Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Phương Pháp Tính - Chương I
PHƯƠNG PHÁP TÍNH Chương 1SAI SỐI. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối. Các phép đoCác phương pháp tính gần đúngGiá trị gần đúng của đối tượngCần xác định sai số.a. Sai số tuyệt đối.A - đại lượng đúng;a – giá trị gần đúng của A; (“a xấp xỉ A” hay “a A”)≈a – A - sai số tuyệt đối của A; được ước lượng bằng một số dương Δa nào đó.a – A ≤ Δa ;(1. 1)Δa - sai số tuyệt đối giới hạn; mọi Δ’a > Δa - đều là sai số tuyệt đối giới hạn của a.Chọn Δa là số dương nhỏ nhất thoả mãn điều kiện (1. 1) nghĩa là a – Δa < A < a + Δa;(1. 3)Quy ước viết: A = a ± Δa; (1. 2)b. Sai số tương đối.Sai số tương đối giới hạn của A:;aaa∆=δ(1.4);.aaaδ=∆(1. 5)(1. 2)A = a(1 ± δa); (1. 6)Thực tế : Δa và δa – sai số tuyệt đối và tương đối.Ví dụ: A = e = 2,718281. . .2,71 < e < 2,72 = 2,71 + 0,01 có thể chọn Δa = 0,01;2,71 < e < 2,7183 = 2,71 + 0,0083 có thể chọn Δa = 0,0083;Sai số tương đối chất lượng phép đo. II. Cách viết số xấp xỉ. 1. Chữ số có nghĩa.2. Chữ số đáng tin. Mọi số thập phân có thể viết:;10.ssaα∑±=(1. 7)αs - những số nguyên từ 0 đến 9; s = ±1; ±2; ±3; . . .*/Ví dụ: 56, 708 = 5.101 + 6.100 +7.10-1 + 0.10-2 + 8.10-3.125,018 = 1.102 + 2.101 + 5.100 + 0.10-1 + 1.10-2 + 8.10-3.với α1 = 5; α0 = 6; α-1 =7; α-2 = 0; α-3 = 8.α2 = 1;α1 = 2; α0 = 5; α-1 =0; α-2 = 1; α-3 = 8.*/Nếu a - xấp xỉ của A; Δa – sai số tuyệt đối của a:- Δa ≤ 0,5.10s αs - chữ số đáng tin;- Δa > 0,5.10s αs - chữ số đáng nghi;Mọi chữ số có nghĩa bên trái αs – đáng tin; bên phải – đáng nghi*/ Ví dụ: số 56,7082- Δa = 0,0043 Các số 5; 6; 7; 0: đáng tin; 8; 2 : đáng nghi;- Δa = 0,0067 5; 6; 7 – đáng tin; 0; 8; 2 – đáng nghi. 3. Cách viết số xấp xỉ.- Viết kèm sai số : a ± Δa- Viết theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa đều đáng tinsố gần đúng có sai số tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng cuối cùng.III. Quy tròn số và sai số quy tròn.Tính toán thường quy tròn số sai số quy tròn.Sai số quy tròn tuyệt đối = số đã quy tròn - số chưa quy tròn.Nguyên tắc : Sai số tuyệt đối quy tròn không lớn hơn nửa đơn vị ở hàng giữ lại cuối cùng bên phải hay 5 đơn vị ở hàng bỏ đi đầu tiên bên trái.1. Quy tròn số.2. Sai số của số đã quy tròn. A - số đúng;- Quy tròn a a’ ; sai số quy tròn tuyệt đối θa’ ;;''aaaθ≤−(1. 8)a - số xấp xỉ của A; Δa – sai số tuyệt đối của a. Sai số tuyệt đối Δa’ của a’:;''' aaAaaaAa ∆+≤−+−≤−θ;''' aaaAa ∆=∆+≤−θΔa’ > Δa quy tròn làm tăng sai số tuyệt đối3. Ảnh hưởng của sai số quy tròn. Ví dụ tính nhị thức Niutơn:Nếu thay bằng các số đã quy tròn:2;223783363)102(10−=−;41421356,12=với2Vế trái Vế phải1,41,411,4141,414211,4142135630,00010485760,000134226590,000147912000,000148663990,0001486767833,810,020,5080,008620,0001472Cần quan tâm đến sai số quy tròn khi tính toán. IV. Các quy tắc tính sai số.1. Sai số của tổng: u = x + y;Δu = Δx + Δy;Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng.- Trường hợp u = x – y; ( x, y cùng dấu);yxuyxuu−∆+∆=∆=δKhi x – y rất bé thì δu rất lớn tránh trừ các số gần nhau.2. Sai số của tích: u = xy;;yxuxy ∆+∆=∆;yxyxuuyxuδδδ+=∆+∆=∆=3. Sai số tương đối của một thương: u = x/y; với y ≠ 0.δu = δx + δySai số tương đối của một tích hoặc thương bằng tổng sai số tương đối của các số hạng. V. Sai số tính toán .Các loại sai số thường gặp phải:- Sai số các số liệu ( do đo đạc hay tực nghiệm );- Sai số của giả thiết (để lý tưởng hoá, mô hình hoá bài toán);-Sai số phương pháp (dùng các phương pháp gần đúng để giải các bài toán phức tạp;-Sai số của phép tính (do thực hiện các phép tính đối với số gần đúng, quy tròn các kết quả trung gian).Sai số tính toán = sai số phương pháp + sai số phép tính.Ví dụ: a/ Tính tổng;615141312111333333−+−+−=A- Tính trực tiếp A qua các phân số Không có sai số ph/pháp;- Tính đến 3 số lẻ và đánh giá sai số quy tròn tương ứng 000,111113==với θ1 = 0;125,081213== θ2 = 0;037,0271313== θ3 = 1.10-4;(0,037037)016,0641413== θ4 = 4.10-4;(0,015625)008,01251513== θ5 = 0;005,02161613== θ6 = 4.10-4; (0,004629)A = 1,000 – 0,125 + 0,037 – 0,016 +0,008 – 0,005 = 0,899.;10.94654321−=+++++≤−θθθθθθaAΔa = 9.10-4; A = 0,899 ± 9.10-4. b/ Tính tổng;1)1(413121111313333⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅−+−−=−nBnVới sai số tuyệt đối không quá 5.10-3.;1)1(413121111313333nBBnn−−+⋅⋅⋅−+−−=≈nBB −- Sai số phương pháp.n cần : + sai số phép tính < sai số cho phép.nBB−Lý thuyết chuỗi:;)1(1)2(1)1(1333+<⋅⋅⋅++−+=−nnnBBnn = 6:;10.3 .002915,0343171336−<===<− BBB6 = A = 0,899 ± 9.10-4.B – 0,899 = B – B6 + A – 0,899;B – 0,899 = B – B6 + A – 0,899 ;B – 0,899 < 3.10-3 + 9.10-4 < 4.10-3;B = 0,899 ± 4.10-3. [...]... 6; α -1 =7; α -2 = 0; α -3 = 8. α 2 = 1;α 1 = 2; α 0 = 5; α -1 =0; α -2 = 1; α -3 = 8. */Nếu a - xấp xỉ của A; Δa – sai số tuyệt đ i của a: - Δ a ≤ 0,5.10 s α s - chữ số đáng tin; - Δ a > 0,5.10 s α s - chữ số đáng nghi; M i chữ số có nghĩa bên tr i α s – đáng tin; bên ph i – đáng nghi */ Ví dụ: số 56,7082 - Δ a = 0,0043 Các số 5; 6; 7; 0: đáng tin; 8; 2 : đáng nghi; - Δ a = 0,0067... sai số quy trịn khi tính tốn. PHƯƠNG PHÁP TÍNH II. Cách viết số xấp xỉ. 1. Chữ số có nghĩa. 2. Chữ số đáng tin. M i số thập phân có thể viết: ;10. s s a α ∑±= (1. 7) α s - những số nguyên từ 0 đến 9; s = ±1; ±2; ±3; . . . */Ví dụ: 56, 708 = 5.10 1 + 6.10 0 +7.10 -1 + 0.10 -2 + 8.10 -3 . 125,018 = 1.10 2 + 2.10 1 + 5.10 0 + 0.10 -1 + 1.10 -2 + 8.10 -3 . v i α 1 = 5; α 0 = 6; α -1 ... Sai số tuyệt đ i Δa’ của a’: ;'' ' aa AaaaAa ∆+≤−+−≤− θ ;' '' aaa Aa ∆=∆+≤− θ Δ a’ > Δ a quy tròn làm tăng sai số tuyệt đ i 3. Ảnh hưởng của sai số quy tròn. Ví dụ tính nhị thức Niutơn: Nếu thay bằng các số đã quy tròn: 2 ;223783363)102( 10 −=− ;41421356,12 = v i 2 Vế tr i Vế ph i 1,4 1,41 1,414 1,41421 1,414213563 0,0001048576 0,00013422659 0,00014791200 0,00014866399 0,00014867678 33,8 10,02 0,508 0,00862 0,0001472 Cần... nghi; M i chữ số có nghĩa bên tr i α s – đáng tin; bên ph i – đáng nghi */ Ví dụ: số 56,7082 - Δ a = 0,0043 Các số 5; 6; 7; 0: đáng tin; 8; 2 : đáng nghi; - Δ a = 0,0067 5; 6; 7 – đáng tin; 0; 8; 2 – đáng nghi. . =);~(~~11 iiiiiiyyqqyyqyy−=−=−+ +- Tiếp theo: ;;~~1212 ++++==iiiiqyyyqy);~()~(~~2111122 iiiiiiiiyyqyyqqyyqyy−=−=−=−++++++Tổng quát:);~(~iinniniyyqyy−=−++;)~(~∆=−=−++niinniniqyyqyyHai. trình tính yi+1 = qyi;cho trước yo và q .- Giả sử t i bước tính yi mắc sai số i nhận đượcy~;~∆=−iiyyV i Δ > 0 .- Tính yi+1;~~1 iiyqy=+( a )(