cách 1. Có: a c a b b d c d     a b a b a a b c d c d c c d         Hay a c a b c d    (Đpcm). Cách 2. Có: . . a c a d b c ac ad ac bc b d            a c d c a b    a c a b c d    (Đpcm). Cách 3. Có: ; a c m a mb c md b d      Khi đó:   1 1 a mb mb m a b mb b b m m          1 1 c md md m c d md d d m m        Do đó: a c a b c d    (Đpcm). Cách 4. Có: a c a b c d        a c d c a b     ac ad ac bc    . . a d b c  a c b d  là đẳng thức đúng nên a c a b c d    là dẳng thức thức đúng. Cách 5. Có: 1 1 a c b d b d b d a c a c         a b c d a d    Suy ra: a c a b c d    (Đpcm) Cách 6. Có: a c ad bc b d    Do đó:     a ad ad bc bc c a b d a b ad bd bc bd b c d c d            Vậy: a c a b c d    (Đpcm). Cách 7. Có: a c b d b d a c    Khi đó: 1 a b a b d c d a a a c c        Suy ra: a c a b c d    (Đpcm). Ví dụ 2. Cho a c b d  . Chứng minh rằng: 5 3 5 3 5 3 5 3 a b a b c d c d      Học sinh quan sát kĩ đầu bài sẽ phát hiện ra ngay cách làm; Có thể sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, nhưng phải biến đổi một chút đã: Lời giải: Có: 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 a c a b a b a b a b b d c d c d c d c d            Vậy: 5 3 5 3 5 3 5 3 a b a b c d c d      (Đpcm). Ví dụ 3. Cho a c b d  . Chứng minh: 2 2 2 2 a b ab c d cd    . Bài này có khó hơn một chút. Học sinh không biết làm thế nào để xuất hiện được a 2 và b 2 ; Nhưng bù lại thì các em biết tạo ra ab cd từ tỉ lệ thức bài cho. Chỉ cần gợi ý một chút xíu nữa là các em làm được ngay thôi! Em hãy so sánh: . ; . a a b b c c d d và ab cd ? Bây giờ thì các em đã biết phải làm như thế nào rồi! Lời giải: Có: 2 2 2 2 2 2 2 2 a c a b a b ab a b b d c d c d cd c d          Vậy: 2 2 2 2 a b ab c d cd    (Đpcm). Với cách tư duy trên, dễ dàng nghĩ ngay ra con đường đi cho bài tập không dễ sau: Ví dụ 4. Cho 1 a c b d    và c  0. Chứng minh rằng: a)     2 2 a b ab cd c d    b) 3 3 3 3 3 a b a b c d c d            Đã có bài tập ở ví dụ 3 thì học sinh không mấy khó khăn khi làm xuất hiện điều phải chứng minh. Lời giải: a) Có: a c b d   a b a b c d c d     Suy ra: . . a b a b a b c d c d c d      Hay:     2 2 a b ab cd c d    (Đpcm). b) Có: a c b d   a b a b c d c d     Suy ra: 3 3 3 a b a b c c c d                       Do đó: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b a b a b c d c d c d              Vậy: 3 3 3 3 3 a b a b c d c d            (Đpcm). Ngược lại với cách làm những bài tập trên, từ một đẳng thức phức tạp phải chứng minh đẳng thức đơn giản hơn thì các em tỏ ra bối rối khi làm bài. Ví dụ 5. Cho a+5 a-5 = b+6 b-6 . Chứng minh rằng: a b = 5 6 . Không mấy khó khăn để đơn giản biểu thức đã cho. Nhìn về điều phải chứng minh thì đưa a lên tử, đưa b xuống mẫu và làm “biến mất” những gì không cần thiết trong nháy mắt. Lời giải: Có: a+5 a-5 = b+6 b-6 suy ra: a+5 b+6 = a-5 b-6 = (a+5)-(a-5) (b+6)-(b-6) = (a+5)+(a-5) (b+6)+(b-6) Hay: a b = 5 6 (Đpcm). Ví dụ 6. Cho 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z). Chứng minh rằng: x-y 4 = y-z 5 . Hãy làm xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau trước đã. Từ 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) đưa về dãy tỉ số bằng nhau như thế nào? Lời giải: Có: 2(x-y) = 5(y+z) = 3(x+z) Suy ra: 2(x-y) 30 = 5(y+z) 30 = 3(x+z) 30  x+y 15 = y+z 6 = x+z 10 +) y+z 6 = x+z 10 = (x+z)-(y+z) 10-6 = x-y 4 (1) +) x+y 15 = x+z 10 = (x+y)-(x+z) 15-10 = y-z 5 (2) Từ (1) và (2) ta có x-y 4 = y-z 5 (Đpcm). Ví dụ 7. Cho 2 2 2 2 a b c d   = ab cd với a, b, c, d ≠ 0 và c ≠  d. Chứng minh rằng: a b = c d hoặc a b = d c . Đầu bài khó thật, nhưng các em sẽ phát hiện ra ngay đây là bài toán ngược của ví dụ 3. Làm theo quy trình ngược lại ư? Điều đó không đưa các em đến được với điều phải chứng minh. Vậy thì phải biến đổi như thế nào? Lúc này giáo viên vào cuộc bằng một gợi ý nhỏ: có thể biến đổi điều đã cho về hằng đẳng thức không? Lời giải: 2 2 2 2 a b c d   = ab cd = 2ab 2cd = a 2 +b 2 -2ab c 2 +d 2 -2cd = a 2 +b 2 +2ab c 2 +d 2 +2cd         2 2 2 2 a b a b c d c d       ( a+b c+d ) 2 = ( a-b c-d ) 2 Suy ra: a+b c+d = a-b c-d hoặc a+b c+d = - a-b c-d . +) Nếu a+b c+d = a-b c-d thì a+b c+d = a-b c-d = (a+b)+(a-b) (c+d)+(c-d) = (a+b)-(a-b) (c+d)-(c-d) a c = b d  a b = c d (1) +) Nếu a+b c+d = - a-b c-d thì a+b c+d = - a-b c-d = (a+b)+(b-a) (c+d)+(c-d) = (a+b)-(b-a) (c+d)-(c-d) b c = a d  a b = d c (2) Từ (1) và (2) ta có: a b = c d hoặc a b = d c . 1.3. Tiểu kết: Với dạng bài tập này, các em phải biết sử dụng linh hoạt kiến thức để tạo ra dãy tỉ số bằng nhau hợp lí, có thể kết hợp với mối quan hệ khác mà bài cho để đi đến điều phải chứng minh. Lưu ý học sinh khi sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau phải nhớ đặt dấu ngoặc, tránh nhầm dấu. Có nhiều cách để chứng minh một tỉ lệ thức nhưng cần lựa chọn cách nào phù hợp với khả năng và mức độ nhận thức của người học sao cho đơn giản mà lại dễ hiểu, dễ làm, dễ trình bày. Mặt khác, trong quá trình chứng minh phải luôn hướng về điều phải chứng minh nhằm tránh “lạc đường”, dài dòng không cần thiết, có khi lại không tới được đích cần đến. Còn bây giờ là lúc các em đã tự tin làm bài tập tương tự. 1.4. Bài tập tương tự: Bài 1. Cho b 2 = ac. Chứng minh: 2 2 2 2 a b a b c c    Bài 2. Cho b 2 = ac ; c 2 = bd với b, c, d ≠ 0; b+c ≠ 0; b 3 +c 3 ≠  d 3 . Chứng minh rằng: a) 3 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c d b c d                b) 3 3 3 3 3 3 a b c a b c d d      Bài 3. Cho a+b a-b = c+a c-a với a, b, c ≠ 0. Chứng minh rằng từ ba số a, b, c (có một số sử dụng 2 lần) có thể lập thành một tỉ lệ thức. Bài 4. Cho a b = c d với a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: a) 2 3 2 3 2 3 2 3 a b c d a b c d      b)     2 2 a b ab cd c d    c) 2 2 2 2 2 2 7 3 7 3 11 8 11 8 a ab c cd a b c d      d) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 10 17 3 10 7 5 7 5 a b ab c d cd a b ab c d cd          Bài 5. (Mở rộng) Cho a b = c d . Chứng minh: a) ma+nc mb+nd = pa+qc pb+qd b) ma+nb mc+nd = pa+qb pc+qd c) ma+nc pa+qc = mb+nd pb+qd d) ma+nb pa+qb = mc+nd pc+qd e) ma 2 +nb 2 +kab mc 2 +nd 2 +kcd = pa 2 +qb 2 +rab pc 2 +qd 2 +rcd f) ma 3 +nb 3 +ka 2 b pa 3 +qb 3 +ra 2 b = mc 3 +nd 3 +kc 2 d pc 3 +qd 3 +rc 2 d [...].. .Bài 6 Cho a b c = = Chứng minh rằng: b c d a+b+c 3 a a) ( )= b+c+d d Bài 7 Cho a 3  b3  c3 a  b3  c 3  d 3 d b) bz-cy cx-az ay-bx x y z = = Chứng minh: = = a b c a b c Bài 8 Cho a(y+z) = b(z+x) = c(x+y) với a ≠ b ≠ c và a, b, c ≠ 0 Chứng minh rằng: y-z z-x x-y = = a(b-c) b(c-a) c(a-b) Bài 9 Chứng minh rằng: Nếu a+c = 2b & 2bd = c(b+d) thì a c = với b, d b d ≠ 0 Bài 10 Chứng minh rằng:... nhiên lẻ c b d & a c =  nếu n là số tự nhiên chẵn b d Bài 15 Chứng minh rằng: a1 =(a1+a2+…+a2008 )2008 biết a1 = a2 = a3 = … = a2009 a2+a3+…+a2009 a2 a3 a4 a2008 a2009 Bài 16 Chứng minh rằng: Nếu ab a c a 2  b2 = thì = 2 2 cd b d c d Bài 17 Cho k, m, n  N* Chứng minh rằng: Nếu k2 = m.n thì k+m = k-m n+k n-k Bài 18 Cho a) a c = Hãy chứng minh: b d a c 3a+2c = = b d 3b+2d b) (a+2c).(b+d) = (a+c).(b+2d)... c-a Điều đảo lại có đúng không? Bài 11 Cho bốn số khác 0 là: a1, a2, a3, a4 thoả mãn a22 = a1.a3 và a32 = a2.a4 Chứng minh rằng: 3 a13  a2 3  a3 a  1 3 3 3 a2  a3  a4 a4 Bài 12 Chứng minh rằng: Nếu a c an  bn a n  bn = thì n n  n n với n  N b d c d c d Bài 13 Chứng minh rằng: Nếu a c a2 k  b2k a 2 k  b2k  2k thì = 2k 2k 2k b d c d c d a n  bn a n a c Bài 14 Từ ( ) = c n  d n với n... Cho a) a c = Hãy chứng minh: b d a c 3a+2c = = b d 3b+2d b) (a+2c).(b+d) = (a+c).(b+2d) c) ( a-b 4 a 4  b 4 ) = 4 4 c-d c d a b = biết rằng (a+b+c+d).(a-b-c+d) = (a-b+cc d Bài 19 Chứng minh: d).(a+b-c-d) 1 b a Bài 20 Chứng minh: = (Đây là cách rút gọn hỗn số) 1 b b a a 1 1 1 a+ a b b a b HD: = = = b 1 1 1 b+ b a a a . Dạng 1. Bài tập chứng minh tỉ lệ thức. 1. 1. Phương pháp chung: +) Thường thì ở dạng bài tập này, bài sẽ cho sẵn một số điều kiện nào đó và yêu cầu chứng minh tỉ lệ thức. +) Để. hiện tỉ lệ thức đã cần chứng minh thì chúng ta có thể biến đổi từ tỉ lệ thức bài cho hoặc từ điều kiện bài cho. Với tính chất các phép toán và tính chất của tỉ lệ thức hoặc tính chất của dãy tỉ. Bài 19 . Chứng minh: a c = b d biết rằng (a+b+c+d).(a-b-c+d) = (a-b+c- d).(a+b-c-d) Bài 20. Chứng minh: a 1 b b 1 a = a b (Đây là cách rút gọn hỗn số) HD: a b = 1 b 1 a = a+ 1 b b+ 1 a