Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x  (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0. Ví dụ: xy – e x + e y = 0 Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến: Ví dụ: Tính y’ nếu: F(x,y) = x 3 + y 3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – e x + e y = 0 Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến: Ví dụ: tính z x , z y nếu xyz = cos(x+y+z) y x F F y ' z x F F x z    z y F F y z    4. CỰC TRỊ Cực trị tự do: Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x 0 ,y 0 ) nếu tồn tại một lân cận  của M 0 sao cho f(M)  f(M 0 ), M   (f(M)  f(M 0 ), M  ). F(M 0 ) gọi chung là cực trị. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x 2 + y 2 Điều kiện cần để có cực trị: Nếu f(x 0, y 0 ) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x 0 ,y 0 ) thì: f’x(x 0 ,y 0 ) = 0, f’y(x 0 ,y 0 ) = 0 Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y). Tại những điểm thỏa z x = z y 0, ta gọi định thức Hessian: Đặt: • Nếu |H 1 |>0, |H 2 |>0: z đạt cực tiểu • Nếu |H 1 |<0, |H 2 |>0: z đạt cực đại yyyx xyxx zz zz H  yyyx xyxx xx zz zz HzH  2 ,1 Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x 2 + y 2 + 4x – 2y + 8, z = x 3 + y 3 Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số y = f(x 1 ,x 2 …x n ). Tại những điểm thỏa f x1 = f x1 = … f x1 = 0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặt Ta có định thức Hessian: • Nếu |H 1 |>0, |H 2 |>0,… |H n |>0 : z đạt cực tiểu • Nếu |H 1 |<0, |H 2 |>0,… (-1) n |H n |>0 : z đạt cực đại Ví dụ: Tìm cực trị hàm số y = x 3 + y 2 + 2z 2 -3x - 2y – 4z Cực trị có điều kiện: Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị có điều kiện. Định lý: Nếu M 0 (x 0 ,y 0 ) là cực trị có điều kiện trên. Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) + (c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì: nnnn n n n fff fff fff H ff ff HfH , , 21 22221 11211 2221 1211 2111          0),( 0 0 yxgcL gfL gfL yyy xxx     là nhân tử Lagrange, điểm M0(x 0 ,y 0 ) của hệ trên gọi là điểm dừng. Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1. Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x 1 ,x 2 ,…x n ) với điều kiện g(x 1 ,x 2 ,…x n ) = c. Hàm Lagrange L = f + (c-g) Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện: Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M 0 , xét định thức Hessian đóng: • Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện • Nếu |H|<0: f đạt cực đại có điều kiện Ví dụ: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số: f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x 2 + y 2 = 1 22 1 yxz               0 0 0 0 222 111 gcL gfL gfL gfL nnn     yyyxy xyxxx yx LLg LLg gg H 0  Mở rộng hàm n biến: Xét hàm số f(x 1 ,x 2 ,…x n ) với điều kiện g(x 1 ,x 2 ,…x n ) = c. Hàm Lagrange: L = f + (c-g). Xét tại điểm dừng M 0 (x 0 ,y 0 ), ta xét định thức Hessian đóng: • Nếu |H 2 |<0, |H 3 |<0,… |Hn|<0 : z đạt cực tiểu • Nếu |H 2 |>0, |H 3 |<0,… (-1) n |H n |>0 : z đạt cực đại Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z với điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 nnnnn n n n LLLg LLLg LLLg ggg H 0 21 222212 112111 21  . kiện trên. Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) + (c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì: nnnn n n n fff fff fff H ff ff HfH , , 21 22 221 1 121 1 22 21 121 1 21 11          0),( 0 0 yxgcL gfL gfL yyy xxx    . của hàm số: f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x 2 + y 2 = 1 22 1 yxz               0 0 0 0 22 2 111 gcL gfL gfL gfL nnn     yyyxy xyxxx yx LLg LLg gg H 0  Mở rộng hàm. cực trị hàm số u = x – 2y + 2z với điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 1 nnnnn n n n LLLg LLLg LLLg ggg H 0 21 22 221 2 1 121 11 21 