MẠCH BẬC HAI Chúng ta đã tìm hiểu các mạch đơn giản là mạch bậc nhất, chỉ chứa một phần tử tích trữ năng lượng (L hoặc C), và để giải các mạch này phải dùng phương trình vi phân bậc nhất. Phần này chúng ta sẽ xét đến dạng mạch phức tạp hơn, đó là các mạch chứa hai phần tử tích trữ năng lượng(L,C) và để khảo sát quá trình quá độ của mạch phải dùng phương trình vi phân bậc cao. Tổng quát, mạch chứa n phần tử L và C được diễn tả bởi phương trình vi phân bậc n. Để giải các mạch rất phức tạp này, người ta thường dùng đến phương pháp phân tích kinh điển hoặc phương pháp Biến đổi Laplace. Để đơn giản, chúng ta sẽ phân tích các mạch có chứa một tụ điện và một cuộn cảm, mắc nối tiếp hoặc song song; đó là các mạch bậc hai. I. Giải phương trình vi phân bậc hai I.1 Phương pháp tích phân kinh điển PP tích phân kinh điển là pp trực tiếp nhất để phân tích mạch điện tuyến tính (mạch chỉ chứa các phần tử tuyến tính R, L, C = hằng số). PP này là giải các phương trình vi phân mô tả mạch được xác lập nhờ các định luật Kirchhoff. Đối với mạch bậc hai chúng ta viết phương trình vi phân bậc hai mô tả mạch có dạng Công thức nghiệm của x(t) sẽ gồm 2 phần: một là nghiệm riêng x p (t) và một là nghiệm tổng quát x c (t), như sau: x(t) = x p (t) + x c (t) Trong đó, x p (t) là bất cứ nghiệm nào thỏa mãn phương trình vi phân đã cho, Còn x c (t) là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng, x c (t) có dạng Thay vào ta được: 2 2 0 ( 2 ) 0 st s s s Ke α ω ⇔ + + = Vì không thể bằng không nên chúng ta có Đây được gọi là phương trình đặc trưng (the characteristic equation). Cặp nghiệm của phương trình đặc trưng được cho bởi: Ta xác định hệ số tắt dần như sau: Cấu trúc nghiệm tổng quát sẽ phụ thuộc vào hệ số ζ (the damping ratio) Chúng ta có các trường hợp sau: 1. Overdamped case: . Cặp nghiệm của phương trình đặc trưng đều thực và phân biệt. Nghiệm tổng quát sẽ là: 2. Critically damped case: . Cặp nghiệm của phương trình đặc trưng đều thực và bằng nhau s1=s2 =s. Nghiệm tổng quát là: 3. Underdamped case: . Cặp nghiệm của phương trình đặc trưng là phức. Nghiệm tổng quát có dạng là: Đặc biệt, khi 0 α = , cặp nghiệm của phương trình đặc trưng là ảo nên có dạng điều hòa. VD: Phương trình mô tả điện áp đặt vào đầu tụ điện trong một mạch điện như sau: Với các giá trị R, L, C, Vs và các điều kiện đầu đã biết, tìm vC(t). I.2 Phương pháp biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace, một công cụ toán học giúp giải các phương trình vi phân, cụ thể là dựa trên phương pháp tích phân vòng của biến đổi Laplace; được sử dụng đầu tiên bởi Oliver Heaviside (1850-1925), một kỹ sư người Anh, để giải các mạch điện. Phép biến đổi thuận và ngược được xây dựng Laplace như sau: ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 pt j pt j F p s t e dt s t F p e dp j σ ω σ ω π ∞ − −∞ + − = = ∫ ∫ Hàm số F(p) được tính từ công thức biến đổi thuận Laplace kể trên gọi là hàm ảnh Laplace của s(t), còn s(t) gọi là hàm gốc của F(p). Các bước thực hiện: 1. Tính các biến đổi Laplace của các số hạng trong phương trình. Các điều kiện đầu được đưa vào 2. Thực hiện các phép toán đại số. 3. Lấy biến đổi Laplace ngược để có kết quả cuối cùng. Các đặc điểm cơ bản: - Các hàm gián đoạn trong không gian gốc được biến đổi thành liên tục trong không gian ảnh - Phép đạo hàm trong không gian gốc sẽ trở thành phép nhân với p trong không gian ảnh, còn phép lấy tích phân trong không gian gốc sẽ thành phép chia cho p trong không gian ảnh: 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) s t F p d s t pF p s dt s t dt F p s t dt p p −∞ ↔ ↔ − ↔ + ∫ ∫ - Các biến đổi tuyến tính của hàm gốc cũng tương ứng với hàm ảnh: 1 2 1 2 A.s( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t A F p s t s t s t F p F p F p ↔ = + + ↔ = + + - Phép dịch hàm gốc đi một thời gian τ sẽ tương ứng với phép nhân với p e τ − ( ) ( ) p s t e F p τ τ − − ↔ VD: Ta có phương trình mô tả trạng thái một mạch điện RLC nối tiếp như sau: 1 1( ) dI RI L Idt t dt C + + = ∫ Dùng phương pháp toán tử Laplace, chuyển sang phương trình trong không gian ảnh: 1 1 ( ) ( ) ( )RI p pLI p I p pC p + + = 2 1 2 1 1 1 ( ) 1 1 ( )( ) ( ) ( ) I p pR L p p p p p R pL L p pC C LC ⇒ = = = − − + + + + Với 2 2 1,2 2 2 1 1 ; ; 2 4 2 4 R R R R p L L LC L L LC α β α β = − ± − ≡ − ± = = − Tra bảng biến đổi Laplace, chúng ta tìm được nghiệm của không gian gốc: 1 2 1 2 1 1 ( ) . ( ) 2 p t p t t t t e e I t e e e L p p L α β β β − − − = = − − Bảng biến đổi Laplace II. Mạch RLC mắc nối tiếp với nguồn một chiều Đầu tiên, chúng ta biểu diễn công thức tính dòng điện trong mạch thông qua điện áp đặt vào hai đầu tụ điện: Rồi chúng ta viết biểu thức định luật KVL trong mạch: Chúng ta nhận được: Đặt 2 2 0 β α ω = − The damping ratio is defined as phụ thuộc vào các giá trị của R, L, C Giải phương trình vi phân nhận được để tìm vC(t). Sau đó, tìm biểu thức của dòng điện trong mạch i(t). Xét dòng điện trong các trường hợp với các hệ số khác nhau: 1. , nghĩa là β > 0 ta có 1 ( ) t i t e sh t L α β β − = , dòng điện trong mạch có dạng tắt dần. càng lớn thì dòng điện tắt dần càng nhanh. 2. , nghĩa là β = 0 thì 1 ( ) t i t e L α − = , ta có dòng điện trong mạch tắt dần tới hạn. 3. , nghĩa là β < 0, ta có thể viết β = jω n với 2 2 0n ω ω α = − Khi đó: 1 ( ) sin( ) t n n i t e t L α ω ω − = , dòng điện trong mạch là một dao động điều hòa có biên độ giảm dần theo thời gian (tắt dần chậm). càng nhỏ thì dòng điện tắt dần càng chậm. Đặc biệt, khi thì dòng điện trong mạch là một dao động điều hòa với biên độ không đổi. Example A dc source is connected to a series RLC circuit by a switch that closes at t = 0; C = 1µF, L =0.01H, Vs = 10V. The initial conditionals are i(0) = 0 and vC (0) = 0. Write the differential equation for vC(t) (or the current circuit I(t)). Solve for vC(t) if R = 1000�, 300Ω, 200Ω, 100Ω, 20�, 0�. clear % Clear work area of previous work syms vC vC1 vC2 vC3 vC4 vC5 vC6 i1 i2 i3 i4 i5 i6 t R L C Vs % names for symbolic objects must start with a letter % and contain only alpha numeric characters. %L=0.01H %C=1e-6µF %LC=1e-8 %w=1/sqrt(LC)=e4 %Vs=10; %We get ?=(R/2L) %The dampig ratio is ?= ?/w %We have equation: LC *(d^2* vC(t))/(dt^2) +RC (dvC(t))/dt+vC(t)=Vs vC=dsolve('L*C*D2vC+R*C*DvC+vC=Vs','DvC(0)=0','vC(0)=0') vC=subs(vC,[L C Vs],[1e-2 1e-6 10]) %And the current for the circuit: i(t) = C[(dvC(t))/dt] i =(1e-6)*diff(vC) %There are some cases: %Case 1, R=300 % ?= 1.5 > 1, this is the overdamped case vC1=dsolve('(1e-8)*D2vC+300*(1e-6)*DvC+vC=10','DvC(0)=0','vC(0)=0'); i1 =(1e-6)*diff(vC1); %Case R=1000 vC5=dsolve('(1e-8)*D2vC+1000*(1e-6)*DvC+vC=10','DvC(0)=0','vC(0)=0'); i5 =(1e-6)*diff(vC5); %Case 2, R=200 % ?= 1, this is the critically damped case vC2=dsolve('(1e-8)*D2vC+200*(1e-6)*DvC+vC=10','DvC(0)=0','vC(0)=0'); i2 =(1e-6)*diff(vC2); %Case 3, R=100 % ?= 0.5 < 1, this is the underdamped case vC3=dsolve('(1e-8)*D2vC+100*(1e-6)*DvC+vC=10','DvC(0)=0','vC(0)=0'); i3 =(1e-6)*diff(vC3); %Case R=20 vC6=dsolve('(1e-8)*D2vC+20*(1e-6)*DvC+vC=10','DvC(0)=0','vC(0)=0'); i6 =(1e-6)*diff(vC6); %Case 4, R=0 % ?= 0 < 1, this is the underdamped case vC4=dsolve('(1e-8)*D2vC+0*(1e-6)*DvC+vC=10','DvC(0)=0','vC(0)=0'); i4 =(1e-6)*diff(vC4); a=0:1e-7:2e-3; vC1=subs(vC1,t,a); i1=subs(i1,t,a); vC2=subs(vC2,t,a); i2=subs(i2,t,a); vC3=subs(vC3,t,a); i3=subs(i3,t,a); vC4=subs(vC4,t,a); i4=subs(i4,t,a); vC5=subs(vC5,t,a); i5=subs(i5,t,a); vC6=subs(vC6,t,a); i6=subs(i6,t,a); Vs=10*a/a; %We plot all voltages C of three cases in the same window plot(a,vC5,a,vC1,'k',a,vC2,'y',a,vC3,'c',a,vC6,'m',a,vC4,'g',a,Vs,'r') legend('Case R=1000','Case R=300','Case R=200','Case R=100','Case R=20','Case R=0','Vs = 10V') grid on title('vC(t)') xlabel('t(s)') ylabel('Voltages(V)') %We plot all currents for the circuit of three cases in the same window %Open a new figure for this plot figure plot(a,i5,a,i1,'k',a,i2,'y',a,i3,'c',a,i6,'m',a,i4,'g',a,0*a,'r') legend('Case R=1000','Case R=300','Case R=200','Case R=100','Case R=20','Case R=0','i=0') grid on title('i(t)') xlabel('t(s)') ylabel('Current(A)') Tương tự, chúng ta có thể xét các trường hợp khác nhau khi thay đổi giá trị R,L, C III. Mạch RLC mắc song song We write s KCL equation at the top node: This can be converted into a pure differential equation by taking the derivative with respect to time: Dividing through by the capacitance, we have We define the damping coefficient: the undumped resonant frequency: 0 1 2 L R C α ζ ω = =⇒ and the focing function: the differential equation can be written as Đến đây, chúng ta đi giải phương trình vi phân bậc hai với các điều kiện đầu đã biết và có thể biện luận các trường hợp xảy ra của điện áp hai đầu mỗi phần tử ứng với các trường hợp ζ khác nhau, tương tự như mạch RLC nối tiếp. Ứng dụng giải phương trình mạch bậc hai cơ bản bằng phần mềm Matlab clear% Clear work area of previous work syms vC t R L C Vs In vC1 vC2 % names for symbolic objects must start with a letter % and contain only alpha numeric characters. k=menu('RLC circuit?','series','parallel') %Now we substitute numerical values for the parameters a=input('R= ');%Ohm [...]... ylabel('Voltage(V)') if k==1 %Open a new figure for this plot figure %We plot the current circuit ezplot(i,[0 10/w]) grid xlabel('t(s)') ylabel('Current(A)') end VD: Ứng dụng Matlab giải bài tập 4.61 Mạch RLC nối tiếp, R = 80Ω, L = 2mH, C = 5µF; i(0+) = 0, vC(0+) = 0, Vs=50V Tìm vC(t) và i(t) Áp dụng tương tự, giải các bài tập 4.62 đến 4.66 . MẠCH BẬC HAI Chúng ta đã tìm hiểu các mạch đơn giản là mạch bậc nhất, chỉ chứa một phần tử tích trữ năng lượng (L hoặc C), và để giải các mạch này phải dùng phương trình vi phân bậc nhất song; đó là các mạch bậc hai. I. Giải phương trình vi phân bậc hai I.1 Phương pháp tích phân kinh điển PP tích phân kinh điển là pp trực tiếp nhất để phân tích mạch điện tuyến tính (mạch chỉ chứa. là giải các phương trình vi phân mô tả mạch được xác lập nhờ các định luật Kirchhoff. Đối với mạch bậc hai chúng ta viết phương trình vi phân bậc hai mô tả mạch có dạng Công thức nghiệm của x(t)