CHUYÊN ĐỀ 1 TỌA ĐỘ PHẲNG Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng phương hoặc vuông góc giữa hai vectơ, 3 điểm thẳng hàng. Ta vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây: Cho a = ( , = ta có: G b G ) G G G G ) 1 2 a, a ( 1 2 b, b a = G b G ⇔ 1 2 1 2 a = b a = b ⎧ ⎨ ⎩ a + = ( , ) b 1 1 a + b 2 2 a + b a – = ( , ) b 1 1 a - b 2 2 a - b k a = (k , k ) (k G 1 a 2 a ∈ R) α + = ( + a G β b G α 1 a β 1 b , α 2 a + β 2 b ) a . = + G G b 1 a 1 b 2 a 2 b . Với các quan hệ về độ dài ta có: a = ( , ) G 1 a 2 a ⇒ a G = 22 1 2 a + a () () AA BB A x, y Bx, y ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⇒ A B JJJG = ( – , – ) B x A x B y A y và AB = ()() 22 BA BA x - x y - y+ . Với quan hệ cùng phương hoặc vuông góc ta có: a + = 0 G G G G ⊥ b ⇔ 1 a 1 b 2 a 2 b cùng phương a b ⇔ G G sin( a, b) = 0 ⇔ – = 0 1 a 2 b 2 a 1 b ⇔ 1 1 a b = 2 2 a b ( , 1 b 2 b ≠ 0) A, B, C thẳng hàng ⇔ A B J JJG cùng phương A C J JJG ⇔ BABA CACA x - x y - y x - x y - y = 0 . Với việc tìm góc của hai vectơ ta có: - Góc hình học tạo bởi hai vectơ a G , b G được suy từ công thức: cos( n a, b G G ) = 11 22 ab + ab a.b G G (1) - Số đo góc đònh hướng của hai vectơ a G , b G ngoài (1) còn được suy thêm từ một trong hai công thức: G G sin( a, b) = 12 1 G G 2 a b - a b a.b G G tg( a, b) = 12 1 11 2 2 2 a b - a b ab + a b Ngoài ra trong các bài toán về tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết quả sau đây: . M( , ) là trung điểm của đoạn thẳng AB M x M y ⇔ 2 2 AB M AB M x + x x = y + y y = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ . G( , ) là trọng tâm của G x G y Δ ABC ⇔ 3 3 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ AB G AB G x + x + x x = y + y + y y = C C . I( , ) và J( , ) là chân đường phân giác trong và ngoài của góc A trong ABC thì: I x I y J x J y Δ IB IC JJG JJG = − JJJG JB JC JJJG = − A B A C . Với A( , ), B( , ), C( , ) thì diện tích tam giác ABC là: A x A y B x B y C x C y S = 1 2 Δ với Δ = BABA CACA x - x y - y x - x y - y Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2). a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B. b) Tìm tọa độ điểm M để 2 + 3AM JJJJG BM J JJJG - 4 CM J JJJG = 0 G c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE là hình thang có một cạnh đáy là AB và E nằm trên Ox. d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC. Δ e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng. Giải a) D là điểm đối xứng của A qua B B là trung điểm của AD ⇔ ⇔ AD B AD B x + x x = 2 y + y y = 2 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ hay D(–2, 7) ⇔ () () −−⎧ ⎪ ⎨ − ⎪ ⎩ DBA DBA x = 2x x = 2 0 2 = 2 y = 2y y = 2 3 + 1 = 7 − JJJJG JJJJG b) Ta có: 2 + 3 BM – 4 CM AM J JJJG = 0 G = ( 0, 0 ) ⇔ ()() ( ) ()()() −−−−⎧ ⎪ ⎨ −− − ⎪ ⎩ MMM MMM 2x 2 + 3x 0 4x 4 = 0 2 y + 1 + 3 y 3 4 y 2 = 0 ⇔ hay M(–12, –1) − ⎧ ⎨ − ⎩ M M x =12 y =1 c) ABCE là hình thang có đáy AB và E nằm trên Ox. ⇔ E y = 0 CE ⎧ ⎪ ⎨ ΑΒ ⎪ ⎩ JJJG JJJG // ⇔ E EE y = 0 x - 4 y - 2 = 0 - 2 3 + 1 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⇔ hay E(5, 0) E E y = 0 x = 5 ⎧ ⎨ ⎩ d) H là trực tâm của ABC Δ ⇔ A H BC BH AC ⊥ ⎧ ⎨ ⊥ ⎩ ⇔ A H.BC = 0 BH.AC = 0 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ J JJJG JJJG JJJJG JJJG ⇔ ()()() ( ) ()()()() 412 42 321 0 −−++−=⎧ ⎪ ⎨ −−+−+= ⎪ ⎩ HH HH x2 0y x0 y 30 239 HH HH xy xy −−= ⎧ ⎨ +−= ⎩ ⇔ 490 0 ⇔ 18 7 9 7 H H x y ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ hay H 18 7 9 , 7 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ G là trọng tâm ABC ta có: Δ 204 2 33 132 4 33 ABC G ABC G xxx x yyy y ++ ++ ⎧ == ⎪ ⎪ ⎨ ++ −+ + ⎪ == ⎪ ⎩ 3 = = hay G 4 2 3 , ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ + I là tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC ⇔ IA = IB = IC ⇔ 22 22 IA IB IA IC ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ ⇔ ()( )()( ()( )()( 222 222 2103 2142 III III xyx xyx ⎧ −+−−=−+− ⎪ ⎨ −+−−=−+− ⎪ ⎩ ) ) 2 2 I I y y 0 0 ⇔ 484 4615 II II xy xy −+ −= ⎧ ⎨ +−= ⎩ ⇔ 24 12 14 7 19 14 I I x y ⎧ == ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ hay I 12 19 714 , ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ e) Ta có : = HG JJJJG 41 721 , ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ và HI J JJG = 61 714 , ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ ⇒ 4 7 6 7 − − = 1 21 1 14 = 2 3 ⇒ cùng phương với HG JJJJG HI J JJG ⇒ H, I, G thẳng hàng. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) . Tính cos ( A O JJJG , A B JJJG ) vaứ dieọn tớch tam giaực ABC. Giaỷi Ta coự: A O JJJG = (2, 2 3 ), A B J JJG = (1, 3 ) = ( a 1 ;a 2 ) cos( A O JJJG , A B JJJG ) = 26 41213. + + = 1 2 JJJG A C = (3, 3 ) = = ( b 1 ; b 2 ) 12 21 1 2 = ABC Sabab = 1 1333 2 ()( ) () = 2 3 * * * . ()() ( ) ()()() −−−−⎧ ⎪ ⎨ −− − ⎪ ⎩ MMM MMM 2x 2 + 3x 0 4x 4 = 0 2 y + 1 + 3 y 3 4 y 2 = 0 ⇔ hay M( 12, –1) − ⎧ ⎨ − ⎩ M M x =12 y =1 c) ABCE là hình thang có đáy AB và E nằm trên Ox. ⇔ E y = 0 CE ⎧ ⎪ ⎨ ΑΒ ⎪ ⎩ JJJG. (1) còn được suy thêm từ một trong hai công thức: G G sin( a, b) = 12 1 G G 2 a b - a b a.b G G tg( a, b) = 12 1 11 2 2 2 a b - a b ab + a b Ngoài ra trong các bài toán về tọa độ. điểm E để ABCE là hình thang có một cạnh đáy là AB và E nằm trên Ox. d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC. Δ e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng. Giải a) D là điểm