CHƯƠNG PHÂN TÍCH CHUỖI THỜI GIAN 7.1 CẤU TRÚC CHUỖI THỜI GIAN Chuỗi thời gian chuỗi số liệu xếp theo trình tự thời gian Phân tích chuỗi thời gian nghiên cứu cấu trúc bên chuỗi với mục đích tìm kiếm phát qui luật biến đổi theo thời gian Nói chung chuỗi thời gian thường ẩn chứa nhiều thành phần khác Đối với q trình khí tượng, khí hậu chuỗi thời gian thường chứa đựng thành phần sau đây: Dao động ngẫu nhiên: Là biến đổi thăng giáng không phụ thuộc vào thời gian thành phần chuỗi Nhiễu động: Là biến đổi bất thường mang tính ngẫu nhiên, chúng tồn mối quan hệ chúng xuất sau khoảng thời gian định Dao động tuần hoàn: Là biến đổi biểu tính chất thẳng giáng có nhịp điệu đặn, người ta cịn gọi thành phần dao động nhịp điệu Dao động có chu kỳ: Là dao động biến đổi có tính lặp lại tương đối thường xuyên sau khoảng thời gian đặn Thành phần xu thế: Biểu xu hướng tăng giảm theo thời gian thành phần chuỗi Trong thực tế nghiên cứu người ta thường đồng thành phần dao động ngẫu nhiên với thành phần nhiễu động thành phần tuần hoàn với thành phần dao động có chu kỳ, đồng chắn khơng thoả đáng Tuy nhiên, có phân biệt đáng kể khái niệm chuỗi thời gian khí tượng chuỗi thời gian khí hậu Theo quan điểm khí tượng, hai trị số kế cận chuỗi thời gian cách giờ, kỳ quan trắc (3 giờ), 206 ngày, tháng chí giờ, khơng thiết phải năm Vì vậy, xem chuỗi thời gian khí tượng bao gồm thành phần: Dao động tuần hoàn ngày, tức biến đổi theo chu kỳ ngày Dao động tuần hoàn năm, tức biến đổi theo chu kỳ năm Xu dài năm Chu kỳ dài năm Dao động ngẫu nhiên Còn cấu chuỗi thời gian khí hậu chứa thành phần bản: Xu dài năm Chu kỳ dài năm Thành phần ngẫu nhiên 1) Xu dài năm: Minh hoạ xu dài năm dẫn hình 7.1 Đó biến đổi chuỗi số liệu có tính chất đơn điệu tương đối thường xuyên Tốc độ biến đổi chuỗi gần đồng Các trị số chuỗi có xu tăng dần giảm dần đến giá trị lớn nhỏ Tuy khơng thiết xu tuyến tính 2) Chu kỳ dài năm: Chu kỳ dài năm biến đổi chuỗi mang tính chất lặp lại giá trị sau khoảng thời gian định (hình 7.2) Mối tương quan thành phần chuỗi thường đạt trị số lớn xét tới hai thành phần cách số năm xấp xỉ với độ dài chu kỳ 3) Dao động ngẫu nhiên: Hình 7.3 minh hoạ tính dao động ngẫu nhiên chuỗi Đó biến đổi thường xuyên không ổn định Dấu chuẩn sai vài thành phần kế cận thường khác Biên độ động thường khơng q lớn nói chung xoay quanh giá trị trung bình Bởi giá trị trung bình coi chuẩn mực thăng dao động ngẫu nhiên Trong thực tế chuỗi thường tồn kết hợp hai (hình 7.4, 7.5) ba (hình 7.6) thành phần nói trên, thành phần ngẫu nhiên ln xuất 207 Nội dung tốn phân tích chuỗi thời gian bao gồm hai vấn đề phân tích xu phân tích chu kỳ Đó nội dung toán nghiên cứu biến đổi khí hậu mà ta nêu lên dạng tốn sau: x t Hình 7.1 Biến đổi xu dài năm Hình 7.2 Biến đổi chu kỳ dài năm a) Xu tăng; b) Xu giảm x x t t Hình 7.4 Kết hợp xu ngẫu nhiên Hình 7.3 Dao động ngẫu nhiên x x t t Hình 7.5 Kết hợp chu kỳ ngẫu nhiên Hình 7.6 Kết hợp thành phần Cho chuỗi thời gian {xt,t=1 n} đặc trưng yếu tố hậu Trên 208 sở phân tích cấu trúc thống kê chuỗi xác địng xu biến đổi dài năm tính dao động có chu kỳ đặc trưng yếu tố Tuy nhiên, thấy, chuỗi thời gian luôn chứa đựng thành phần dao động ngẫu nhiên Để phát xu biến đổi chu kỳ dao động, cần thiết phải lọc bỏ dao động ngẫu nhiên chuỗi Và vậy, xuất nhiệm vụ quan trọng tốn phân tích chuỗi thời gian lọc chuỗi hay làm trơn chuỗi 7.2 VÀI NÉT VỀ PHÂN TÍCH CHUỖI THỜI GIAN TRONG KHÍ TƯỢNG, KHÍ HẬU Việc phân tích chuỗi thời gian công cụ thống kê buộc phải chấp nhận giả thiết tính dừng q trình khí Tính dừng có nghĩa tính chất thống kê q trình q khứ bảo tồn cho tương lai Khái niệm ứng dụng phổ biến mơ hình thống kê dự báo thời tiết, khí hậu Đương nhiên ta không nên tin tưởng tuyệt đối vào trị số dự báo tương lai thông qua chuỗi số liệu quan trắc có q trình xét Chẳng hạn, từ việc phân tích chuỗi số liệu nhiệt độ (và có nhiệt độ mà thơi!) ta đưa giá trị dự báo tương lai, cảnh giác với độ xác dự báo Tuy nhiên, nhiều trường hợp giả thiết tính dừng lại tỏ hợp lý Có hai phương pháp tiếp cận phân tích chuỗi thời gian, phân tích chuỗi miền thời gian phân tích chuỗi miền tần số Về chất, xuất phát điểm phương pháp khác nhau, chúng khơng hồn tồn độc lập với mà bù trừ cho mặt biểu diễn tốn học Phương pháp phân tích miền thời gian tìm đặc trưng chuỗi số liệu dựa vào công cụ hàm tự tương quan (autocorrelation function) Phương pháp phân tích miền tần số biểu diễn biến đổi chuỗi số liệu hàm tần số dao động, qua làm xuất đóng góp hay tích luỹ lượng q trình quy mơ thời gian tần số đặc trưng khác 209 Đối với chuỗi số liệu mà xem chúng tập giá trị biến ngẫu nhiên rời rạc, phân tích miền thời gian thực sở khái niệm xích Markov Có thể hình dung xích Markov hệ thống trạng thái xảy liên thời gian Chuỗi trạng thái cần phải thoả mãn thuộc tính đó, gọi thuộc tính Markov Chẳng hạn, thuộc tính xích Markov bậc biểu diễn bởi: P(Xt+1/Xt,Xt-1, ,X1) = P(Xt+1/Xt) (7.2.1) Xi, i=1, 2, trạng thái hệ thống thời điểm i=1, i=2, , i=t, t thời điểm Biểu thức (7.2.1) hàm ý xác suất để hệ nhận trạng thái Xt+1 thời điểm t+1 phụ thuộc vào trạng thái hệ thời điểm t (Xt) Hay nói cách khác, xác suất trạng thái tương lai phụ thuộc vào trạng thái mà không phụ thuộc vào khứ Ví dụ, giá trị dự báo nhiệt độ tối thấp ngày mai phụ thuộc vào số liệu quan trắc ngày hơm nay, cịn số liệu quan trắc trước khơng có ý nghĩa cung cấp thông tin thêm cho việc dự báo Người ta gọi xác suất biểu diễn (7.2.1) xác suất chuyển trạng thái xích Markov, xác suất có điều kiện Mơ hình xích Markov cho biến rời rạc xét nhiều phương diện khác nhau, xích Markov bậc hay bậc cao, xích Markov hai hay nhiều trạng thái Ví dụ, ứng dụng xích Markov bậc hai trạng thái để khảo sát chuỗi kiện “có mưa” hay “khơng mưa” Các kiện diễn liên thời gian chúng mã hố trị số (khơng có mưa xuất hiện) (có mưa xuất hiện) Biến trạng thái hệ trường hợp biến nhị phân X={0, 1} Như vậy, theo tiến trình thời gian giá trị X chuỗi số Tức ta có, chẳng hạn, x1=0, x2=0, x3=1, x4=1, x5=0, ,xt=1 Với mơ hình bậc ta cần quan tâm đến xác suất để hệ nhận trạng thái thời điểm t+1 tương lai biết trạng thái hệ (xác suất chuyển trạng thái): P(Xt+1/Xt) Các xác suất chuyển trạng thái là: p00 = P(Xt+1 = 0/ Xt = 0) p01 = P(Xt+1 = 1/ Xt = 0) 210 p10 = P(Xt+1 = 0/ Xt = 1) p11 = P(Xt+1 = 1/ Xt = 1) Đối với biến liên tục, nhiệt độ, áp suất, lượng mưa, mơ hình xích Markov khơng phù hợp, ta liệt kê tất giá trị chúng Trong trường hợp này, thay cho xích Markov người ta sử dụng khái niệm mơ hình tự hồi qui, hay mơ hình Box-Jenkins Mơ hình đơn giản loại mơ hình tự hồi qui bậc (First order Autoregression - AR(1)) Đôi người ta cịn gọi mơ hình AR(1) q trình Markov hay sơ đồ Markov Thuộc tính Markov (7.2.1) trường hợp biểu diễn dạng: P(Xt+1 ≤ xt+1 / Xt ≤ xt, Xt-1 ≤ xt-1, , X1 ≤ x1)= P(Xt+1 ≤ xt+1 / Xt ≤ xt) (7.2.2) xt giá trị X thời điểm t Mơ hình tự hồi qui bậc chuỗi thời gian {xt} biến liên tục X biểu diễn dạng: xt+1 - μ = φ(xt - μ) + εt+1 xt xt+1 tương ứng giá trị chuỗi thời điểm t t+1, μ trung bình chuỗi, φ tham số tự hồi qui ε phần dư hay sai số Có thể hiểu mơ hình AR(1) phương trình hồi qui tuyến tính dự báo giá trị biến ngẫu nhiên X với yếu tố dự báo giá trị tương lai (thời điểm t+1) nhân tố dự báo giá trị X Giá trị thời điểm tương lai xt+1 X xác định hai thành phần: thành phần thứ hàm xt, thành phần thứ hai, εt+1, biến ngẫu nhiên mà thường giả thiết có phân bố chuẩn với kỳ vọng phương sai σ Trong thực tế, ε giả thiết tính dừng chuỗi thời gian, trung bình μ lấy trung bình số học chuỗi xem khơng đổi theo thời gian Ước lượng thống kê tham số tự hồi qui φ trị số hàm tự tương quan đối số khoảng thời gian hai thời điểm 7.3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI VÀ LỌC CHUỖI Trong nhiều trường hợp việc biến đổi chuỗi số liệu ban đầu chuỗi để từ tiến hành tính tốn, phân tích mang lại hiệu lý thú Chẳng 211 hạn, giữ nguyên số liệu ban đầu biến xét có tính bất đối xứng lớn, ta lấy lôgarit tất giá trị số liệu để nhận chuỗi số liệu chuỗi khơng thoả nãm tính đối xứng mà cịn tn theo luật chuẩn Thơng thường khí tượng, khí hậu người ta sử dụng phép biến đổi sau 7.3.1 Phép biến đổi luỹ thừa Phép biến đổi luỹ thừa thường áp dụng cho chuỗi số liệu bất đối xứng, nhận giá trị dương Ký hiệu số liệu ban đầu x, chuỗi biến đổi theo dạng thức: ⎧x λ ⎪ y = ⎨ln( x) ⎪ λ ⎩− x λ>0 λ=0 (7.3.1) λ τ max Trong tính tốn thực hành thay cho (7.6.26) (7.6.27) ta sử dụng công thức sau: πk m ~ ~ S x (ωk) = ∑ λ (iΔτ) R x (iΔτ) cos iΔτ π i=0 τ max (7.6.29) m ~ (ωk) = λ (iΔτ) ~ (iΔτ) cos πk iΔτ sx rx ∑ π i=0 τ max (7.6.30) Ở m = τmax/Δτ, Δτ bước thời gian chuỗi {xt}, ωk tần số góc dao động, ωk = πk , k = 1,2, ,m giá trị mật độ phổ τ max Nếu bước thời gian hai thành phần kế cận chuỗi đơn vị 236 (Δτ=1) ta có cơng thức tính sau (với giả thiết trung bình chuỗi 0): 1) Hàm tương quan hàm tương quan chuẩn hoá: n−k ∑ x x , k=0,1, ,m n − k t =1 t t + k (7.6.31) ~ ~ ~ ( k ) = R x ( k ) = R x ( k ) , k=0,1, ,m rx ~ R x (0) Dx (7.6.31') ~ R x (k) = 2) Hàm mật độ phổ mật độ phổ chuẩn hoá: πk m ~ ~ S x (ωk) = ∑ λ (i) R x (i) cos i , k=0,1, ,m π i=0 m m ~ (ωk) = λ (i) ~ (i) cos πk i , k=0,1, ,m sx ∑ rx π i=0 m Trong đó: (7.6.32) (7.6.32') ωk = πk , k = 1,2, ,m m πk ⎧ ⎪0.54 + 0.46 cos λ(k) = ⎨ m ⎪0 ⎩ k ≤ m k > m Khi tính hàm mật độ phổ, thông thường để nhận biết đỉnh phổ mà tương ứng với chu kỳ dao động chuỗi, người ta biểu diễn đồ thị với trục hồnh ωk cịn trục tung Sx(ωk) sx(ωk) 7.6.2 Đánh giá độ tin cậy đặc trưng phổ Ta biết rằng, mật độ phổ xác định từ chuỗi số liệu {xt} với dung lượng mẫu n định Do đó, mối quan hệ dung lượng mẫu n, độ dịch chuyển cực đại τmax bước thời gian Δτ vấn đề cần xem xét Thông thường, chuỗi thời gian khí tượng thuỷ văn có Δτ nhận giá trị năm, tháng, tức ta xem Δτ =1 (đơn vị thời gian) 237 Với dung lượng mẫu n cố định, ta chọn τmax lớn làm tăng độ phân giải mật độ phổ, tức cho phép tách nhiều đỉnh phổ Nhưng độ ổn định thống kê hàm tương quan Rx(τ) không đảm bảo, dẫn đến sai số tiềm ẩn mật độ phổ nhận Nếu chọn τmax bé để đảm bảo độ tin cậy hàm tương quan độ phân giải mật độ phổ tính giảm đi, chí nhỏ, làm cho đỉnh phổ bị mờ chìm ta phát chúng Để giải mâu thuẫn nói người ta đưa công thức xác định τmax ứng với mức sai số cho phép tính mật độ phổ sau đây: Mức sai số 2% 5% 10% τ max 2πn/50 2πn/20 2πn/10 n độ dài chuỗi Từ thấy rằng, muốn có kết nhận vừa bảo đảm độ ổn định thống kê vừa phản ánh chu kỳ dao động chuỗi dung lượng mẫu n phải đủ lớn Dĩ nhiên n lớn độ tin cậy kết cao Mặt khác, chuỗi thời gian xem giá trị quan trắc thực nghiệm thể trình ngẫu nhiên, nên khảo sát trình X(t) sở chuỗi {xt, t=1 n} có khác biệt mật độ phổ thực nghiẹm ~ Sx (ω k ) mật độ phổ lý thuyết Sx(ω) Và dao động nhận qua mật độ phổ thực nghiệm chứa đựng thành phần “nhiễu” mà người ta gọi “ồn” Đối với q trình khí tượng thuỷ văn người ta phân biệt hai loại ồn ồn trắng ồn màu (hay ồn đỏ) Quá trình gọi ồn trắng mật dộ phổ khơng đổi tồn khoảng biến thiên tần số Q trình gọi ồn màu mật độ phổ giảm theo qui luật hàm mũ tần số tăng Vậy, vấn đề đặt cần kiểm tra xem đỉnh phổ nhận có thực phản ánh chu kỳ dao động tương ứng chuỗi khơng, hay nói cách khác, mức độ tin cậy đỉnh phổ Điều có nghĩa cần phải kiẻm nghiệm giả thiết “trong phổ q trình xét khơng tồn dao 238 động điều hoà” Giả thiết kiểm nghiệm việc so sánh mật độ phổ tính ~ tốn Sx (ω ) với giới hạn tin cậy Iα(Sω) Một cách gần đúng, thừa nhận mật độ phổ thực nghiệm tuân theo luật phân bố χ L , đo L số bậc tự xác định bởi: L= n − 0.5m m (7.6.33) thì, ồn trắng, Iα(Sω) tính theo cơng thức: I α (S x ) = S x χ2 I (7.6.34) với S x mức trung bình m giá trị mật độ phổ thực nghiệm Từ ta có bước kiểm nghiệm sau đây: 1) Tính giá trị trung bình mật độ phổ thực nghiệm S x 2) Chọn mức xác suất α (thường 0.05, 0.10, 0.20) sau xác định giá trị χ L = χ (α , L) L 3) Tính Iα(Sω) theo (7.6.32) ~ 4) So sánh Sx (ω k ) tính với Iα(Sω): ~ - Nếu Sx (ω k ) < Iα(Sω) phổ khơng chứa dao động điều hoà ứng với tần số ωk, giả thiết đặt ta chấp nhận ~ - Nếu Sx (ω k ) ≥ Iα(Sω) chuỗi tồn dao động điều hoà với tần số dao động ωk Ví dụ 7.6 Từ chuỗi số liệu tổng lượng mưa tháng mùa mưa 78 ~ năm trạm, ta tính mật độ phổ thực nghiệm Sx (ω ) với độ dịch chuyển cực đại hàm tương quan chọn m=19 Kết tính biểu diễn lên đồ thị (hình 7.13), thay cho tần số ω trục hồnh chu kỳ T tương ứng Nhận xét sơ ta thấy tồn đỉnh phổ, có hai đỉnh mờ Vậy 239 Comment [NH2]: câu hỏi đặt đỉnh phổ số phản ánh chu kỳ dao động chuỗi Để giải vấn đề ta tính Iα(Sω) với mức α khác Kết nhận được: I0.01(Sω)=2.53, I0.05(Sω)=1.93, I0.10(Sω)=1.65, I0.20(Sω)=1.34, I0.30(Sω)=1.15 So sánh Iα(Sω) tính với trị số mật độ phổ đỉnh ta thấy: Nếu chọn α=0.01 có hai đỉnh phổ ứng với chu kỳ T=2.5 năm ~ T=3.4 năm thoả mãn điều kiện Sx (ω k ) ≥ I α (Sω ) ; α chọn 0.05, 0.10, 0.20 ta nhận ba đỉnh T=2.5, T=3.4 T=5.7; α tăng lên 0.30 (tức chấp nhận xác suất phạm sai lầm tới 30%) ngồi đỉnh phổ ta cịn nhận thêm đỉnh ứng với chu kỳ T=3.1 năm 7.7 ƯỚC LƯỢNG PHỔ NĂNG LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ENTROPY CỰC ĐẠI Như đề cập trên, khái niệm phổ phương sai hiểu phổ lượng hay phổ công suất Ở ta xét khái niệm phổ lượng góc độ khác chút, mặc dù, sau thấy, chất xem chúng Xét thể x(t) q trình X(t) Khi tổng lượng trình xác định bởi: ∞ Power = ∫ x( t ) (7.7.1) dt −∞ Mặt khác, theo định lý Parseval, lượng xác định bởi: ∞ Power = ∫ x( t ) dt = −∞ H(f) = ∫ H( f ) df (7.7.1') −∞ ∞ Trong ∞ ∫ x( t ) e 2πift −∞ 240 dt (7.7.1'') Comment [NH3]: ∞ x(t) = ∫ H( f )e − 2πift df 2.5 −∞ S α=0.01 3.4 α=0.10 α=0.30 3.1 5.7 8.3 10.0 7.1 6.3 5.6 5.0 4.5 4.2 3.8 3.6 3.3 3.1 2.9 2.8 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 12.5 T Hình 7.13 Đồ thị hàm mật độ phổ tổng lượng mưa tháng mùa mưa Có thể hình dung H(f) biên độ dao động điều hoà ứng với tần số dài f Giữa tần số góc tần số dài liên hệ với hệ thức ω=2πf Hệ thức (7.7.1') biểu diễn phân bố lượng trình phân bố theo tần số Sự phân bố phản ánh cấu trúc bên trình Vấn đề chỗ ta cần xác định "có lượng trình chứa khoảng tần số từ f đến f+df" Trong thực tế người ta thường xét miền biến đổi tần số f giá trị dương, mặt khác giá trị H(f) miền tần số âm tần số dương thường không khác nhau, nên thay cho H(f), người ta sử dụng hàm: 2 S(f) = H ( f ) + H ( − f ) , 0≤ f