TOÁN HỌC RỜI RẠC PHẦN 2 DISCRETE MATHEMATICS PART TWO NỘI DUNG 1. PHÉP ĐẾM a. Nguyên lý cộng, nhân & bù trừ b. Giải tích tổ hợp c. Nguyên lý Dirichlet d. Công thức đệ quy 2. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ a. Đại cương b. Đồ thị liên thông c. Đường đi ngắn nhất d. Cây khung trọng lượng tối tiểu e. Luồng cực đại 3. SỐ HỌC a. Lý thuyết chia hết b. Lý thuyết đồng dư 2 PHÉP ĐẾM (1) • NGUYÊN LÝ CỘNG, NHÂN, BÙ – A là một tập hợp, ký hiệu |A| bản số của A, trong trường hợp A là tập hữu hạn, |A| chính là số phần tử của A – |A ∪ B|=|A| + |B| -|A ∩ B| nếu A ∩ B = ∅ thì |A ∪ B|=|A| + |B| – |A x B| = |A| * |B| – B⊆A: |A – B| = |A| - |B| • GIẢI TÍCH TỔ HỢP – S là một tập hợp hữu hạn, |S| = m – Số các tập hợp con của S = 2 m – Số các tập con n phần tử của S (n ≤ m) = – Một bộ n phần tử cũa S: (a 1 , a 2 , …, a n ) ∈ S n số các bộ n phần tử của S = m n – Số các hoán vị của một dãy m phần tử = m! 3 !)!( ! nnm m n m − =         PHÉP ĐẾM (2) • CÁC VÍ VỤ – Trong một phòng họp có n người, mỗi người bắt tay với mỗi người khác đúng một lần. Số bắt tay? – Dùng n bit để biểu diễn nhị phân cho các số nguyên không âm, số số nguyên có thể được biểu diễn? – Có bao nhiêu số thập phân có 6 chữ số? Bao nhiêu số thập phân có số chữ số nhỏ hơn sáu? – Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho n người xung quanh một chiếc bàn họp tròn? Bây giờ giả sử ông chủ tịch cuộc họp được sắp ngồi ở một ghế xác định, có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho các người còn lại? – Có bao nhiêu dãy số nguyên dương, có tổng bằng n? – Có bao nhiêu dãy k số nguyên dương có tổng bằng n? – Có bao nhiêu cách phân phát n món quà (khác nhau đô một) cho k đứa trẻ? 4 PHÉP ĐẾM (3) – Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 các quân xe trong bàn cờ 8x8 sao cho không quân xe nào « bị tấn công »? – Cây nhị phân chiều cao h có nhiều nhất bao nhiêu nút lá? – Trong mặt phẳng, cho n đường thẳng đôi một cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy. n đường thẳng này chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền? – Cho n giác lồi, không có ba đường chéo nào đồng quy, các đường chéo của đa giác chia da giác thành bao nhiêu miền? 5 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (1) • CÁC ĐỊNH NGHĨA, KHÁI NIỆM Đồ thị (vô hướng) • G=(V, E), V = tập các đỉnh, E=tập các cạnh v 1 v 2 , v 1 , v 2 ∈ E • Đỉnh cô lập: đỉnh không có cạnh đi qua • Đỉnh treo: chỉ thuộc một cạnh duy nhất (cạnh treo) • Đa đồ thị: tồn tại nhiều hơn 1 cạnh nối hai đỉnh • đồ thị đơn: tồn tại nhiều nhất một cạnh nối hai đỉnh • Đỉnh kề: chung cạnh • Cạnh kề: chung đỉnh • Đồ thị đầy đủ: mọi cặp đỉnh (phân biệt) đều có cạnh nối • Đồ thị con: A⊆V, E A ={(v 1 , v 2 ) ∈ E | v 1 , v 2 ∈A}, G A =(A, E A ) • Đồ thị bộ phận: C ⊆ E, G C =(E, C) • Đồ thị bộ phận con 6 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (2) – BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ • Ma trận đỉnh-cạnh • Ma trận kề • Ma trận trọng số • Danh sách đỉnh kề – ĐƯỜNG ĐI & CHU TRÌNH • Đường đi: u, v ∈ V, u=v 0 , v 1 , …, v n =v sao cho v i v i+1 ∈ E • Đường đi sơ cấp: tập ∀i=0, …, n-1: v i ≠ v i+1 • Chu trình: v 0 = v n • Chu trình sơ cấp: ∀i=1, …, n-1: v i ≠ v i+1 – ĐỒ THỊ LIÊN THÔNG • Đồ thị vô hướng liên thông: ∀u, v ∈ V, ∃đường đi giữa u, v • Thành phần liên thông: • Giải thuật A1 • Đỉnh khớp, cạnh eo • Đồ thị liên thông bậc 2: Liên thông, bậc ≥ 3, không có đỉnh khớp • Giải thuật A2 7 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (3) Đồ thị có hướng • G=(V, C), V=tập các đỉnh, C=tập các cung (v 1 , v 2 ), v1, v2 ∈ E • Khuyên • Đỉnh cô lập • Đỉnh treo, cung treo: mút cuối của chỉ một cung • Nửa bậc trong (vào): d - (x) • Nửa bậc ngoài (ra): d + (x) • Bậc của đỉnh: d(x) = d - (x) + d + (x) • ω + (A) = { (i, j)| i∈A, j∉ A } • ω - (A) = { (i, j)| j∈A, i∉ A } • θ(A) = ω + (A) ∪ ω - (A) • Đa đồ thị, đồ thị đơn • Đỉnh kề, cung kề • Đồ thị có hướng đối xứng, phi đối xứng 8 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (4) – BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ • Ma trận đỉnh-cung: c=(v, .): M(v, c)=1, c=(., v): M(v, c)=-1 • Ma trận kề: (u, v) ∈ C: M(u, v) = 1 • Ma trận trọng số: (u, v) ∈ C, trọng số w: M(u, v) = w • Danh sách đỉnh kề – ĐƯỜNG ĐI & CHU TRÌNH • Đường đi: u, v ∈ V, u=v 0 , v 1 , …, v n =v sao cho (v i , v i+1 ) ∈ C • Đường đi sơ cấp: tập ∀i=0, …, n-1: v i ≠ v i+1 • Chu trình: v 0 = v n • Chu trình sơ cấp: chu trình & ∀i=1, …, n-1: v i ≠ v i+1 – ĐỒ THỊ LIÊN THÔNG • Đồ thị có hướng liên thông: đồ thị vô hướng tương ứng liên thông • Đồ thị có hướng liên thông một chiều: ∀u, v ∈ V, ∃đường đi từ u đến v hoặc từ v đến u • Đồ thị có hướng liên thông mạnh: ∀u, v ∈ V, ∃đường đi từ u đến v và ∃đường đi từ v đến u • Thành phần liên thông: quan hệ R={(u, u)| u ∈E}∪ {(u, v) | ∃đường đi từ u đến v và ∃đường đi từ v đến u} 9 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (7) • ĐỒ THỊ EULER – G=(V, E) hữu hạn, liên thông – Đường đi Euler, chu trình Euler – Đồ thị Euler, nửa Euler – Định lý Euler • Bậc mỗi đỉnh ≥ 2, đồ thị có chu trình • G là đồ thị Euler khi và chỉ khi bậc mỗi đỉnh là chẵn • G là đồ thị nửa Euler khi và chỉ khi G có không quá hai đỉnh bậc lẻ • G có hướng, liên thông mạnh là Euler khi và chỉ khi ∀x∈E: d - (x)=d + (x) 10 [...]... thông là Hamilton 11 ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT • • BÀI TOÁN GiẢI THUẬT MOORE-DIJKSTRA – (w(i), p(i)) – Điều chỉ w(i) và p(i) mỗi khi triển khai một đỉnh k • t= w(i) • w(i) = min{ w(i), w(k)+l(k, i) } • Nếu t > w(i): p(i)=k • DAG – Đỉnh gốc – Hạng của một đỉnh = đường đi dài nhất từ gốc 12 CÂY & CÂY CÓ HƯỚNG • Định nghĩa – Cây – Rừng • CÂY KHUNG TRỌNG LƯỢNG NHỎ NHẤT – Bài toán – Giải thuật Kruskal – Giải thuật... luồng: Tổng luồng trên các cung xuất ra từ s bằng với tổng luồng trên các cung thu vào tại t ∑ f ( s, v ) = ( s , v )∈ A ∑ f ( x, t ) = val ( f ) ( x , t )∈ A Được gọi là giá trị của luồng trên mạng – Bài toán luồng cực đại trong mạng: • Xác định luồng cực đại f (luồng có giá trị lớn nhất) max val(f) = ∑ f ( s, v ) = ( s , v )∈ A • ∑ f ( x, t ) ( x , t )∈ A LÁT CẮT VÀ SỰ TĂNG LUỒNG – Lát cắt: • G = (V,... d   • a1, a2, …, an nguyên tố sánh đôi [a1, a2, …, an] = a1a2 … an 21 SỐ HỌC (3) • SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ Số nguyên tố Hợp số p nguyên tố, n ≥ 0 thì p | n hoặc (n, p)=1 p | a1a2…ak thì ∃i / p | ai p | p1p2…pk thì ∃i / p = pi ∀n > 1, n phân tích thành tích của các số nguyên tố, sự phân tích đó là duy nhất (sai khác thứ tự nhân tử) α α α – Dạng phân tích chuẩn: n = p1 1 p2 2 pk k – – – – – – β β α α... trình 25 SỐ HỌC (7) • HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ BẬC NHẤT MỘT ẨN  x = a1 (mod m1 )  x = a (mod m )  2 2    x = an (mod mn )  – Nếu m1, m2, …, mn nguyên tố sánh đôi thì hệ có nghiệm duy nhất: • M=[m1, m2, …, mn ] = m1m2 … mn • Mi = M/mi (i=1, …, n) • Giải phương trình đồng dư Miy = ai (mod mi) (i=1, …, n) tìm được nghiệm: y = Ni (mod mi) • x=M1N1 + … + MnNn (mod M) là nghiệm của hệ 26 SỐ HỌC (8) •... f(u, x) = f(u, x) + σ(t) Nếu x có nhãn x : [-u, σ(x) ] giảm luồng trên cung (x, u) như sau: f(x, u) = f(x, u) - σ(t) • B6 Nếu x ≠ s, đặt x = u quay lại B5 khác đi xóa tất cả các nhãn, quay lại B1 19 SỐ HỌC (1) • • CHIA HẾT & CHIA CÓ DƯ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT, BỘI CHUNG NHỎ NHẤT – – – – Ưcln Nguyên tố cùng nhau Nguyên tố sánh đôi Các tính chất: • (a1, a2, …, an) = d ⇒ ∃x1, x2, …, xn / a1x1 + a2x2 + …+anxn=d... , n ) = 1 2 d d d d a a a • (a1, a2, …, an) = d thì ( 1 , 2 , , n ) = 1 d d d ( • Nếu c | ab , (a, c)=1 thì c | b • Nếu b | a , c | a , (b, c) = 1 thì bc | a • Nếu (a, b)=1 thì (ac, b) = (c, b) 20 SỐ HỌC (2) • Nếu (a, b)=1, (a, c)=1 thì (a, bc)=1 • Nếu a=pb + r (0 ≤ r < b) thì (a, b) = (b, r) – BCNN • [a1, a2, …, an] • ab [ a, b ] = ( a, b ) M M M , , ,  = 1 • M= [a1, a2, …, an] ⇔  an   a1 a2... tăng luồng P – Tồn tại lát cắt (X0, Y0): Val(f) = c(X0, Y0) • TÌM LUỒNG CỰC ĐẠI – Định lý Ford-Fulkerson: Giá trị của luồng cực đại bằng khả năng thông của lát cắt hẹp nhất 17 LUỒNG CỰC ĐẠI (4) – Thuật toán Ford-Fulkerson: • Gán nhãn: Mỗi đỉnh trong mạng thuộc vào một trong ba trạng thái: – Chưa được gán nhãn – Đã được gán nhãn nhưng chưa được duyệt – Đã được gán nhãn và đã được duyệt Nhãn của một đỉnh... sự phân tích đó là duy nhất (sai khác thứ tự nhân tử) α α α – Dạng phân tích chuẩn: n = p1 1 p2 2 pk k – – – – – – β β α α α d = p1β1 p2 2 pk k , d | n = p1 1 p2 2 pk k iff ∀i: 0 ≤ βi ≤ αi – 22 SỐ HỌC (4) • PHƯƠNG TRÌNH NGUYÊN – ax + by =c • d=(a, b) • Nếu d không là ước của c thì phương trình vô nghiệm • Nếu d | c thì nghiệm của phương trình có dạng: b t d Trong đó, x0, y0 là một nghiệm a (nguyên)... a2x2 + … + anxn =b x = x0 + • Phương trình có nghiệm (nguyên) iif các ai nguyên tố cùng nhau – Phương trình bậc cao • ĐỒNG DƯ – a = b (mod m) iif dư của phép chia a cho m = dư của phép chia b cho m 23 SỐ HỌC (5) – Quan hệ đồng dư là quan hệ tương đương – Các mệnh đề tương đương: • a = b (mod m) • a = b + mt • (a-b) = 0 (mod m) – Các tính chất: • ai = bi (mod m) i=1, 2, …, n thì (a1 + a2 + … + an ) = (b1... m)=1, a = b (mod m) iif ac = bc (mod m) • d = (a, b, m) thì (a/d) = (b/d) (mod (m/d)) • d=(a, b), (d, m)=1 thì (a/d) = (b/d) (mod m) • a = b (mod mi) i=1, 2, …, n thì a = b (mod [m1, m2, …, mn]) 24 SỐ HỌC (6) • a = b (mod m), d | m thì a = b (mod d) • a = b (mod m), d | a , d | m thì d | b • a = b (mod m) thì (a, m) = (b, m) • • VÀNH Zn PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ MỘT ẨN – ax = b (mod m) • d=(a, m) • Nếu d . TOÁN HỌC RỜI RẠC PHẦN 2 DISCRETE MATHEMATICS PART TWO NỘI DUNG 1. PHÉP ĐẾM a. Nguyên lý cộng, nhân &. – Số các tập con n phần tử của S (n ≤ m) = – Một bộ n phần tử cũa S: (a 1 , a 2 , …, a n ) ∈ S n số các bộ n phần tử của S = m n – Số các hoán vị của một dãy m phần tử = m! 3 !)!( ! nnm m n m − =         PHÉP. thị đấu loại là nửa Hamilton • Đồ thị đấu loại liên thông là Hamilton 11 ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT • BÀI TOÁN • GiẢI THUẬT MOORE-DIJKSTRA – (w(i), p(i)) – Điều chỉ w(i) và p(i) mỗi khi triển khai một