Tổng quan về mô hình Randall-Sundrum Võ Quốc Phong Ngày 14/10/2009 Mục lục 1 Mở đầu 2 2 Dạng tác dụng và metric của mô hình RSI và RSII 4 3 Phương trình trường hấp dẫn 5D 5 3.1 Phương trình trường hấp dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 Giải phương trình Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 Hệ thống thứ bậc và vấn đề về hằng số vũ trụ 16 5 Hấp dẫn 4D trên Brane trong không gian Bulk 5D 19 6 Năng-xung lượng trong mô hình Randall-Sundrum 22 7 Lạm phát trong mô hình Randall-Sundrum 24 8 Giãn nở tăng tốc trong RS 30 9 Shortcut của hấp dẫn trong không-thời gian 5 chiều của mô hình RS 34 9.1 Metric trong Bulk của mô hình Randall-Sundrum: . . . . . . . . . . . . 34 9.2 Metric trong Brane của mô hình Randall-Sundrum . . . . . . . . . . . 35 9.3 Chân trời điện từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9.4 Chân trời hấp dẫn trong mô hình RS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9.5 Nếu ta sử dung metric tĩnh thì sẽ không có shortcut . . . . . . . . . . . 38 10 Vi phạm bất biến Lorentz trong mô hình RS 40 11 Những vấn đề thực nghiệm 44 12 Tổng kết 44 1 1 Mở đầu Từ những năm cuối thế kỉ 20 đến nay, hiện tượng vũ trụ giãn nở tăng tốc luôn là hiện tượng thúc đẩy vũ trụ học cũng như vật lý học phát triển những mô hình lý thuyết phù hợp để giải thích. Hiện tại, hiện tượng này được lột tả bằng nhiều mô hình cũng như dữ liệu thực nghiệm, tuy có những thành công rất đáng kể nhưng chưa có mô hình nào đạt được lời giải thích triệt để. Chúng tôi thấy có hai hướng tiếp cận chính để giải thích hiện tượng này. Một là, hướng tiếp cận không dùng extra dimension (chiều ngoại phụ) như các mô hình trường vô hướng (quintessence, K-essence, ), và hướng thêm vào bằng tay một hằng số vũ trụ bé trong hình thức hấp dẫn Einstein 4D để gây ra sự giãn nở và chấp nhận fine-tuning. Hai là, các mô hình sử dụng chiều ngoại phụ gọi là các mô hình Braneworld, hướng này có điểm lợi thế là cho thấy vũ trụ tự giãn nở không như lý thuyết về hằng số vũ trụ. Trong quá trình tìm hiểu rõ hơn về vũ trụ để giải thích cho sự giãn nở tăng tốc, chúng ta phải đối mặt với những vấn đề: • Vấn đề hằng số vũ trụ: Năng lượng chân không quá nhỏ so với kết quả tính toán của vật lý hạt cơ bản ( khoảng 120 bậc về độ lớn). • Vấn đề trùng hợp ngẫu nhiên: Hiện tại, mật độ năng lượng tối (ρ Λ ) cùng bậc với mật độ vật chất (ρ m ) và sẽ vượt trội hoàn toàn trong tương lai. • Vấn đề về hệ thống thứ bậc: Tồn tại ít nhất 2 thang năng lượng cơ bản trong tự nhiên - Thang điện yếu m EW = 10 3 GeV và thang Planck M pl = G −1/2 N = 10 18 GeV - Tỉ số giữa thang điện yếu và khối lượng Planck quá nhỏ m EW /Mpl ∼ 10 −16 . Các mô hình lý thuyết Braneworld là những mô hình đang rất được chú ý. Hầu hết các mô hình Braneworld đều lấy ý tưởng chính từ lý thuyết nhiều chiều của Kaluza- Klein, và gọi không-thời gian (3+1) chiều của chúng ta là Brane, không thời gian nhiều chiều hơn là Bulk, tức là vũ trụ của chúng ta hành xử như một siêu mặt trong một không thời gian nhiều chiều hơn. Theo tinh thần của các mô hình Braneworld thì vật chất bị cầm tù trong Brane, riêng hấp dẫn có thể thoát ra khỏi Brane và truyền được trong Bulk. Tính chất rò rỉ của hấp dẫn là một hệ quả của viêc nguồn hấp dẫn (vật chất) chỉ tồn tại hạn chế trong Brane, đồng thời là một tính chất khơi nguồn cho các vấn đề như vi phạm bất biến Lorentz, hay vấn đề về shortcut, và trọng yếu là gây ra sự giản nỡ tăng tốc của vũ trụ. Hiện tại, chúng tôi phân chia các mô hình Braneworld theo các tính chất của chiều ngoại phụ (extra dimension) là: tính compact, tính flat hay tính warp. Chúng tôi thấy rằng các mô hình Braneworld hiện tại chỉ có (4+1) hay (5+1) chiều tức là chỉ có 1 hay 2 chiều ngoại phụ, và theo tiêu chí trên, tạm thời chia thành những mô hình Braneworld như sau: 2 +Mô hình Braneworld phẳng (flat) và chiều ngoại phụ compact như mô hình ADD. +Mô hình Braneworld có hệ số warp và chiều ngoại phụ compact như mô hình RSI. +Mô hình Braneworld có hệ số warp và chiều ngoại phụ noncompact, đơn cử như mô hình DGP, RSII. Mô hình Braneworld Randall-Sundrum (RS)[3, 4] khảo sát không-thời gian 5 chiều được làm đầy bởi hằng số vũ trụ âm. Tùy vào đặc điểm của chiều thứ 5 compact hay vô hạn mà mô hình này được chia thành hai loại: Mô hình RSI và mô hình RSII. Mô hình RSI[3] đưa ra cách giải quyết vấn đề về hệ thống thứ bậc. Trong mô hình này, chiều thứ 5 thêm vào compact trên Orbifold S 1 /Z 2 bán kính R. Hai Brane 3 chiều được đặt tại các điểm cố định φ = 0 và φ = π. Brane ở φ = 0 là Brane ẩn hay Brane Planck năng lượng cao. Brane ở φ = π là Brane quan sát được hay Brane TeV năng lượng thấp. Áp suất trên hai Brane lần lượt là σ và −σ với σ là một hằng số dương. Mô hình RSII[4] khảo sát cách khôi phục lại hấp dẫn 4 chiều trên Brane gắn trong không-thời gian Bulk 5 chiều. Trong mô hình này, chiều thêm vào được mở rộng tới vô hạn, tức là Brane có áp suất âm trong RSI bị dịch chuyển ra vô hạn. Còn lại một Brane, vì vậy, mô hình RSII được gọi là mô hình RS một Brane, trong khi mô hình RSI được gọi là mô hình RS 2 Brane. Đối với mô hình RS, thực chất ngụ ý hai tiên đề. Một là, tiên đề về hàm tác dụng trong 5 chiều. Hai là tiên đề về dạng tổng quát của metric như chúng ta sẽ thấy trong mục 1 dưới đây. Thông qua mô hình RS, các vấn đề như giải phương trình trường hấp dẫn 5 chiều, vấn đề hằng số vũ trụ, vấn đề về lạm phát vũ trụ học và giãn nở tăng tốc của vũ trụ đã được khảo sát và giải thích. Chúng ta sẽ lần lượt xem xét chúng. Hai yếu tố cơ bản nhất để khảo sát mọi hiện tượng học của động lực hoc vũ trụ là tác dụng và metric. Tác dụng mô tả trường hấp dẫn lẫn nguồn sinh ra hấp dẫn, metric là phản ánh của trường hấp dẫn lên không-thời gian. Một mô hình về vũ trụ học cần phải có hai yếu tố tiên quyết trên. Vì vậy, việc khảo sát mô hình RS, cần phải hiệu tốt tác dụng của mô hình này. Sau đây là phần tóm tắt lại những vấn đề cơ bản nhất của tác dụng và metric của mô hình RS. 3 2 Dạng tác dụng và metric của mô hình RSI và RSII Năm 1999, Raman Sundrum và Lisa Randall đã đưa ra một mô hình 5 chiều theo xu thế Braneworld nhằm giải quyết bài toàn thứ bậc với chiều thứ 5 compact, mô hình này được gọi là mô hình RSI. Và về sau mô hình này được cải tiến thành mô hình RSII khi cho chiều thứ 5 nocompact. Các tác dụng mà hai tác giả này đưa ra có dạng sơ khai như sau: S = S gravity + S vis + S hid , S gravity =  d 4 x  dφ  −g (5)  −Λ + 2M 3 R (5)  , S vis =  d 4 x √ −g vis {L vis − V vis }, S hid =  d 4 x √ −g hid {L hid − V hid }, (2.1) Trong đó: -S gravity : hàm tác dụng của trường hấp dẫn. -S vis : hàm tác dụng trong Brane mà ta có thể quan sát được. -S hid : hàm tác dụng trong Brane mà ta không thể quan sát được. Có một nhận xét nhỏ là tác dụng trên thực chất là một mở rộng với của tác dụng Hilbert-Einstein 4 chiều trong lý thuyết của tương đối rộng của Einstein. M là khối lượng Planck 5 chiều, Λ là hằng số vũ trụ 5 chiều. Chúng ta dùng nguyên lý tác dụng tối thiểu áp lên tác dụng trên chúng ta sẽ dẫn ra được phương trình hấp dẫn 5 chiều tương tự như hệ phương trình Einstein trong lý thuyết tương đối rộng. Trong mô hình RS, metric có dạng như sau: ds 2 = e −2σ(φ) η µν dx µ dx ν + r 2 c dφ 2 . (2.2) Ứng dụng metric trên chúng ta sẽ giải được phương trình trường 5 chiều sẽ tìm được dạng cụ thể của metric hay cho ta biết được dạng cụ thể của không-thời gian. Tuy nhiên, metric trong biểu thức bình phương khoảng (2.2) này được hai tác giả đưa ra đầu tiên thể hiện mô hình vũ trụ tĩnh không mô tả được sự giãn nỡ của vũ trụ, mà hai tác giả chỉ nhằm mục đích giải quyết bài toán vi phạm thứ bậc như trình bày trong mục 4. Về sau, có những tác giả khác chỉ chấp nhận tiên đề thứ nhất về tác dụng của mô hình RS, nhưng cho metric phụ thuộc vào thời gian để khảo sát 4 hiện tượng giãn nở, hay vấn đề về shortcut như được chúng tôi trình bày trong mục 8, 9. 3 Phương trình trường hấp dẫn 5D Trong mục này, chúng tôi sẽ dẫn ra phương trình trường hấp dẫn 5 chiều và giải cụ thể chúng. 3.1 Phương trình trường hấp dẫn Lấy biến phân của hàm tác dụng S: δS = δS gravity + δS vis + δS hid (3.1) • Tính δS gravity Ta có: S gravity =  d 4 x  π −π dφ √ −G  −Λ + 2M 3 R  . → δS gravity = δ  d 4 x  π −π dφ √ −G  −Λ + 2M 3 R  =  d 4 x  π −π dφ δ  √ −G  −Λ + 2M 3 R   . (3.2) Ta có: δ  −Λ √ −G  = Λ 2 √ −G δG = Λ 2 √ −GG AB δG AB . (3.3)  d 4 x  π −π dφδ(R √ −G) =  d 4 x  π −π dφδ(G AB R AB √ −G) =  d 4 x  π −π dφ  R AB − 1 2 G AB R  δG AB √ −G  +  d 4 x  π −π dφG AB δR AB √ −G. (3.4) Ta đặt: I =  d 4 x  π −π dφG AB δR AB √ −G. 5 Ta có: G AB δR AB = G AB  ∂ ∂x C δΓ C AB − ∂ ∂x B δΓ B AC  = G AB ∂ ∂x C δΓ C AB − G AC ∂ ∂x C δΓ B AB = ∂w C ∂x C . Với w C = G AB δΓ C AB − G AC δΓ B AB . → G AB δR AB = 1 √ −G ∂ ∂x C  √ −Gw C  . Như vậy, ta có:  d 4 x  π −π dφG AB δR AB √ −G =  d 4 x  π −π dφ ∂  √ −Gw C  ∂x C . (3.5) Theo định lý Gauss khi chuyển từ tích phân khối sang tích phân mặt ta được:  d 4 x  π −π dφ ∂  √ −Gw C  ∂x C =  F dF √ −Gw C . (3.6) Trong đó: mặt F là mặt giới nội, chứa toàn bộ không-thời gian của vũ trụ. Với giả thuyết trường hấp dẫn hữu hạn ở các điểm tới hạn ta có:  F dF √ −Gw C = 0. (3.7) Thế (3.7) vào (3.5) và (3.6) ta được: I =  d 4 x  π −π dφG AB δR AB √ −G = 0. Thế vào phương trình (3.4) ta được:  d 4 x  π −π dφδ(R √ −G) =  d 4 x  π −π dφ  R AB − 1 2 G AB R  δG AB √ −G  . (3.8) 6 Thế (3.3) và (3.8) vào (3.2) ta được: δS gravity = δ  d 4 x  π −π dφ √ −G  −Λ + 2M 3 R  =  d 4 x  π −π dφ δ  √ −G  −Λ + 2M 3 R   =  d 4 x  π −π dφ  2M 3  R AB − 1 2 G AB R  + Λ 2 G AB  δG AB √ −G. (3.9) • Tính δS vis : S vis =  d 4 x √ −g vis {L vis − V vis } =  d 4 x √ −g vis  − 1 2 g µν vis ∂ µ χ∂ ν χ −V vis (χ)  . (3.10) Tương tự chúng tôi thu được: ⇒ δS vis =  d 4 x  − 1 2  √ −g vis δ µ A δ ν B δ(φ −π)  ∂ µ χ∂ ν χ − G µν  1 2 g αβ ∂ α χ∂ β χ + V vis (χ)   δG AB . (3.11) Trường hợp thế năng vượt trội động năng (L vis  V vis , coi L vis = 0) ta thu được: δS vis =  d 4 x 1 2 V vis √ −g vis δ µ A δ ν B δ(φ −π)δG AB . (3.12) • Tính δS hid S hid =  d 4 x √ −g hid {L hid − V hid } =  d 4 x √ −g hid  − 1 2 (∇χ) 2 − V hid (χ)  =  d 4 x √ −g hid  − 1 2 g µν hid ∂ µ χ∂ ν χ −V hid (χ)  . (3.13) Tương tự, chúng tôi thu được: 7 ⇒ δS hid =  d 4 x  − 1 2  √ −g hid δ µ A δ ν B δ(φ)  ∂ µ χ∂ ν χ − G µν  1 2 G αβ ∂ α χ∂ β χ + V hid (χ)   δG AB . (3.14) Trường hợp thế năng vượt trội động năng (L hid  V hid , coi L hid = 0) ta có: δS hid =  d 4 x 1 2 V hid √ −g hid δ µ A δ ν B δ(φ)δG AB . (3.15) chú thích: δ  √ −g  = − 1 2 √ −g δg = 1 2 √ −gg µν δg µν Thế các phương trình (3.9), (3.11), (3.14) vào phương trình (3.1) ta được: δS =  d 4 x  − 1 2    π −π dφ  −4M 3  R AB − 1 2 G AB R  − ΛG AB  δG AB √ −G + √ −g vis δ µ A δ ν B δ(φ −π)  ∂ µ χ∂ ν χ −G µν  1 2 G αβ ∂ α χ∂ β χ + V vis (χ)  δG AB + √ −g hid δ µ A δ ν B δ(φ)  ∂ µ χ∂ ν χ −G µν  1 2 G αβ ∂ α χ∂ β χ + V hid (χ)  δG AB  . (3.16) Trong trường hợp thế năng vượt trội động năng, ta có: δS =δS gravity + δS vis + δS hid =  d 4 x  π −π dφ  2M 3  R AB − 1 2 G AB R  + Λ 2 G AB  √ −G + 1 2 V vis √ −g vis g vis µν δ µ M δ ν N δ(φ −π) + 1 2 V hid √ −g hid g hid µν δ µ M δ ν N δ(φ)  δG AB = 0. Vì tính tùy ý của δG AB nên ta có:  R AB − 1 2 G AB R  √ −G ≡  G AB √ −G = − 1 4M 3  ΛG AB √ −G + + V vis √ −g vis g vis µν δ µ M δ ν N δ(φ −π) + V hid √ −g hid g hid µν δ µ M δ ν N δ(φ)  . (3.17) Phương trình (3.17) chính là phương trình Einstein trong extra-dimension ( trong trường hợp thế năng vượt trội động năng). 8 3.2 Giải phương trình Einstein Xét nghiệm của phương trình Einstein có dạng: ds 2 = e −2σ(φ) η µν dx µ dx ν + r 2 c dφ 2 . (3.18) Trong đó: Trong đó e −2σ(φ) với 0 ≤ φ ≤ π là hệ số "warp", r c là bán kính "compact", η µν là tensor Minkowsky. Qui ước: - Các chỉ số µ, ν có thể nhận các giá trị từ 0 đến 3 - Các chỉ số A, B, C có thể nhận các giá trị từ 0 đến 4 Chọn c=1. Như vậy ta có các thành phần của tensor metrix là: G AB =       −e −2σ(φ) 0 0 0 0 0 e −2σ(φ) 0 0 0 0 0 e −2σ(φ) 0 0 0 0 0 e −2σ(φ) 0 0 0 0 0 r 2 c       . → √ −G = r c e −4σ(φ) (3.19) Hay G AB =       −e 2σ(φ) 0 0 0 0 0 e 2σ(φ) 0 0 0 0 0 e σ(φ) 0 0 0 0 0 e σ(φ) 0 0 0 0 0 r −2 c       . Suy ra g vis µν (x µ ) ≡ G µν (x µ , φ = π) =     −e −2σ(φ) 0 0 0 0 e −2σ(φ) 0 0 0 0 e −2σ(φ) 0 0 0 0 e −2σ(φ)     . → √ −g vis = e −4σ(φ) (3.20) g hid µν (x µ ) ≡ G µν (x µ , φ = 0) =     −e −2σ(φ) 0 0 0 0 e −2σ(φ) 0 0 0 0 e −2σ(φ) 0 0 0 0 e −2σ(φ)     . 9 → √ −g hid = e −4σ(φ) . (3.21) x A ≡       x 0 x 1 x 2 x 3 x 4       ≡       t x 1 x 2 x 3 φ       1. Các số hạng Christoffel: Γ A BC = 1 2 g AD  ∂g DB ∂x C + ∂g DC ∂x B − ∂g BC ∂x D  . (3.22) Khai triển (3.22) ta được: Γ A BC = 1 2 g A0  ∂g 0B ∂x C + ∂g 0C ∂x B − ∂g BC ∂t  + 1 2 g A1  ∂g 1B ∂x C + ∂g 1C ∂x B − ∂g BC ∂x 1  + 1 2 g A2  ∂g 2B ∂x C + ∂g 2C ∂x B − ∂g BC ∂x 2  + 1 2 g A3  ∂g 3B ∂x C + ∂g 3C ∂x B − ∂g BC ∂x 3  + 1 2 g A4  ∂g 4B ∂x C + ∂g 4C ∂x B − ∂g BC ∂φ  . (3.23) Nhận xét: Từ dạng khai triển của các số hạng Christoffel cùng với các thành phần của Tensor metrix ta có: Γ A BC chỉ khác 0 nếu chỉ có 1 trong 3 chỉ số A, BC bằng 4 và phải có 2 chỉ số trùng nhau. Do đó ta có: • Γ 0 04 = 1 2 g 00  ∂g 00 ∂φ + ∂g 04 ∂t − ∂g 04 ∂t  = 1 2 g 00 ∂g 00 ∂φ = 1 2 e 2σ(φ) ∂  e −2σ(φ)  ∂φ , Γ 0 04 = −σ  (φ) • Γ 0 40 = 1 2 g 00  ∂g 04 ∂t + ∂g 00 ∂φ − ∂g 40 ∂t  = 1 2 g 00 ∂g 00 ∂φ = 1 2 e 2σ(φ) ∂  e −2σ(φ)  ∂φ , Γ 0 40 = −σ  (φ), 10 [...]... thành vũ trụ phẳng của chúng ta và năng lượng vũ trụ triệt tiêu 7 Lạm phát trong mô hình Randall-Sundrum Nghiên cứu lạm phát vũ trụ học trong các mô hình Braneworld đã thu hút nhiều sự quan tâm trong những năm gần đây Công cụ mạnh mẽ nhất để nghiên cứu động lực học lạm phát là phép gần đúng lăn chậm Trong mô hình RSII, hình thức luận lăn chậm đã được thiết lập[10] và động lực học lạm phát được khảo... mô tả cho các vật chất Bulk vô hướng2 Kết quả cho thấy rằng đối với những mô hình mà các extra dimension compact và Bulk tĩnh thì không tồn tại shortcut (kết luận sẽ được chứng minh trong mục 9.5 đối với mô hình RSII) Lưu ý: ta xét các metric trong hệ đơn vị c=1 9.1 Metric trong Bulk của mô hình Randall-Sundrum: Metric của mô hình RSII chúng tôi lấy dưới dạng metric Schwarzschild - antideSitter: 1 shortcut... không-thời gian 5 chiều của mô hình RS Trọng mục này, chúng tôi trình bày một hệ quả của việc vật chất (các hạt trong mô hình SM) bị cầm tù trong Brane và hấp dẫn có thể loang chảy ra khoải Brane qua Bulk Việc thoát khỏi Brane đi vào Bulk được gọi là hiện tượng shortcut của hấp dẫn Chúng ta chỉ khảo sát trên những mô hình mà Bulk là chân không chưa khảo sát đối với những mô hình chân không có vật chất,... trong trường hợp (3 + 1) chiều, để tìm hiểu rõ hơn về hấp dẫn nhiều chiều trong các mô hình Braneworld cụ thể là mô hình Braneworld Randall-Sundrum, chúng ta cũng cần xác định các định luật bảo toàn Tác dụng cổ điển trong RS được cho bởi [3, 4] S = Sg + Sh + Sv (6.1) √ Với Sg = d4 xdy −G(−Λ + 2M 3 R) là đóng góp của Bulk Các thành phần đóng góp của Brane quan sát được Sv đặt tại y = πr và Brane ẩn Sh đặt... quyết vấn đề về hằng số vũ trụ sẽ là quá nhỏ để giải quyết vấn đề về hệ thống thứ bậc Điều này có nghĩa rằng trong mô hình RS, khi giải quyết được bài toán thứ bậc về thang đo planck lai sinh ra một bài toán thứ bậc khác, bài toán thứ bậc giữa bán kính cong (rc ) hay độ cong µc = r1c và thang đo plack (hoặc thang điện-yếu) 5 Hấp dẫn 4D trên Brane trong không gian Bulk 5D Trong các mô hình Braneworld,... metric 4 chiều có dạng e ηµν dxµ dxν , chỉ tỉ lệ với metric Minlowski một thành phần e−2krc |φ| Nên trong mô hình RSI, ta có nhận xét là tensor Ricci 4 chiều lúc này hơn kém e−2krc |φ| so với tensor Ricci tính từ metric Minkowski Với dạng tác dụng (4.2) và (4.6) cùng với nhận xét về metric của mô hình RSI trên ta thu gọn tác dụng 5D thành 4D có dạng sau: π M3 dφrc e−2krc |Φ| −g (4) R(4) dx4 16π −π 3... Metric tổng quát đối với không-thời gian 5 chiều có dạng 2 dS5 = N 2 (t, y)dt2 − A2 (t, y)dΣ2 − B 2 (t, y)dy 2 k (8.2) Tính đối xứng phản xạ đối với 2 Brane có thể thu được bằng phép thế y → |y| Khi đó, metric (8.2) trở thành 2 dS5 = N 2 (t, |y|)dt2 − A2 (t, |y|)dΣ2 − B 2 (t, |y|)dy 2 k (8.3) Thực chất để tính để mô tả được giãn nở tăng tốc trong mô hình RS, chúng ta chỉ chấp nhận tiên đề về tác... được hấp dẫn 4D trong giới hạn khoảng cách lớn, tức chiều thêm vào mở rộng ra vô hạn 6 Năng-xung lượng trong mô hình Randall-Sundrum Trong lý thuyết tương đối rộng, định luật bảo toàn năng-xung lượng đối với trường hấp dẫn là một trong những vấn đề cơ bản nhất Theo lý thuyết trường, đại lượng mô tả các thuộc tính năng-xung lượng của hệ vật lý chính là tensor năng-xung lượng Đối với trường hấp dẫn, vấn... nhiều so với thang Planck, 1019 GeV 17 Giá trị nhỏ quan sát được của hằng số vũ trụ làm nảy sinh vấn đề hằng số vũ trụ Có rất nhiều nỗ lực trong việc giải quyết vấn đề này thông qua các mô hình Braneworld Trong mô hình RS, hằng số vũ trụ hiệu dụng 4 chiều trên Brane được sinh ra bởi hằng −Λ số vũ trụ Bulk 5 chiều Λ [5] Từ phương trình (4.9) với k = và ràng buộc 24M 3 Mpl ∼ M , ta có 2 Mpl 3 Mpl = −Λ... Như vậy, để sinh ra thứ bậc lớn δ = (1 − e−2krc π ) e4kπrc − 1 = 10−120 giữa giá trị bản chất và giá trị quan sát được của hằng số vũ trụ đòi hỏi rc phải cực nhỏ Khi đó, chúng ta có thể thu được hằng số vũ trụ hiệu dụng nhỏ trên cả hai Brane Vấn đề về hằng số vũ trụ đã được giải quyết trong mô hình RS Ta chú ý rằng, trong RS, để sinh ra hệ thống thứ bậc dạng hàm e-mũ ekπrc giữa thang TeV và thang Planck . như mô hình ADD. +Mô hình Braneworld có hệ số warp và chiều ngoại phụ compact như mô hình RSI. +Mô hình Braneworld có hệ số warp và chiều ngoại phụ noncompact, đơn cử như mô hình DGP, RSII. Mô hình. ra một mô hình 5 chiều theo xu thế Braneworld nhằm giải quyết bài toàn thứ bậc với chiều thứ 5 compact, mô hình này được gọi là mô hình RSI. Và về sau mô hình này được cải tiến thành mô hình RSII khi. Brane, trong khi mô hình RSI được gọi là mô hình RS 2 Brane. Đối với mô hình RS, thực chất ngụ ý hai tiên đề. Một là, tiên đề về hàm tác dụng trong 5 chiều. Hai là tiên đề về dạng tổng quát của