68 Chơng 6. dòng chảy ổn định đều 6.1. Mở đầu Trong chơng này xét dòng chảy ổn định (u/t = 0), có nghĩa là vận tốc tại một điểm không đổi theo thời gian. Đối với dòng chảy rối điều đó có nghĩa là vận tốc trung bình thời gian là không đổi theo thời gian. Dòng chảy cũng đợc coi là đều, có nghĩa là vận tốc không đổi theo hớng dòng chảy (u/x = 0). Một dòng ổn định đều trong lòng dẫn hở lăng trụ là dòng chảy với vận tốc không đổi và độ sâu nớc không đổi, trong khi mặt nớc song song với đáy, nh trong hình 6.1. Vận tốc dòng chảy và độ sâu nớc có thể xem nh những giá trị cân bằng. Vì xem xét dòng chảy của chất lỏng thực với độ nhớt , có sự tiêu tán năng lợng dòng chảy và không thể áp dụng phơng trình Bernoulli. Cột nớc tổng cộng H e giảm theo hớng dòng chảy. Mức giảm cột nớc tổng cộng H e trên đơn vị chiều dài L dẫn đến gradient năng lợng i e = H e / L và bằng gradient đáy hoặc độ dốc đáy i b sin. Nh vậy i e = i b . Hình 6.1. Dòng ổn định đều trong lòng dẫn hở Cột nớc lu tốc (VH), không đổi theo hớng dòng chảy là ( u là vận tốc trung bình mặt cắt ngang): g u VH 2 2 (6.1.1) với: A dAu uA 3 3 1 . (6.1.2) Cột nớc tổng cộng (h e ) so với mặt chuẩn nằm ngang là: 69 H e = z b + hcos + g u 2 2 . (6.1.3) Đối với độ dốc nhỏ cột nớc tổng cộng là: H e = z b + h + g u 2 2 . (6.1.4) Cao độ mặt nớc trên mặt chuẩn nằm ngang (z b + h) gọi là cao trình của dòng chảy. Năng lợng đặc trng (SE) trong một mặt cắt xác định bằng năng lợng trên đơn vị khối lợng chất lỏng so với đáy lòng dẫn: SE = h + g u 2 2 = h + 2 2 2gA Q (6.1.5) trong đó: Q = lu lợng, A = diện tích mặt cắt ngang. Phơng trình chuyển động đối với dòng ổn định đều tơng đối đơn giản và đợc thể hiện bằng công thức sức cản. Nhiều loại công thức sức cản sẽ đợc cho trong chơng này, trong khi cũng đa ra phân bố vận tốc trong dòng chảy phân tầng và trong dòng chảy rối. 6.2. Các lực chất lỏng và ứng suất trợt Những lực tác động lên một phần tử chất lỏng trên đơn vị bề rộng x của dòng ổn định đều đợc cho trong hình 6.2. Các lực áp suất thủy tĩnh F 1 và F 2 bằng nhau. Thành phần trọng lực theo hớng x là F g = gxy(h-z) sin. Cân bằng lực theo hớng x dẫn đến: z xy = gxy(h-z) sin z = g(h-z) sin. Vì sin i b , cho thấy: z = gi b (h-z). (6.2.1) Phơng trình (6.2.1) biểu thị phân bố ứng suất trợt tuyến tính theo độ sâu. Đối với z = 0 nó cho thấy ( z=0 = b ): b = ghi b . (6.2.2) Phơng trình (6.2.2) hợp lệ đối với một lòng dẫn rộng (b >> h). Trong trờng hợp một mặt cắt ngang tuỳ ý, cân bằng lực đối với một phần tử x của mặt cắt ngang A cho ta (xem hình 6.2): b x = gAx sin b = g(A/)i b = gRi b (6.2.3) trong đó: 70 A = diện tích mặt cắt ngang = chu vi ớt R = A/ = bán kính thủy lực b = ứng suất trợt tại đáy. Hình 6.2. Các lực chất lỏng Phơng trình (6.2.1), (6.2.2) và (6.2.3) hợp lệ đối với dòng chảy phân tầng và rối. Đối với mặt cắt ngang hình chữ nhật đơn giản (độ sâu = h, bề rộng = b) bán kính thủy lực là: R = bh/(b + 2h). (6.2.4) Đối với mặt cắt ngang hình chữ nhật rộng: R h. 6.3. Phân bố vận tốc trong lớp biên dòng chảy phân tầng 6.3.1. Mở đầu Lớp biên là lớp dòng chảy ở trên biên, trong đó vận tốc dòng chảy bị chậm lại bởi hiệu ứng của biên. Nói chung, lớp biên xác định theo khoảng cách từ mặt biên đến điểm mà tại đó u = 0,995u e với u e = vận tốc tại lớp ngoài. Trớc hết, ta thảo luận sự phát sinh lớp biên. Tốt nhất có thể trình diễn điều này bằng việc xét dòng chảy dọc theo một tấm phẳng trơn có chiều dài hữu hạn. Dòng chảy đến gần đợc giả thiết đồng nhất theo hớng thẳng đứng với vận tốc u e . Khi chất lỏng đạt đến chỗ bắt đầu của tấm phẳng, những ứng suất trợt lớn sẽ phát sinh ở bề mặt tấm phẳng. Những hạt chất lỏng tại bề mặt tấm phẳng bằng không và những hạt ở trên tấm phẳng bị chậm lại bởi 71 tác động của ứng suất nhớt trong chất lỏng. Khu vực dòng chảy bị chậm lại đợc gọi là lớp biên. Đối với khoảng cách hớng dọc nào đó, dòng chảy bên trong lớp biên là phân tầng. Hạ lu khu vực phân tầng, dòng chảy sẽ trở nên không ổn định và cuối cùng sẽ thành rối. Độ dày lớp biên tăng theo hớng dòng chảy. Trong khu vực rối, profil vận tốc đồng nhất hơn cùng với gradient vận tốc lớn gần mặt biên. Sự quá độ từ dòng chảy phân tầng đến dòng chảy rối phụ thuộc vào độ nhám của bề mặt tấm, vận tốc và mức độ rối của dòng chảy đến gần. Sự phát triển lớp biên có thể biểu thị theo (Cebeci và Bradshaw,1977): dòng chảy phân tầng: 50 5 , )( x u x e dòng chảy rối (trơn và nhám): 20 40 , )(, x u x e với x = khoảng cách từ mép của mặt biên. Lớp phân tầng trở nên không ổn định đối với u e = 2000, tơng đơng với u e x/ = 5 x10 5 . Dựa vào biểu thức đối với dòng chảy rối, khoảng cách phi thứ nguyên yêu cầu để nhận đợc bề dày lớp biên bằng độ sâu nớc ( = h) là x/ h = 3 ( u h/) 0,25 cho ta: x/ h = 50 đối với = h = 0,5 m và u = 0,2 m/s (trong máng thuỷ lực) x/ h = 200 đối với = h = 10 m và u = 1 m/s (tại hiện trờng). Trong mục sau ta xét profil vận tốc trong một dòng chảy phân tầng ổn định, có nghĩa là bề dày lớp biên phân tầng không đổi theo hớng dọc (bề dày lớp biên cân bằng). Hình 6.3. Sự phát sinh lớp biên 6.3.2. Phân bố vận tốc ứng suất trợt trong dòng chảy phân tầng là = du/dz. áp dụng phơng trình (6.2.1), thấy rằng: )( zhgi dz du b 72 dzzh gi du b )( . Tích phân cho ta: (u z=0 = 0): ) 2 1 ( 2 zhz gi u b z . (6.3.1) Phơng trình (6.3.1) biểu thị một profil vận tốc dạng parabôn với vận tốc lớn nhất u max = gi b h 2 /2 ở mặt z = h (xem hình 6.12). Vận tốc trung bình độ sâu là: 2 3 h gi u b . (6.3.2) 6.4. Phân bố vận tốc trong lớp biên rối 6.4.1. Đáy trơn và nhám Theo thủ tục Reynolds, ứng suất trợt tại độ cao z trong dòng ổn định đều có thể mô tả nh sau (xem phơng trình 5.4.47): '' wu dz du z . (6.4.1) Mặc dù vận tốc thẳng đứng trung bình thời gian w bằng không (w = 0), những dao động rối thẳng đứng không bằng không (w' 0). Nh vậy, ứng suất trợt do rối 0 '' wu t . áp dụng phơng trình (6.2.1) cho thấy: )( '' zhgiwu dz du bz . (6.4.2) Phần đầu tiên biểu thị ứng suất trợt do nhớt ( ); phần thứ hai biểu thị ứng suất trợt do rối ( t ). Phơng trình (6.4.2) mô tả một phân bố tuyến tính theo z, nh trong hình 6.4. Tuy nhiên, những phép đo chỉ ra rằng ứng suất trợt gần đáy hầu nh không đổi ( b ) trong một lớp có bề dày khoảng 0,1 h. ứng suất trợt do rối ( t ) chiếm u thế trong phần chủ yếu của độ sâu dòng chảy. Trong trờng hợp một đáy trơn, những ứng suất trợt do nhớt ( ) trở nên u thế ở sát đáy do những dao động rối u' và w' tắt hẳn gần đáy và bằng không tại đáy (u' = w' = 0 tại z = 0). Lớp có ứng suất trợt do nhớt chiếm u thế gọi là lớp con nhớt ( ). Phía trên lớp con nhớt là dòng chảy rối. Lớp con rối quan trọng nhất là lớp con dạng lôgarit. Về sau, sẽ chỉ ra rằng bề dày của lớp con nhớt khoảng = 5 /u * . Giữa lớp con nhớt và lớp con lôgarit có một lớp con quá độ, đôi khi gọi là lớp con đệm. Phía trên lớp con lôgarit có một lớp con ở phía ngoài (xem thêm hình 6.5). 73 Hình 6.4. Phân bố ứng suất trợt Hiệu ứng của độ nhám đáy (hoặc tờng) lên phân bố vận tốc trong dòng chảy rối đợc Nikuradse (1933) khảo sát lần đầu tiên cho dòng chảy trong ống. Ông sử dụng những cái ống đợc phủ bởi những hạt cát đồng đều ở phía trong và đo những phân bố vận tốc với những số Reynolds (Re), đờng kính ống (D) và kích thớc hạt (d 50 ) khác nhau. Dựa vào những thí nghiệm này, Nikuradse giới thiệu khái niệm độ nhám hạt cát tơng đơng hoặc độ nhám Nikuradse (k s ) nh một tiêu chuẩn đối với tất cả các loại phần tử nhám (k). Hình 6.5. Lớp con nhớt và rối đối với một đáy trơn Những phần tử nhám chủ yếu ảnh hởng đến phân bố vận tốc sát đáy, vì những phần tử nhám phát sinh những xoáy có kích thớc cùng bậc với những phần tử nhám, chúng ảnh hởng đến cấu trúc rối và do đó là những vận tốc sát đáy. Sau nữa, những xoáy sẽ nhanh chóng bị hấp thụ vào cấu trúc rối hiện có nói chung. Loại chế độ dòng chảy có thể liên quan đến tỷ số của độ nhám Nikuradse (k s ) và 74 quy mô độ dài của lớp con nhớt (/u * ). Dựa vào số liệu thực nghiệm, thấy rằng: 1. Dòng chảy trơn về thuỷ lực, đối với 5 / * * uk u k ss Những phần tử nhám nhỏ hơn nhiều bề dày của lớp con nhớt (xem hình 6.6) và không ảnh hởng đến phân bố vận tốc. 2. Dòng chảy nhám về thuỷ lực, đối với 70 / * * uk u k ss Lớp con nhớt không tồn tại và phân bố vận tốc không phụ thuộc vào độ nhớt của chất lỏng (hình 6.6). 3. Dòng chảy quá độ về thuỷ lực, đối với 70 / 5 * * uk u k ss Phân bố vận tốc bị ảnh hởng bởi độ nhớt cũng nh bởi độ nhám đáy. Trơn Nhám Hình 6.6. Dòng chảy trơn và nhám về thuỷ lực 6.4.2. Lớp con rối lôgarit ứng suất trợt do nhớt có thể bỏ qua trong lớp con này. Dựa vào đo đạc, giả thiết rằng ứng suất trợt do rối trong lớp này không đổi và bằng ứng suất trợt tại đáy ( b ). Nh vậy, '' wu b (6.4.3) '' / wu b . (6.4.4) Theo định nghĩa b = u 2 * dẫn đến: 2 * '' / uwu b . (6.4.5) 75 Lý thuyết quãng đờng xáo trộn của Prandtl Trong dòng chảy rối có những gói chất lỏng di chuyển từ lớp này sang lớp khác bằng những chuyển động xoáy, nh trong hình 6.7. Vận tốc chất lỏng trung bình thời gian trong lớp 1 lớn hơn trong lớp 2. Gói chất lỏng 1 trong lớp 1 có động lợng lớn hơn trong lớp 2. Khi gói chất lỏng 1 đến lớp 2 nó làm tăng tốc những gói chất lỏng trong lớp 2 bởi sự truyền động lợng của nó. Tơng tự, gói chất lỏng 2 trong lớp 2 có động lợng thấp hơn, làm chậm những gói chất lỏng trong lớp 1 khi vào đến đó. Tác động của gói chất lỏng 1 có thể xem nh tác động của ứng suất trợt 1 lên lớp 2 trong khi cố tăng tốc lớp 2. Tơng tự, tác động của gói chất lỏng 2 có thể xem nh tác động của ứng suất trợt 2 làm chậm dần lớp 1. Từ hình 6.7 có thể thấy rằng +u' liên quan đến w'. Tơng tự -u' liên quan đến +w. Prandtl (1875-1953) đa ra khái niệm quãng đờng xáo trộn, phát biểu rằng một gói chất lỏng đi hết chiều dài l trớc khi động lợng của nó đợc truyền đi. Prandtl cũng đề xuất: dz du lu ' và dz du lw ' . (6.4.6) Hình 6.7. Lý thuyết quãng đờng xáo trộn Thay phơng trình (6.4.6) vào phơng trình (6.4.3) dẫn đến: dz du dz du l b 2 . (6.4.7) Tơng tự nh đối với ứng suất trợt do nhớt = du/dz, phơng trình (6.4.7) có thể mô tả nh sau: dz du b (6.4.8) 76 trong đó: dz du l 2 = hệ số nhớt rối hoặc hệ số xáo trộn. Phơng trình (6.4.8) cũng gọi là phơng trình Boussinesq. Sau đó, Prandtl giả thiết rằng quãng đờng xáo trộn l tỷ lệ với khoảng cách đến đáy nh sau: l = kz (6.4.9) trong đó: k = hệ số tỷ lệ. Tham số k đợc gọi là hằng số Von Karman. Thay phơng trình (6.4.9) vào (6.4.7) dẫn đến: dz du dz du zk b 22 (6.4.10) 2 * 22 u dz du dz du zk (6.4.11) kz u dz du * . (6.4.12) Tích phân theo hớng z dẫn đến: 1 * ln Cz k u u z . (6.4.13) Phơng trình (6.4.13) biểu thị một phân bố vận tốc dạng lôgarit. Tham số k và hằng số tích phân C1 phải đợc xác định từ đo đạc. Đã thấy tham số k có giá trị là k = 0,4. Tham số C1 phụ thuộc mạnh vào những điều kiện dòng chảy sát đáy (dòng chảy trơn hoặc nhám về thuỷ lực). Phơng trình (6.4.13) cũng có thể biểu thị nh sau: 2 ** )ln( C zu k u u z . (6.4.14) Hình 6.8 cho thấy những vận tốc đo đạc. Một lớp lôgarit có thể quan sát đối với u * z/ > 30. Những đo đạc dòng chảy trong lòng dẫn hở cho thấy phân bố vận tốc lôgarit hợp lệ cho đến z = 0,2 h. Phơng trình (6.4.13) cũng có thể biểu thị nh sau: B k z k u u s z )ln( * (6.4.15) trong đó: k s = tham số nhám Nikuradse B = hằng số tích phân k = 0,4. 77 Hình 6.8. Phân bố vận tốc trong dòng ổn định đều trên một đáy trơn Dựa trên số liệu thực nghiệm dòng chảy trơn và nhám về thuỷ lực trong phạm vi 7,5 R/k s 250, Nikuradse tìm thấy: 55 1 ,)ln( * s k u k B đối với 5 * s u k (6.4.16) 58 , B đối với 70 * s u k . (6.4.17) Những phơng trình (6.4.16) và (6.4.17) đợc cho trong hình 6.9. Hình 6.9. Hằng số tích phân đối với dòng chảy trơn và nhám về thuỷ lực. Thay phơng trình (6.4.16) vào phơng trình (6.4.15) dẫn đến dòng chảy trơn về thuỷ lực: ) /, ln(,)ln( * *** u z k u z u k u u z 110 55 (6.4.18) Thay phơng trình 6.4.17) vào phơng trình (6.4.15) dẫn đến dòng chảy nhám về [...]... Sự lan truyền của một sóng nguyên tố Bỏ qua tổn thất năng lượng trên một khoảng cách nằm ngang nhỏ, cho thấy: c2 (c dc) 2 +h= + h + dh 2g 2g hoặc cdc + gdh = 0 (6. 6.2) Thay phương trình (6. 6.1) vào trong (6. 6.2) dẫn đến c (- c dh ) + gdh = 0 h hoặc c2 = gh, c gh (6. 6.3) Phương trình (6. 6.3) biểu thị vận tốc lan truyền của một sóng mặt nguyên tố Tỷ lệ của vận tốc trung bình độ sâu u và vận tốc lan... 1,4 06 ks 3,3 / u* 18( Ri)0,5 log( 2 12 R ) = 1,510 ks 3,3 / u* Q h 2 18( Ri)0,5 log( 12 R ) = 1,3 56 ks 3,3 / u* Giá trị h = 0,85 m này đủ chính xác Re = uR / = (1,37 x 0,3)/1 0 -6 = 4,11 x 105 ( 60 0, dòng chảy rối) u*ks/ = (0,0542 x 0,001)/1 0 -6 = 5,4 (chế độ quá độ) 6. 6 Dòng chảy trên phân giới và dưới phân giới 6. 6.1 Vận tốc lan truyền của một sóng nguyên tố Có thể xác định vận tốc c của một sóng nguyên. .. tạp Trong trường hợp mặt cắt ngang phức tạp với những giá trị ks khác nhau, như trong các hình 6. 16 A và B, sức cản dòng chảy có thể xác định bằng việc giả thiết rằng công thức Chezy hợp lệ trong từng phần của mặt cắt ngang và rằng gradient mặt nước bằng nhau trong mỗi phần Những ứng suất trượt trong mặt phẳng giữa các phần của mặt cắt ngang được giả thiết bằng không Hình 6. 16A,B Mặt cắt ngang phức tạp... trị q nhất định, như trong hình 6. 19 Phương trình (6. 6.8) có hai đường tiệm cận: h = He và h = 0 Mỗi đường cong có cột nước tổng cộng nhỏ nhất Hemin nhận được từ dHe/dh = 0, dẫn đến: dH e q 2 1 3 0 dh gh (6. 6.9) cho ta: h hc ( q 2 g )1 / 3 hoặc uc ghc trong đó hc là độ sâu phân giới (xem phương trình 6. 6 .6) 92 (6. 6.10) Hình 6. 19 Biểu đồ He - h Thay phương trình (6 6.10) vào (6. 6.8) dẫn đến ( = 1):... 0,11 Trơn u* đối với u* k s 5 u* k s 0,33ks đối với 5 70 u* k s 70 Nhám Hình 6. 11 Phân bố vận tốc trong dòng chảy trơn và nhám về thuỷ lực Hình 6. 12 Phân bố vận tốc trong dòng chảy rối và phân tầng (De Vries, 1985) Hình 6. 12 cho thấy phân bố vận tốc trong dòng chảy phân tầng (phương trình 80 6. 3.1) và dòng chảy rối đối với h/z0 = 10, 100, 1000 Profil vận tốc đồng nhất hơn đối với tham số h/z0... thấy được ở mặt tự do Vận tốc lớn nhất lớn hơn khoảng 10% đến 30 % vận tốc trung bình mặt cắt ngang ( u = Q/A), phụ thuộc vào độ nhám đáy và bờ bao, và hình dạng của mặt cắt ngang Như được thấy bằng các đo đạc cẩn thận trong phòng thí nghiệm, dòng chảy trong lòng dẫn lăng trụ thẳng là ba chiều với chuyển động xoắn nhỏ theo hướng ngang (xem hình 6. 14) 6. 5 Các công thức sức cản dòng chảy 6. 5.1 Công thức... (6. 5.20) Q2 A2i (6. 5.21) (6. 5.22) 6. 5.5 Các ví dụ Tất cả các ví dụ đều cho đối với một lòng dẫn có mặt cắt ngang hình tam giác (xem hình 6. 17) 88 Hình 6. 17 Lòng dẫn với mặt cắt ngang hình tam giác 1 Cho biết : i = 1 0- 3, h = 1 m, k s = 0,002 m, = 1 0 -6 m2/s Tìm Q = ? R = A/ = 1/ 2 2 = 0,354 m u*= (gRi)0,5 = (9,81 x 0,354 x 1 0-3 )0,5 = 0,0598 m/s u*ks/ = (0,0598 x 0,002 )/1 0 -6 = 118 ( 70 dòng chảy nhám về... (6. 4.13) từ phương trình (6. 4.7) bằng việc lấy quãng đường xáo trộn như sau: l = kz(1-z/h)0,5 (6. 4.23) thay cho l = kz Điều này nói lên một phân bố nhớt rối dạng parabôn l2 u du k 2 z 2 (1 z / h) * kz (1 z / h)u * dz kz (6. 4.24) Những phương trình (6. 4.23) và (6. 4.24) được cho trong hình 6. 10 Hình 6. 10 Quãng đường xáo trộn và phân bố nhớt rối 6. 4 .6 Phân bố tổng quát của vận tốc đối với dòng chảy. .. truyền C được gọi là số Froude Fr = u /c = u /(gh)0,5 Một sóng mặt nguyên tố không thể lan truyền ngược hướng dòng chảy khi u > c hoặc u gh 1 (6. 6.4) 91 Dòng chảy được gọi là: trên phân giới đối với u > c hoặc Fr > 1 dưới phân giới đối với u < c hoặc Fr < 1 phân giới đối với u = c hoặc Fr = 1 6. 6.2 Dòng chảy phân giới và độ sâu phân giới Dòng chảy gọi là phân giới khi năng lượng đặc trưng hoặc cột nước... cột nước tổng cộng là: He Q 2 2 gA 2 h (6. 6.12) Cột nước tổng cộng là nhỏ nhất khi (giả thiết = 1): dH e Q 2 dA 1 3 0 dh gA dh (6. 6.13) áp dụng bs = dA/dh = bề rộng dòng chảy tại mặt nước (xem hình 6. 1), thấy rằng: 93 2 u bs 1 0 gA hoặc uc gh (6. 6.14) trong đó: h A / bs = độ sâu trung bình Khi hệ số cũng được tính đến: uc gh (6. 6.15) )1 / 3 (6. 6. 16) Độ sâu phân giới: hc ( 94 Q 2 2 s gb . cho trong chơng này, trong khi cũng đa ra phân bố vận tốc trong dòng chảy phân tầng và trong dòng chảy rối. 6. 2. Các lực chất lỏng và ứng suất trợt Những lực tác động lên một phần tử chất lỏng. (6. 4.24) Những phơng trình (6. 4.23) và (6. 4.24) đợc cho trong hình 6. 10. Hình 6. 10 Quãng đờng xáo trộn và phân bố nhớt rối 6. 4 .6. Phân bố tổng quát của vận tốc đối với dòng chảy trơn và. 5 * s u k (6. 4. 16) 58 , B đối với 70 * s u k . (6. 4.17) Những phơng trình (6. 4. 16) và (6. 4.17) đợc cho trong hình 6. 9. Hình 6. 9. Hằng số tích phân đối với dòng chảy trơn và nhám về