Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức 3.2 Chuỗi Fourier liên tục 3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục 5-1 • Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục • Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier • Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục • Biến đổi Fourier ngược Từ chuỗi Fourier đến phép biến đổi F  Tín hiệu tuần hoàn   Chuỗi Fourier  Tín hiệu không tuần hoàn   Biến đổi Fourier  Xét xung chữ nhật đơn có độ rộng 2T 1 x(t) -T 1 T 1 1 0 t 0 ω 0 k ω ω k a x(t) là trường hợp giới hạn của dãy xung chữ nhật khi T → ∞  Đặt 0 k ω ω = khi , T ω → ∞ vô cùng nhỏ, phổ của tín hiệu tiến tới một hàm của biến liên tục ω Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-2 Từ chuỗi Fourier đến phép biến đổi F  Định nghĩa hàm phổ X(jω) từ quan hệ 0 ( ) k X jk Ta ω = k, ω 0 tùy ý  Đặt x T (t) là dãy xung chữ nhật thì chuỗi Fourier của nó được biểu diễn thành 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 jk T k jk k x t X jk e T X jk e ω ω ω ω ω π ∞ =−∞ ∞ =−∞ = = ∑ ∑ , T → ∞  Khi ( ) ( ) T x t x t → 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) j t j t x t X j e X j x t e dt ω ω ω π ω ∞ −∞ ∞ − −∞ = = ∫ ∫ Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-3 Ví dụ 1: Xung chữ nhật đơn  Xét xung chữ nhật không tuần hoàn đặt tại không  Biến đổi Fourier là Chú ý, các giá trị là thực 1 T π x(t) -T 1 T 1 1 0 t  Nguyên lý bất định Heisenberg Khoảng thời gian tồn tại tín hiệu tỷ lệ nghịch với băng thông Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-4 Định nghĩa phép biến đổi Fourier  Tín hiệu x(t) và biến đổi Fourier X(jω) của nó có quan hệ với nhau thông qua phương trình tổng hợp và phương trình phân tích  Ký hiệu cặp biến đổi Fourier  Tương tự, các điều kiện hội tụ Dirichlet cũng tồn tại đối với biến đổi Fourier, giống như ở chuỗi Fourier ( ( , )) T = −∞ ∞ Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier ngược Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-5 Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức 3.2 Chuỗi Fourier liên tục 3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục 5-6 • Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục • Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier • Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục • Biến đổi Fourier ngược Điều kiện hội tụ - Biến đổi F Điều kiện 1. x(t) khả tích tuyệt đối Điều kiện 2. Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có hữu hạn các cực đại và cực tiểu Điều kiện 3. Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có hữu hạn các điểm không liên tục, với các giá trị không liên tục là hữu hạn Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-7 Ví dụ 2: Hàm mũ tắt dần  Xét tín hiệu (không tuần hoàn)  Do đó biến đổi Fourier là Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-8 Ví dụ 3: Tín hiệu xung đơn vị  Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị được tính toán như sau  Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị là hằng số với mọi ω  Nguyên lý bất định Heisenberg vẫn được thỏa mãn Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-9 Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức 3.2 Chuỗi Fourier liên tục 3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục 5-10 • Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục • Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier • Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục • Biến đổi Fourier ngược [...]... tục 5-19 Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức 3.2 Chuỗi Fourier liên tục 3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục • Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục • Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier • Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục • Biến đổi Fourier ngược 5-20 Tính chất tuyến tính Nếu và thì Chứng minh từ định nghĩa của biến đổi. .. của biến x sinc(x) =0 khi sin x =0 ngoại trừ tại x =0, tức là khi x = ±π , ±2π , ±3π , Sử dụng quy tắc L’Hopital, ta có sinc(0) =1 sinc(x) là dao động theo hàm sin với chu kỳ 2π, có biên độ giảm dần theo hàm 1/x Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-17 Bảng biến đổi Fourier Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-18 Bảng biến đổi Fourier Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên. .. đối xứng liên hợp theo ω X ( jω ) = Re { X ( jω )} + Im { X ( jω )} Hàm chẵn Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục Hàm lẻ X ( jω ) = X ( jω ) e jθ (ω ) Hàm chẵn Hàm lẻ 5-30 Ví dụ: Hàm mũ tắt dần Tín hiệu có biến đổi Fourier là 1 X ( jω ) = a + jω = 1 a +ω 2 2 e ω  − j arctg   a Hàm chẵn Hàm lẻ Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-31 Quan hệ Parseval Sử dụng biến đổi Fourier. .. hoàn x(t) sau: Chúng ta đã biết các hệ số chuỗi Fourier của x(t) là Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-13 Ví dụ 1: Dãy xung chữ nhật Do đó phép biến đổi Fourier của x(t) là ∞ sin(kω0T1 ) 4π T1 X ( jω ) = δ (ω ) − 2ω0T1 ∑ δ (ω − kω0 ) T kω0T1 k =−∞ k ≠0 Đồ thj của X(j ω) theo ω X ( jω ) 4π T1 T −2ω0 −ω0 Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 0 ω0 2ω0 ω 5-14 Ví dụ 2: Dãy xung đều... thông tin từ tín hiệu điều chế Nhân y(t) với tín hiệu mang Ảnh Fourier của z(t) Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-35 Ứng dụng 2: Lấy mẫu Là thao tác quan trọng trong việc biến đổi một tín hiệu liên tục thành tín hiệu gián đoạn Nhân x(t) với dãy xung đều để có Ảnh Fourier của y(t) Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục chu kỳ lấy mẫu ωs = 2π T 5-36 ... =−∞ 1 … 1 T2 1 δ (t )e− jkω0t dt = T ∫−T 2 T Do đó biến đổi Fourier của x(t) là X ( jω ) = ω0 Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục ∞ ∑ δ (ω − kω0 ) k =−∞ t -2T -T 0 T 2T Các hệ số chuỗi Fourier là: ak = … với mọi k X ( jω ) … ω0 … −2ω0 −ω0 0 ω0 2ω0 ω 5-15 Một số hàm đặc biệt Hàm cửa sổ Hàm tam giác Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-16 Một số hàm đặc biệt sinc( x) = sin x x là... ↔ Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục phổ hẹp hơn phổ rộng hơn 5-24 Đạo hàm và tích phân Đạo hàm hai vế của phương trình tổng hợp Do đó Quan trọng: Đạo hàm trong miền thời gian được thay thế bằng phép nhân trong miền tần số Tương tự với tích phân Giá trị trung bình hay thành phần một chiều (DC) Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-25 Tích chập Ảnh Fourier của y(t) là Hoán đổi. .. Ảnh Fourier của tín hiệu y(t) Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-33 Ứng dụng 1: Điều chế biên độ Phổ tần số của x(t) được d ch đi và có tâm đặt tại ωc và -ωc Điều biên được sử dụng để chở một tín hiệu x(t) từ vị trí này đến vị trí khác khi x(t) khôg thích hợp để truyền trên kênh có sẵn nhưng tín hiệu điều chế y(t) có thể truyền đi được Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục. .. Y(jω) Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-27 Ví dụ: Đáp ứng hệ LTI Xét hệ LTI với đáp ứng xung có tín hiệu vào 1 (BĐ Fourier) Chuyển những tín hiệu này sang miền tần số 2 (Nhân) Đáp ứng trong miền tần số là để chuyển sang miền thời gian, biểu diễn thành tổng các phân thức đơn giản 3 (BĐ Fourier ngược) Do đó đáp ứng trong miền thời gian là Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục. .. đổi Fourier (vì toán tử tích phân là tuyến tính) Được mở rộng cho tổ hợp của một số bất kỳ các tín hiệu Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-21 Tính chất dịch thời gian Nếu thì Chứng minh Thay thế t bởi t – t0 Do đó Một tín hiệu bị dịch trong miền thời gian: – Không thay đổi biên độ của ảnh Fourier – Dịch pha của ảnh Fourier đi bởi –ωt0 (dịch pha tuyến tính) Chuỗi Fourier và phép biến đổi . 1/x Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-17 Bảng biến đổi Fourier Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-18 Bảng biến đổi Fourier Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên. Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-5 Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức 3.2 Chuỗi Fourier liên tục 3.3 Phép biến đổi Fourier liên. mãn Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 5-9 Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier liên tục 3.1 Tín hiệu sin và mô tả bằng hàm phức 3.2 Chuỗi Fourier liên tục 3.3 Phép biến