Bài tập Xác suất thống kê –Chương 4

Meo
Meo(1278 tài liệu)
(57 người theo dõi)
Lượt xem 2858
34
Tải xuống 2,000₫
(Lịch sử tải xuống)
Số trang: 16 | Loại file: DOC
0

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 12/09/2012, 22:29

Mô tả: Bài tập Xác suất thống kê –Chương 4 Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324Chương 4:BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀUBài 2.X = I1 + I2 + I3 + I4Y = min(I1 , I2 , I3 , I4)Z = max(1 2 3 4, , ,I I I I)Ta có giá trị của x nhận các giá trị X = {0 , 1, 2 , 3, 4} , Y = {0 , 1} , Z = {0 , 1}Mặt khác ta có X 1(4, )4β:Vậy ta có [ ]0 4041 3142 2243 1344 0441 30 0.3164 41 3[X=1] =C 0.4214 41 3[X=2] =C 0.214 41 3[X=3] =C 0.0464 41 3[X=4] =C 0.00394 4P X CPPPP   = = =         =         =         =         =      Vậy ta có P[X = 0 , Y = 0 , Z = 0 ] = P[X = 0]P[Y=0/X=0] P[Z = 0/X=0 , Y = 0] = P[X=0] = 0.316P[X=0 , Y = 1 , Z = 0] = P[X = 0 , Z = 1 , Y = 0] = P[X = 0, Y = 1 , Z = 1] = 0Tương tự ta cũng có các giá trị P [X = 1 , Y = 0 , Z = 1] = P[X = 1] = 0.421Các trường hợp khác = 0X = 2P[X =2 , Y = 0 , Z = 1] = P[X = 2] = 0.21X = 3P[X = 3, Y = 0 , Z = 1] = P[X = 3] = 0.046X = 4P[X = 4 , Y = 0 , Z = 1] = P[X = 4] = 0.0039Câu b , khi rút các quả bóng ra nhưng không trả lại vào hộp ta cóCác giá trị của X = {0 ,1 , 2, 3, 4} , Y = {0 , 1} , Z = {0 , 1} Bài 3a, P[|X|< 5, Y<2, Z2 ≥2] = ADo X, Y , Z là biến ngẫu nhiên độc lập A = P[|X|< 5]. P[Y.2].P[Z2 ≥2] = [Fx (5-) – Fx(-5)] .[Fy(2-)].P([-∞,-2] ∪ [2,+∞) = [Fx(5) - Fx(-5)].[Fy(2)].[Fz(2) + (1-Fz(2)]b, Tương tự ta có P[X<5, Y<0, Z=1] = P[X<5].P[Y<0].P[Z=1] = Fx(5-). Fy(0-).[Fz(1-)- Fz(1)]C,P[min(X,Y,Z)>2] = P[X<2, Y>2, Z>2] = [1-Fx(2+)].[1-Fy(2+)].[1-Fz(2+)]Trang1Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324d, P[Max(X, Y, Z)<6]=P[X<6, Y<6, Z<6] =Fx(6-). Fy(6-). Fz(6-)Bài 4:a. hàm xác suất đồng thời cho (X1,X2)Vì các lần tung là độc lập và các kết cục của mỗi lần tung là đồng khả năng, ta có X1X21 2 3 4 5 61 a a a a a a2 a a a a a a3 a a a a a a4 a a a a a a5 a a a a a a6 a a a a a aTa có:361136=⇒=aaVậy ta có: X1X21 2 3 4 5 6136136136136136136123613613613613613613361361361361361361436136136136136136153613613613613613616361361361361361361b. với ( )( )==2121,max,minXXYXXXBài 9: 222 2( , )byaxf x y axe bye−−= x > 0, y > 0, a > 0, b > 0Trang2Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324a) 2 2 2 222 2 2 200 0( ) ( ) 12xx xax ax ax axXaxF x axe dx e d e e− − − −= = − − =− = −∫ ∫Tương tự: 2 22 20( ) 1yby byXF y bye dy e− −= = −∫Suy ra 222 21 1 x > 0, y > 0( , )0 ubyaxXe eF x yne−−  − −  =  ≠b) Tìm P[X > Y]220( ) 1axP X axe dx+∞−= =∫2 222 2 2( )by bybxxxP Y bye dy e e+∞+∞− −−= =− = −∫22( )bxP X Y e−⇒ > = −c) Tìm các hàm mật độ biên2 22 22 22 22 22 2 2 20 022 2 2 2002 2( )1 1( )2(1 0)by byax axXby byax axax axf x axe bye dy abxe ye dybyabxe e d abxe eb baxe axe+∞ +∞− −− −+∞+∞− −− −− −= = = − − = −   = − =∫ ∫∫2 222 2 20( )by byaxXf y axe bye dx bye+∞− −−= =∫ Bài 10. a.b. Nếu hoặc thì hàm mật độ Nếu NếuTrang3Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324Nếu Nếu c. Hàm mật độ biên của XHàm mật độ biên của YBài 11.Miền giới hạn bởi : 122≤+yxĐặt ϕcosrx= ϕsinry=Định thức Jacobi rrrddydrdyddxdrdxJ=−==ϕϕϕϕϕϕcossinsincos∫ ∫=⇒πϕ2011 odrrkdππϕπ111220=⇔=⇔=⇔∫kkdkHàm mật độ biên :ππ11)(10==∫dyxfXππ11)(10==∫dxyfY Miền giới hạn bởi :(1) y = x +1 (2) y = -x + 1(3) y = x – 1(4) y = -x - 1Trang4Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 0902032410101101010010110=+++∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫− −−+−+−−+xxxxkdydxkdydxkdydxkdydxkdxxdxxdxxdxx1)1()1()1()1(01101001=++−+−++⇔∫∫∫∫−−2112=⇔=⇔kkMiền giới hạn bởi : y = -x + 111010=∫ ∫−xkdydx21211)1(10=⇔=⇔=−⇔∫kkkdxxBài 12:Vecto ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ xác suất đồng thời2,( , ) 2x yX Yf x y e e− −= 0, 0x y> >Hãy tìm xác suất của các sự kiện sau:a.{ 8}X Y+ ≤Ta có :P[{ 8}X Y+ ≤] = 8 8 82 20 0 082 ( )0xx y x yxe dx e dy e dx e−− − − −−= −∫ ∫ ∫ 8 8 82( 8) 2 160 0 02 ( 1) 2 . 2x x x x xe e dx e e dx e dx− − − − −= − + = − +∫ ∫ ∫8 8160 02 2x xe dx e dx− −= − +∫ ∫16 8 16 8 16 88 82 2 2 2 2 2 2( 2 1)0 0x xe e e e e e e− − − − − − −= − − = − + − + = − +.{ }b X Y<Ta có: P[{ }X Y<] 2 2 20 0 0 02 2 ( ) 2 ( 1)0yy x y x y yye dy e dx e dy e e e dy∞ ∞ ∞− − − − − −= = − = − +∫ ∫ ∫ ∫3 2 3 20 022 2 ( ) ( )0 03y y y ye dy e dy e e∞ ∞− − − −∞ ∞= − + = −∫ ∫2 1(0 1) (0 1)3 3= − − − =.{ 10}c X Y− ≤P[{ 10}X Y− ≤] 102 2 2 100 0 0 0102 2 ( ) 2 ( 1)0yy x y x y yye dy e dx e dy e e e dy+∞ ∞ ∞− − − − − − −+= = = − +∫ ∫ ∫ ∫3 10 2 3 10 20 022 2 ( ) ( )0 03y y y ye dy e dy e e∞ ∞− − − − − −∞ ∞= − + = −∫ ∫ 10 102 2(0 ) (0 1) 13 3e e− −= − − − = − +Bài 13: Cho X, Y có hàm mật độ xác suất đồng thời:fX,Y(x,y) = xe-x(1+y) x > 0, y > 0Hàm mật độ biên của X và củaY:Trang5Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324Bài 14 :Lúc 0ρ= ta có :( )( )2 22,.1,2x yX Yf x y eπ− +=Lúc này 2 2 2p X Y R + <  bằng 4 lần tích phân của hàm ( ),,X Yf x yTrên miền 1D2 21242x yDP e dxdyπ    − +=∫∫ Chuyển sang tạo độ cực ta được.02πϕ≤ ≤,0 r R≤ ≤⇒ 2 2 22 2 22 2 20 0 0 002 2 2. 1RRr r RP d r e dr e d e dπ π πϕ ϕ ϕπ π π−− −         = = − = − −∫ ∫ ∫ ∫ 2222121 .2RReeππ−−       −= − − = Bài 24: X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối đều trong đoạn [0,1]a.Tính P[X2 < 1/2, |Y - 1| < 1/2] 211P[X 1/ 2,| Y 1| 1/ 2] P[0 X , 1]221 1 1 11P[0 X ]. [ 1] .22 22 2 2YP Y< − < = < < < <= < < < < = =b. Tính P[X/2 < 1, Y > 0]1[ / 2 1, 0] [0 1/ 2]. [ 0]2P X Y P X P Y< > = < < > =Trang6Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324c. Tính P[XY < 1/2]d. Tính P[min(X,Y) > 1/3]2 2 4[min( , ) 1/ 3] [ 1/ 3]. [ 1/ 3] .3 3 9P X Y P X P Y> = > > = =Bài 25. a. , ta có:Mặt khác:Suy ra:Vậy X và Y là độc lập (đpcm)b. Ta có:Trong đó:Bài 40. Một điểm X, Y, Z được chọn ngẫu nhiên trong hình cầu đơn vịa. Tìm hàm mật độ đồng thời biên của X vàY:Trang7Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324Nếu :Nếu khác:b. Tìm hàm mật độ biên của X:Nếu :Nếu khác:c. Cho trước Z, tìm hàm mật độ đồng thời có điều kiện của X và Y:Nếu :Nếu khác: không xác địnhd. X, Y, Z có độc lập hay không:Suy ra X, Y, Z không độc lậpBài 53a,Tìm hàm mật độ xác suất đồng thời của các hàm sau : 321211XXXWXXVXU++=+==Ta có ma trận=321.111011001XXXWVU⇒VWXUVXUX−=−==321Ma trận Jacibian của phép biến đổi ngược là :−−=ℑ110011001|| = 1Ta có hàm mật độ xác suất đồng thời được xác định theo công thức sau|),,(|)),,();,,();,,((),,(321,,,,zyxwvuhwvuhwvuhwvuffZYXWVUℑ=Trang8Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324= |),,)(|)).,,();,,();,,((321,,wvuwvuhwvuhwvuhfZYXℑTa có với 321,, XXX là các biến ngẫu nhiên có hàm phân phối đồng thời Gaussππ2),,()21.2(321,,23212221321efxxxxxXXXxxx+−+−= (*)Do đó hàm mật độ xác suất của U,V,W là ),,(),,(321321,,321,,vwuvuxxxffXXXXXX−−=Bằng việc thay thế x,y,z bởi u,v,w trong biến lũy thừa đi đến ])(21).(2)()[(222wvvuuvuu +−++−−+−+− ])22(223)22[(]22222[222222222vwuvwvuvwwvuuvuvvuu−+−+++−=−+++−−++−=Thay vào ( * ) ta được ππππ22),,(])22(223)22[()21.2(321,,22223212221321eefvwuvwvuxxxxxXXXxxx−+−+++−+−+−==Bài 54: Hàm mật độ xác suất đồng thời của X1 và X2 là:1 21 2 1 2( )2, 1 2 1 2( , ) ( ). ( )x xX X X Xf x x f x f x eλλ− += = với x1,x2 ≥ 01 21 2 1 22 22X XM X X M X M X+= ⇒ + = ⇔ = −Thay vào V ta có: ( ) ( )2 21 2 2 12 21 21 2 1 22 22 22 2X X X XX M X MV VX X V X V X− −   +   − + −   = ⇔ =⇔ − = ⇔ = +1 11 2( 2 )2, 1 1 1 12 2 2 21 1( ) ( ,2 )x M xM X XM Mf M f x M x dx e dxe dx e xλλ λλλ λ∞ ∞− + −−∞ −∞∞∞− −−∞−∞= − == =∫ ∫∫1 11 21 1 1( 2 )2, 1 1 1 122 ( ) 2 221 1( ) ( , 2 )1( 2 )22 4x x VV X Xx V x xV Vf V f x x V dx e dxe dx e d x ee eλλ λ λλλ λλ λλ∞ ∞− + −−∞ −∞∞∞ ∞− − − −−∞−∞ −∞= − = = = − = − − ∫ ∫∫ ∫Trang9Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324Bài 55. a.b. Vì X và Y là những biến ngẫu nhiên mũ độc lập nên:Bài 59 :a. tìm ( )2X YE + ( )( ) ( ) ( )()( )()22 2' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ', , ,' ' ' ' ' ' ' ',' ' ' '2 ., 2 . , ,2 . ,2 .X Y X Y X YX YX YX Y E X X Y Yx f x y dy dx x y f x y dy dx y f x y dy dxdx x y f x y dy dx y y dyE X E X Y E YEx f x f+∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞−∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞+∞ +∞−∞ −∞+∞ +∞−∞ −∞             + = + + == + += + += + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫b. phương sai của (X+Y). ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )2222 22 22 22 22 22 .2 . 2 .2 .2 .2 .2 .X Y E X Y E X YE X X Y Y E X E YE X E X Y E Y E X E X E Y E YE X E X E X Y E Y E YV X E X Y V YVE X E YE X E Y                                       + = + − += + + − += + + − + += − + − + −= + − +c. phương sai của tổng bằng tổng các phương sai riêng biệt trong trường hợp X,Y là các biến ngẫu nhiên độc lập.Trang10[...].. .Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 090203 24 Chương 4: BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU Bài 2.X = I1 + I2 + I3 + I 4 Y = min(I1 , I2 , I3 , I 4 )Z = max(1 2 3 4 , , ,I I I I)Ta có giá trị của x nhận các giá trị X = {0 , 1, 2 , 3, 4} , Y = {0 , 1} , Z = {0 , 1}Mặt khác ta có X 1 (4, ) 4 β:Vậy ta có [ ]0 4 0 4 1 31 4 2 22 4 3 13 4 4 0 4 41 30 0.316 4 41... +Trang16 Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 090203 24  E[X]=E[ VAR[X]=E[Hiệp phương sai:Hệ số tương quan được cho bởi: pX,Y=c.Trường hợp 3 :+ Với 0≤x≤1 , 0≤y≤1 , k=2 : Tương quan của X và Y là: E[XY]= = =1/12 Có:E[Y l x]=  E[Y] =  E[ = VAR[Y]=E[Có:E[X l y]= E[X]=E[Trang15 Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 090203 24 [ ]( ) (... [1-Fx(2+)].[1-Fy(2+)].[1-Fz(2+)]Trang1 Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 090203 24  VAR[X]=E[Hiệp phương sai:Hệ số tương quan c cho bi: pX,Y= Bài 68: Hoàn thành nốt các tính toán ở ví dụ 4. 43Ta cú v Bi 69: X là đầu vào của một kênh thông tin. X nhận giá trị ±1 với các khả năng như nhau. Giả sử đầu ra của kênh là Y = X + N, với N là biến ngẫu nhiên Laplace... trong bài 11:f(x,y)=ka. Trường hợp 1 k=1/πGiả sử là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên (0,2π).Giả sử X=cos ,Y=sin .Từ ví dụ 4. 42,ta có X,Y là 2 biến ngẫu nhiên phụ thuộc và không tương quan,E[X]=E[Y]=0 E[XY]=0 COV(X,Y)=E[XY]-E[Y].E[X]=0b.Trng hp 2:+Vi -1x0 v 0y1,khi ú k= ẵ Tương quan của X và Y là: E[XY]= = =0- ¼ .(1 /4- 2/3+1/2)= ¼ (3 /4- 2/3)=-1 /48 Có:Trang11 Xác suất thống kê –Chương 4. .. :−−=ℑ110011001|| = 1Ta có hàm mật độ xác suất đồng thời được xác định theo công thức sau|),,(|)),,();,,();,,((),,(321,,,,zyxwvuhwvuhwvuhwvuffZYXWVUℑ=Trang8 Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 090203 24 c. Tính P[XY < 1/2]d. Tính P[min(X,Y) > 1/3]2 2 4 [min( , ) 1/ 3] [ 1/ 3]. [ 1/ 3] .3 3 9P X Y P X P Y> = > > = = Bài 25. a. , ta có:Mặt khác:Suy... {0 , 1, 2 , 3, 4} , Y = {0 , 1} , Z = {0 , 1}Mặt khác ta có X 1 (4, ) 4 β:Vậy ta có [ ]0 4 0 4 1 31 4 2 22 4 3 13 4 4 0 4 41 30 0.316 4 41 3[X=1] =C 0 .42 1 4 41 3[X=2] =C 0.21 4 41 3[X=3] =C 0. 046 4 41 3[X =4] =C 0.0039 4 4P X CPPPP   = = =         =         =         =         =      Vậy ta có P[X... 6136136136136136136123613613613613613613361361361361361361 4 36136136136136136153613613613613613616361361361361361361b. với ( )( )==2121,max,minXXYXXX Bài 9: 222 2( , )byaxf x y axe bye−−= x > 0, y > 0, a > 0, b > 0Trang2 Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 090203 24 Nếu :Nếu khác:b. Tìm hàm mật độ biên của X:Nếu... = + − += + − ++= Bài 61:Do X,Y là độc lập => 4 1.2)().(),(2,2πefffxyxyxYXYX−==Vậy E[YX2]=dxdyxyex 4 1.2 31222∫ ∫∞∞− −−π =dxxdxxexyex∫ ∫∞∞−∞∞−−−−=223122222.2 64 1|2.2. 4 1ππĐặt I=dxxex222.−∫ do là hàm chẵn nên2221 .4 2.203222ππ===∫∞−dxxIex=> 22.2 64 1][2ππ=YEX Bài 66:Hệ số tương quan... 3 - 090203 24 d, P[Max(X, Y, Z)<6]=P[X<6, Y<6, Z<6] =Fx(6-). Fy(6-). Fz(6-) Bài 4: a. hàm xác suất đồng thời cho (X1,X2)Vì các lần tung là độc lập và các kết cục của mỗi lần tung là đồng khả năng, ta có X1X21 2 3 4 5 61 a a a a a a2 a a a a a a3 a a a a a a 4 a a a a a a5 a a a a a a6 a a a a a aTa có:361136=⇒=aaVậy ta có: X1X21 2 3 4 5 6136136136136136136123613613613613613613361361361361361361 4 36136136136136136153613613613613613616361361361361361361b.... trị P [X = 1 , Y = 0 , Z = 1] = P[X = 1] = 0 .42 1Các trường hợp khác = 0X = 2P[X =2 , Y = 0 , Z = 1] = P[X = 2] = 0.21X = 3P[X = 3, Y = 0 , Z = 1] = P[X = 3] = 0. 046 X = 4 P[X = 4 , Y = 0 , Z = 1] = P[X = 4] = 0.0039Câu b , khi rút các quả bóng ra nhưng không trả lại vào hộp ta cóCác giá trị của X = {0 ,1 , 2, 3, 4} , Y = {0 , 1} , Z = {0 , 1} Bài 3a, P[|X|< 5, Y<2, Z2 ≥2] = ADo . có [ ]0 40 41 3 142 2 243 1 344 044 1 30 0.31 64 41 3[X=1] =C 0 .42 14 41 3[X=2] =C 0.2 14 41 3[X=3] =C 0. 046 4 41 3[X =4] =C 0.003 94 4P X CPPPP . Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324Chương 4: BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀUBài 2.X = I1 + I2 + I3 + I4Y = min(I1

— Xem thêm —

Xem thêm: Bài tập Xác suất thống kê –Chương 4, Bài tập Xác suất thống kê –Chương 4, Bài tập Xác suất thống kê –Chương 4

Lên đầu trang

Bạn nên Đăng nhập để nhận thông báo khi có phản hồi

123doc

Bạn nên Đăng nhập để nhận thông báo khi có phản hồi

Bình luận về tài liệu bai-tap-xac-suat-thong-ke-chuong-4

Từ khóa liên quan

Đăng ký

Generate time = 0.086642980575562 s. Memory usage = 18.63 MB