Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập Xác suất thống kê –Chương 5
Xác suất thống kê – chương 5Cao Thành Lực – MAT 11013 - 09020324Bài 2Ta có Vậy ta có V(X1) = vậy suy ra Mặt khác ta có E(S) = Tìm phương sai của SV(S) = (jNhư vậy thay vào ta có V(S) = Bài 3Kỳ vọng.Ta có |S| < 1E |Xn| = E |X1| + E |X2| + … + E |Xn| = n.µPhương sai.V[Sn] = V[Xi] + COV (Xj , Xi) Với i ≠ jXét COV (Xj , Xi)= . p|i-j| Có V[Xi] = n 2=> V[Sn] = n. 2 + . p|i-j| (Với i ≠ j)Bài 4:Obj100Obj101Obj102Obj103Obj104Obj105Obj106Obj107Obj108Obj109Obj110Obj111Obj112Obj113Obj114Obj115Obj116Obj117Obj118Obj119Obj120 Ta có: =>= =Đặt =>=> ==> Bài 8 :* Hàm đặc trưng của Z Do X,Y là các biến ngẫu nhiên độc lập Hàm đặc trưng của Z là :* Giá trị kì vọng Ta cóE[Z] = E[aX + bY] = E[aX] + E[bY] = aE[X] + bE[Y]+ Phương saiObj121Obj122Obj123Obj124Obj125Obj126Obj127Obj128Obj129Obj130Obj131Obj132Obj133 Xác suất thống kê – chương 5Cao Thành Lực – MAT 11013 - 09020324VAR[Z] = = = = = Vì X,Y là các biến ngẫu nhiên độc lập nên2COV(abXY) = 0 = Bài 9: Giả sử Mn là trung bình mẫu của n biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối Xj. Tìm hàm đặc trưng của Mn theo hàm đặc trưng của các Xj.Giải: Ta có: Bài 10:Hàm sinh xác suất của biến ngẫu nhiên nhị thức:= + +…+K X1 X2 Xk= = + +…+ = = ∞ ( - ) - = = ∞ ( ) ( - ) - =( - + )GKx EXK ExX1 X2 Xk j 0 xjCkjpj 1 p k j j 0 Ckj px j 1 p k j 1 p px kVì , ,…,X1 X2 Xk độc lập nên:= = + +…+ = . … = . … =( - + ) .( -GNx EXN ExX1 X2 Xk ExX1 ExX2 ExXk GX1x GX2x GXkx 1 p px n1 1+ ) …( - + ) =( - + ) + +…+ =( - + ) →( )p px n2 1 p px nk 1 p px n1 n2 nk 1 p px n pcmđBài 14 :Obj134Obj135Obj136Obj137Obj138Obj139Obj140Obj141Obj142 gọi là số lần truyền thông điệp máy tính trong thời gian 1 giờvà là thời gian cần thiết cho lần truyền thứ kTa có :P là xác suất số lần truyền không bị lỗi(1-p) Là xác suất số lần truyền bị lỗia) kỳ vọng toán và phương saido các lần truyền là độc lập với nhau và mỗi lần truyền phân phối theo quy luật không-một với tham số là p.theo tính chất của kỳ vọng toán.Vì (k=1 .n) cùng phân phối theo quy luật không-một do đób) do số lần truyền thông điệp là biến ngẫu nhiên nhị thức nên ta có.Hàm sinh cho là. Obj143Obj144Obj145Obj146Obj147Obj148Obj149Obj150Obj151 Xác suất thống kê – chương 5Cao Thành Lực – MAT 11013 - 09020324Bài 17:Ta có một con xúc xắc được gieo 100 lần. ta có mỗi một lần tung sẽ có xác suất là p = Như vậy 100 lần tung ta sẽ X là biến ngẫu nhiên nhị thức vì vậy ta có giá trị kỳ vọng E(X) = giá trị phương sai là V(X) = npq = Áp dụng công thức ta có Mặt khác ta có 300<Mn<400.Ta phải đi tìm được giá trị .Thay vào trình ta có . Từ giá trị ta tìm được thỏa mãn = .Vậy ta có xác suất = 0.999527Bài 18:Biến ngẫu nhiên Gauss.Sx = ( -∞,+∞)fx = (-∞ < x < +∞; > 0) E[X] = m; VAR [X] = 2 , Фx (ω) = e ( jmω - ω/ 2 )Theo giả thiết ta có : E[X] = m = 0 VAR [X] = 2 = 1 fx (x) = Obj152Obj153Obj154Obj155Obj156Obj157Obj158Obj159Obj160Obj161Obj162Obj163Obj164Obj165Obj166Obj167Obj168Obj169 Фx (ω) = e ( - ω/ 2) Từ công thức (5.20) ta có: với n =1 và n= 100P[ |10 - | < ] ≥ (1- ) P[ |100 - | < ] ≥ (1- )Bài 21:Cho X1,X2….Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối mà kỳ vọng và phương sai chưa biếtPhương sai mẫu cho bởia. chứng minh rằng Ta có-Do=>Đpcmb. Dùng kết quả phần a chứng minh rằngObj170Obj171Obj172Obj173Obj174Obj175Obj176Obj177Obj178Obj179Obj180Obj181Obj182 Xác suất thống kê – chương 5Cao Thành Lực – MAT 11013 - 09020324dpcmc.Chứng minh Ta có Bài 22:Gọi là tổng số lần xuất hiện mặt ngửa trong 1000 lần gieoDo dãy biến ngẫu nhiên là dãy phép thử bernulli nên kỳ vọng và phương sai của nó là (p là xác suất xuất hiện mặt ngửa p=1/2)Theo Định lý giới hạn trung tâm ta cóKỳ vọng và phương sai của lần lượt làƯớc lượng xác suất cho số mặt ngửa xuất hiện giữa 400 và 600Ta cóObj183Obj184Obj185Obj186Obj187Obj188Obj189Obj190Obj191 =Ước lượng xác suất xuất hiện mặt ngửa giữa 500 và 550Bài 23 :Làm lại bài tập 16 dùng định lý giới hạn trung tâmGọi là tổng số cử tri đi bầu yêu thích một luật lệ nào đóMỗi cử tri đi bầu có thể xem là một biến ngẫu nhiên bernulli với kỳ vọng và phương sai làBài 24: Kỳ vọng của phép gieo: Phương sai: Kỳ vọng của S100 là Obj192Obj193Obj194Obj195Obj196Obj197Obj198Obj199Obj200Obj201Obj202 Xác suất thống kê – chương 5Cao Thành Lực – MAT 11013 - 09020324Phương sai của S100 là Bài 25:Giả sử Xk là số bóng đèn được thử.= + +…+S16 X1 X2 X16Kỳ vọng của S16 là: μ= . =n 16 36 576qPhương sai của S16 là: σ = μ →σ=μ=n 2 n 2 36Dạng chuẩn tắc của S16 là: = - . = -Z16 S16 57636 4 S16 576144< = < - = < , =Φ , = - ,PS16 600 PZ16 600 576144 PZ16 0 166 0 166 1 Q0 166, = , - , - ( , ) , - , . , - , = , - , - , , . , = ,Q0 166 Q0 1 |Q0 2 Q 0 1 0 2 0 1 0 166 0 1 0 46 |0 421 0 46|0 1 0 066 0 434< = - , = - , = ,PS16 600 1 Q0 166 1 0 434 0 566Bài 29:nếu xem sự truyền của các kênh nhị phân là một phép thử.thì ta có 100 phép thử độc lập.trong mỗi phép thử chỉ có 2 trường hợp,hoặc Bít truyền đi bị lỗi hoặc không bị lỗi.xác suất bị lỗi của mỗi bít truyền là 0,15.Ta gọi X là bít truyền bị lỗi,X phân phối theo quy luật nhị thức với Các tham số là : n=100;p=0,15Do đó :Xác suất để trong 100 lần truyền có ít hơn hoặc = 20 số bít truyền bịlỗi là xác suất để X nhận giá trị trong khoảng [0;20]ta có :XP01Obj203Obj204Obj205Obj206Obj207 2345678910111213Obj208Obj209Obj210Obj211Obj212Obj213Obj214Obj215Obj216Obj217Obj218Obj219 [...]... =>= = Đặt => => = => Bài 8 : * Hàm đặc trưng của Z Do X,Y là các biến ngẫu nhiên độc lập Hàm đặc trưng của Z là : * Giá trị kì vọng Ta có E[Z] = E[aX + bY] = E[aX] + E[bY] = aE[X] + bE[Y] + Phương sai Obj121 Obj122 Obj123Obj124 Obj125Obj126 Obj127Obj128 Obj129 Obj130 Obj131 Obj132 Obj133 Xác suất thống kê – chương 5Cao Thành Lực – MAT 11013 - 09020324 Bài 2 Ta có Vậy ta có V(X 1 )... (j Như vậy thay vào ta có V(S) = Bài 3 Kỳ vọng. Ta có |S| < 1 E |X n | = E |X 1 | + E |X 2 | + … + E |X n | = n.µ Phương sai. V[Sn] = V[Xi] + COV (X j , X i ) Với i ≠ j Xét COV (X j , X i )= . p |i-j| Có V[Xi] = n 2 => V[Sn] = n. 2 + . p |i-j| (Với i ≠ j) Bài 4: Obj100 Obj101Obj102 Obj103 Obj104Obj1 05 Obj106 Obj107Obj108Obj109 Obj110Obj111Obj112Obj113Obj114 Obj115Obj116 Obj117Obj118Obj119Obj120 . Obj 152 Obj 153 Obj 154 Obj 155 Obj 156 Obj 157 Obj 158 Obj 159 Obj160Obj161Obj162Obj163Obj164Obj165Obj166Obj167Obj168Obj169 Фx (ω) = e ( - ω/ 2) Từ công thức (5. 20). cho là. Obj143Obj144Obj145Obj146Obj147Obj148Obj149Obj 150 Obj 151 Xác suất thống kê – chương 5Cao Thành Lực – MAT 11013 - 0902032 4Bài 17:Ta có một con xúc