Đang tải... (xem toàn văn)
Hàm phức toán tử - Ánh xạ bảo giác
1Math Dept, Faculty of Applied Science, HCM University of Technology-------------------------------------------------------------------------------------Hàm phức toán tử Ch ng 5ươ : nh xạ bảo giác•Gi ng viên. TS Đặng Văn Vinh (12/2006)ả 2CONTENTS---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------I – nh xạ bảo giácII – Phép biến đổi f(z) = 1/zIII – Phép biến đổi tuyến tính f(z) = az + bIV – Phép biến đổi phân tuyến tính+=+( )az bT zcz d 3I. nh xạ bảo giác---------------------------------------------------------------------------------Ánh xạ w = f(z) được gọi là ánh xạ bảo giác trên miền D nếu f(z) bảo giác tại mọi điểm thuộc miền D. Định nghĩa ánh xạ bảo giácCho w = f(z) là hàm phức định nghĩa trên miền D. Cho z0 là một điểm của miền D. f(z) được gọi là ánh xạ bảo giác tại điểm z0 nếu góc của hai đường cong trơn định hướng C1 và C2 qua z0 bằng với góc của ảnh của hai đường cong đó và hướng của góc khơng thay đổi.Ánh xạ bảo giác (bảo: bảo tồn; giác: góc) là ánh xạ bảo tồn góc giữa hai đường cong trơn tùy ý theo đúng hướng quay của góc 4I. Ánh xạ bảo giácĐiều kiện: Đường cong C1 trơn để đảm bảo hệ số góc tiếp tuyến của C1 tại z0 là ' '1 1 0( ) 0z z t= ≠Khi đó là góc giữa véctơ và chiều dương trục ox.'1arg(z )'1zgóc giữa C1 và C2 tại z0 có giá trị' '2 1arg(z ) arg(z )−Nếu hàm f giải tích trong miền D có chứa z0 và Định lý 1.'0( ) 0f z ≠thì w = f(z) là ánh xạ bảo giác tại z0. 5Hai đường cong trên cắt nhau tại điểm z0 = 1 + i. Khảo sát góc tại z0 giữa hai đường cong này và giữa hai ảnh của chúng qua phép biến đổi: 2 21 21( ) (2 ) ; ( ) ( 1) ;0 22z t t t t i z t t t i t= + − = + + ≤ ≤w=zCho hai đường cong C1 và C2 có phương trình tham số lần lượt là Ví dụI. Ánh xạ bảo giácKết luận: góc giữa hai đường cong là 4π góc giữa hai ảnh của hai đường cong là nhưng theo chiều ngược lại. Suy ra ánh xạ đã cho không là ánh xạ bảo giác. 4π 6Cho hai miền D và D’. Tồn tại hay không ánh xạ bảo giác từ D lên D’?Bài toán cơ bản:I. Ánh xạ bảo giácCho D là miền đơn liên trong mặt phẳng z, sao cho D không là toàn bộ mặt phẳng phức. Khi đó tồn tại song ánh bảo giác w = f(z) từ D lên đường tròn đơn vị |w| < 1.Định lý RiemannD D’|W|<1fhw = h-1f 7II. Phép biến đổi( ) 1/f z z=Phép biến đổi là hàm hợp của hai phép biến đổi: phép biến đổi nghịch đảo qua hình tròn đơn vị ( ) 1/f z z=1( ) ( )i ig z g re erθ θ= =và phép biến đổi liên hợp ( ) ( )i ic z c re reθ θ−= =Tức là: ( ) ( ( )) 1/f z c g z z= =Định nghĩa phép biến đổi nghịch đảo 8II. Phép biến đổi( ) 1/f z z= Giả sử z0 là một điểm khác không của mặt phẳng phức. Nếu biểu diễn z0 và ảnh của nó f(z0) = 1/z0 lên cùng mặt phẳng phức ta làm như sau:a. Tìm nghịch đảo của z0 qua đường tròn đơn vị Ảnh của 1 điểm qua phép biến đổi ( ) 1/f z z=b. Lấy đối xứng kết quả thu được ở a) qua trục hoành. 9II. Phép biến đổi( ) 1/f z z=Ví dụ Tìm ảnh của nửa đường tròn |z| = 2, qua phép biến đổi f(z) = 1/z. 0 arg(z)π≤ ≤ 10II. Phép biến đổi( ) 1/f z z=Ví dụ Tìm ảnh của nửa đường thẳng đứng x =1 qua phép biến đổi f(z) = 1/z. Định nghĩa hàm f(z) = 1/z trong mặt phẳng phức mở rộng Mặt phẳng phức mở rộng là mặt phẳng phức có thêm điểm .∞ Hàm f(z) = 1/z định nghĩa trong mặt phẳng phức mở rộng là hàm1/ , 0,( ) , 00,z z zf z zz≠ ≠ ∞= ∞ == ∞ [...]... cong C 1 và C 2 có phương trình tham số lần lượt là Ví dụ I. Ánh xạ bảo giác Kết luận: góc giữa hai đường cong là 4 π góc giữa hai ảnh của hai đường cong là nhưng theo chiều ngược lại. Suy ra ánh xạ đã cho không là ánh xạ bảo giác. 4 π 14 III. Phép biến đổi tuyến tính ( )f z az b= + Phép biến đổi f(z) = az + b, với a, b là những số phức được gọi là phép biến đổi tuyến tính. Định nghĩa phép biến... z = -1 và z = i. Để tìm ảnh của phía trong hình trịn đơn vị ta dùng điểm thử (test point) z = 0. 4 I. Ánh xạ bảo giác Điều kiện: Đường cong C 1 trơn để đảm bảo hệ số góc tiếp tuyến của C 1 tại z 0 là ' ' 1 1 0 ( ) 0z z t= ≠ Khi đó là góc giữa véctơ và chiều dương trục ox. ' 1 arg(z ) ' 1 z góc giữa C 1 và C 2 tại z 0 có giá trị ' ' 2 1 arg(z ) arg(z )− Nếu hàm. ..10 II. Phép biến đổi ( ) 1/f z z= Ví dụ Tìm ảnh của nửa đường thẳng đứng x =1 qua phép biến đổi f(z) = 1/z. Định nghĩa hàm f(z) = 1/z trong mặt phẳng phức mở rộng Mặt phẳng phức mở rộng là mặt phẳng phức có thêm điểm . ∞ Hàm f(z) = 1/z định nghĩa trong mặt phẳng phức mở rộng là hàm 1/ , 0, ( ) , 0 0, z z z f z z z ≠ ≠ ∞ = ∞ = = ∞ 45 V. Các phép biến đổi cơ bản Tính chất của phép biến... Phép biến đổi ( ) 1/f z z= Ví dụ Tìm ảnh của hình vành khăn qua phép biến đổi f(z) = 1/z. 1 |z| 2 3 ≤ ≤ 1 Math Dept, Faculty of Applied Science, HCM University of Technology Hàm phức toán tử Ch ng 5ươ : nh xạ bảo giác • Gi ng viên. TS Đặng Văn Vinh (12/2006)ả 25 IV. Phép biến đổi phân tuyến tính + = + ( ) az b T z cz d Ảnh của đường thẳng là đường tròn. Nếu T là phép biến đổi phân tuyến tính... 1. ' 0 ( ) 0f z ≠ thì w = f(z) là ánh xạ bảo giác tại z 0 . 17 III. Phép biến đổi tuyến tính ( )f z az b= + Ví dụ Tìm ảnh của đường trục hồnh y = 0 qua phép biến đổi 1 1 ( ) ( 2 2) 2 2 R z i z= + 24 IV. Phép biến đổi phân tuyến tính + = + ( ) az b T z cz d Định lý 2 (ảnh của đường tròn là đường tròn hoặc đường thẳng) Cho C là hình trịn trên mặt phẳng phức z và T là phép biến đổi phân tuyến... = 1/z là đường tròn. Hàm f(z) = 1/z trong mặt phẳng phức mở rộng biến đổi: a. Đường thẳng đứng x = k, với thành đường tròn 0k ≠ 1 1 w- 2k 2k = b. Đường thẳng ngang y = k, với thành đường tròn 0k ≠ 1 1 w+ 2ki 2k = 8 II. Phép biến đổi ( ) 1/f z z= Giả sử z 0 là một điểm khác không của mặt phẳng phức. Nếu biểu diễn z 0 và ảnh của nó f(z 0 ) = 1/z 0 lên cùng mặt phẳng phức ta làm như sau: a.... (x 0 , y 0 ). 28 IV. Phép biến đổi phân tuyến tính + = + ( ) az b T z cz d Định nghĩa tỷ chéo Tỉ chéo của các số phức z, z 1 , z 2 và z 3 là số phức 2 3 1 3 2 1 z z z z z z z z − − − − 2 3 1 3 2 1 lim z z z z z z z z z →∞ − − − − Tỉ chéo của các số phức , z 1 , z 2 và z 3 là số phức ∞ 34 V. Các phép biến đổi cơ bản Phép biến đổi w = z 2 2 2 2 2 ( ) i i w z re r e θ θ = = = Module của ảnh... hoành. 31 IV. Phép biến đổi phân tuyến tính + = + ( ) az b T z cz d Ví dụ Tìm phép biến đổi phân tuyến tính biến 3 điểm -i, 1và của đường thẳng y = x - 1 lần lượt thành 3 điểm 1, i và -1 trên đường tròn đơn vị |z| = 1. ∞ HD. Sử dụng định lý tỷ chéo của các điểm z, z 1 = -1 , z 2 =1 và 3 z = ∞ 3 3 3 1 lim 1 1 z z z i z i z z i i →∞ − + + = − + + 12 II. Phép biến đổi ( ) 1/f z z= Ví dụ Tìm... đường thẳng đứng x = 0, 1, 2; và các đường thẳng ngang y = -2 , -1 , 0, 1, 2; qua phép biến đổi w = e z 2 2y− ≤ ≤ 0 2x≤ ≤ 29 IV. Phép biến đổi phân tuyến tính + = + ( ) az b T z cz d Định lý ( về Tỷ chéo và biến đổi phân tuyến tính) Nếu w = T(z) là phép biến đổi phân tuyến tính biến các số phức khác nhau z 1 , z 2 và z 3 thành các số phức khác nhau w 1 , w 2 và w 3 tương ứng thì 2 3 2 3 1... =2 là đường tròn C ’ . |z| = 2 đối xứng qua trục ox, suy ra z và cùng nằm trên đường tròn |z| = 2. Kiểm tra thấy nên ảnh của z và cùng thuộc đường tròn C ’ ( ) ( )T z T z= z z Chọn điểm z = 2 và z = -2 suy ra đường tròn C. 35 V. Các phép biến đổi cơ bản Ví dụ Tìm ảnh của nửa trên đường tròn x 2 + y 2 = a 2 qua phép biến đổi w = z 2 a z z a 2 w w 26 IV. Phép biến đổi phân tuyến tính + = + ( . 2CONTENTS -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - I – nh xạ bảo giácII. of Technology -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -Hàm phức toán tử Ch ng 5ươ : nh xạ bảo giác Gi ng viên.