SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ TÌM DAO ĐỘNG CỦA CÁC MÀNG CĨ HÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT Nguyễn Thị Minh, Phạm Hữu Kiên Khoa Vật l ý trường Đại học Sư pham Thái Nguyên Tóm tắt: Phương pháp tách biến Fourier sử dụng để nghiên cứu dao động màng có hình dạng đặc biệt Hai toán dao động tổng quát màng chữ nhật màng tròn đưa ví dụ minh hoạ tính hiệu đơn giản phương pháp tính tốn giải tốn vật lý có liên quan đến phương trình vi phân đạo hàm riêng Trong nghiên cứu chúng tơi trình bày lời giải chi tiết dao động màng chữ nhật màng tròn Kết tìm được chúng tơi thảo luận nhận xét tương đối đầy đủ cơng trình Giới thiệu Dao động tự vật có hình dạng đặc biệt (vng, chữ nhật, trịn quạt…) nghiên cứu, tính tốn nhiều phương pháp khác Nhưng đơn giản hiệu đưa tốn dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng, sau sử dụng cơng cụ tốn học để giải phương trình vi phân như: biến đổi ảnh Laplace, tách biến Fourier, Mặc dù, có nhiều giáo trình viết phương pháp kết tính tốn dạng dao động Xong thực tế giáo trình chưa giảng dạy phổ biến có tính chất hệ thống trường Đại học Việt Nam Tuy nhiên, vấn đề lại thu hút quan tâm lớn nhà nghiên cứu Vật lý lý thuyết bạn Sinh viên khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Vì vậy, với mong muốn tìm hiểu, trang bị kiến thức bổ ích, lựa chọn hướng nghiên cứu “Sử dụng phương pháp tách biến Fourier để tìm dao động màng có hình dạng đặc biệt” Với mong muốn tìm lời giải cho toán dao động tự loại màng có hình dạng đặc biệt, sử dụng phương pháp tách biến Fourier để tìm nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả dao động màng Kết tính tốn được, chúng tơi thảo luận nhận xét rõ ràng Chúng hy vọng nghiên cứu làm tài liệu tham khảo tốt cho Sinh viên theo học Vật lý trường Đại học Sư phạm, Đại hoc Khoa học Tự nhiên Học viên ôn thi Cao học… Phương pháp tính tốn Chúng tơi sử dụng phương pháp tách biến Fourer để tính tốn q trình nghiên cứu Giả sử tìm nghiệm phương trình [1-3]: ,, U tt − a Δu = G ( x, y, z t ) , (1) nghiệm thoả mãn phương trình vi phân (1), tìm cách phân tích hàm U ( x, y, z , t ) thành tích hàm chứa biến độc lập với nhau, cụ thể đặt: U ( x, y, z , t ) = T(t ) X ( x )Y( y ) Z ( z ) ⋅⋅⋅, (2) sau thay phương trình (2) vào phương trình (1), kết hợp với điều kiện biên điều kiện ban đầu tìm nghiệm tốn Cụ thể xét chuyển động dao động màng mỏng căng mặt phẳng (x,y), dao động chuyển động ngang vng góc với mặt phẳng màng tác dụng ngoại lực (hình 1) [1-3, 13] Đưa vào đại lượng sau: U = U ( x, y, t ) đại lượng mô tả dao động ngang màng ( x, y, t ) ρ mật độ khối lượng đơn vị diện tích màng T sức căng tính đơn vị diện tích w = w ( x, y, t ) ngoại lực tác dụng tính đơn vị diện tích Fe = w ( x, y, t ) ΔxΔy ngoại lực tác dụng lên yếu tố diện tích ΔxΔy Fd = β ΔxΔy ∂u lực hãm hay lực tắt dần tỷ lệ với vận tốc dao động yếu tố diện ∂t tích Δx ⋅ Δy , β hệ số tắt dần U(x,y,z) y u X x Hình Dao động màng T ⋅ Δy α2 β2 T ⋅ Δx β1 α1 T ⋅ Δx T ⋅ Δy y − Δy / yx Δy / + x − Δx / x + Δx / Hình Hình chiếu lực tác dụng lên yếu tố màng Xét độ dịch chuyển nhỏ, góc α1 , α , β1 , β nhỏ tổng lực tác dụng lên yếu tố màng theo hướng x y hình chiếu sức căng lên mặt phẳng, ta có: Tcosα = T 1+tg 2α ≅ T ⎛ ∂u ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ≈ T ≡ To Tcosα = Tcosα1 = To , Tcosβ = Tcosβ1 = To Áp dụng định luật II-Newton, lấy tổng lực theo hướng vng góc với yếu tố màng: ρΔxΔy ∂ 2u = T Δy ( sin α − sin α1 ) + T Δx ( sin β − sin β1 ) ∂ 2t ∂u + w ( x, y, t ) ΔxΔy − βΔxΔy ∂t (3) Chú ý rằng: sin α = tgα + tg 2α ≈ ∂u ∂x ⎛ ∂u ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ 2 ≈ ∂u ⎛ ∂u ⎞ ;⎜ ⎟ ≈ , ∂x ⎝ ∂x ⎠ đó, ta có: ⎡ ∂u ⎛ Δx Δx ⎞ ∂u ⎛ ⎞⎤ T Δy ( sin α − sin α1 ) = To Δy ⎢ ⎜ x + , y, t ⎟ − ⎜ x − , y, t ⎟ ⎥ ; 2 ⎠ ∂x ⎝ ⎠⎦ ⎣ ∂x ⎝ ⎡ ∂u ⎛ Δy ⎞ ∂u ⎛ Δy ⎞ ⎤ , t ⎟ − ⎜ x, y − ,t ⎟ T Δx ( sin β − sin β1 ) = To Δx ⎢ ⎜ x, y + ⎠ ∂y ⎝ ⎠⎥ ⎣ ∂y ⎝ ⎦ Chia hai vế phương trình (3) cho To ΔxΔy , lấy giới hạn Δx → , ta phương trình: ∂ 2u ∂ 2u ρ ⎛ ∂ 2u β ∂u ⎞ + + w ( x, y , t ) = ⎜ + ⎟, ∂ x ∂ y To ρ ∂t ⎠ To ⎝ ∂t ∂ 2u ∂ 2u ∂u ⎞ ⎛ ∂ 2u + + w ( x, y , t ) = ⎜ + k ⎟ , ∂ x ∂ y To ∂t ⎠ a ⎝ ∂t hay đó: a = To ρ ;k = (4) β ρ Phương trình (4) gọi phương trình dao động màng Xét trường hợp đặc biệt: ●Trường hợp 1: Cho β = 0, w = , thu phương trình sóng hai chiều ∂ 2u ∂ u ∂ u + = ∂ x ∂y a ∂t (5) ●Trường hợp 2: Dao động màng trạng thái dừng, suy phương trình Poison: ∂ 2u ∂ u + = − w ( x, y ) ∂x ∂y To (6) r Gọi C đường cong kín, biên màng nằm mặt phẳng ( x, y ) , gọi n vectơ pháp tuyến đơn vị hướng đường cong biên Điều kiện biên dao động màng có dạng sau: Điều kiện biên Dirichlet gọi điều kiện biên gắn chặt U ( x, y, t ) x , y∈c = f ( x, y ) (7) Điều kiện biên Neumann gọi điều kiện biên tự ∂u r = gradu n x , y∈c = f ( x, y ) ∂n (8) Điều kiện hỗn hợp bao gồm điều kiện biên gắn chặt điều kiện biên tự do, có dạng ⎧u ( x, y, t ) x , y∈c = f ( x, y ) ⎪ ⎨ ∂u r ⎪ = gradu.n x , y∈c2 = g ( x, y ) ⎩ ∂n (9) Điều kiện ban đầu dao động màng hình dạng ban đầu vận tốc ban đầu điêm bề mặt màng t = , có dạng: ⎧u ( x, y, o ) = f ( x, y ) ⎪ ⎨ ∂u ( x, y, ) = g ( x, y ) ⎪ ∂t ⎩ (10) Kết thảo luận Vận dụng phương pháp tính tốn trình bày mục 2, đưa lời giải tương đối chi tiết hai toán dao động tổng qt có hình dạng đặc biệt chữ nhật màng trịn Từ kết thu được, chúng tơi đưa nhận xét mặt vật lý, sở giải thích vài tượng quan sát thực tế Bài tốn thứ nhất: Tìm dao động ngang màng chữ nhật ≤ x ≤ L1 , ≤ y ≤ L2 có mép gắn chặt, với điều kiện biên ban đầu: u ( x, y, ) = Axy ( L1 − x )( L2 − y ) ; ut ( x, y, ) = [1-3, 7] y L2 O x L1 Hình Dao động màng chữ nhật Bài tốn trở thành tìm nghiệm phương trình vi phân hai biến: utt = a (u xx + u yy ) , thoả mãn điều kiện biên: u x =0 (11) =u x=L1 =u y =0 =u y = L2 =0, (12) điều kiện ban đầu: u ( x, y, ) = Axy ( L1 − x )( L2 − y ) , ut ( x, y, ) = (13) Hàm dao động xác định khoảng ≤ x ≤ L1 , ≤ y ≤ L2 Dao động màng chữ nhật có dạng sau: ∞ ∞ u ( x, y, t ) = ∑∑ ( Amn cos ( aλnmt ) + Bmn sin ( aλmnt ) ) sin ( 2n + 1) π x sin ( 2m + 1) π y , L1 m =0 n =0 L2 từ điều kiên ban đầu (12) xác định hệ số Amn, Bmn , ta có : Amn = (( f , X ) ,Y ) = Amn = = n Xn L1 L2 L1 L2 Ym L1 L2 m L1 L2 ∫ ∫ Axy ( L L1 L2 ∫ ∫ f (ξ ,η ) sin 0 − x )( L − x ) sin ( 2n + 1) π x sin ( 2m + 1) π y dxdy L1 0 L1 ∫ x ( L1 − x ) sin ( 2n + 1) π x L1 nπξ nπη sin d ξ dη L1 L2 L2 dx ∫ y ( L2 − y ) sin L2 ( 2m + 1) π y L2 dy = 4A Ι1Ι , L1 L2 tính Ι1 , áp dụng tích phân phần L1 ( 2n + 1) π x + L1 L1 Ι1 = − x ( L1 − x ) cos L1 ( 2n + 1) π ( 2n + 1) π = L1 ( 2n + 1) π L1 ∫ ( L1 − x) cos L1 ∫ ( L − x) cos ( 2n + 1) π x dx L1 ( 2n + 1) π x dx L1 Áp dụng tích phân phần, ta có: Ι1 = = L12 ( 2n + 1) π 2 ( L1 − x ) ( 2n + 1) π x sin L1 L1 + L1 L12 ( 2n + 1) π 2 ∫ sin ( 2n + 1) π x dx L1 L13 ( 2n + 1) π tương tự, áp dụng tích phân phần, ta có: Ι2 = L2 ∫ y ( L2 − y ) sin ( 2m + 1) π y L2 Như vậy: Amn = = L23 ( 2m + 1) π 64 AL13 L23 π ( 2n + 1) ( 2m + 1) Bmn = Như vậy, dạng dao động cụ thể màng chữ là: u ( x, y , t ) = 2 64 AL L π × ∞ ∑ sin ( 2n + 1) π x sin ( 2m + 1) π y L1 L2 ( 2n + 1) ( 2m + 1) m ,n =0 ⎧ ⎪ × cos ⎨π at ⎪ ⎩ × ( 2n+1) + ( 2m+1) ⎫ ⎪ ⎬ 2 L1 L2 ⎪ ⎭ (14) Từ kết tính biểu thức (14), chúng tơi có số nhận xét mặt Vật lý sau: Biểu thức (14) mô tả dao động tự màng chữ nhật, hàm u ( x, y, t ) khả vi hai lần theo t , hai lần theo x , hai lần theo y thoả mãn phương trình vi phân (11) với điều kiện biên (12) điều kiện ban đầu (13) Mọi điểm ( x, y ) dao động điều hoà với biên độ 2 64 AL L π × ∞ ∑ sin ( 2n + 1) π x sin ( 2m + 1) π y m,n =0 với tần số dao động riêng: ω = π a L1 L2 ( 2n + 1) ( 2m + 1) ( 2n + 1) L1 + ( 2m + 1) L2 2 64 AL1 L2 Nếu m = n = , biên độ dao động π sin πx L1 sin πy L2 , điểm biên bất động, ta nói biên màng đường nút Do ≤ x ≤ L1 , ≤ y ≤ L2 nên hàm sin πx L1 sin πy L2 ≥ , điểm màng nằm phía hay phía mặt phẳng oxy Độ lệch lớn đạt x = L1 L y = Đó tâm màng Đó điểm 2 bụng sóng đứng Nếu n = 1, m = biên độ dao động màng mà < x < 64 AL1 L2 3π x πy sin sin , điểm ( x, y ) L1 L2 27π L1 < y < L2 có biên độ dao động âm, điểm ( x, y ) màng mà L1 < x < L1 < y < L2 có biên độ dao động dương Do nửa trái nửa phải màng trình dao động ln uốn hai phía trái Độ lệch lớn đạt hai ⎛ L L ⎞ ⎛ 3L L ⎞ điểm ⎜ , ⎟ ; ⎜ , ⎟ ⎝4 ⎠ ⎝ ⎠ Nếu n = 0, m = , đường nút x = 0; x = L1 , y = 0, y = L2 , y = L2 hai điểm bụng ⎛ L L ⎞ ⎛ L 3L ⎞ ⎜ , ⎟ ; ⎜ , ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ Bài toán thứ hai: Khí lý tưởng chốn đầy hai mặt cầu đồng tâm S r1 S r2 (Hình 4) Bán kính mặt cầu bên S r1 thay đổi thêo quy luật: r ( t ) = r1 + ε sin ωt , −∞ < t < +∞, < ε < r2 − r1 , cịn bán kính mặt cầu bên ngồi Sr2 khơng đổi Tìm dao động chất khí mặt cầu [2, 3, 14] Gọi u ( r , t ) vận tốc hạt khí lý tưởng.Phương trình dao động khí lý tưởng có dạng: ⎛ ∂ 2u ∂u ⎞ ∂ 2u = a2 ⎜ + ⎟, ∂t r ∂r ⎠ ⎝ ∂r (15) với điều kiện ban đầu: r ( t ) = r1 + ε sin ωt , −∞ < t < +∞, < ε < r2 − r1 , điều kiện biên: ∂u ∂r = εω cos ωt , r = r1 ∂u ∂r = (16) (17) r = r2 r1 r2 Hình Khí lý tưởng chốn đầy hai mặt cầu đồng tâm Thế vận tốc u ( r , t ) hạt khí lý tưởng mơ tả dao động điều hồ thiết lập với tần số ω Bằng phương pháp tách biến, đặt: u ( r , t ) = R ( r ) cos ωt (18) Thay (18) vào (15) ta có phương trình: dR ( r ) dr + dR ( r ) ω + R (r ) = r dr a (19) Phương trình (19) có dạng phương trình Betsen, có tính chất sau: 2m ∞ m ⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ , ( m !) m ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ , ( m !)( m + 1)! J ( x ) = ∑ ( −1) m =0 m +1 ∞ J1 ( x ) = ∑ ( −1) m =0 x ∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ′ J1 ( x ) = − J ( x ) , x ∫ ξ J (ξ ) d ξ = x J ( x ) + ( x − x ) J1 ( x ) Sử dụng tính chất hàm Betsen điều kiện (16), (17) xác định được: ⎛ω ⎛ω ωr ωr ⎞ ωr ωr ⎞ 2aε ⎜ cos − sin ⎟ cos ω r 2aε ⎜ cos − sin ⎟ sin ω r a r2 a ⎠ a r2 a ⎠ ⎝a ⎝a a + a R (r ) = ω ( r1 − r2 ) ω ( r1 − r2 ) r r ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ cos ⎜ − ⎟ cos r1 r2 ⎠ a a ⎝ ⎝ r1 r2 ⎠ Như vậy, dao động chất khí mặt cầu: ⎧ ⎫ ⎛ω ω r2 ωr ⎞ − sin ⎟ cos ω r ⎪ ⎪ 2aε ⎜ cos a r2 a ⎠ ⎝a a +⎪ ⎪ ⎪ ⎛1 1⎞ ⎪ ω ( r1 − r2 ) r ⎪ ⎜ − ⎟ cos ⎪ a ⎪ ⎝ r1 r2 ⎠ ⎪ u ( r, t ) = ⎨ ⎬ cos ωt ⎪ 2aε ⎛ ω cos ω r2 − sin ω r2 ⎞ ωr ⎪ ⎜ ⎟ sin ⎪ ⎪ a r2 a ⎠ ⎝a a ⎪ ⎪+ ω ( r1 − r2 ) r ⎪ ⎛1 1⎞ ⎪ ⎜ − ⎟ cos ⎪ ⎪ a ⎝ r1 r2 ⎠ ⎩ ⎭ (20) Từ kết tính được, theo biểu thức (20) chúng tơi có số nhận xét mặt Vật lý sau: Dao động chất khí mặt cầu dao động điều hoà với biên độ: ⎛ω ωr ωr 2aε ⎜ cos − sin a r2 a ⎝a R (r ) = ω ( r1 − r2 ) ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ cos a ⎝ r1 r2 ⎠ ⎞ ω r 2aε ⎛ ω cos ω r2 − sin ω r2 ⎟ cos ⎜ a r2 a ⎠ ⎝a a + ω ( r1 − r2 ) r ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ cos a ⎝ r1 r2 ⎠ ⎞ ωr ⎟ sin ⎠ a r tần số góc dao động ω Khi r lớn R ( r ) giảm, điều chứng tỏ điểm xa tâm màng dao động cáng nhỏ đến biên màng đứng yên Kết luận Nghiên cứu thu số kết sau: i) Đã trình bày cách có hệ thống lôgic phương pháp tách biến Fourier sử dụng phương pháp để tìm phương trình dao động tổng quát dao động cụ thể (Biết điều kiện điều kiện ban đầu) màng chữ nhật tròn ii) Từ kết tính tốn được, chúng tơi có thảo luận nhận xét quan trọng mặt Vật lý toán Vấn đề nghiên cứu tính tốn truyền nhiệt màng chữ nhật tròn Lời cảm ơn Để hồn thành đề tài này, chúng tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô toàn thể bạn Sinh viên Khoa lý trao đổi động viên 10 Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Đình Thanh, Phương pháp tốn lý, NXBGD, 2002 [2] Phan Huy Thiện, Phương trình tốn lý, NXBGD, 2007 [3] Phan Huy Thiện, Tuyển tập tập phương trình tốn lý, NXBGD, 2008 [4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán cao cấp tập NXBGD, 1997 [5] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán cao cấp tập NXBGD, 1997 [6] Nguyễn Đình Trí- Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán cao cấp tập NXBGD, 1997 [7] Vũ Thị Kim Liên, Phạm Hữu Kiên, Bài tập toán Cho Vật lý, Thái Nguyên, 2009 [8] Phạm Hữu Kiên, Khoá luận tốt nghiệp Đại học, Thái Nguyên, 2003 [9] Phạm Hữu Kiên, Luận văn tốt nghiệp Cao học, Hà nội, 2006 [10] Đào Văn Phúc, Điện động lực, NXBGD,1984 [11] Đỗ Thị Liên, Khoá luận tốt nghiệp Đại học, Thái Nguyên, 2008 [12] Phạm Đức Long, Đề tài nghiên cứu khoa học, Thái Nguyên, 2009 [13] Nguyễn Thị Thu Hằng, Đề tài nghiên cứu khoa học, Thái Nguyên,2009 [14] Phạm Hữu Kiên, Nguyễn Thị Thu Hằng, Tạp chí khoa học công nghệ ,số 2(50), năm 2009 trang 43-47 [15] Nguyễn Thi Bảo Ngọc, Dao động sóng, NXBĐHQGHN, 1996 11 ... pháp tách biến Fourier sử dụng phương pháp để tìm phương trình dao động tổng quát dao động cụ thể (Biết điều kiện điều kiện ban đầu) màng chữ nhật tròn ii) Từ kết tính tốn được, chúng tơi có thảo... ∂t ⎩ (10) Kết thảo luận Vận dụng phương pháp tính tốn trình bày mục 2, đưa lời giải tương đối chi tiết hai toán dao động tổng quát có hình dạng đặc biệt chữ nhật màng trịn Từ kết thu được, đưa... Phương trình (4) gọi phương trình dao động màng Xét trường hợp đặc biệt: ●Trường hợp 1: Cho β = 0, w = , thu phương trình sóng hai chiều ∂ 2u ∂ u ∂ u + = ∂ x ∂y a ∂t (5) ●Trường hợp 2: Dao động