39 bao trong nớc sâu bằng một nửa tốc độ đỉnh sóng, nên khoảng thời gian hai đỉnh sóng kế tiếp đi qua đỉnh đờng bao sẽ l hai lần chu kỳ sóng (xem hình 4.3). Nếu các sóng tại đỉnh đủ lớn để đổ, ta thấy khoảng thời gian giữa hai sóng đổ bằng T 2. Hiện tợng ny có thể quan sát thấy trong sóng bạc đầu (Donelan, LonguetHiggins v Turner, 1972). Chơng 3 - Khúc xạ do sự biến đổi chậm của độ sâu hoặc của dòng chảy Khi một chuỗi các sóng đơn phẳng lan truyền vo một vùng độ sâu b iến đổi chậm, số sóng có thể thay đổi theo độ sâu theo nh phơng trình (4.8), chơng 1, kết quả l lm thay đổi dần dần tốc độ pha. Nhìn chung, khoảng cách giữa các đờng đồng pha v biên độ của các đỉnh sóng hoặc chân sóng sẽ biến đổi từ nơi ny đến nơi khác. Những biến đổi tơng tự cũng có thể xảy ra khi các sóng lan truyền vo một vùng có nền dòng chảy với cờng độ thay đổi theo phơng ngang. Những hiện tợng ny, chủ yếu liên quan đến sự thay đổi tốc độ pha, đã rất quen thuộc trong quang học v âm học v đợc gọi l khúc xạ. Trong chơng ny, chúng tôi sẽ phát triển một phép xấp xỉ gọi l lý thuyết tia (hay lý thuyết quang hình học) về các hiệu ứng của độ sâu biến đổi (các mục 3.1 v 3.4) v của dòng chảy biến đổi (các mục 3.6 v 3.7) đối với sự lan truyền của các sóng biên độ nhỏ. Các phơng trình tiến triển sẽ đợc rút ra bằng một phơng pháp đợc gọi l WKB, một dạng đặc biệt của phơng pháp đa quy mô ( multiple-scales method). Thờng thì trong các bi toán thực tế, các phơng trình ny đợc giải bằng phơng pháp số, còn ở đây, thông qua một số thí dụ giải tích, chúng tôi muốn lm sáng tỏ một số khía cạnh vật lý từ những phơng trình ny. Trong phần ny, cũng chỉ trong phần liên quan đến hiệu ứng độ sâu biến đổi, chúng tôi sẽ đề cập ngắn gọn đến một số giải pháp cục bộ cần thiết khi phép xấp xỉ tia gặp khó khăn. Khi xử lý số trị với địa hình tự nhiên, khó khăn ny có thể khắc phục triệt để hơn bằng cách tính đến sự nhiễu xạ trong một phơng trình đợc gọi l phơng trình độ nghiêng nhỏ (mild slope equation), m chúng tôi sẽ rút ra trong mục 3.5. Những khía cạnh khác, chuyên hơn về toán học, không đề cập ở đây, độc giả có thể tìm xem trong các công trình hon hảo của Meyer (1979a) về độ sâu biến đổi v của Peregrine (1976) về dòng chảy biến đổi. 3.1 Phép xấp xỉ quang hình cho các sóng tiến trên nền đáy biến đổi đều Ta giả sử rằng bớc sóng điển hình nhỏ hơn nhiều so với qui mô biến đổi độ sâu phơng ngang. Có thể đa ra một tham số nhỏ nh sau: 1 << = kh h O . (1.1) Để cho tổng quát, ta cũng chấp nhận sự điều biến thời gian chậm. Theo Keller (1958), ta đa ra các toạ độ chậm: ttyyxx = = = ,, (1.2) Các phơng trình mô tả tuyến tính hoá trở thnh () () 0 0 2 <<=++ zyxh zzyyxx ,, , (1.3) 0 0 2 ==+ zg z tt , , (1.4) () ),(, yxhzhh yyxxz =+= 2 . (1.5) Bớc mấu chốt thứ hai của phơng pháp WKB l đa ra 40 phép khai triển sau đây với giả thiết các sóng l sóng tiến: [ ] +++= / )()( iS eii 2 2 10 , (1.6) trong đó ),,,( tzyx jj = với ,,, 210=j v ),,( tyxSS = . Cơ sở kinh nghiệm cho giả thiết ny l k hi biên độ sóng biến thiên theo các toạ độ chậm tyx ,, , thì pha biến thiên theo các toạ độ nhanh () 1 tyx ,, . Lấy vi phân trực tiếp, ta có == tttt i 22 )( { ++++= ))()(( 2 2 10 2 iiS t ++++ ) 10 )(()[( iSi tt ] ++ + + ) 2 10 ttt iS )(( } ++ / )()( iS tt ei 0 2 , [] [] ++ +++= / )( )( iS ei Si i 1010 , [] { [] [] [] } )( )()( )( )()( .)(. / ++ + +++ + + +++ +++= == iS ei Si SiS i Si i ii i 10 2 10 10 1 2 0 22 22 1 Ta định nghĩa: S=k , (1.7a) t S= , (1.7b) những đại lợng ny tuần tự đại diện cho vectơ số sóng địa phơng v tần số. Thế các phơng trình (1.7a,b) vo các phơng trình (1.3) (1.5) v tách biệt các bậc đại lợng, ta thu đợc tại bậc )(O 0 i : 0 0 0 2 0 <<= zhk zz , , (1.8) 0 0 0 2 0 == z g z , , (1.9) hz z == 0 0 , ; (1.10) v tại bậc )(O i : () 0 k 001 2 1 <<+= zhk zz ,k , (1.11) [] 0 0 0 1 2 1 = + = z gg tt z , )( , (1.12) hzh z == k 01 , . (1.13) Các phơng trình (1.8) (1.10) v (1.11)(1.13) xác định hai bi toán giá trị biên đợc mô tả bằng các phơng trình vi phân thờng. Nghiệm của hệ các phơng trình (1.8) (1.10) l: kh hzkigA ch ch 0 )( + = (1.14) với khgk th 2 = (1.15) Nh vậy, ),,( tyx v ),,( tyxk có quan hệ với độ sâu địa phơng ),( yxh thông qua quan hệ tản mát, nếu nh h l hằng số. Còn biên độ ),,( tyxA thì vẫn l tuỳ ý. Để thu đợc điều k iện về A , ta xem xét tính khả giải của 1 bằng cách áp dụng công thức Green [phơng trình (4.11), chơng 2] với * 0 v 1 . Sử dụng tất cả các điều kiện (1.8)(1.10) v (1.11) (1.13), ta đợc 41 [] [] { } .)( )()( * * h g dz hz z tt h += =+ = = k 1 2 0 0 0 0 0 0 000 kk Sử dụng quy tắc Leibniz bzaz a b a b fDbfDadzfDdzfD == += ))(())(( , (1.16) trong đó D có thể l x t , hoặc l y ; tích phân ở vế trái v thnh phần cuối của vế phải có thể kết hợp lại, cho kết quả [] = = + 0 0 2 0 2 0 0 1 h z tg dz k . Sử dụng các phơng trình (1.14) v (1.15), v các định nghĩa của E v g C [phơng trình (5.14) v (5.6), chơng 1), dễ dng thấy rằng 0= + E t C E g . (1.17) Trong cơ học cổ điển về nguồn dao động, một tỉ số tơng t ự giữa năng lợng v tần số đợc gọi l tác động (action) v đồng thời l bất biến hm khi các tính chất của nguồn dao động thay đổi chậm. Vậy /E l tác động sóng (wave action) v phơng trình (1.17) mô tả sự bảo ton của nó trong khi nó đợc vận chuyển đi với tốc độ nhóm. Một cách sơ lợc, hm pha của các sóng nớc biến đổi chậm đợc mô tả bằng phơng trình (1.15), với k v đợc cho bằng phơng trình (1.7). Nh vậy S đợc xác định bằng một phơng trình vi phân bậc một phi tuyến; phơng trình dạng ny trong quang học đợc gọi l phơng trình eikonal. Một khi đã tìm đợc pha, thì biên độ sẽ đợc giải từ phơng trình tác động sóng (1.7). Lu ý rằng, định nghĩa (1.7) có nghĩa l 0=ì k , (1.18) 0 =+ t k . (1.19) Dạng một chiều của phơng trình (1.19) 0 = + x t k (1.20) rất dễ lý giải ý nghĩa vật lý. Theo định nghĩa, k l số các đờng đồng pha trên một kh oảng cách đơn vị, tức mật độ của các đờng đồng pha . Cũng theo định nghĩa, l số các đờng đồng pha đi qua một vị trí cố định, tức thông lợng của các đờng đồng pha (flux of equal phase lines). Giữa hai điểm x v xdx + , số đờng đồng pha thực có (net rate of out-flux of phase lines ) bằng xd x )( , trong khi đó tốc độ giảm của các đờng pha trong khối đang xét bằng xd t k )( . Rõ rng, phơng trình (1.20) chính l luật bảo ton đỉnh sóng. Trong một số mục tiếp sau đây, chúng ta sẽ tập trung vo các sóng dạng sin thực sự v nghiên cứu một số thí dụ tơng tự nh trong quang học (Luneberg, 1964). Do việc suy diễn ra các phơng trình xấp xỉ đã đợc thực hiện, nên không cần thiết phải phân biệt các biến chậm với các biến vật lý. Tất cả các gạch ngang trên đầu các biến bây giờ sẽ đợc loại bỏ. Bi tập 1.1: Một đại dơng phân hai lớp với mật độ v , có đáy biến đổi chậm ),( yxhz = . Mặt phân cách tại 0=z , mặt tự do trung bình nằm tại hz = . Hãy thực hiện phép xấp xỉ rigidlid v phân tích một chuỗi sóng nội, tiến bằng phơng pháp xấp xỉ 42 WKB. Chứng minh rằng tại bậc dẫn đầu )(O 0 , năng lợng 2 2 1 AgE = với = , trong khi quan hệ tản mát v tốc độ nhóm tuần tự bằng: khhk kg cth cth 2 + = , + += )( khhhkh g C C g 22 2 csh csh 1 2 . Từ điều kiện khả giải tại )(O , hãy chứng minh rằng phơng trình (1.17) l đúng. 3.2 Lý thuyết tia cho các sóng dạng sin, nguyên lý Fermat Nếu các sóng ổn định, 0 = t/ , thì phơng trình (1.19) có nghĩa l const= . Bi toán ở đây liên quan đến các sóng dạng sin thuần tuý theo thời gian. Từ phơng trình (1.17), sự thay đổi biên độ đợc diễn tả bằng phơng trình 0= )( g EC . (2.1) Tởng tợng mặt phẳ ng y x đợc lấp đầy các vectơ số sóng k thay đổi cả độ lớn v hớng qua từng vị trí. Xuất phát từ một điểm cho trớc, ta vẽ một đờng cong tiếp tuyến với các vectơ k địa phơng tại mỗi điểm dọc theo đờng cong. Đờng cong nh vậy đợc gọi l tia sóng v nó luôn vuông góc với các đờng đỉnh sóng hoặc các đờng pha địa phơng const=S . Từ những điểm bắt đầu khác nhau có thể vẽ đợc các tia sóng khác nhau. Hai tia cạnh nhau lm thnh một kênh tia (ray channel). Xem xét một đoạn của kênh tia, chúng có độ rộng tại hai đầu l 0 d v d (hình 2.1). Tích phân phơng trình (2.1) dọc theo đờng khép kín tạo bởi các biên của đoạn kênh tia đang xét. Theo định lý phân kỳ của Gauss v thực tế l g C tiếp tuyến với tia sóng, thấy rằng, các dòng năng lợng qua hai đầu của đoạn kênh tia l nh nhau const 0 == )( dECdEC gg . (2.2) Do đó, biến thiên của biên độ dọc theo tia sóng tuân theo luật: 21 0 0 0 / )( = d d C C A A g g (2.3) trong đó tỷ số 0 dd / đợc gọi l nhân tố tách tia. Hình 2.1 Sơ đồ đoạn kênh tia v các đờng đẳng sâu Vấn đề bây giờ l tìm ra các tia, hay các đờng trực giao của chúng, tức chính l các đờng pha const=),( yxS . Khi các tia đợc định vị v biên độ sóng tại trạm 0 đã biết, thì biên độ tại bất kỳ điểm no dọc theo tia cũng có thể xác định đợc. Bình phơng phơng trình (1.7a), ta thu đợc một phơng trình vi phân phi tuyến đối với S : 2 2 kS = hay 2 2 2 k y S x S = + , (2.4) 43 vế phải của phơng trình sẽ biết đợc từ quan hệ tản mát. Phơng trình (2.4) gọi l phơng trình eikonal, phơng pháp chung nhất để giải phơng trình ny l phơng pháp các đờng đặc trng. Dới đây, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách tiếp cận đơn giản hơn. Giả sử )(xy đại diện một tia cụ thể; độ nghiêng của nó sẽ l x S y S dx dy y == . Từ phơng trình (2.4) suy ra: () xS k y 21 2 1 = + / v () y S y yk 21 2 1 = + / . Đạo hm của phơng trình thứ hai ở trên cho ta: () = + = + = + x S y S y S x S xy S y y S xy S y yk xd d 2 22 2 22 21 2 1 / 21 22 1 2 1 / )()( y y k x S S y + = = , hay () y k y y yk xd d 21 2 212 1 1 += + / / )( với () )(, xyxkk = . (2.5) Phơng trì nh (2.5) l một phơng trình vi phân thờng, phi tuyến đối với tia )(xy . Khi điểm ban đầu đã biết, thì đờng đi của tia có thể tìm bằng cách giải số trị. Trớc khi phân tích các thí dụ cụ thể, ta cần thiết lập sự phù hợp giữa phơng trình (2.5) v nguyên lý Fermat nổi tiếng, nói rằng: Nếu 0 P v 1 P l hai điểm trên một tia v = 1 0 P P sdkL (2.6) l một tích phân dọc theo một đờng dẫn cụ thể nối 0 P v 1 P , thì L l một cực trị nếu v chỉ nếu đờng dẫn đó trùng với tia. Từ phơng pháp của phép tính biến phân (xem Hildebrand, 1964, tr. 355), thấy rằng phiếm hm [] = 1 0 P P xdxyxyxFL )(),(, (2.7) sẽ cực trị khi v chỉ khi F thoả mãn phơng trình Euler sau đây: y F y F xd d = . (2.8) Nếu ta đặt += 1 0 212 1 P P xdykL / )( v xác định 21 2 1 / )( ykF += , thì phơng trình (2.5) chính xác l phơng trình Euler cho nguyên lý Fermat. Bây giờ ta thấy phơng trình eikonal v nguyên lý Fermat l hai cách diễn tả của cùng một sự vật. Ta sẽ xét một số trờng hợp thể hiện rõ ứng dụng của hình học tia. Thật ra, tất cả các trờng hợp đều có bản sao của mình trong quang học (Luneberg, 1964). 3.3 Các đờng đẳng sâu thẳng v song song 3.3.1 Hình dạng các tia Giả sử tất cả đờng đẳng sâu song song với trục y v do đó )(xhh = v )(xkk = . Phơng trình Euler (2.5) sẽ cho: 44 0 1 2 1 2 = + / )( y yk xd d , (3.1) có nghĩa l const 1 21 2 == + K y yk / )( . (3.2) Vì == + sin )( / sd yd y y 21 2 1 , (3.3) trong đó l góc giữa tia sóng v chiều dơng trục x , dễ dng thấy phơng trình (3.2) giống nh luật Snell nổi tiếng: 00 == sinsin kKk hay 0 0 CC = sin sin , (3.4) ở đây, 0 k v 0 tham chiếu đến một điểm biết trớc ),( 00 yx trên tia sóng. Giải ra y từ phơng trình (3.2), ta có 21 22 / )( Kk K xd yd = . (3.5) Kết quả trên cũng có thể thu đợc một cách đơn giản hơn. Thực vậy, phơng trình (3.4) chính l hệ quả của phơng trình (1.18) với 0 = y , trong khi phơng trình (3.5) nhận đợc từ định nghĩa hình học một tia: = cos sin k k xd yd . Phơng trìn h của tia sau khi tích phân sẽ l: [] = x x Kxk xdK yy 0 21 22 0 / )( . (3.6) Rõ rng rằn g, một tia chỉ tồn tại khi 22 Kk > . Mặt khác, do đờng pha sóng l trực giao với các tia, độ nghiêng của nó phải l: 21 22 1 / )( Kk K x d yd = . Phơng trình của đờng pha do đó l += x KkxdKy const 2122 / )( . Một kết quả tốt đã nhận đợc từ các phơng trình (3.5) v (3.6) cùng với việc không có giới hạn no cho )(xk . Các trờng hợp sau đây cho ta những ý tởng về sự đa dạng có thể xảy ra. Trờng hợp 1: Sóng phẳng tiến đến một dải đất hay một bãi biển Một sóng phẳng tới từ phía trái, x . Các tia tới song song v tiến đến một luống đất tại 0 0 <= xx với góc 0 . Vì kKk <= 00 sin ở mọi nơi, giá trị căn bậc hai 2/122 )( Kk luôn luôn l số thực, v do 0 >xdyd / , nên phải lấy dấu dơng trong các phơng trình (3.5) v (3.6). Khi h giảm, thì k tăng v xdyd / giảm; vậy, khi tia sóng vợt qua dải đất, trớc tiên nó dần dần tiến tới vuông góc với các đờng đẳng sâu. Sau khi đỉnh vợt qua, tia sóng không còn thẳng góc nữa. Các đờng dẫn tia đợc phác hoạ trên hình 3.1. Một trờng hợp tới hạ n, khi đỉnh của dải đất nhô cao hơn mực nớc trung bình, thì ở hai phía của dải đất l bãi biển. Xét một tia với 0 kk = tại 0 xx = đi tới từ phía trái với góc tới 0 . Tia tiến đến các đờng đẳng sâu v cuối cùng lao vuông góc vo đờng bờ vì k nếu 0h . Sự lựa chọn k dới đây theo Pocinki (1950) l mộ t mô hình đặc biệt đối với một bãi biển bắt đầu tại a x = v kết thúc tại đờng bờ bx = . ax k k <= ,1 0 , 45 bxa bx ba k k << = 1 1 0 , . Thế vo phơng trình (3.5), ta đợc () [] [] () {} bxa bxba babx dx dy >> = 111 11 21 22 0 0 , /)/(/)(sin )/(/)(sin / . Đặt b y b x ba == = 1 1 0 ,, / sin , khi đó phơng trình vi phân tia trở thnh () () 21 22 21 22 1 1 1 / / = = d d d v rất dễ tích phân, cho ta: 2 22 1 =+ )( c hay () 0 2 2 2 2 =+ sin )( )( ab yybx c Nh vậ y, các tia sóng l một họ các cung tròn có tâm tại bx = v c yy = . Tham số c y liên hệ với toạ độ 0 y tại đó tia sóng cắt đờng đẳng sâu tại a x = . Bằng cách đặt a x = v 0 yy = trong công thức cuối cùng, ta tìm đợc 00 ctg = )( abyy c . Hình 3.1 Tia sóng vợt qua một dải đất ngầm: a) Thay đổi của )(xk ; b) Tia sóng tới với min kkK =< 0 Trờng hợp 2: Bẫy sóng trên một dải đất Nếu minmax sin kkKk >=> 00 (hình 3.2a), thì các tia sóng chỉ có thể tồn tại trong vùng axb << , tại đó Kk > . Giả sử tia đó xuất phát từ 0 x với góc 0 , 20 0 /<< . Từ 0 x đến a , 0/ >dxdy v y đợc cho bằng phơng trình (3.6) với dấu dơng. Tia sóng tiếp cận điểm a x = v a yy = , ở đây += a x a Kk Kdx yy 0 2122 0 / )( Với trờng hợp đáy khá thoải, k có thể đợc khai triển thnh chuỗi Taylor tại lân cận a x = : + += a kaxKk ))(( 222 nếu () 0 22 =ax a kk )( , (3.7) tích phân ny l hữu hạn. Tuy n hiên, độ nghiêng dxdy / l vô hạn; do đó đờng a x = l đờng bao của tất cả các tia sóng v đợc gọi l một đờng tụ tia. Do sự cắt ngang của các tia lân cận, phơng trình biến thiên biên độ (2.3) không còn hiệu lực. 46 Trong mục 3.3.3 sẽ trình by về một cách xử lý tinh tế hơn đối với vùng lân cận điểm tụ tia. Phía sau điểm ),( 0 ya , 0 <xdyd / ; tia sóng quay ngợc lại v đợc diễn tả bằng phơng trình (3.6) với dấu âm cho đến khi nó đạt tới đờng bx = , đó l một điểm tụ tia khác bao tất cả các tia. Vậy l tia sóng uốn đi, uốn lại giữa hai điểm tụ tia trong khi tiến theo hớng chiều dơng của trục y (hình 3.2b). Không thể có các sóng điều ho đơn no với K nh trên nằm ngoi khoảng axb << . Hiện tợng ny đợc gọi l bẫy sóng. Hình 3.2 Bẫy sóng trên một dải đất: a) thay đổi của k khi sóng vợt qua dải đất; b) một tia bị bẫy với minmax kKk >> Nguyên nhân bên ngoi lm cho các sóng bị bẫy có thể l do các lực khí quyển tác động lên mặt tự do (khí áp hoặc gió). Với những giá trị cao của ) min kK >( sẽ không có một sóng đơn điều ho no ở ngoi dải đất. Theo cơ chế tuyến tính, thì không thể kích hoạt sóng dải đất bằng một sóng đơn điều ho từ bất kỳ phía no của dải đất. Trờng hợp 3: Máng ngầm Với một máng nối hai phía có độ sâu bằng nhau, )(xk thay đổi nh trên hình 3.3a. Nếu một sóng tới có == 00 sinkK min kK < 2 , nó sẽ đổi hớng, lúc đầu uốn cong về phía trục máng, sau đó rời xa trục máng v vợt qua máng về phía bên phải nh trên hình 3.3b. Tuy nhiên, nếu 1 KK = l đủ lớn, thì không tia no có thể tồn tại trong vùng Kk < v đờng 1 xx = , nơi 11 Kxk =)( l một điểm tụ tia. Tia sóng khi đó đó phải quay lại phía m nó xuất phát. Với min kk > 0 cố định, một giá trị đủ lớn của K có thể đạt đợc nếu góc tới 0 khá gần với 2/ . Tia tới khi đó tạo một góc nhọn cực nhỏ với các đờng đẳng sâu; hiện tợng ny gọi l lớt tới. Tại giá trị tới hạn min sin kk = 00 , tia tới trở thnh suýt soát song song với các đờng đẳng sâu. 3.3.2 Sự biến thiên biên độ Trong trờng hợp đơn giản ny, 0 = y/ v phơng trình (2.1) có thể đợc tích phân v ta đợc const 2 1 2 == coscos gg CAgEC . (3.8) Giả sử chỉ số ( ) 0 chỉ các giá trị tại độ sâu tham chiếu 0 h , khi đó tỷ số biên độ sẽ l: 21 00 0 / cos cos)( = g g C C A A = 21 0 0 0 2 sh21 2 sh21 / / )/( cos cos + + khkh khkh k k . (3.9) 47 Hình 3.3 Các tia sóng trên một máng ngầm Trong vùng nớc rất nông, 1>cos , 21/ )(ghCC g v () 41 21 0 0 / / )(cos ghC A A g , (3.10) vậy biên độ tăng khi độ sâu giảm. Sự phụ thuộc mũ 4/1 thờng đợc gọi l định luật Green. Kết hợp với bớc sóng giảm, ])([ / 21 hgk , độ dốc sóng sẽ tăng khi độ sâu giảm theo luật 4/3 hkA . Với độ sâu đủ nhỏ, giả thiết sóng biên độ nhỏ l cơ sở của lý thuyết sóng tuyến tính không phù hợp nữa v các hiệu ứng phi tuyến trở nên quan trọng. Với một bãi biển có độ nghiêng đáy không đổi, giả thiết 1 1 << khxdhd )/( đặc trng trong phơng pháp WKB cũng đổ vỡ hon ton. Trong những điều kiện cụ thể sẽ bn ở chơng 10, các sóng tiến có thể đổ ở vùng nớc rất nông. Với sóng tới đổ bộ vuông góc vo bãi biển phẳng, những thí nghiệm của Eagleson (1956) đã khẳng định phơng trình (3.9) đúng đến dải sóng đổ đầu tiên. 3.3.3 Lân cận đờng tụ tia Sự thiếu xót của phép xấp xỉ tia có thể dễ dng khắc phục ở lân cận đờng tụ tia. Dới góc độ các biến chậm đã định nghĩa trong phơng trình (1.2), ta đặt trục y trùng đờng tụ tia, các tia tới v phản xạ ở phí trái của đờng ny. Khi đó ở lân cận điểm 0=x , ta có thể xấp xỉ xKk 22 với 0> , (3.11) đảm bảo dxdk / không bị triệt tiêu tại 0=x . Suy ra 21 1 / )( xk = v 23 21 1 3 2 // )( xxdk = , (3.12) trong đó 1 k l thnh phần theo trục x của k . Theo phép xấp xỉ tia (3.9), ta có 4141 21 0 21 0 1 0 // / / )()( = = xx C K k kC AA x g g . (3.13) Mặt tự do ở phía trái của đờng tụ tia l + = 23 21 23 21 41 3 2 3 2 / / / / // )(exp)(exp)( xiRxiex yiK (3.14) trong đó số hạng thứ nhất trong dấu ngoặc nhọn l sóng tới v số hạng thứ hai l sóng phản xạ với biên độ phức R cha biết. Từ kết quả trên cho thấy biên độ tăng không giới hạn khi 0x . Do đó, một lý cục bộ hon thiện thêm cho vùng gần đờng tụ tia phải duy trì đạo hm bậc cao nhất của biên độ theo x . Thế biểu thức + = ti yKi kh hzkxXgi ch ch exp )()( (3.15) 48 vo phơng trình (1.3) v giữ lại các thnh phần chủ đạo v các đạo hm bậc cao nhất theo x , ta đợc 0 222 + XKkX xx )( . (3.16) Bây giờ thì ( 22 Kk ) sẽ đổi dấu tại 0=x , nhận dấu dơng khi 0<x , âm khi 0>x . Nghiệm sẽ l dao động khi 0<x v đơn điệu khi 0>x . Điểm 0=x trong phơng trình toán lý đợc gọi l một điểm ngoặt. Tính tới phơng trình (3.11), từ phơng trình (3.16), ta có 0 2 XxX xx . (3.17) Đây l một phép xấp xỉ tốt trong vùng 32 / )(O =x , có nghĩa l )(O / 31 =x . Với biến mới 3231 // = x , (3.18) phơng trìn h (3.17) trở thnh phơng trình Airy 0 = XX (3.19) có nghiệm tổng quát l )(Bi)(Ai += baX . (3.20) Hm Airy Ai đã đợc vẽ trong hình 1.5, chơng 2. Ta cũng biết rằng, với lớn ~,exp~)( // / 3 2 2 1 2341 21 Ai (3.21a) + ~,)(sin)(~ // / 43 21 2341 21 (3.21b) v ~,exp~)( // / 3 2 2 1 2341 21 Bi (3.22a) + ~,)(cos~ // / 43 21 2341 21 (3.22b) Nếu không có những đờng tụ tia khác hoặc các biên cứng khác trong vùng 0 32 >= / )(Ox , thì nghiệm )(Bi phải đợc loại bỏ; vậy = / )( yiK eAia . (3.23) Hệ số a v bi ên độ R của sóng phản xạ phải đợc tìm bằng cách xứng hợp phơng trình (3.23) với (3.14) với 1>> . Với phơng trình (3.21b) ta viết phơng trình (3.23) thnh + ì ì // / / / / / / / )(exp)(exp yik e i xi i xi x i a 23 21 23 21 41 32 31 21 43 2 43 2 2 (3.24) cho trờng hợp ~ . Phơng trình (3.14) v phơng trình (3.24) bây giờ cần đợc xứng hợp, do đó: 61421 2 /// )( = i eia , (3.25a) v 2 / = i eR . (3.25b) Với một sóng tới cho trớc tại 0 xx = , đã biết. Hệ số có thể tìm đợc ngay. Thật thú vị l biên độ lớn nhất bây giờ l hữu hạn v xuất hiện phía trớc đờng tụ tia. Sóng phản xạ có cùng biên độ nh sóng tới, nhng khác pha 2 1 . Đối với một rãnh ngầm có thể có hai đờng tụ tia song song. Nếu khoảng cách giữa chúng không quá lớn, thì hiệu ứng d của Ai( ) từ đờng tụ tia phía trái có thể xâm nhập sang đờng tụ tia phía phải, tạo ra sóng thấm qua. Việc xử lý tơng tự với đờng tụ tia bên phải cũng sử dụng cả Ai v Bi . Một trờng hợp khác, nếu 0 2 =xdkd / , còn 0 222 xdkd / sẽ phức tạp hơn nhiều, nhng về nguyên tắc vẫn có thể phân tích đợc bằng [...]... z= (6 .2 3) (6 .2 9) với ki Nh vậy, trên bề mặt tự do ta đợc điều kiện biên nh sau: (6 .2 8) trong đó v W ( xi , , t ) = W ( xi , z , t ) + W ( xi , z , t ) t t z t z= (6 .2 5) h . (1 .8 ) (1 .10 ) v (1 .11 ) (1 . 13 ), ta đợc 41 [] [] { } . )( )( ) ( * * h g dz hz z tt h += =+ = = k 1 2 0 0 0 0 0 0 000 kk Sử dụng quy tắc Leibniz bzaz a b a b fDbfDadzfDdzfD == += ) )( ( ) )( ( . zhk zz ,k , (1 .11 ) [] 0 0 0 1 2 1 = + = z gg tt z , )( , (1 .12 ) hzh z == k 01 , . (1 . 13 ) Các phơng trình (1 . 8) (1 .10 ) v (1 .11 ) (1 . 13 ) xác định hai bi toán giá trị biên đợc mô tả bằng các. 32 / )( O =x , có nghĩa l )( O / 31 =x . Với biến mới 32 31 // = x , (3 .18 ) phơng trìn h (3 .17 ) trở thnh phơng trình Airy 0 = XX (3 .19 ) có nghiệm tổng quát l )( Bi)(Ai += baX . (3 .20)