Các công thức xác suất 1.1. Xác suất điều kiện - Công thức xác suất của biến cố tích - Sự độc lập của các biến cố 1.1.1 Xác suất điều kiện Trong nhiều trường hợp, một vấn đề được đặt ra là: ta có thể nói gì về xác suất của biến cố A nếu có thông tin biến cố B nào đó (liên quan tới A) đã xảy ra? Trong những trường hợp đơn giản nhất, câu trả lời khá dễ dàng. Chẳng hạn, nếu A và B xung khắc thì A không thể xảy ra, vì vậy xác suất để A xảy ra bằng 0. Trường hợp khác, nếu thì A chắc chắn xảy ra nên xác suất của nó bằng 1. Vấn đề còn lại, nếu B đã xảy ra chỉ cho ta một phần thông tin về phép thử (tức cho A) thì khi đó P(A) được xác định thế nào. Khái niệm xác suất điều kiện sẽ được sử dụng cho trường hợp này. Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian xác suất (W, , P) và B với P(B) > 0. Khi đó với biến cố A bất kỳ, xác suất điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra, ký hiệu được xác định bởi Dễ chứng minh được nếu B với P(B) > 0 thì là một độ đo xác xuất. Từ đó ta nhận được Tính chất 1.1.2. * . * * . * Ví dụ 1.1.3. Một hộp có 6 chiếc bút xanh; 5 bút đỏ và 9 bút đen. Chọn ngẫu nhiên ra 1 chiếc bút thì thấy đó không phải là bút đen. Tính xác suất để bút chọn ra là bút xanh. Giải. Đặt A là biến cố “Chọn được bút xanh” và B là biến cố “chọn được bút không phải là bút đen”. Ta cần tìm Do AB = A nên 1.1.2 Công thức xác suất của biến cố tích Từ định nghĩa xác suất điều kiện ta suy ra Mở rộng cho trường hợp tổng quát ta nhận được Ví dụ 1.1.4. Một lô sản phẩm gồm có 100 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm. Kiểm tra liên tiếp không hoàn lại 4 sản phẩm, nếu thấy có ít nhất 1 phế phẩm thì không nhận lô hàng. Tính xác suất để lô hàng được nhận. Giải. Đặt A i là biến cố “sản phẩm kiểm tra thứ i là sản phẩm tốt”, i = 1, 2, 3, 4 và A là biến cố “lô hàng được nhận”. Ta có P(A) = Ví dụ 1.1.5. Một cuộc thi có 3 vòng thi. Vòng 1 lấy 90% thí sinh; vòng 2 lấy 80% thí sinh của vòng 1 và vòng 3 lấy 60% thí sinh của vòng 2. Tính xác suất để một thí sinh bị loại ở vòng 2 nếu biết rằng thí sinh đó bị loại. Giải. Ký hiệu B i là biến cố “thí sinh đỗ ở vòng thi i”, i = 1, 2, 3 và B là biến cố “thí sinh vượt qua cả 3 vòng thi”. Ta cần tính . Có Từ đó . 1.1.3 Sự độc lập của các biến cố Định nghĩa 1.1.6. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu P(AB) = P(A) . P(B) Từ định nghĩa trên dễ suy ra các kết quả sau  Hai biến cố A và B là độc lập với nhau khi và chỉ khi hoặc  Hai biến cố A và B là độc lập với nhau khi và chỉ khi độc lập hoặc là độc lập hoặc là độc lập. Định nghĩa 1.1.7. Dãy n biến cố B 1 , B 2 , , B n được gọi là * Độc lập từng đôi nếu P(B i B j ) = P(B i ) . P(B j ) với mọi i j; i, j = * Độc lập trong toàn thể nếu với bất kì 1 i 1 <i 2 <…< i r n; r = 2, 3,…, n thì Chú ý: Nếu các biến cố B 1 , B 2 ,…,B n độc lập trong toàn thể thì chúng độc lập từng đôi. Tuy nhiên khẳng định ngược lại không chắc đúng. Ta xét ví dụ sau. Ví dụ 1.1.8. Gieo đồng thời 2 đồng xu cân đối và đồng chất. Đặt A là biến cố ”đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp”; B là biến cố ”đồng xu thứ hai xuất hiện mặt ngửa”; C là biến cố ”cả hai đồng xu cùng xuất hiện mặt sấp hoặc cùng xuất hiện mặt ngửa”. Xét tính độc lập của 3 biến cố A, B, C. Giải. Vì không gian mẫu nên ta có . ; Từ đó suy ra A, B, C là các biến cố độc lập từng đôi. Mặt khác, vì A, B, C không đồng thời xảy ra nên P(ABC) = 0 Vậy các biến cố A, B, C không độc lập trong toàn thể. Để hiểu rõ hơn về tính độc lập của các biến cố, xét các ví dụ sau Ví dụ 1.1.9. Gieo đồng thời 2 xúc xắc cân đối, đồng chất. Ký hiệu A là biến cố” Tổng chấm xuất hiện trên 2 xúc xắc là 7”; B là biến cố” xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm” và C là biến cố” xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 3 chấm”. Chứng minh biến cố A độc lập với các biến cố B, C nhưng không độc lập với biến cố BC. Giải. Ta có Để tổng chấm xuất hiện trên 2 xúc xắc là 7 ta có các khả năng sau” (1, 6); (6, 1); (2, 5); (5, 2); (3, 4); (4; 3). Vậy Từ đó suy ra hay A, B độc lập. Tương tự A và C cũng độc lập. Tuy nhiên do nên A và BC không độc lập. Ví dụ 1.1.10. Ba xạ thủ, mỗi người độc lập bắn 1 viên đạn vào cùng một mục tiêu. Xác suất bắn trúng đích của mỗi người tương ứng là 0,8; 0,75 và 0,7. Tính xác suất để có đúng một người bắn trúng mục tiêu. Giải. Ký hiệu A i là biến cố ”người thứ i bắn trúng”, i = 1, 2, 3 và A là biến cố ” có đúng một người bắn trúng mục tiêu”. Ta có = 0,8.0,25.0,3 + 0,75.0,2.0,3 + 0,7.0,2.0,25 = 0,14 1.2. Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes 1.2.1 Công thức xác suất toàn phần Giả sử A 1 , A 2 , , A n là một hệ đầy đủ các biến cố và P(A i ) > 0 với mọi i = 1, 2, , n. Khi đó với mọi biến cố A bất kỳ ta luôn có Từ đó, . Các công thức xác suất 1. 1. Xác suất điều kiện - Công thức xác suất của biến cố tích - Sự độc lập của các biến cố 1. 1 .1 Xác suất điều kiện Trong nhiều trường hợp,. nên 1. 1.2 Công thức xác suất của biến cố tích Từ định nghĩa xác suất điều kiện ta suy ra Mở rộng cho trường hợp tổng quát ta nhận được Ví dụ 1. 1.4. Một lô sản phẩm gồm có 10 0 sản. = 1, 2, 3 và A là biến cố ” có đúng một người bắn trúng mục tiêu”. Ta có = 0,8.0,25.0,3 + 0,75.0,2.0,3 + 0,7.0,2.0,25 = 0 ,14 1. 2. Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes 1. 2.1