Bài giảng Phương Pháp Tính - Chương V

13 1.2K 19
Bài giảng Phương Pháp Tính - Chương V

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bài giảng Phương Pháp Tính - Chương V

Chương TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I Tính gần giá trị đạo hàm Áp dụng đa thức nội suy -Hàm f(x) cho -Thay f(x) đa thức nội dạng bảng; suy Pn(x) -Biểu thức giải tích hàm -Coi P’n(x)là giá trị gần phức tạp; f’(x) d d f ( x) ≅ Pn ( x); ( ) dx dx a/ Đa thức xấp xỉ trực tiếp: f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + f’(x) = P’n(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + f”(x) = P”n(x) = 2a2 + 6a3x + (2) (3) (4) b Đa thức nội suy Niutơn x − x0 dt Pn(x) = Pn(t) với t = = ; ; dx h h d d dt d f ' ( x) = Pn' ( x) = Pn (t ) = Pn (t ) = ⋅ Pn (t ); dx dt dx h dt Với công thức nội suy tiến: t (t − 1) t (t − 1) (t − n + 1) n Pn ( x) = Pn (t ) = yo + t∆yo + ∆ yo + ⋅ ⋅ ⋅ + ∆ yo ; 2! n! t (t − 1) t − 3t + 2t Pn (t ) = yo + t∆yo + ∆ yo + ∆ yo + 2! 3! t − 6t + 11t − 6t + ∆ y0 + ⋅ ⋅ ⋅ 4! d 2t − 3t − 6t + f ' ( x) = ⋅ Pn (t ) = ∆y0 + ∆ y0 + ∆ y0 + h dt h  2t − 9t + 11t − + ∆ y0 + ⋅ ⋅ ⋅ 12    dP ' (t )  6t − 18t + 11 f " ( x) = ⋅ = ∆ y0 + (t − 1)∆ y0 + ∆ y0 + ⋅ ⋅ ⋅ h dt 12 h     Với công thức nội suy lùi, có kết tương tự:   2t + 3t + 6t + ∆ yn − + ∆ yn−3 + ⋅ ⋅ ⋅ ∆yn−1 +     df ( x) Nếu sai số hàm dPn ( x) dx r(x) = f(x) – Pn(x) dx sai số đạo hàm ε(x) = f’(x) – P’n(x) = r’(x) Pn(x) f ' ( x) = h Chú ý: Tính đạo hàm theo đa thức nội suy thường chứa sai số lớn (xem hình vẽ) f(x) Áp dụng định nghĩa đạo hàm ∆f ( x) ( 7a ) f ' ( x) = lim ; h →0 h ∆f ( x) f ( x + h) − f ( x) ( 7b ) = ; h h ∆f ( x) ≈ f ' ( x) h đủ nhỏ độ xác tới d số - Coi h sau dấu phẩy; ∆f ( x) -Để tìm h thích hợp tính theo chuỗi giá h trị giảm dần h ∆f ( x) -Việc tính dừng lại sai số tiệm cận E (h) = f ' ( x) − h có giá trị đủ nhỏ -Thực tế giá trị f’(x) E(h) ~ sai lệch hai lần ước lượng liên tiếp ΔD(h) = D(h) – D(htrước); (8) ∆f ( x) D ( h) = ; đó: h - Việc tính dừng lại ∆D < 10 − d Các bước tính: + Cho trước giá trị ban đầu h, tỷ lệ rút nhỏ r, độ xác cần có (số số đáng tin sau dấu phẩy) ∆f ( x ) + Tính D (h) = ; h + Tính ΔD(h) −d + Lặp lại ∆D < 10 Ví dụ Tính đạo hàm hàm số f(x) = sinx x = d - Đã biết: f ' ( x) = dx = cos(0) = 1; (sin x) x =0 - Tính theo ph/pháp gần đúng: + Chọn tuỳ ý h ban đầu, ví dụ h = 1; tỷ lệ rút gọn r = + Độ xác tới số sau dấu phẩy + Tính D (h) = ∆f ( x) f ( x + h) − f ( x) sin(0 + h) − sin(0) = = ; h h h + Tính ΔD(h) E(h) Kết tính tốn cho bảng sau: h D(h) 1/4=0,25 0,841471 0,989616 1/16=0,0625 0,999349 1/64=0,015625 0,999959 1/256=0,003906 0,999997 1/1024=0,00097656 1,000000 ΔD(h) 0,148145 0,009733 0,000610 0,000038 0,000003 E(h)=f’(x)-D(h) 0,158529 0,01384 0,000651 0,000041 0,000003 0,000000   1 1 D  − D  64  = 0,000038 ≈ E  64   256      Có thể dùng để đánh giá xấp xỉ sai lệch bước tính htrước Q trình tính dừng ΔD(h) < 10-d Ở ví dụ này, q/trình tính dừng lại bước h = 1/256; Nhận xét ΔD(h) = 0,000038 < 0,5.10-4 II Tính gần tích phân xác định b - Xét tích phân xác định: I = ∫ f ( x)dx; a - Nếu f(x) liên tục [a, b] có nguyên hàm F(x) b I = ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a ); a - Thực tế: + thường khó khăn tìm nguyên hàm + Hàm f(x) cho dạng bảng số -Tính gần giá trị tích phân tích phân đa thức xấp xỉ b b a a I = ∫ f ( x)dx ≅ ∫ Pn ( x)dx; thay hàm dấu Đa thức xấp xỉ trực tiếp: Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + ⋅ ⋅ ⋅ a1 a2 b I = (a0 x + x + x + ⋅ ⋅ ⋅) a Đa thức Niutơn thứ nhất: b b t (b ) a a t (a) I = ∫ f ( x)dx ≈ ∫ Pn ( x)dx = h ∫ Pn (t )dt; (với dx = hdt) - Chọn điểm sở điểm a (x0 = a) t(a) = t x = b ứng với t = k; I = h Pn ( x0 + ht )dt ; x = x0 + ht ∫ - Chia [a, b] thành n đoạn nút xi: a = x0 < x1 < ⋅ ⋅ ⋅ xi ⋅ ⋅⋅ < xn−1 < xn = b; b−a h= ; xi = a + ih ; n Bậc đa thức chọn công thức tính tương ứng n=0 cơng thức hình chữ nhật; n=1 cơng thức hình thang; n=2 cơng thức Simsơn 1/3; n=3 cơng thức Simsơn 3/8; a/ Cơng thức hình thang b x1 x2 b = xn a a = x0 x1 xn−1 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ⋅ ⋅ ⋅ + ∫ f ( x)dx; - Thay f(x) đa thức nội suy Pn(x) t P ( x) = y0 + ∆y0 ; - Cơng thức hình thang n = 1 1! - Đổi biến: x = x0 + ht dx = hdt Tích phân thứ 1: x = x0 t = 0; x = x1 t=1 x1 t=1 t2 ∫ P1 ( x)dx = h∫ ( y0 + t∆y0 )dt = h( y0t + ∆y0 ) t=0 x0 x1 y +y f ( x)dx ≅ h( y0 + ∆yo ) = h ; ∫ 2 x - Ý nghĩa hình học cơng thức: Thay diện tích hình thang cong M0 diện tích hình thang thường - Tích phân thứ i+1: xi +1 yi + yi +1 x0 ∫ f ( x)dx ≅ h∫ ( yi + t∆yi )dt = h ; xi h I = [ ( y0 + y1 ) + ( y1 + y2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( yn−1 + yn )]; h I = ( y0 + y1 + y2 + ⋅ ⋅ ⋅2 yn−1 + yn ); - Đã chứng minh sai số công thức M R= h (b − a ); 12 M = max f " ( x) ; a ≤ x ≤ b; M1 x1 b/ Công thức Simsơn 1/3 - Chia [a, b] thành 2n đoạn nút xi a = x0 < x1 < x2 ⋅ ⋅⋅ < xi ⋅ ⋅⋅ < x2n = b; b−a xi = a + ih; h = ; i = 0,1,2, ,2n 2n - Cho hàm f(x): b x2 x4 b = x2 n a a = x0 x2 x2 n −2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ⋅ ⋅ ⋅ + ∫ f ( x)dx; - f(x) đa thức nội suy Niutơn bậc 2: t t (t − 1) P2 ( x) = y0 + ∆y0 + ∆ y0 ; 1!x 2! x 2 x0 x0 ∫ f ( x)dx ≅ ∫ P2 ( x)dx; - Đổi biến: x = x0 + ht; dx = hdt; x = x0 t = 0; x = x2 t = 2; x2 ∆y0 = y1 − y0 ; ∆2 y0 = y2 − y1 + y0 ; t (t − 1) ∫ P2 ( x)dx = h ∫ ( y0 + t∆y0 + 2! ∆ y0 )dt; x 0  t2  t3 t2   = h  y0t + ∆y0 +  − ∆ y0  2       18 4  = h 2 y0 + 2∆y0 +  − ∆ y0  2 2     h = ( y0 + y1 + y2 ); - Các tích phân sau tính tương tự x2 i + ∫ x2 i h f ( x)dx = ( y2i + y2i +1 + y2i + ); Cộng tất cả: b ∫ a b ∫ a h f ( x)dx = [ ( y0 + y1 + y2 ) + ( y2 + y3 + y4 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( y2n− + y2n−1 + y2n ) ]; h f ( x)dx = [ ( y0 + y2 n ) + 2( y2 + y4 + ⋅ ⋅ ⋅ + y2 n− ) + 4( y1 + y3 + ⋅ ⋅ ⋅ + y2 n −1 ) ]; b− a h= với 2n - Sai số: với M R= h (b − a ); 12 M = max f ( 4) ( x) ; a ≤ x ≤ b; ... xác tới d số - Coi h sau dấu phẩy; ∆f ( x) -? ?ể tìm h thích hợp tính theo chuỗi giá h trị giảm dần h ∆f ( x) -Việc tính dừng lại sai số tiệm cận E (h) = f '' ( x) − h có giá trị đủ nhỏ -Thực tế khơng... −d + Lặp lại ∆D < 10 V? ? dụ Tính đạo hàm hàm số f(x) = sinx x = d - Đã biết: f '' ( x) = dx = cos(0) = 1; (sin x) x =0 - Tính theo ph /pháp gần đúng: + Chọn tuỳ ý h ban đầu, v? ? dụ h = 1; tỷ lệ rút... dừng ΔD(h) < 10-d Ở v? ? dụ này, q/trình tính dừng lại bước h = 1/256; Nhận xét ΔD(h) = 0,000038 < 0,5.1 0-4 II Tính gần tích phân xác định b - Xét tích phân xác định: I = ∫ f ( x)dx; a - Nếu f(x)

Ngày đăng: 12/09/2012, 22:12

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan