Đang tải... (xem toàn văn)
Lý thuyết chia hết và chia có dư
1 Hà Văn Tùng CÁC BÀI TẬP I QUAN HỆ CHIA HẾT: BÀI 1: Chứng minh hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Giải Gọi hai số tự nhiên liên tiếp : a, a +1 Lấy a chia cho ta được: a = 2.q + r với ≤ r < + Với r = a = 2.q 2 + Với r = a + = 2.q + + = 2.q + = 2( q + 1) Vậy hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho 2 BÀI 2: Chứng minh ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Giải Gọi ba số tự nhiên liên tiếp : a, a +1 , a +2 Lấy a chia cho ta được: a = 2.q + r với ≤ r < + Với r = a = 3.q + Với r = a = 3.q + Khi : a + = 3.q + 3 + Với r = a = 3.q + Khi a + = 3.q + 3 Vậy ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho 3 BÀI 3: Chứng minh n số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho n Giải Gọi n số tự nhiên liên tiếp : a, a +1 , a +2 …a( n-1) Lấy a chia cho n ta được: a = n.q + r với ≤ r < n + Với r = a = n.q n + Với r = a = n.q + n Khi : a+ (n-1) = n.q + + (n-1) = n.q + n n + Với r = a = n.q + n Khi a + (n-2) = n.q + + (n+-2) = n.q + n n + Với r = n-1 a = n.q + n - n Khi a + = n.q + n-1 +1= n.q + n n Vậy n số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho n *Một số phương pháp chứng minh chia hết BÀI Tính chất 8: CMR tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Giải Giả sử ta gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1, a + Theo đề : A = a( a +1) ( a + 2) Ta có : = 3x2 mà ( 3, 2) =1 - A A số tự nhiên liên tiếp có số tự nhiên chia hết cho - A A số tự nhiên liên tiếp có số tự nhiên chia hết cho Vậy A BÀI CMR tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho Giải Giả sử hai số tự nhiên chẵn liên tiếp là: 2k , 2k + Theo đề chứng minh, B = 2k.( 2k + 2) hay B = 4k ( k + 1) Hà Văn Tùng Ta có k+1 B có số chia hết cho Vậy B BÀI VD : CMR: 11 a + a aN Giải Ta có: 11 a + a = 12 a - a + a = 12 a - ( a - a) = 12 a - a( a - 1) = 12 a - a ( a- 1) ( a+ 1) 12 a A = a ( a -1 ) ( a + 1) Nếu a = A = a( a-1)(a+1) = Nếu a > A = a (a-1)( a+1) A có số tự nhiên chia hết cho Vậy : 11 a + a Bài Dùng quy nạp CMR tổng lũy thừa bậc ba ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Giải Tổng lũy thừa bậc số tự nhiên liên tiếp có dạng: (n-1) + n + (n+1) Ta có : (n-1) + n + (n+1) = n - 3n +3n-1+ n + n +3n +3n +1 = 3n + 6n Giả sử: n = 1, ta có: 3.1 +6.1 = Giả sử n = k , ta có: 3k +6.k Ta chứng minh: n = k+1 , ta có: 3(k+1)+6(k+1) = 3(k +3k +3k+1)+6k+6 = 3k +9k +9k+3+6k+6 = 3k +6k + 9k +9k+9 Mà 3k +6k 9k +9k+9 Vậy: 3n + 6n Theo nguyên lý quy nạp (n-1) + n + (n+1) Bài 8: : CMR a N ta có : a( a+1) ( 2a + 1) Giải a(a+1)( 2a+ 1) Ta có: a(a+1)( 2a+ 1) = a(a+1)( a -1 + a+ 2) = a(a+1)(a-1) + a(a+1)( a+2) Nếu a = a(a+1)(2a+1) = Nếu a > a( a+1) (a-1) tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho a( a+1)( a+2) tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Do : a(a+1( 2a+1) a N Bài CMR a N ta có : a - a 30 Giải Ta có: a ≡ a (mod 5) a -a ≡ a - a (mod 5) Hà Văn Tùng a - a ≡ (mod 5) Vậy a - a 30 Cách 2: a - a = a( a -1) = a[(a) - ] = a(a -1)(a +1) = a(a-1)(a+1)(a -4+5) = a(a-1)(a+1)[(a -2)(a+2)+5] = a(a- 1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1) Nếu a=0 a - a = 30 Nếu a>0 a(a- 1)(a+1)(a-2)(a+2) 30 tích năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 30, ( 5,6)=1 Và : 5a(a-1)(a+1) 30 tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Vậy a - a 30 Bài 10 CMR a N ta có : 2a ( a - 16) 30 Giải Ta có: 2a ( a - 16) = 2a( a+4)(a -4) = 2a( 5+ a -1)( a-2)(a+2) = 2a[5+(a-1)(a+1)](a-2)(a+2) = 10a (a-2)(a+2) + 2a(a-2)(a+2)(a-1)(a+1) Nếu a=0 2a( 5+ a -1)( a-2)(a+2) 30 Nếu a>0 10a (a-2)(a+2) 30 tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 30 2a(a-2)(a+2)(a-1)(a+1) 30 tích năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Vậy : 2a ( a - 16) 30 Bài 11: Chứng minh rằng: a(a+2) , với a số chẵn , a N Giải Vì a chẵn nên a = 2k ; k N Ta có: a(a+2) = 2k(2k+2) = 4k(k+1) + Nếu k chẵn 4k + Nếu k lẻ k+1 số chẵn + Nếu k lẻ 4k(k+1) Vậy a(a+2) , với a số chẵn , a N Bài 12 CMR: n +11n n Giải Ta có: n (n -1 +12) = n(n -1) + 12n = n(n -1)(n+1) +12n Vì n(n-1)(n+1) tích ba số tụe nhiên liên tiếp nên chia hết cho Vậy: n +11n n Bài 13: CMR : với n ta có : n - n Giải Ta có : n(n -1) = n(n-1)(n+1) ( tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3) Vậy: n - n n Bài 14 Hà Văn Tùng CMR : [(a +a)(2a+1)] a N Giải Ta có: (a +a)(2a+1) = a(a+1)[(a-1)+(a+2)] = [a(a+1)(a-1)+a(a+1)(a+2)] Vì a(a+1)(a-1) a(a+1)(a+2) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Vậy: [(a +a)(2a+1)] a N Bài 15 CMR: [a(a -2)+13a] a N Giải Ta có: a(a -2)+13a = a(a - 1- 1)+13a = a(a -1) - a+13a = a(a -)(a+1) +12a Vì a(a -)(a+1) +12a tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Vậy: [a(a -2)+13a] a N Bài 16 CMR : [m(m +5) m N Giải Ta có: m(m +5) = m( m - 1+6) = m(m-1)(m+1) +6m Vì m(m-1)(m+1) +6m tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Vậy: [m(m +5) m N Bài 17 CMR: ( a +b ) (a+b) với a,b N a,b Giải Xét (a +b )-(a+b) = a +b - a-b = a - a + b - b = a( a - 1) + b (b -1) = a(a-1)(a+1) + b(b-1)(b+1) Vì a(a+1)(a-1) b(b+1)(b-1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Vậy: ( a +b ) (a+b) với a,b N a,b *DÙNG QUY TẮC KÉO THEO: VD : CMR ba số tự nhiên có hiệu hai số chia hết cho Giải Giả sử có ba số tự nhiên là: a,b,c Lấy a,b,c chia cho ta : a = 2.q + r với r < b = 2.q + r với r < c = 2.q + r với r < Ta nhận thấy : r , r , r nhận hai giá trị và1 Theo nguyên tắc ngăn kéo số có số nhận giá trị Giả sử r = r = Khi : a - b = 2.q - 2.q (đpcm) VD : CMR bốn số tự nhiên có hiệu hai số chia hết cho (Tự giải) VD : CMR n+1 số tự nhiên có hiệu hai số cia hết cho n Giải Giả sử n+1 số tự nhiên là: a , a , a … a Lấy a , a , a … a chia cho n ta được: a = n.q + r với 0 r < n a = n.q + r với 0 r < n Hà Văn Tùng a = n q + r với r a) Theo đè ta có: a + b = 84 UCLN(a,b) = Suy ra: a=6.k, b= 6.l (k,l N) UCLN(k,l)=1 a+b=6.k+6.l=6(k+l) = 84 (k+l)= 14 Do đó: k a b 13 75 11 18 66 30 54 Hà Văn Tùng Vậy có cặp số (6,78), (18, 66), (30,54) A Trâu đứng 12 Trâu nằm 18 11 Trâu già 78 81 84 * MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ ĐỊNH BẬC NHẤT HAI ẨN: VD : Trăm trâu trăm cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba bó Hỏi trâu đứng, trâu nằm , trâu già? Giải Gọi x số trâu đứng x>0 Gọi y số trâu nằm y >0 Trâu già là: 100 - ( x+y) Theo đề ta có phương trình: 5x + 3y + = 100 14x + 8y = 200 7x + 4y = 100 (1) Phương trình (1) có nghiệm riêng ( 0; 25) nên nghiệm (1) là: tZ x>0, y>0 nên 0< A VD : 32x - 48y = 112 (1) 3x = 112+ 48y x = =y+3+ Đặt = t 16y +16 = 32t y = = 2t -1 Vậy (1) có nghiệm là: tZ CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ Bài Tìm số ước số tự nhiên, chẳng hạn: 30 , 1960 Giải 30 = 2.3.5 Ta có cơng thức chung tìm là: F(a)= (x + 1)(x + 1)…… (x +1) Cụ thể: F(30)= (1+1)(1+1)(1+1)= = có ước 1960 = 5.7 Ta có: F(1960)= (3+1)(1+1)(2+1)= 4.2.3= 24 có 24 ước Hà Văn Tùng Bài Tìm UCLN BCNN hai số VD: ( 62,35) , [62,35] Giải 62= 2.31 = 31 35= 5.7 = 31 (62,35)= 31 =1 [62,35] = 31 = 62.35 = 2170 VD : CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THỐNG GHI SỐ VD : 3975 Ta có: 3975= 8.496 + 496= 96 + 62= 8.7 +6 = 0+7 Vậy : (3975) = (7607) (7607) = 8 0.8 = 3975 (3456) sang hệ số Ta có: (3456) = 4.7 5.7.6.7 = 1029+ 196+35+6= 1266 (1266) = 8.158 +2 158= 8.19+6 19= 8.2+3 2= 8.0+2 Vậy: (3456) = (2362) CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG DƯ THỨC VD : Hãy chứng minh đồng dư theo mod m quan hệ tương đương tập số nguyên Giải - Tính phản xạ: a Z, ta có: a ≡ a (mod m) Thật vậy: a-a=0 m hay a ≡ a (mod m) - Tính đối xứng: a, b Z, a ≡ b(mod m), ta cần chứng minh b ≡ a (mod m) Thật vậy: a ≡ b(mod m) a-b m b-a m ( a,b Z) Hay b ≡ a (mod m) - Tính bắc cầu: a, b, c Z a ≡ b(mod m) b ≡ c(mod m) ta cần chứng minh a ≡ c (mod m) Thậy vậy: a ≡ b(mod m) a-b m (1) Vì b ≡ c(mod m) b-c m (2) Lấy (1) cộng (2) ta được: a- b+b-c m hay a-c m Do : a ≡ c (mod m) Vậy có quan hệ tương đương 10 Hà Văn Tùng VD : Tìm số dư phép chia có dư : 2945 -3 chia cho Giải Ta có : 2945 = 327+ Nên 2945= (mod 9) Do : (2945 ) - ≡ - (mod 9) (1) Mà -3 = 29= 9.3+2 Hay - ≡ (mod 9) (2) Khi 2945 -3 ≡ (mod 9) Vậy số dư phép chia 2945 -3 chia VD Tìm số dư phép chia có dư : 1532 - chia cho VD : ( 1997 + 1998 + 1999 ) chia cho 111 Giải Ta có: 1997= 111.18+(-1) hay 1997 ≡ -1 (mod 111) 1998= 111 18 +0 hay 1998 ≡ (mod 111) 1999 = 111 18+ hay 1999 ≡ 1(mod 111) Khi đó: ( 1997 + 1998 + 1999 ) = (mod 111) Hay ( 1997 + 1998 + 1999 ) = (mod 111) Mà = 1024 = 111.9 +25 Nên ( 1997 + 1998 + 1999 ) = 25 (mod 111) Vậy số dư 25 VD Chứng minh rằng: - chia hết cho 13 Giải Ta có : = 27 = 13.3 +1 hay ≡ (mod 13) Mà = = 3 ≡ (mod 13) 3 ≡ (mod 13) Suy : - ≡ 3-3 (mod 13) hay -3 ≡ (mod 13) Vậy - chia hết cho 13 CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG VD : R = { (a,b) NxN / a có chữ số hàng đơn vị với b} N Giải a R b a có có chữ số hàng đơn vị với b - Tính phản xạ: a N ta có a có chữ số hàng đơn vị với a hay a R a - Tính đối xứng: a, b N giả sử a R b nghĩa a có chữ số hàng đơn vị với b b có chữ số hàng đơn vị với a hay b R a Do R có tính đối xứng - Tính bắc cầu : a, b , c N giả sử a R b b R c nghĩa a có chữ số hàng đơn vị với b b có chữ số hàng đơn vị với b a có chữ số hàng đơn ị với c hay a R c Do R có tính bắc cầu 11 Hà Văn Tùng Vậy R quan hệ tương đương VD : Ký hiệu X tập hợp điểm mặt phẳng X cố định Trên X xét quan hệ M S N OM=ON Giải - Tính phản xạ: M X ta ln có OM=OM hay M S M - Tính đối xứng: M, N X giả sử M S N nghĩa OM=ON hay ON =OM Vậy : M S N Có tính đối xứng - Tính bắc cầu: M, N, P X giả sử M S N N S P nghĩa OM = ON ON = OP OM=OP hay M S P Do S có tính bắc cầu Vậy S quan hệ tương đương CÁC BÀI TOÁN VỀ ÁNH XẠ VD : F: A = { 1,2,3} , B= { a, b, c} A B a b c F 1ánh xạ f: A B a b b f ánh xạ f: A B b a c b f khơng phải a/ xạ 1ptử 2có ảnh * CÁC BÀI TOÁN VỀ CHÚNG QUY NẠP Bài Dùng quy nạp chứng minh rằng: + + +…….+ (2n -1) = n ( n ≥ 1, n N) Áp dụng tính tổng sau: A =1 + + + … + 1999 Giải Đặt S = + + +…….+ (2n -1) = n Ta có : S = (2.1-1)=1 = - Giả sử với n= k tức S = k Ta cần chứng minh với n= k +1 tức chứng minh S = (k + 1) Thật vậy: S = + + 5+ ….(2k - 1) + 2( k+1)- = S + 2k+1 = k + 2k +1 = (k +1) Vậy S = n ( n ≥ 1, n N) Áp dụng , ta có: 2n - = 1999 2n = 2000 12 Hà Văn Tùng n = 1000 A= + + + ……+ 1999 = 1000 = 1000.000 Bài Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng: + + + … + n = ( n ≥ 1) Giải Đặt S = + + + … + n = Ta có: S = = = Đẳng thức với n =1 Giả sử với n = k, tức S = Ta chứng minh với n= k+1, tức là: Chứng minh : S = Thật vậy: S = + + + ….k + k +1 = S - k+1 = + k+1 = = Vậy S = ( n ≥ 1) Bài Dùng quy nạp chứng minh + + +….+ 2n = n(n+1) với ( n ≥ 1) Áp dụng tính : + + +… + 3998 Giải Đặt S = + + +….+ 2n = n(n+1) Ta có: S = = 1(1+1) , Giả sử n =k , tức : S = k(k+1) Ta chứng minh với n= k+1, tức là: Chứng minh: S = (k+1)(k+2) Thật vậy: S = + + +….2k + 2(k+1) = S + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1) = (k+1)(k+2) Vậy S = n(n+1) n ≥ Áp dụng: ta có: 2n = 3998 n= 1999 A = + + +….+ 3998 = 1999 (1999+1) = 1999x 2000= 3998000 Bài 4: Chứng minh rằng: + + … + n = (n ≥ 1) Giải Đặt S = + + … + n = Ta có: S = = - đẳng thức Giả sử n= k , tức : S= Ta chứng minh với n= k+1 tức chứng minh : S = Thật S = + + … + k + (k+1) = S + (k+1) = + (k+1) = + (k+1) = = = = = Vậy S = (n ≥ 1) 13 Hà Văn Tùng Bài 5: Chứng minh mệnh đề sau + + +… + n = n N Giải Với n=1 VT = VP = =1 Đẳng thức với n = Giả sử n = k + + +… + k = Ta chứng minh đẳng thức với n= k+1 Ta chứng minh: + + +… + k + (k+1) = = Ta có vế trái = + + +… + k + (k+1) = + (k+1) = = = = = = VP (đpcm) Bài 6: Chứng minh rằng: (1+a) 1+n.a với a > -1, a ≠ 0, n >1, n N Giải Với n= , ta có: (1+a) = 1+2a+a 1+2.a bất phương trình Giả sử với n= k , tức là: (1+a) 1+k.a Ta cần chứng với n= k+1, tức chứng minh: (1+a) 1+(k+1).a hay (1+a) 1+a.k+a Thật vậy: (1+a) = (1+a) (1+a) (1+k.a)(1+a) = (1+a) (1+a) 1+k.a+a+k.a = (1+a) (1+a) 1+k.a+a Vậy : (1+a) 1+n.a Bài : với a > -1, a ≠ 0, n >1, n N CMR n 1, ta có : + 3n -1 ( 1) Giải Với n=1 + 2= Giả sử (1) với n = k , nghĩa + 3k-1 Ta cần chứng minh (1), với n= k+1 , nghĩa + 3(k+1)-1 Thật vậy, ta có: + 3(k+1)-1= (7 + 3k -1) + 6.7 +3 = ( + 3k -1) + 6( - 1) +9 Mà +3k-1 Và 6( -1) 36 nên 6( -1) Nên + 3(k+1) -1 Vậy theo nghuyên tắc quy nạp + 3n -1 với n Bài 8: CMR: n 1, ta có : 16 - 15n -1 25 (1) 10 + 18n - 27 Giải Với n= 16 - 16= 225 Giả sử (1) với n= k , nghĩa 16 - 15k -1 225 Ta cần chứng minh (1) n= k+1, nghĩa : 16 - 15(k+1) -1 225 Vậy : 16 - 15(k+1) -1 = ( 16 - 15k -1) + 15.16 -15 = ( 16 - 15k -1) + 15(16 -1) Mà 16 - 15k-1 225 15( 16 - 1) 225 Do 16 - 15(k+1) -1 225 Vậy theo nguyên tắc quy nạp 16 - 15n -1 225 n 14 Hà Văn Tùng Bài 9: Chứng minh rằng: + 3n - 1 n N , n Giải Với n=1 ta có: +3.1- 1= Giả sử với n=k , tức là: +3k-1 Ta cần chứng minh với n=k+1 , tức chứng minh: +3(k+1)-1 Thật vậy: +3(k+1)-1 = 7+3k+ 3-1 = (6+1)+3k+3-1 = 6.7+7 +3k+3-1= (7 +3k-1) +6.7 +3 Ta có : (7 +3k-1) (1) Ta chứng minh: 6.7 +3 - Với k=1 6.7+3 = 45 - Giả sử k=m tức : 6.7 +3 Ta cần chứng minh: Với k= m+1 , tức chứng : (6.7 +3) Thật vậy: (6.7 +3) = 6.7 7+3 = (6 +3).7 - 18 Do : 6.7 + (2) Từ (1)(2) +3(k+1)-1 Vậy : + 3n - 1 n N , n Bài 19: Cho biết n chia dư , chia dư Tìm dư phép chia n cho Giải C : Theo định lý phép chia có dư, ta có : n = 6.q + r ( r< 6) Để n chia dư r phải chia dư (1) Để n chia dư 2thì phải chia dư (2) Các giá trị r có r = thõa mãn (1), (2) C : Theo đề ta có: ( n+1) ( n+1) Mà (3,2) = 1nên (n+1) hay n+1 = 6.q + n = 6.q + Vậy số dư phép chia n cho Bài 11: Cho biết n chia dư , chia dư Tìm dư phép chia n cho 15 Bài 12: Cho biết n chia 11 dư , chia dư Tìm dư phép chia n cho 55 Bài 13:Cho biết n chia 11 dư 10 , chia dư Tìm dư phép chia n cho 33 * CÁC BÀI TOÁN VỀ TẬP HỢP Bài Cho tập hợp A = {x N/ x\6} , a/ Tìm A B, A B, A\B , A.B b/ Hãy thiết lập ánh xạ từ A B B = {x R/ (x-1)(x -4x+3)=0 } Giải A = {x N/ x\6} = {1,2,3,6} B = {x R/ (x-1)(x -4x+3)=0 } = {1,3} a/ A B = {x/ x A x B} = {1,3} A B = {x/ x A x B} = {1,2,3,6} A\B = {x/ x A x B} = {2,6} A.B = { (x,y) A.B / x A , y B} = (1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,3),(6,1)(6,3) b/ Thiết lập song ánh: fAB f AB f AB f AB 1 2 3 6 15 Hà Văn Tùng 1 2 3 3 6 6 Chúc bạn thi tốt! 1 2 1 2 3 6 ... 19: Cho biết n chia dư , chia dư Tìm dư phép chia n cho Giải C : Theo định lý phép chia có dư, ta có : n = 6.q + r ( r< 6) Để n chia dư r phải chia dư (1) Để n chia dư 2thì phải chia dư (2) Các... nên chia hết cho Vậy: ( a +b ) (a+b) với a,b N a,b *DÙNG QUY TẮC KÉO THEO: VD : CMR ba số tự nhiên có hiệu hai số chia hết cho Giải Giả sử có ba số tự nhiên là: a,b,c Lấy a,b,c chia. .. (2) Khi 2945 -3 ≡ (mod 9) Vậy số dư phép chia 2945 -3 chia VD Tìm số dư phép chia có dư : 1532 - chia cho VD : ( 1997 + 1998 + 1999 ) chia cho 111 Giải Ta có: 1997= 111.18+(-1) hay 1997 ≡ -1 (mod