BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK - TOÁN CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN • BÀI 2: CHUỖI LUỸ THỪA • TS NGUYỄN QUỐC LÂN (3/2006) NOÄI DUNG - 1– TỔNG QUAN CHUỖI HÀM 2– CHUỖI LUỸ THỪA – BÁN KÍNH & MIỀN HỘI TỤ 3– CÔNG THỨC BÁN KÍNH HỘI TỤ 4– TÍNH CHẤT CHUỖI LUỸ THỪA 5– CHUỖI TAYLOR 6– KHAI TRIỂN HÀM THÀNH CHUỖI TAYLOR 7– CHUỖI LUỸ THỪA PHỨC TỔNG QUAN VỀ CHUỖI HÀM - Dãy số {un}, n = 1, …, un ∈ R ⇒ Chuỗi số Σun Dãy hàm {un(x)}, n = 1, …, x ∈ D ⇒ Chuỗi hàm Σun(x) Miền hội tụ: Tập hợp giá trị x để chuỗi số Σun(x) hội tụ VD: + x + x + … = Σx , x ∈ R n VD: ∞ ∑e n =0 nx ∞ VD: ∑ x n =1 n CHUỖI  Miền hội tụ đơn giản, dễ tìm LUỸ  Có thể đạo hàm, tích phân chuỗi b d  ∞   ∞   ∑ u n ( x )  =  , ∫  ∑ un ( x ) dx =  dx  n =0   a  n =0 THỪA ∞ ∑ an ( x − x0 ) n =0 n  Khai triển hàm f(x) thành chuỗi luỹ thừa CHUỖI LUỸ THỪA Chuỗi luỹ thừa Σ n=0 an(x – a)n, a0 , … an … ∈ R: hệ số Trường hợp đặc biệt: a = ⇒ Σ anxn: tâm x = VD: Nhận dạng chuỗi luỹ thừa, hệ số an chuỗi ( a) ∞ ∑1+ xn n =0 ∞ xn ∑ + x 2n n =1 ( b) ∞ ( − 1) n+1 ∑ 1+ n ( c) n =1 ∞ ( d ) + x + x2 +  + xn +  = ∑ xn n =0 ( e) ( x + 3) ( − 1) ( x + 3) +  = ∞ ( − 1) ( x + 3) − + + ∑ 2n + 2n + n =0 n ∞ ( f ) + 3x + x +  = ∑ ? x ? n =0 n n n 2x KHOẢNG HỘI TỤ CHUỖI LUỸ THỪA Abel: Chuỗi luỹ thừa Σ anxn (1) hội tụ x = x0 ⇒ Chuỗi (1) hội tụ (tuyệt đối) x với | x | < | x0 | Hệ quả: (1) phân kỳ x = x1 ⇒ phân kỳ x: |x| > |x1| x1 |x| > |x1|: phân kỳ −x0 |x| < |x0|: hội tụ x0 −x1 R |x| > |x1|: phân kỳ Σan(x – a)n (1) hội tụ x = a + x0 ⇒ (1) hội tụ (tuyệt đối) x với | x –a | < | x0 | Tương tự, (1) phân kỳ x = a + x1 ⇒ (1) phân kỳ x với | x – a | > | x1 | BÁN KÍNH HỘI TỤ -∞ Chuỗi luỹ thừa ( *) : ∑ an ( x − a ) = a0 + a1 ( x − a ) +  n n =0 Luôn ∃ số R (0 ≤ R ≤ ∞) – bán kính hội tụ:  (*) hội tụ tuyệt đối | x–a | < R ⇔ a – R < x < a + R  (*) phân kỳ | x–a | > R ⇔ x < a –R hoaëc x > a + R  đầu khoảng hội tụ x = a ± R: chưa kết luận Khoảng hội tụ a–R Phân kỳ a a+R Bán kính h/tụ Phân kỳ MIỀN HỘI TỤ Chuỗi luỹ thừa tâm 0: Σ anxn ⇒ Khoảng hội tụ | x | < R VD: Chuỗi luỹ thừa + x + x2 + … + xn + … = Σxn: R = ??? Miền hội tụ (MHT): Khoảng hội tụ | x – a | < R (chuỗi tâm 0: | x | < R) & Điểm biên khả nghi – khảo sát thêm: Tâm a: Σan(x–a)n MHTụ: Tâm 0: Σanxn MHTụ: [ a − R, a + R ] ( a − R, a + R ) [ − R, R ] ( − R, R ) [ a − R, a + R ) ( a − R, a + R ] [ − R, R ) ( − R, R ] R ? a−R a ? a+R R ? −R ? R CÔNG THỨC BÁN KÍNH HỘI TỤ - Chuoãi ∞ ∑ a ( x − a) n n =0 ∞ VD : ∑ n =1 ( − 1) ( x + 2) n n an +1 1 ⇒ = lim hoaëc = lim n an R n → ∞ an R n →∞ n n2 ∞ 1 +  x n VD : ∑   n n =1  n ⋅ 3n Điểm biên: t/chuẩn so sánh, Lebnitz, điều kiện cần  Không dùng D’Alambert Côsi xét biên  biên: Phân kỳ đk cần ⇒ Biên kia: Phân kỳ (đk cần)  biên: Hội tụ tuyệt đối ⇒ Biên kia: Hội tụ tuyệt đối ∞ ∞ xn n VD: Miền hội tụ chuỗi luỹ thừa ∑ x , ∑ , n=0 n =1 n ∞ xn ∑ n2 n =1 CHUỖI KHUYẾT LUỸ THỪA - ∀ N0 ∃ n ≥ N0 : an = ⇔ Khuyết luỹ thừa ∞ a2 n +1 = 0, n = 2k + x 2n x4 VD : ∑ = x + + ⇒  hoaëc an =  n =1 n 2 n , n = k a2 n = n Hướng giải thực tế: Đổi biến x n +1 x5 x7 VD : ∑ = x + + +  Đổi biến t = ??? n n =1 ∞ Chuỗi chứa luỹ thừa bậc chẵn → Đổi biến Chỉ luỹ thừa bậc lẻ: Áp dụng trực tiếp tiêu chuẩn D’Alambert hay Côsi cho chuỗi trị tuyệt đối Σ |an(x–a)n | TÍNH CHẤT CHUỖI LUỸ THỪA - Haøm f(x) = Σ anxn (1) với khoảng hội tụ (–R, R) (R > 0) Trên miền hội tụ: Hàm f(x) xác định liên tục Trong khoảng hội tụ (–R, R): Có quyền đạo hàm, lấy tích phân đoạn [α, β] ⊆ (–R,R) Đồng thời, đạo hàm tổng = tổng đạo hàm, tích phân Σ = Σ tích phân ∞ ∞ ∞ d  n n n −1  ∑ an x  = ∑ ( an x ) ' = ∑ nan x dx  n =0  n =0 n =1 β ∞ β ∞  n ∫  ∑ an x dx = ∑ α  ∫  n =0  n =0 α ∞ ∞ n =0 n =0 n n VD: Tính tổng chuỗi S ( x ) = ∑ x , S1 ( x ) = ∑ ( n + 1) x CHUOÃI TAYLOR – CHUOÃI MACLAURINT - Hàm f(x) có đạo hàm cấp x = a ⇒ Chuoãi Taylor: ∞ f ' '( a) f ( n) ( a) n f ( a ) + f ' ( a )( x − a ) + ( x − a) +  = ∑ ( x − a) 2! n! n =0 Hay gaëp: a = ⇒ Chuỗi Maclaurint hàm f(x): ∞ f ' ' ( 0) f ( n ) ( 0) n f ( ) + f ' ( 0) x + x + = ∑ x 2! n! n=0 VD: Chuoãi Taylor quanh a = hàm f ( x ) = x Định nghóa: DÀI! Khai triển Taylor (Toán 1) → Chuỗi! x VD: Viết chuỗi Maclaurint: a / e b / cos x c / sin x d / ln(1 + x ) PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN TAYLOR, MACLAURINT - Sử dụng khai triển (đã biết) hàm sơ cấp miền hội tụ chuỗi tương ứng Khai triển Mac – Laurint hàm R MHT ∞ x x3 xn xn e = 1+ x + + + + + = ∑ 2! 3! n! n = n! ∞ ℜ ∞ x2 x4 ( − 1) x n ( − 1) x n cos x = − + −  + + = ∑ 2! 4! ( n )! ( n )! n =0 ∞ ℜ ∞ x3 x5 ( − 1) x n+1 ( − 1) x n+1 sin x = x − + −  + + = ∑ 3! 5! ( 2n + 1)! n = ( 2n + 1)! ∞ ℜ ∞ ℜ x n n n n ∞ x2 x4 x 2n x 2n cosh x = + + +  + + = ∑ 2! 4! ( n )! n = ( n )! PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN MAC – LAURINT - Khai triển Mac – Laurint hàm baûn R MHT ∞ n = 1+ x + x +  + x +  = ∑ xn 1− x n =0 ( − 1,1) ( − 1,1) ∞ n n = − x + x −  + ( − 1) ⋅ x n +  = ∑ ( − 1) ⋅ x n 1+ x n =0 α ( α − 1) α ( α − 1)( α − ) ( + x ) = + αx + x + x + 2! 3! x2 ( − 1) n−1 x n +  = ∞ ( − 1) n−1 x n ln (1 + x ) = x − −  + ∑ n n n =1 α 1 ( − 1,1] Đưa f(x) tổng, hiệu, đạo hàm, tích phân hàm 1 1+ x g ( x) = ln K/triển chuỗi Mac – Laurint f ( x) = 2 1− x x − 4x + CHUOÃI SỐ PHỨC - Chuỗi số phức Σzn = Σ(an + ibn) = Σan + iΣbn hội tụ ⇔ Hai chuỗi số thực Σan Σbn hội tụ VD: Chứng minh hội tụ tính tổng chuỗi số phức sau: ∞  ( − 1) n  ∑  n + 3n i  n =0   Chuỗi số phức Σzn hội tụ tuyệt đối ⇔ Chuỗi số dương z = a + b2 Σ| zn| hội tụ | z |: môđun số phức z = a + bi ⇒ VD: Khảo sát tính hội tụ chuỗi số phức ∞ ∑ n =0 ( + i) n ne n CHUỖI LUỸ THỪA PHỨC Chuoãi luỹ thừa phức (1) Σanzn (an ∈ C) z R ⇒ (1) phân kỳ z >R Xác định bán kính hội tụ: Tương tự chuỗi luỹ thừa thực an +1 1 = lim = lim n an R n → ∞ an R n →∞ ∞ VD : ∑ ( z − i) n n ⋅ 3n ⋅ n n =1 Định nghóa hàm biến phức qua CLT: ez, cosz, sinz … Công thức Euler: eix = cosx + isinx ∀ x ∈ ℜ