61 62 Chơng 2 Mô hình hóa toán học sự lan truyền sóng trên những khoảng cách đại dơng ton cầu 2.1. bi toán tính sóng gió trong đại dơng với các tọa độ cầu Trong chơng 1 đã đa ra phát biểu tổng quát bi toán về sự tiến triển phổ sóng gió có tính tới nhiều nhân tố quyết định. Vì phát biểu tổng quát bi toán rất phức tạp, ở chơng ny ta sẽ xét những hiệu ứng độ cong mặt Trái Đất ảnh hởng tới nghiệm nh thế no. Giới hạn ở trờng hợp nớc sâu, đồng thời tính tới thực tế l độ sâu trung bình đại dơng lớn hơn nhiều so với bớc sóng sóng gió v sóng lừng. Trong chơng ny cũng cha tính tới ảnh hởng của các hải lu lên sóng. Nhận thấy rằng đa phần các mô hình sóng gió hiện đại (ở đây cha nói tới mô hình WAM [303] v một số mô hình tơng tự nó) dựa trên phơng trình cân bằng năng lợng sóng, trong đó dùng những tọa độ vuông góc thông thờng yxr , . Những bi toán loại ny giải trên mặt phẳng ngang, điều ny hon ton thích hợp khi xét những thủy vực tơng đối hẹp, nh các biển. Tuy nhiên, sẽ không ổn nếu sử dụng cách tiếp cận ny khi tính sóng ở đại dơng có kích thớc cùng cỡ với bán kính Trái Đất. Tính đến độ cong mặt Trái Đất trong trờng hợp ny có thể góp thêm một hiệu chỉnh nhất định vo tính toán sóng, nhất l tính lan truyền sóng lừng trên những khoảng không gian lớn , có thể vợt quá 180 trên vòng tròn lớn [355]. Dạng cầu của mặt đại dơng (ở đây không tính tới sai khác của mặt thực so với mặt cầu) dẫn đến sự phân kỳ hình học năng lợng sóng khác so với trờng hợp mặt phẳng. Điều đó lm biến đổi tốc độ giảm độ cao sóng khi truyền từ nơi phát sinh. Sự quay Trái Đất có thể ảnh hởng nhất định lên sóng v lm lệch quỹ đạo truyền khỏi đờng trắc địa. Tuy nhiên, nh trong công trình [201] cho thấy, những hiệu ứng ny đối với sóng gió nhỏ tới mức có thể hon ton bỏ quả. Nói chung, trên mặt cầu, tại cùng một điểm có thể quan sát thấy các sóng trực tiếp từ nguồn đi tới cũng nh các sóng đi vòng quanh hình cầu v trở lại điểm đang xét 'từ phía khác'. Thí dụ tình huống ny có thể xảy ra trong địa chấn học khi lan truyền các sóng Rayleigh. Với các sóng thủy động lực trên đại dơng thì điều ny bị loại trừ vì mặt nớc trên Trái Đất thực tế bị ngăn hon ton bởi các lục địa. Vì vậy trong bi toán ny chỉ ngụ ý những sóng trực tiếp tới từ nguồn (hình 2.1). Hình 2.1. Hình vẽ để thiết lập bi toán: },{ yx tọa độ vuông góc địa phơng; },{ tọa độ cầu; g c vectơ tốc độ nhóm; góc giữa vectơ sóng v trục x ; oo 21 , tại 0 biên giới của nguồn sinh sóng; 21 , những trị số giới hạn của góc nhìn tới nguồn tại điểm quan trắc. Phân bố góc của phổ ban đầu biểu hiện bằng hình cánh hoa Từ phát biểu tổng quát bi toán (1.86)(1.90) suy ra trong trờng hợp nớc sâu v vắng mặt dòng chảy, thì các giá trị số sóng k v tần số giữ nguyên không đổi dọc theo quỹ đạo truyền chùm sóng. Phơng trình bảo ton mật độ tác động sóng (1.84) có thể viết lại dới các thuật ngữ phổ tần số góc của 63 64 năng lợng ),( S . Nhờ mối liên hệ giữa mật độ tác động sóng v phổ năng lợng )/(),(),( kSkN , ta thể hiện phơng trình cân bằng năng lợng sóng dới dạng G SSS t S . (2.1) Lu ý rằng hm nguồn ),,,,( tG có tính chất địa phơng v, nh đã nêu trong chơng 1, có thể đợc mô tả bằng những tơng quan thông thờng, vẫn đợc sử dụng trong hệ tọa độ phẳng truyền thống. Còn vế trái của phơng trình, biểu thị bình lu năng lợng sóng, đợc xác định bằng dạng của bề mặt m trên đó sóng lan truyền. Trong tình huống đang xét, các chùm sóng chuyển động theo đờng trắc địa l khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm gần nhau trên bề mặt. Các phơng trình chuyển động của chúng (1.86)(1.88) có thể viết lại dới dạng phơng trình đờng trắc địa [51]: 0 j i m ij m qqq (2.2) trong đó k ij j ik i jk kmm ij z g x g z g g 2 1 những ký hiệu Kristoffel; q tọa độ tổng quát 21 qq , ; ik g độ đo Riman, cho trên mặt cầu. Xuất phát từ phơng trình (2.2), ta viết các phơng trình chuyển động của chùm sóng dới dạng: 02 2 1 2 sin ; (2.3) 02 2 sincos . (2.4) Trị số của góc có thể xác định theo hình chiếu của vectơ tốc độ chùm sóng g c lên đờng vĩ tuyến m nó cắt qua 2 222 cos cos cos cos g R . (2.5) Bằng cách tách các biến, những phơng trình (2.3) (2.4) có thể dễ dng tích phân v nhận đợc 2 0 0 2 1 2 1 sin arcsinsinarcsin tt R g ; (2.6) 1 arctg 1 arctg 2 0 2 0 22 0 /cos sin /cos sin , (2.7) trong đó 00 coscos . Những hằng số tích phân ở các phơng trình (2.6) v (2.7) đợc tìm từ các điều kiện ban đầu 0 , 0 tại 0 tt . Trên cơ sở tơng quan (2.5) có thể chứng minh rằng 00 coscoscoscos (2.8) tức khi truyền chùm sóng trên mặt cầu thì tích coscos giữ nguyên không đổi dọc quỹ đạo. Vậy, nếu chùm sóng truyền lên phía đông bắc từ vĩ độ 0 , nó cắt vĩ tuyến ny dới một góc )/( 2 00 , thì góc sẽ giảm đi v tại vĩ độ ]cosarccos[cos 00 có giá trị 0 0 . Sau đó chùm sóng bắt đầu truyền "về phía ngợc lại" v gặp vĩ độ xuất phát 0 dới một góc 0 , hớng về Nam bán cầu. Vĩ tuyến, m tại đó diễn ra sự quay ngợc tia sóng, có thể tỏ ra l một đờng tụ tia; sự đổi hớng chuyển động của chùm sóng diễn ra tơng ứng với nó. Sự thực thì có một sự quay ngoặt no cả. Hiệu ứng tạo ra do tính chất hình học của mặt cầu m trên đó chùm sóng đợc lan truyền dọc theo cung vòng tròn lớn của Trái Đất. Nh vậy, bi toán về tiến triển năng lợng sóng gió khi lan 65 66 truyền trên mặt cầu của đại dơng quy về việc tích phân phơng trình phổ (2.1) dọc các đờng đặc trng (2.6)(2.8) với những điều kiện biên v ban đầu tơng ứng cho trớc. 2.2. Chuyển sang hệ tọa độ địa phơng Ta sẽ xem phơng trình cân bằng mật độ phổ năng lợng (2.1) sẽ biến đổi nh thế no khi nó đang đợc viết với các biến ,, nay chuyển sang hệ tọa độ phẳng vuông góc địa phơng },{ yx thờng dùng trong các bi toán về sóng gió. Các tọa độ địa phơng },{ yx ở lân cận điểm },{ 00 đợc đa ra theo cách sau [77] (xem hình 2.1): 00 cosRx ; 0 Ry . (2.9) Khi đó dt d R dt dx cos , dt d R dt dy . Thay thế các biến (2.9) trong phơng trình (2.1), ta đợc G dt dS dt dy y S dt dx x S t S . (2.10) Từ phơng trình (2.10) thấy rằng nó trùng với phơng trình mật độ phổ viết cho trờng hợp phát biểu bi toán trong hẹe tọa độ phẳng vuông góc },{ yx , ngoại trừ số hạng thứ t ở vế trái. Nhờ biểu thức (2.8) có thể viết nó dới dạng S R yg dt dS cos 0 tg 2 . (2.11) Giá trị của biểu thức (2.11) có thể tích phân nh một ớc lợng sai số địa phơng, xuất hiện khi tính mật độ phổ năng lợng trong hệ tọa độ phẳng vuông góc },{ yx do cha tính tới độ cong mặt Trái Đất. Độ lớn của biểu thức ny đối với những quy mô không gian thời gian khu vực nhỏ hơn nhiều so với những số hạng khác ở vế trái phơng trình (2.10). Tuy nhiên, khi 2 0 // Ry biểu thức (2.11) có thể có những giá trị khá lớn v không nên bỏ qua. Vì hệ tọa độ địa phơng (2.9) đợc đa ra cho vùng lân cận bé của điểm },{ 00 , (tức khi 1/ Ry ), giá trị của số hạng (2.11) tăng mạnh ở lân cận các cực ( 2 0 / ), nơi đây do bỏ qua biểu thức (2.11) trong (2.10) sẽ xuất hiện những sai số lớn nhất. ở đây nảy sinh vấn đề về cách lm sao chọn tối u nhất phép chiếu mặt cầu lên mặt phẳng áp dụng cho những điều kiện bi toán ny. nét khác biệt thứ hai trong cách mô tả sóng thể hiện ở chỗ trong hệ tọa độ vuông góc },{ yx các đặc trng của phơng trình cân bằng phổ năng lợng thờng viết dới dạng [45]: cos 2 g dt dx ; sin 2 g dt dy . (2.12) Giá trị của góc chấp nhận không đổi dọc theo quỹ đạo truyền chùm sóng, tức 0 . Còn trong thực tế khi truyền sóng trên mặt cầu góc biến thiên tuỳ thuộc vo vĩ độ theo biểu thức (2.8), v không tính đến thực tế ny trong biểu thức (2.11) l một sai số bổ sung khi xác định giá trị của mật độ phổ trong hệ tọa độ địa phơng. Ước lợng biến thiên góc với gần đúng thứ nhất có thể biểu diễn dới dạng 00 tgctg . Giá trị ny đáng kể thậm chí đối với các vĩ độ trung bình v với những thủy vực tơng đối hẹp (thí dụ Hắc Hải 5 45 , v 5 ). Khi 0 0 , giá trị tăng lên v để ớc lợng cần sử dụng gần đúng bậc cao hơn. Hiệu ứng ny tăng cùng với tăng kích thớc thủy vực. Nh vậy lhi chuyển sang hệ tọa độ phẳng địa phơng sẽ xuất hiện những sai số do hai nguyên nhân. Nguyên nhân thứ 67 68 nhất liên quan tới sử dụng hệ quy chiếu mặt cầu lên mặt phẳng [19], thí dụ trong mô hình NEDWAM [227]. Nguyên nhân thứ hai l do góc biến thiên khi truyền chùm sóng trên mặt cầu m trong cách phát biểu địa phơng bi toán không tính đến. 2.3. Tính truyền sóng lừng trên đại dơng bằng phơng pháp các đặc trng Nghiệm đơn giản nhất của bi toán phổ xuất phát (2.1) trên mặt cầu có thể nhận đợc đối với phơng trình cân bằng năng lợng đồng nhất (2.1), tức trong trờng hợp hm nguồn có thể bỏ qua )( 0 G . Điều ny đúng khi truyền sóng lừng từ một vùng sinh sóng no đó, tại biên vùng đó cho giá trị của mật độ phổ năng lợng. Vậy ta xét bi toán sau với các điều kiện biên: 0 dt dS ; tStS ,,,,,,,, 0 0 . (2.13) Từ phơng trình (2.1) suy ra rằng mật độ phổ S giữ nguyên không đổi dọc theo quỹ đạo truyền chùm sóng. Nhờ các biểu thức (2.6) v (2.7) ta viết nghiệm bi toán (2.13) dới dạng . 1 sin arcsin 1 sin arcsin 2 , 1/cos sin arctg 1/cos sin arctg,,),,,,( 2 0 2 2 0 2 0 22 00 g R t StS (2.14) Ta sẽ thực hiện tính cụ thể nghiệm nhận đợc cho trờng hợp dừng 0/ tS v sẽ chấp nhận rằng mật độ phổ năng lợng sóng xuất phát không phụ thuộc vo thời gian, đợc cho dới dạng 0 0 0 2 0 10 4 0 00 0 khi 0 2 khi 3 8 HHS tS )()(sin)( ),,,( (2.15) trong đó )(H hm Hevisaide. Phát biểu bi toán nh vậy tơng ứng với tình huống tại vĩ tuyến 0 trên đoạn giữa hai kinh tuyến 21 cho nguồn mật độ phổ năng lợng sóng. Cực đại phân bố góc của năng lợng do nó phát ra hớng dọc theo kinh tuyến (về phía nam). Có thể cho rằng phát biểu bi toán nh vậy mô tả sự tiến triển của các tham số sóng lừng truyền trên Thái Bình Dơng v xâm nhập vo biển Bering dới tác động của trờng gió bắc liên tục (xem hình 2.1). Khi thế (2.15) vo (2.14) phải lu ý rằng giá trị của góc có thể giới hạn bởi điều kiện 01 2 0 0 2 cos cos cos sin . (2.16) Thực tế điều ny chỉ sự biến thiên của độ rộng của hình dải quạt phân bố góc của mật độ phổ năng lợng do độ cong của mặt truyền sóng. Vậy nếu nh tại một điểm no đó trên mặt năng lợng xuất phát của sóng nằm trong khoảng các góc 21 , ứng với hai cung vòng tròn lớn 1 O v 2 O , thì về sau năng lợng đã không phân tán theo ton mặt cầu, m vẫn nh trớc, giới hạn giữa hai cung 1 O v 2 O ny, ở ngoi sẽ quan sát thấy "vùng tối". Ngoi điều kiện (2.16) dải biến thiên mang năng lợng của 69 70 góc tại điểm tính toán sẽ bị giới hạn bởi sự hữu hạn của độ rộng nguồn tuyến tính (2.15) của mật độ phổ năng lợng, tức 12 . Giá trị 1 v 2 đối với điểm cụ thể },{ có thể tìm đợc nhờ kết quả giải phơng trình siêu việt (2.7). Ta biểu diễn mômen bậc không của phổ dới dạng 1 2 1 2 1 2 32 4 4 2 8 3 42 2 3 8 1 3 8 ( 0 4 4 0 2 2 0 00 2 2 0 2 2 00 )sin()sin( cos cos sin cos cos ~ cos cos cos ) m ddSddSm (2.17) trong đó 0 ~ m mômen không của giá trị biên phổ (2.15). Nhận thấy rằng trong bi toán ny chu kỳ trung bình của sóng tính theo mômen bậc hai )/( 02 2 mm sẽ trùng với giá trị của nó trên biên. Nếu rời điểm quan sát ra xa khỏi biên sẽ ảnh hởng tới sự biến đổi độ lớn của hm nằm trong cặp dấu ngoặc nhọn của biểu thức (2.17). Nó vừa biểu thị giá trị của mômen bậc hai lẫn giá trị của mômen bậc không. Bớc sóng trung bình, tính qua những mômen tơng ứng, có thể bị biến đổi. Để tìm biến thiên của độ cao sóng tơng đối 000 / ~ mmh đã xây dựng chơng trình tính, trong đó xác định bằng số trị giá trị của góc 1 theo tơng quan (2.7) cho trờng hợp 60 v )( 21 , khi 12 3 , sau đó tìm những giá trị số của biểu thức (2.14). Kết quả tính toán với những giá trị góc 0 (hay khoảng cách từ nguồn) khác nhau trong khi cố định độ rộng nguồn thể hiện trên hình 2.2. Tại đây cũng dẫn những kết quả tính với các giá trị khác nhau của độ rộng nguồn. Từ những kết quả nhận đợc thấy rằng: khi sóng lan xa dần khỏi nguồn v tiến dần tới xích đạo thì độ cao giảm, hơn nữa mức độ giảm sẽ mạnh nhất đối với các sóng đi ra từ những nguồn không trải di. Tuy nhiên sau đó, tức sau đờng xích đạo, cùng với sự tăng khoảng cách bắt đầu quan sát thấy sự tăng dần độ cao sóng. Hiệu ứng ny trở nên rất rõ nét đối với những nguồn trải di 9060 ( , đó l biểu hiện trực tiếp của độ cong mặt truyền sóng. Ta sẽ so sánh kết quả nhận đợc với nghiệm của bi toán tơng tự trên mặt phẳng, tức không tính tới độ cong mặt. Muốn vậy, ta sẽ kéo dãn tam giác với các đỉnh ),( 10 , ),( 20 , ),( , trong đó 2 21 /)( trên mặt phẳng sao cho độ rộng tuyến tính của nguồn v khoảng cách l từ nó đến điểm quan trắc ),( trùng với những điểm tơng ứng đã xét ở trên. Trong tình huống đó biểu thức cuối cùng của độ cao sóng tơng đối 1 h có thể dễ dng biểu diễn dới dạng giải tích 32 4 4 2 28 3 3 16 11 1 0 0 01 2 1 sinsin cos cos m m h , (2.18) trong đó cos 0 1 2 arctg . Dễ dng chứng minh rằng nghiệm (2.18) trên những khoảng cách l lớn xa nguồn có dạng tiệm cận 1 h l/1 , tức trong trờng hợp mặt truyền sóng phẳng, tại những khoảng cách lớn xa nguồn thì độ cao sóng giảm theo luật hình trụ. 71 72 Hình 2.2. Những giá trị tơng đối của độ cao trung bình dọc theo kinh tuyến ứng với một số kích thớc miền phát sinh nằm tại vĩ độ 60 0 : 1 1; 2 5; 3 15; 4 30; 5 60; 6 80 Kết quả tính bi toán mặt phẳng dới dạng tỉ số 10 / hh dẫn trên hình 2.3. Nh kết quả cho thấy: với những nguồn nhỏ ( )1 , tỉ số 10 / hh luôn lớn hơn đơn vị. Với những nguồn trải di )( 9015 có thể quan sát thấy tình huống ngợc lại, tức tại những khoảng cách tơng đơng với các kích thớc nguồn độ cao sóng trên mặt cầu giảm khá nhanh v có thể thnh nhỏ hơn so với trờng hợp mặt phẳng. Theo mức độ tăng kích thớc nguồn, khi kích thớc đó tơng đơng với bán kính Trái Đất, thì hiệu ứng ny tăng, tức tại những khoảng cách nhỏ kể từ nguồn năng lợng sóng "phát tán" ra các hớng khác nhau trên mặt cầu mạnh hơn so với trên mặt phẳng. Khi tăng khoảng cách, xuất hiện một điểm trên mặt cầu tại đó độ cao sóng đúng nh khi tính trên mặt phẳng, ngoi ra nếu kích thớc nguồn cng lớn thì điểm ny cng nằm xa nguồn hơn. Khi tiếp tục tăng khoảng cách, độ cao sóng trên mặt cầu trở nên lớn hơn so với trên mặt phẳng. Sự tăng độ cao sóng đợc giải thích nh sau: những thnh phần phổ, sau khi đi ra khỏi nguồn v truyền theo các cung vòng tròn lớn, sẽ tụ tập vo một điểm đối ngợc trục chính, tại đó các quỹ đạo của chúng giao nhau. Giá trị 10 / hh với những nhỏ (15) có thể xấp xỉ bằng mối phụ thuộc 2460 0 0 0 1 0 90 90 , h h 00 9090 , (2.19) nó cho thấy độ cao sóng tính toán trên mặt cầu khác bao nhiêu so với tính toán trên mặt phẳng. Nhờ so sánh các độ cao sóng tính toán có v khô ng kể đến độ cong Trái Đất đã đa ra đợc những ớc lợng định lợng cho biết kết quả sẽ biến đổi bao nhiêu trong trờng hợp ny hoặc trờng hợp kia. Thí dụ, khi sóng truyền từ phía bắc xuống phía nam ở Thái Bình Dơng, độ cao sóng có tính tới độ cong mặt đại dơng có thể gấp 2 lần độ cao tính theo mô hình mặt phẳng. Phải nhận xét rằng sự sanh sánh hai phơng pháp tính đợc thực hiện trong một phơng án thuận tiẹen nhất đối với mô hình phẳng, có nghĩa rằng ở đây đa ra ớc lợng "sai số dới", vì hớng truyền sóng về tổng thể trùng với kinh tuyến, kinh tuyến ny đợc lấy lm trục tọa độ thẳng đứng để tính toán theo mô hình phẳng. Vi sai của phép chiếu trụ mặt cầu lên mặt phẳng dọc theo kinh tuyến không xảy ra, còn phân bố góc của năng lợng đợc lấy khá hẹp. Trong trờng hợp tổng quát hơn, khi giải quyết bi toán luôn xuất hiện vấn đề chọn phép chiếu tối u mặt cầu lên mặt phẳng [19], vì trên mặt phẳng đó các tia truyền sóng không còn l những đờng thẳng nữa. 73 74 Hình 2.3. Tỉ số độ cao sóng 10 / hh với những giá trị khác nhau của tọa độ điểm quan sát . Các ký hiệu quy ớc 16 nh hình 2.2. Xấp xỉ (2.16) biểu diễn bằng đờng cong gạch nối Dới đây l một số dẫn chứng khẳng định những ớc lợng lý thuyết ở trên. Trớc hết phải lu ý rằng trong công trình ny xét bi toán dừng, nguồn sinh sóng đợc cho dới dạng đơn giản hóa v không tính tới tiêu tán sóng. Những dữ liệu quan trắc thực địa chứng tỏ về sự tiêu tán khá yếu với sóng lừng tần thấp trên đại dơng [45]. Thí dụ, trong công trình [267] đã ghi nhận rằng sóng lừng có thể đi qua thậm chí cả những vùng gió ngợc m gần nh không tắt dần. Còn về vấn đề có nên xét bi toán dừng với nguồn phát sinh sóng đợc cho dới dạng đơn giản hóa hay không thì phải nói rằng giả thiết đó khá thô thiển, ở đây chỉ đặt ra để lm sao dới dạng đơn giản nhất tìm hiểu ảnh hởng của độ cong mặt cầu tới sóng. Nếu không chú ý tới điều ny thì có thể lm sai lệch bức tranh quan sát đợc trong thực tế. Thông thờng, những vùng bão di chuyển, biến đổi với thời gian v có tính bất đồng nhất không gian. Những nguyên nhân ny, cộng với sự tản mát sóng, tức sự khác nhau về tốc độ truyền của các thnh phần phổ khác nhau, phải dẫn đến "lm phai mờ" một số hiệu ứng liên quan tới độ cong của mặt truyền sóng. ở đây phải lu ý đến một trong số không nhiều công trình [355] đề cập tới việc nghiên cứu sự lan truyền sóng lừng trên những khoảng cách ton cầu trong điều kiẹen tự nhiên. Trong thời gian hai tháng rỡi , sáu trạm sóng phân bố dọc theo cung vòng tròn lớn từ New Zealand đến Aliaska đã tiến hnh quan trắc sóng lừng ở Thái Bình Dơng. Những kết quả quan trắc nhận đợc rất tản mạn, nhng những giá trị lấy trung bình đã chứng tỏ rằng khi sóng lừng lan tới những khoảng cách không lớn lắm, tơng đơng với kích thớc vùng bão, thì độ cao sóng đã giảm rõ rệt. Với sóng tần số 0,07 Hz thì chỉ số giảm độ cao sóng (theo công thức 0 h l e , trong đó l quãng đờng đi qua) đợc ớc lợng bằng 17 m 101,2 . Khi sóng lừng tiếp tục truyền xa nữa, thì độ cao sóng thực tế không giảm v giá trị trung bình của chỉ số giảm không lớn hơn 17 m 102,0 . Ta sẽ so sánh các dữ liệu ny với những kết quả tính toán của chúng tôi trong công trình [355], trong đó chấp nhận kích thớc vùng sinh sóng bằng 2200 km, tơng đơng với kích thớc ngang của bão. Theo các dữ liệu của công trình ny, tại khoảng cách 1100 km cách biên bão, độ cao sóng bằng 0,79 giá trị xuất phát. Tại khoảng cách 1200 km, xấp xỉ khoảng cách giữa Aliaska v New Zealand, độ cao sóng bằng 0,63 giá trị xuất phát. Theo dữ liệu tính toán sóng trên mặt cầu của chúng tôi thì độ cao sóng tơng ứng bằng 0,82 v 0,65 giá trị xuất phát, trong khi kết quả tính sóng trờng hợp mặt truyền phẳng cho tuần tự 0,95 v 0,38. Thấy rõ rằngđộ cao sóng trên mặt cầu nói chung khá phù hợp với số liệu quan trắc thực địa. Những tính toán đã thực hiện 75 76 minh chứng về tầm quan trọng phải tính tới độ cong mặt Trái Đất trong bi toán tính sóng lừng ở đại dơng. 2.4. ớc lợng ảnh hởng của dòng chảy lên sóng ở quy mô ton cầu Trong chơng ny đã xét những hiệu ứng ảnh hởng của độ cong mặt cầu tới sự lan truyền sóng trong đại dơng. ảnh hởng của dòng chảy v nớc nông cha đợc tính đến. Điều ny hon ton dễ hiểu, vì trong phần lớn các trờng hợp ảnh hởng của những nhân tố ny lên sóng mang tính chất địa phơng. Những vấn đề ny sẽ xét chi tiết trong các chơng tiếp theo. Trong mục ny ta sẽ xét vấn đề về ảnh hởng lên sóng của các dòng chảy lớn quy mô ton cầu, có thể không có gradient tốc độ lớn, nhng phần đóng góp có thể tơng đơng với hiệu ứng mặt cong Trái Đất. Thí dụ điển hình về loại dòng chảy đó l hải lu Vòng Cực (hay nh ngời ta vẫn gọi dòng chảy Gió Tây); dòng chảy ny ảnh hởng tới sự lan truyền sóng ở đại dơng Nam bán cầu. Nó nằm ở khoảng 40 60S, có tính chất đới v hớng về phía tây. Lu ý rằng ngay trong công trình [355] đã thông báo rằng sóng bão gần Nam Cực ở Thái Bình Dơng biến đổi hớng của mình so với hớng tính toán trên bản đồ thời tiết. Trong công trình [330] mô tả rằng sóng đợc quan sát thấy ở nơi hon ton nằm trong vùng khuất. Ngay từ trong công trình của K. Kenion [298] đã có một ứng dụng lý thú với bi toán khúc xạ sóng trên nền dòng chảy, trong đó đã tính toán bằng giải tích các tia sóng trong trờng hợp thnh phần dòng chảy )(xV y phụ thuộc tuyến tính vo tọa độ x . K. Kenion đã giải thích những trờng hợp khúc xạ sóng trên dòng chảy v phác hoạ bức tranh lm sao dòng hải lu cận cực Nam Cực có thể tạo nên những dị thờng tơng tự. Tuy nhiên, ông giải bi toán trong hệ tọa độ phẳng v không tính tới quy mô ton cầu của dòng chảy. Hon ton rõ rằng, để xác định mật độ phổ tác động sóng trong trờng hợp chung nhất phải giải phơng trình (1.84) cùng với các phơng trình đặc trng (1.86) (1.90) viết với các biến cầu, v có thể thực hiện giải số. Tuy nhiên, trong một số tình huống đơn giản nhất, có thể ớc lợng ảnh hởng của dòng chảy quy mô ton cầu tới sóng bằng phơng pháp giải tích. Vậy ta xét trờng hợp nớc sâu, giả thiết tốc độ dòng chảy V dừng, có tính chất đới v biến thiên chỉ phụ thuộc vo vĩ độ VV 0, . (2.20) Xét các phơng trình đặc trng (1.86) (1.90) cho trờng hợp nớc sâu, có mặt dòng chảy dừng (2.20); trong trờng hợp ny ta viết lại dới dạng: R c dt d g sin ; (2.21) coscos cos R V R c dt d g ; (2.22) V R kV R k dt dk cossinsin cos 1tg ; (2.23) V R k kVc Rdt d g cos cos cos cos tg . (2.24) Tuy nhiên, thay vì giải trực tiếp các phơng trình (2.21) (2.24), một bi toán khá nặng, ta thử tìm các tích phân động lợng của hệ (2.21) (2.24). Điều ny cho phép đơn giản hóa việc xây dựng nghiệm tiếp theo. Lu ý rằng trong phát biểu bi toán hiện tại thì tọa độ l tọa tuần hon. Vì lý do đó, thnh phần xung tổng quát k (theo các phơng trình (1.59) v (1.70)) giữ 77 78 nguyên không đổi dọc theo quỹ đạo truyền chùm sóng, tức const k . Nhờ phơng trình (1.76) v (1.78), có thể viết tích phân động lợng sau đây, tức một đại lợng đợc giữ nguyên không đổi dọc theo quỹ đạo truyền chùm sóng: const Rkk /coscos . (2.25) Có thể nhận thấy ngay rằng tích phân động lợng ny l dạng khái quát hóa của biểu thức (2.8) đã nhận đợc cho trờng hợp vắng mặt dòng chảy. Tích phân động lợng thứ hai l sự giữ nguyên không đổi của tần số (1.90); có thể viết biểu thức ny, ứng với dạng biến thiên dòng chảy m ta đang xét, nh sau: cos kVgk . (2.26) Các biểu thức quan hệ (2.25) v (2.26) đủ để xác định số sóng k v góc dọc theo quỹ đạo chuyển động tuỳ thuộc vo biến thiên tốc độ dòng chảy )( V v vĩ độ . Nh vậy, thay vì giải hệ phơng trình (2.21) (2.24), chỉ cần giải các phơng trình (2.21) v (2.22); các biểu thức phụ thuộc (2.25) v (2.26) tham gia vo các phơng trình ny. Tuy nhiên, thậm chí hệ phơng trình đơn giản hóa ny không phải bao giờ cũng giải đợc bằng giải tích. Song dù sao thì các tơng quan (2.25) v (2.26) cũng cho phép tìm hiểu một loạt những quy luật biến dạng các yếu tố sóng trên dòng chảy. Nếu chùm sóng lan truyền dọc theo quỹ đạo, xuất phát từ điểm },{ 00 , nơi số sóng bằng giá trị 0 k , còn hớng vectơ sóng bằng 0 , đến điểm quỹ đạo },{ , thì só sóng k v góc có thể dễ dng tìm đợc nhờ các tơng quan (2.25) v (2.26): 2 2 1 cos )( R Vkgk ; (2.27) 2 2 1 cos )( cos cos R Vk R gk , (2.28) trong đó 000 coscosRkk . Các tơng quan (2.27) v (2.28) mô tả biến thiên của số sóng k v góc phụ thuộc vo vĩ độ v tốc độ dòng chảy V . Dòng chảy cùng chiều lm giảm số sóng (tức lm tăng bớc sóng) v độ lớn góc . Trờng hợp cụ thể, khi dọc theo quỹ đạo truyền chùm sóng m tốc độ dòng chảy biến đổi nh V cos , thì dòng chảy không có ảnh hởng gì tới sóng. Ta hiểu rằng đối với một số giá trị của các tham số quyết định thì giá trị tuyệt đối của vế phải (2.28) có thể trở thnh lớn hơn đơn vị. Với những giá trị nh vậy của vĩ độ v tốc độ dòng chảy )( V những sóng với các tham số v k không thể tồn tại. Giá trị tới hạn của tốc độ hạn chế vùng tồn tại của sóng, đợc xác định bằng tơng quan cos )cos( 2 1 R gk k R V (2.29) Với giá trị tốc độ dòng chảy bằng trị số đã nêu, thì góc nhận giá trị bằng không hoặc bằng , tình huống ny tơng ứng với sự truyền sóng song song với tốc độ dòng chảy * . Từ phơng trình các đặc trng (2.21) (2.24) có thể chỉ ra rằng khi chùm sóng đạt tới một điểm, m tại đó thoả mãn tơng quan (2.29), thì quỹ đạo chùm sóng quay ngợc lại. Vĩ độ của điểm ny có thể xác định từ các phơng trình (2.27) v (2.28) * Dấu cộng trong tơng quan (2.29) khi 0 ứng với các sóng truyền từ vùng cận Nam Cực tới xích đạo, dấu trừ các sóng truyền theo hớng ngợc lại. 79 80 V g V g Rg Vk 4 1 2 1 2 2 * cos (2.30) Khác với trờng hợp truyền sóng không kể tới ảnh hởng dòng chảy đã xét ở mục trớc, ở đây điểm quay ngoặt phụ thuộc không chỉ vo vĩ độ , m vo cả tốc độ dòng chảy. Với các sóngm ban đầu truyền về hớng nam v những giá trị nhỏ của tham số 1 gV / biểu thức (2.30) có thể biểu diễn bằng V g gk 2 1 2 00 coscos cos * (2.31) Với m/s 1 V v chu kỳ sóng s 11 , tức rad/s 5,0 , thì góc biến thiên bổ sung do do dòng chảy khoảng 10, tức điểm quay ngoặt sẽ dịch theo vĩ độ đi 1000 km về phía nam hay phía bắc tuỳ thuộc vo hớng của vận tốc dòng chảy (hình 2.4). Những ớc lợng ảnh hởng dòng chảy lên sóng nhận đợc ở mục ny chứng tỏ rằng khi truyền sóng hớng tây bắc do các gió tây v tây bắc phát sinh, dòng chảy gây nen sự phản xạ sóng, vì thế m chúng có thể không đạt tới bờ Nam Cực (xem hình 2.4). Nh vậy ở mạn phía bắc của đới ny phải quan sát thấy sự giao thoa các sóng tới v sóng phản xạ, lm tăng cờng độ sóng tại đó. Đồng thời do hiện diện của dòng chảy, hớng các sóng đông bắc sẽ truyền chệch khỏi cung vòng tròn lớn v xâm nhập mạnh mẽ hơn vo Nam Cực. Chi tiết hơn về bi toán biến dạng phổ sóng trên nền dòng chảy bất đồng nhất sẽ xét trong các chuơng tiếp theo. Trong mục ny chỉ đa ra đánh giá về mặt động học để thấy tầm quan trọng của việc tính tới dòng chảy, thậm chí chỉ l với các dòng chảy bất đồng nhất không gian gradient nhỏ, tới sự lan truyền sóng trên những khoảng cách ton cầu. ảnh hởng của dòng chảy tỏ ra tơng đơng với hiệu ứng độ cong mặt Trái Đất. Hình 2.4. Biểu diễn sơ đồ các tia truyền sóng ở đại dơng Nam bán cầu trong điều kiện dòng chảy Vòng Nam Cực: 1 điểm "quay ngoặt" tia khi vắng mặt dòng chảy; 2 điểm "quay ngoặt" tia khi có mặt dòng chảy . trình (2 .2 1) (2 .2 4), chỉ cần giải các phơng trình (2 .2 1) v (2 .2 2); các biểu thức phụ thuộc (2 .2 5) v (2 .2 6) tham gia vo các phơng trình ny. Tuy nhiên, thậm chí hệ phơng trình đơn giản hóa ny không. coscos cos R V R c dt d g ; (2 .2 2) V R kV R k dt dk cossinsin cos 1tg ; (2 .2 3) V R k kVc Rdt d g cos cos cos cos tg . (2 .2 4) Tuy nhiên, thay vì giải trực tiếp các phơng trình (2 .2 1) (2 .2 4), . hớng vectơ sóng bằng 0 , đến điểm quỹ đạo },{ , thì só sóng k v góc có thể dễ dng tìm đợc nhờ các tơng quan (2 .2 5) v (2 .2 6): 2 2 1 cos )( R Vkgk ; (2 .2 7) 2 2 1 cos )( cos cos R Vk R gk ,