CHƯƠNG MỘT SỐ PHÂN BỐ LÝ THUYẾT 3.1 KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Trong chương ta nghiên cứu số phương pháp phân tích, khảo sát số liệu dựa đặc trưng thống kê thông thường Về chất, phương pháp cho phép thuộc tính đặc trưng yếu tố khí tượng, khí hậu vào tập số liệu cụ thể thu thập từ quan trắc thực tế Tuy nhiên, hạn chế dung lượng mẫu, nhiều trường hợp kết nhận phản ánh khơng xác chất q trình xét Chẳng hạn, nghiên cứu nhiệt độ tối cao khu vực đó, chuỗi số liệu có phạm vi biến đổi 25oC-39oC Khi tiến hành xây dựng hàm phân bố thực nghiệm theo phương pháp chia khoảng, tần suất xuất nhiệt độ tối cao khoảng từ 27-28oC Xét mặt vật lý, điều vơ lý, với khoảng biến thiên nhiệt độ 25oC-39oC kiện nhiệt độ rơi vào khoảng 27-28oC không xảy Rõ ràng chất yếu tố nhiệt độ tối cao mà chuỗi số liệu chưa đủ để bao quát hết biến thiên Để khắc phục tình trạng đó, đồng thời với việc nghiên cứu tập mẫu, sử dụng phân bố lý thuyết xấp xỉ phân bố thực nghiệm phân bố lý thuyết phù hợp Việc sử dụng phân bố lý thuyết làm xấp xỉ cho phân bố thực nghiệm có nghĩa lý tưởng hóa tập số liệu thực nghiệm, tức ép buộc kết thực nghiệm vào lớp hàm toán học cụ thể phù hợp với chúng Tất nhiên, biểu diễn gần số liệu thực nghiệm, nhiều trường hợp biểu diễn cho độ xác cao Về có ba ưu điểm sử dụng phân bố lý thuyết: - Phân bố lý thuyết cho phép biểu diễn cách cô đọng, ngắn gọn thông tin từ tập mẫu thông qua dạng vài tham số phân bố Trong nhiều 79 trường hợp, phải lặp lặp lại tính tốn thống kê đặc trưng mẫu cho địa điểm vùng không gian định Q trình tính tốn cồng kềnh, chí xảy sai sót bất thường Nếu tồn phân bố lý thuyết phù hợp tốt với tập số liệu, thay cho việc khảo sát đầy đủ n bậc thống kê {x1, x2, ,xn} ta cần vài tham số phân bố - Phân bố lý thuyết cho phép làm trơn nội suy đặc trưng xác suất Rõ ràng số liệu thực nghiệm phụ thuộc vào dung lượng mẫu Như nêu trên, hạn chế dung lượng mẫu dẫn đến gián đoạn đứt quảng phân bố thực nghiệm Việc xấp xỉ phân bố thực nghiệm phân bố lý thuyết cho tập mẫu tạo khả liên tục hóa khoảng khơng có số liệu, từ cho phép ước lượng xác suất khoảng - Phân bố lý thuyết cho phép tính tốn ngoại suy đặc trưng xác suất Do hạn chế dung lượng mẫu, phân bố thực nghiệm phản ánh biến đổi đặc trưng yếu tố phạm vi biến đổi tập mẫu Việc ước lượng xác suất cho kiện nằm ngồi phạm vi tập mẫu địi hỏi phải chấp nhận giả thiết cách xử lý chưa có số liệu quan trắc Hãy trở lại ví dụ đây, với khoảng biến thiên nhiệt độ tối cao 25oC-39oC, ta khơng có sở để phán đoán kiện nhiệt độ tối cao lớn 39oC nhỏ 25oC (mặc dù thực tế chúng xảy ra) không xấp xỉ phân bố thực nghiệm phân bố lý thuyết Cũng cần nhấn mạnh rằng, việc xấp xỉ phân bố thực nghiệm phân bố lý thuyết trình xử lý tinh tế Sau xây dựng hàm phân bố thực nghiệm, ta cần phải xem xét, khảo sát tỷ mỷ lựa chọn lớp hàm lý thuyết cho phù hợp với phân bố thực nghiệm Mặt khác, để tránh nhầm lẫn đáng tiếc ta cần phân biệt rõ hai khái niệm: tham số phân bố tham số (hay đặc trưng) thống kê Các tham số phân bố đại lượng không ngẫu nhiên mà trước thích gọi chúng đặc trưng tổng thể, tham số thống kê đại lượng ngẫu nhiên, chúng rút từ trình xử lý tính tốn tập mẫu 80 3.2 PHÂN BỐ NHỊ THỨC Ta trở lại toán mục 1.3, chương Mỗi phép thử n phép thử độc lập có kết cục A A Xác suất xuất kiện A phép thử không đổi, p không phụ thuộc vào số phép thử Nếu ta xét biến ngẫu nhiên Xi liên quan đến kết lần thử thứ i sau: ⎧1 Xi = ⎨ ⎩0 nÕu A xt hiƯn ë lÇn thư thø i nÕu A xt hiƯn (A kh«ng xt hiƯn) ë lÇn thư thø i (i=1 n) Vì lần thử độc lập nên Xi biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố xác suất cho bởi: Xi p q = 1-p p Do biến ngẫu nhiên X = n ∑ Xi số lần xuất kiện A loạt i =1 n phép thử có phân bố dạng: X n-1 n p p0 p1 pn-1 pn pk = C k pkqn-k n Một cách tổng quát, biểu diễn phân bố X bởi: P(X=k) = Pn(k) = C k pkqn-k, k=0,1, ,n n (3.2.1) Phân bố dạng (3.2.1) gọi phân bố nhị thức, biến ngẫu nhiên X trường hợp gọi biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức Rõ ràng phân bố nhị thức phụ thuộc vào hai tham số n p Đồ thị hàm mật độ xác suất X trình bày hình 3.1 81 0.2 p 0.1 k 0 10 12 14 16 18 20 Hình 3.1 Hàm mật độ phân bố nhị thức với n=20, p=0.4 Ví dụ 3.2 Xét kiện A lượng mưa tháng trạm vượt 400 mm Số liệu thống kê bảng 3.1 dẫn năm có A xuất 105 năm quan trắc Hãy tính xác suất để 10 năm quan trắc: a) Có năm mà lượng mưa tháng vượt q 400 mm; b) Có năm mà lượng mưa tháng vượt 400 mm Bảng 3.1 Những năm có lượng mưa tháng 400 mm thời gian quan trắc 105 năm 1892 1904 1928 1935 1960 1894 1914 1929 1939 1965 1899 1926 1933 1942 1967 1902 1927 1934 1943 Từ bảng 3.1, 105 năm quan trắc có tất 19 năm xuất kiện A Vậy ước lượng xác suất A P(A)=p=19/105=0.181 Theo yêu cầu tốn, ta có n=10, p=0.181 Do đó, áp dụng (3.2.1) ta được: a) Xác suất để 10 năm quan trắc có năm mà lượng mưa tháng vượt 400 mm là: P(X=1) = P10(1) = C1 (0.181)1(1-0.181)9 = 0.3001 10 b) Xác suất để 10 năm quan trắc có năm mà lượng mưa tháng vượt 400 mm là: P(X=1)+P(X=2)+ +P(X=10) = P(X≥1) = 1-P(X=0) = 0.8642 82 3.3 PHÂN BỐ POISSON Phân bố Poisson dùng để mô tả số kiện xuất chuỗi liên tiếp kiện rời rạc loại độc lập Thông thường liên tiếp chuỗi kiện hiểu theo nghĩa thời gian, xuất bão vùng biển mùa bão, xảy năm hạn hán hay rét đậm Tuy nhiên phân bố Poisson áp dụng để tính xác suất xuất kiện vùng không gian định, chẳng hạn, xác định phân bố xăng dọc theo đường cao tốc hay phân bố cục mưa đá vùng nhỏ hẹp Khi xét chuỗi kiện theo thời gian phân bố Poisson áp dụng thỏa mãn điều kiện sau: - Xác suất xuất kiện vào khoảng thời gian xét phụ thuộc vào số kiện độ dài khoảng thời gian không phụ thuộc vào thời điểm đầu khoảng - Xác suất số lần xuất kiện khoảng thời gian xét không phụ thuộc vào xuất kiện trước thời điểm ban đầu - Xác suất xuất hai hay nhiều kiện vào khoảng thời gian vô bé nhỏ nhiều so với xác suất xuất kiện khoảng Nếu giả thiết rằng, phân bố nhị thức (3.2.1) xác suất xuất kiện A phụ thuộc vào số lần thử n cho n→∞ mà P(A)=p→0 np→λ=const, phân bố nhị thức tiệm cận đến phân bố Poisson: P(X=k) = e −λ λk , k=0,1,2, k! (3.3.1) Rõ ràng phân bố Poisson phụ thuộc vào tham số λ, có thứ nguyên số lần xuất đơn vị thời gian Đồ thị hàm mật độ xác suất phân bố Poisson dẫn hình 3.2 83 0.3 p 0.2 0.1 k 0 10 12 14 16 18 20 Hình 3.2 Hàm mật độ phân bố Poisson với λ=4 Ví dụ 3.3 Bảng 3.2 dẫn số liệu số lần xuất lốc hàng năm địa phương vòng 30 năm quan trắc, từ 1959 đến 1988 Gọi X biến ngẫu nhiên số lần xuất lốc hàng năm giả thiết X có phân bố Poisson Ta thấy, tổng số có 138 lần xuất lốc 30 năm, trung bình hàng năm có 138/30 = 4.6 (lần/năm) Nếu lấy giá trị làm ước lượng tham số λ phân bố Poisson, ta sử dụng cơng thức (3.3.1) để tính xác suất số lần xuất lốc hàng năm cho địa phương nói Hình 3.3 biểu diễn đồ thị hàm mật độ xác suất lý thuyết phân bố Poisson với λ=4.6 mật độ xác suất thực nghiệm tính theo số liệu bảng 3.2 Bảng 3.2 Số lần xuất lốc hàng năm 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 5 2 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 6 84 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 3 p 0.2 0.1 k 0 10 11 12 Hình 3.3 Biểu đồ biểu diễn mật độ xác suất xuất lốc Lý thuyết; Thực nghiệm Từ hình 3.3 nhận thấy mật độ xác suất lý thuyết đạt giá trị lớn k=4 (hàng năm có lần xuất lốc) Trong đó, theo kết thực nghiệm, xác suất để hàng năm có lần xuất lốc đạt giá trị lớn Hơn nữa, theo phân bố thực nghiệm, xác suất k=4 nhỏ nhiều so với k=3 k=5 Xét ý nghĩa vật lý, điều hồn tồn khó lý giải Tình xảy tương tự so sánh k=2 với k=1 k=3 Rõ ràng, trường hợp việc xấp xỉ phân bố thực nghiệm phân bố lý thuyết tạo cho ta khả phán đoán nhận định tốt mà không lệ thuộc vào kết thực nghiệm 3.4 PHÂN BỐ CHUẨN VÀ PHÂN BỐ CHUẨN CHUẨN HOÁ Phân bố chuẩn, hay cịn gọi phân bố Gauss, đóng vai trò quan trọng thống kê cổ điển, ứng dụng rộng rãi hiệu khí tượng, khí hậu Biến ngẫu nhiên X gọi có phân bố chuẩn hàm mật độ xác suất có dạng: x−μ − ( )2 σ f(x) = e σ 2π (3.4.1) Như vậy, phân bố chuẩn phụ thuộc vào hai tham số μ σ (nên người ta 85 thường ký hiệu X∈N(μ,σ) để biến ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn với hai tham số μ, σ) Có thể chứng minh tham số kỳ vọng tốn học độ lệch bình phương trung bình (căn bậc hai phương sai) X: +∞ M[X] = ∫ xf (x)dx = μ (3.4.2) −∞ +∞ D[X] = ∫ (x − μ ) f (x)dx = σ 2 (3.4.3) −∞ Từ (3.4.1) suy mật độ phân bố chuẩn xác định toàn miền trục số đồ thị nhận đường x=μ làm trục đối xứng (hình 3.4a) Để sử dụng phân bố chuẩn biểu diễn tập số liệu ta cần ước lượng xác hai tham số μ σ Như biết chương 2, ước lượng mômen gốc mẫu bậc x độ lệch chuẩn s* Ta xét thêm vài đặc trưng khác phân bố chuẩn 0.5 0.5 f(x) σ=1 0.4 0.3 σ=3 f(u) 0.4 0.3 σ=2 0.2 0.2 0.1 0.1 X u -5 -4 -3 -2 -1 -5 -4 -3 -2 (a) -1 (b) Hình 3.4 Hàm mật độ phân bố chuẩn với μ=2 giá trị σ khác (a) phân bố chuẩn chuẩn hóa (b) Mômen trung tâm bậc lẻ phân bố chuẩn xác định bởi: +∞ μ2r+1 = ∫ (x − μ ) r +1 −∞ 86 f ( x) dx = (3.4.4) Từ thấy rằng, tính chất đối xứng hàm mật độ, mômen trung tâm bậc lẻ Đương nhiên ta có độ bất đối xứng As=μ3/σ3=0 Mômen trung tâm bậc chẵn: +∞ μ2r = ∫ ( x − μ ) r f ( x) dx = −∞ r 2r σ Γ (r + ) π Hay μ2r=1.3.5 (2r-1)σ2r=(2r-1)!!σ2r Khi (3.4.5) r=1: μ2r = μ2 = σ2 = D[X] (3.4.5’) r=2: μ2r = μ4 = 3σ4 Ta nhận thấy độ nhọn phân bố chuẩn Es = μ4/σ4-3=0 Và vậy, hệ số độ nhọn mục 2.6.2 mang ý nghĩa so sánh phân bố “nhọn” hay “tù” so với phân bố chuẩn Tương ứng với hàm mật độ (3.4.1) ta có hàm phân bố xác suất: t −μ x − ( )2 F(x) = ∫ e σ dt σ 2π − ∞ (3.4.6) Xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị khoảng (α;β) xác định bởi: β − ⎛ x−μ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ β − μ⎞ ⎛ α − μ⎞ P (α < X < β) = e ⎝ σ ⎠ dx = Φ⎜ ⎟ − Φ⎜ ⎟ ∫ ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ σ 2π α ⎛ α − μ⎞ ⎛ β − μ⎞ P(α0 ⎢ ⎝ β⎠ ⎥ ⎦ ⎣ ⎡ ⎛ x⎞ α ⎤ ⎛ α ⎞ α −1 f(x) = ⎜ ⎟ x exp ⎢− ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ α⎟ ⎢ ⎝ β⎠ ⎥ ⎝β ⎠ ⎦ ⎣ Hoặc: (3.6.1) (3.6.1’) Đồ thị hàm mật độ xác suất phân bố Weibull dẫn hình 3.6 Kỳ vọng toán học phân bố Weibull βΓ(1+1/α) phương sai β2(Γ(1+2/α) - Γ2(1+1/α)) α=0.5 f(x) β=0.8 α=1 α=4 α=2 x 0 Hình 3.6 Hàm mật độ phân bố Weibull với tham số khác 3.7 PHÂN BỐ χ2 (KHI BÌNH PHƯƠNG) Trong lớp tốn kiểm nghiệm giả thiết thống kê phân bố χ2 đóng vai trị quan trọng, dùng để kiểm nghiệm phù hợp hay không phù hợp phân bố thực nghiệm phân bố lý thuyết Phân bố χ2 xây dựng sở nghiên cứu tổng biến ngẫu nhiên độc lập X1,X2, ,Xn có phân bố chuẩn, Xi∈N(μ;σ): χ ( n) = n ∑ ( Xi − μ) σ i =1 gọi biến ngẫu nhiên χ2 với n tham số Hàm mật độ xác suất χ2 có dạng: 92 (3.7.1) n x ⎧ −1 − ⎪ e x ⎪ n f n ( x) = ⎨ n Γ( ) ⎪ ⎪ ⎩0 x > (3.7.2) x ≤ Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên χ2 xác định với x>0 với số nguyên dương n Hàm phân bố xác suất χ2 tương ứng với mật độ xác suất (3.7.2) x≤0, cịn x>0 thì: x n −1 − t t e dt Fn ( x) = P( χ < x) = n ∫ n 2 Γ( ) (3.7.3) Như phân bố χ2 phụ thuộc vào tham số n gọi bậc tự phân bố Khi n≤2 hàm mật độ xác suất fn(x) luôn giảm với x>0, n>2 hàm fn(x) có cực đại x=n-2 Trên hình 3.7 dẫn đồ thị hàm fn(x) với trường hợp n=1, n=2 n=6 0.7 f(x) 0.6 n=1 0.5 0.4 n=2 0.3 n=6 0.2 0.1 x 0 10 12 14 Hình 3.7 Hàm mật độ phân bố χ2 với bậc tự khác Về khái niệm số bậc tự n bạn đọc tìm hiểu kỹ hơn, chẳng hạn, [4] Thuật ngữ Fisher đặt dùng với ý 93 nghĩa xét đến số phân bố khác sau Kỳ vọng phương sai χ2 bằng: M[χ2(n)]=n va D[χ2(n)]=2n 2 (3.7.4) Nếu χ (n1) χ (n2) hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố χ với n1 n2 bậc tự tổng chúng biến ngẫu nhiên có phân bố χ2 với (n1+n2) bậc tự do: χ2(n1) + χ2(n2) = χ2(n1+n2) (3.7.5) Xác suất χ2(n) nhận giá trị vượt giá trị χ cho trước xác dịnh bởi: ∞ p=P(χ2> χ ) = ∫ f n ( x) dx = − Fn ( χ ) 0 (3.7.6) x2 Xác suất diện tích giới hạn nhánh đường cong mật độ bên phải trục thẳng đứng qua điểm x= χ trục hoành Do ý nghĩa sử dụng xác suất nên thực tế người ta thường lập bảng tính sẵn giá trị χ ứng với mức xác suất p số bậc tự n khác p 3.8 PHÂN BỐ STUDENT (T) Phân bố Student thường gọi cách đơn giản quen thuộc phân bố t, xác định sở xét biến ngẫu nhiên tỷ số hai biến ngẫu nhiên độc lập X1∈N(0,1) X2∈ χ( n) : t=X1/X2 Biến ngẫu nhiên t n trường hợp gọi có phân bố Student với n bậc tự ký hiệu t∈St(n) hay gọn t(n) Mật độ xác suất phân bố Student có dạng: n +1 n +1 ) x2 2 (1 + ) n n nπΓ ( ) Γ( fn(x) = 94 (3.8.1) n +1 − ⎛ x2 ⎞ ⎜1 + ⎟ fn(x) = ⎜ n⎟ ⎛ n 1⎞ ⎠ B⎜ , ⎟ n ⎝ ⎝ 2⎠ Hoặc: (3.8.1’) Phân bố Student hay phân bố t W.S.Gosset sử dụng lần toán thống kê quan trọng [4] tác giả lấy biệt hiệu Student Hàm mật độ biến t phụ thuộc vào tham số n số bậc tự Từ (3.8.1) (3.8.1’) suy phân bố Student phân bố đối xứng x=0 Trên hình 3.8 dẫn đồ thị mật độ xác suất phân bố Student tương ứng với số bậc tự n=3, 50 Do tính đối xứng phân bố, tất mơmen trung tâm bậc lẻ (nếu có) 0, cịn mơmen bậc chẵn xác định bởi: μ 2r = 1.3 ( 2r − 1) n r ( n − 2)( n − 4) ( n − 2r ) (3.8.2) Khi r=1 n>2 ta có phương sai t(n) bằng: D[ t ( n)] = D t = n n−2 (3.8.3) Dĩ nhiên kỳ vọng phân bố Student Người ta chứng minh n→∞ phân bố Student tiện cận phân bố chuẩn chuẩn hoá f(x) n=50 0.5 n=6 n=3 x -5 -4 -3 -2 -1 Hình 3.8 Hàm mật độ phân bố Student với bậc tự khác 95 Xác suất để biến ngẫu nhiên có phân bố Student với n bậc tự nhận giá trị nằm khoảng đối xứng (-t0; t0) tính theo cơng thức: ∞ P( t > t ) = ∫ f n ( x)dx (3.8.4) t0 fn(x) mật độ xác suất dược cho (3.8.1) (3.8.1’) Phân bố Student phân bố dùng để kiểm nghiệm giả thiết thống kê khí hậu 3.9 PHÂN BỐ FISHER (F) Phân bố Fisher đóng vai trị quan trọng khí tượng, khí hậu, thường sử dụng để kiểm nghiệm giả thiết thống kê phân tích phương sai Biến ngẫu nhiên F gọi có phân bố Fisher hàm mật độ xác suất có dạng: n1 n1 + n −1 ) x2 n1 + n2 n n Γ ( )Γ ( ) ( n1 x + n ) 2 n1 f(x) = n2 n1 n 2 Γ ( (3.9.1) f(x) n1=2, n2=2 0.5 n1=4, n2=2 x 0 Hình 3.9 Hàm mật độ phân bố Fisher Như vậy, mật độ xác suất phân bố Fisher phụ thuộc vào hai tham số n1 n2, chúng gọi bậc tự Do thơng thường người ta ký hiệu 96 hàm mật độ phân bố Fisher fn1,n2(x) hay f(x,n1,n2) Khi n2>2 kỳ vọng biến F xác định M[F]= n2 n2 − Đồ thị hàm mật độ phân bố Fisher có dạng hình 3.9 3.10 MỘT SỐ PHÂN BỐ KHÁC Những luật phân bố đây, ứng dụng thực hành, người ta sử dụng số phân bố khác cho nghiên cứu cấu trúc thống kê chuỗi số liệu Nói chung yếu tố khí tượng, khí hậu mà khoảng biến thiên giá trị chúng không thực rõ ràng, nhiệt độ khơng khí, nhiệt độ đất, đặc trưng độ ẩm tuyệt đối, tính bất đối xứng phân bố thường không lớn Chúng thường mô tả cách gần phân bố chuẩn phân bố Sarle sau đây: f s ( x) = f ( x) + ⎡ A s ( x) E ( x) ⎤ ⎢ f ( t )( t − 3t ) + 24 f ( t )( t − 6t + 3) ⎥ σ⎣ ⎦ (3.10.1) fs(x) mật độ phân bố Sarle; f0(x) - mật độ phân bố chuẩn t = x−x ; σ f(t) - mật độ phân bố chuẩn chuẩn hoá; As(x) - độ bất đối xứng; E(x) - độ nhọn Có thể nhận thấy rằng, hạng thứ hai (3.10.1) phần hiệu chỉnh cho phân bố chuẩn Nếu As(x)=0 E(x) = phần bố Sarle trùng với phân bố chuẩn Sử dụng phép thay t= x−x ta viết f0(x)= f ( t ) phân bố σ σ Sarle có dạng: fs (t) = k E ( x) ⎡ A ( x) ⎤ f ( t ) ⎢1 + s ( t − 3t ) + ( t − 6t − 3⎥ σ 24 ⎣ ⎦ (3.10.2) Đối với đặc trưng yếu tố mà khoảng biến thiên giá trị chúng bị chặn phía hai phía, lượng mưa, độ ẩm tương đối, tầm nhìn xa, tốc độ 97 gió, qui luật phân bố chúng thường mô tả phân bố Gamma, Weibull, Beta, chuẩn lôga Các phân bố Gamma Weibull xét mục 3.5 3.6 Sau ta xét phân bố chuẩn lôga phân bố Beta Phân bố chuẩn lôga phân bố sử dụng cho trường hợp bất đối xứng dương (lệch phải) có miền biến thiên dương (x>0) Thông thường nhất, phân bố chuẩn lôga dùng để biểu diễn biến đổi đặc trưng mây thường ứng dụng rộng rãi thủy văn Nếu biến ngẫu nhiên Y nhận từ biến ngẫu nhiên X phép biến đổi Y=ln(X) tuân theo luật phân bố chuẩn (phân bố Gauss) biến X gọi có phân bố chuẩn lơga với hàm mật độ xác suất có dạng: ⎡ (ln x − μ )2 ⎤ ⎥ f ( x) = exp ⎢− xσ π ⎢ 2σ ⎥ ⎦ ⎣ (3.10.3) hai tham số μ σ tương ứng kỳ vọng độ lệch bình phương trung bình biến biến đổi Y (tức μ ≡ μy σ ≡ σy) Giữa tham số (3.10.3) kỳ vọng độ lệch bình phương trung bình biến ban đầu μx σx tồn mối liên hệ sau: ⎡ σ2 ⎤ y ⎥ μ x = exp ⎢μ y + ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ [ ( ) ] ( σ = exp σ − exp 2μ y + σ x y y (3.10.4) ) (3.10.5) Phân bố Beta thường áp dụng yếu tố mà miền biến thiên bị chặn hai phía thường bị giới hạn đoạn [0; 1] Chẳng hạn, lượng mây đo phần mười bầu trời, hay độ ẩm tương đối Hàm mật độ xác suất phân bố Beta có dạng: 98 f(x) = Γ ( p + q ) p −1 q −1 , với 0≤ x ≤1 p, q>0 x (1 − x) Γ ( p) Γ (q ) (3.10.6) Như vậy, phân bố Beta phụ thuộc vào hai tham số p q Kỳ vọng phương sai phân bố xác định bởi: μ= σ2 = p p+q (3.10.7) pq ( p + q ) ( p + q + 1) (3.10.8) Trên sở đó, nhận ước lượng tham số p q: ~ = x (1 − x) − x p s* ( ) 99 ~ ~ p (1 − x) q= x (3.10.9) ... u: σ f(u) = −2u e 2π (3 .4.1 1) Và hàm phân bố (3 .4. 6) có dạng: F(u) = 2π u ∫ e − t2 dt (3 .4.1 2) −∞ Các hệ thức (3 .4.1 1) (3 .4.1 2) gọi hàm mật độ hàm phân bố chuẩn chuẩn hóa Hàm (3 .4.1 1) hàm chẵn,... toán học (? ?-? ?; μ+? ?) là: ε ε ε P( X − μ < ε ) = ? ?( ) − ? ?( − ) = 2? ?( ) σ σ σ (3 .4.1 0) ε P( X − μ > ε ) = − 2? ?( ) σ (3 .4.10? ?) Hay Trong ứng dụng thực hành người ta thường lập bảng tính sẵn giá trị hàm... E ( x) ⎤ ⎢ f ( t )( t − 3t ) + 24 f ( t )( t − 6t + 3) ⎥ σ⎣ ⎦ (3 .10. 1) fs(x) mật độ phân bố Sarle; f0(x) - mật độ phân bố chuẩn t = x−x ; σ f(t) - mật độ phân bố chuẩn chuẩn hoá; As(x) - độ bất