1 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x 0  (a,b). Nếu tồn tại 0 0 xx xx ) x ( f ) x ( f lim 0    thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x 0 . Ký hiệu f’(x 0 ), y’(x 0 ) Đặt x = x – x 0 , ta có x = x 0 + x và đặt y = f(x 0 + x) – f(x 0 ) thì x y lim'y 0 x      Ký hiệu dy/dx, df/dx 2 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN - Đạo hàm bên phải: - Đạo hàm bên trái: x y lim'y 0 x       x y lim'y 0 x       - Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, - f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x 2 , y = sinx 3 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: • u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ • u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u • u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và 2 ' v u'vv'u v u         Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). 4 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f -1 (y) thì hàm số x = f -1 (y) có đạo hàm tại y = f(x): )]y(f['f 1 )x('f 1 )y()'f( 1 1    Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 5 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: (c)’ = 0 (x  )’ = x -1 (a x )’ = a x lna (e x )’ = e x a ln x 1 )'x(log a  x 1 )'x(ln  (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx x cos 1 )'tgx( 2  x sin 1 )'gx(cot 2  2 x 1 1 )'x(arcsin   2 x 1 1 )'x(arccos   2 x 1 1 )'arctgx(   2 x 1 1 )'gxcotarc(   6 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) 2 2 2 2 dx fd , dx yd Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f (n) (x), y (n) (x). n n n n dx fd , dx yd 7 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v) (n) = u (n) + v (n)     n 0 k k)kn(k n )n( v.uC)uv( trong đó u (0) = u, v (0) = v Ví dụ: Cho y = x  (  R, x > 0), y = ke x , tìm y (n) 8 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f. Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv 2 v udvvdu v u d         9 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f( n-1) khả vi, ta ký hiệu d (n) y = y (n) dx n (d (n) f = f (n) dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. 10 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho )c('f a b ) a ( f ) b ( f    Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). [...]... x 1 16 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN CỰC TRỊ Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x)  f(x0) (f(x)  f(x0)) Chiều biến thiên của hàm số: Định lý: Cho f khả vi trong (a,b): 1 Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng 2 Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a,b) thì f giảm 17 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện cần của cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt...C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f (b )  f ( a ) f ' ( c )  g(b)  g(a) g' (c ) Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x 11 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong... 19 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện đủ của cực trị: Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0 a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x0 b) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0 c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x0 20 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp... ĐẠO HÀM – VI PHÂN Điều kiện cần của cực trị: Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x0 và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0 Ví dụ: Hàm số y = x3, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số không đạt cực trị Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0) không tồn tại 18 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f: a) Không... ( x  x0 )n1 (n  1)! 12 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN • Đa thức Taylor: f k ( x0 ) k Pn ( x )   ( x  x0 ) k 0 k! n Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin f ' ( 0) f " ( 0) 2 f ( n ) (0) n f ( n 1) (c) n 1 f ( x )  f (0)  x x   x  x 1! 2! n! (n  1)! 13 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với...  • Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần 14 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1 Dạng 0/0, / Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0) tgx  x x3  27 lim lim 2 x 0 x  sin x x 3 x  4 x  3   arctgx x  sin x lim 2 lim 1 x 0 x  x3 x Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /) xn ln x ln x lim x lim n lim x   e x   x x 0  cot gx 15 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2 Dạng 0.,  - : Chuyển chúng về dạng 0/0, /... SỐ ỨNG DỤNG Hàm số kinh tế: • Hàm sản xuất : Q = f(K,L) • Hàm doanh thu : TR = PQ • Hàm chi phí : TC = f(Q) • Hàm lợi nhuận :  = TR - TC Ví dụ: Một quán bún bình dân, hãy tính mỗi ngày bán bao nhiêu tô thì có lời với giá bán 5.000đ/tô và chi phí như sau: Thuê mặt bằng, điện nước 50.000đ/ngày Bún 300đ/tô Gia vị 200đ/tô Thịt bò, heo Nhân vi n 2.000đ/tô 500đ/tô 24 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Ý nghĩa đạo hàm trong... cực tiểu b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn: 1 Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút 2 Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính trên là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm) 21 C2 ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số: f(x) = x3 – 3x2 +1 trên đoạn [-1/2, 4] 22 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Biến kinh... trường có hàm cầu là: Q = 1.000 – 14P Tìm MR khi p = 40 và p = 30 27 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit) Hàm lợi nhuận:  = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)) Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi nhuận khi giá hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị 28 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Tối đa hóa lợi nhuận: Hàm chi phí: TC = TC(x) Hàm cầu: x = QD = f(P) Giả sử thị trường độc quyền: Hàm lợi nhuận:... cho nhận xét khi L=100 cho bởi hàm sản xuất sau: Q5 L 25 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Chi phí biên MC: (Marginal Cost) Hàm chi phí: TC = TC(Q) MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơn vị • Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét TC = 0,0001Q3 – 0,02Q2 + 5Q + 100 26 MỘT SỐ ỨNG DỤNG • Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue) Hàm doanh thu: TR = PQ • Nếu: Q . -sinx x cos 1 )'tgx( 2  x sin 1 )'gx(cot 2  2 x 1 1 )'x(arcsin   2 x 1 1 )'x(arccos   2 x 1 1 )'arctgx(   2 x 1 1 )'gxcotarc(   6 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu:. có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x 2 , y = sinx 3 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo. f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). 4 C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f -1 (y) thì hàm số x