1 NHIỀUCÁCHGIẢICHOMỘTBÀITOÁNTHCS Trongtoánhọccórấtnhiềubàitoáncórấtnhiềucáchgiải.Vớibàiviếtnàytácgiảxinđượcđềcậpđếnmộtsố cáchgiảibàitoáncấpTHCSthôngquaviệcvẽđườngphụ,Đâylàcáccáchgiảiđượckhaitháctheocáchướng khácnhautrêncơsởtính chấtđườngtrungbìnhcủatamgiác,nhằmpháthuytínhsángtạochohọcsinhnhằm giúpcácemhứngthúhơntrongviệchọcvàlàmtoán.Tácgiảbàiviếtmongnhậnđượcsựđónggópýkiến, nhậnxétcủacácthầycô,bạnđọctrongcảnướcnhằmngàycànghoànthiệnhơn. Bàitoán:ChotamgiácABCcântạiA,đườngtrungtuyếnCD.TrêntiađốicủatiaBAlấyđiểmK saochoBK=BA.Chứngminhrằng CD= 1 2 CK (1) Giải:Ởđâyxinđượcgiớithiệu 10cáchgiảibàitoántrên. Cách1:(Hình 1) GọiElàtrungđiểmcủaAC. CóBElàđườngtrungbìnhcủa D AKC=>BE= 1 2 KC(1) Xét D BDCvà D CEBcó: BD=CE(vìBD= 1 2 AB;CE= 1 2 ACmàAB=AC); Cạnh BCchung; · · DBC ECB = (vì D ABCcântạiA); Vậy D BDC= D CEB(c.g.c); SuyraCD=BE(haicạnhtươngứng)(2) Từ(1)và(2)suyraCD= 1 2 CK(đ.p.c.m) Cách2: (Hình2) GọiHlàtrungđiểmcủaKC.BHlàđườngtrungbìnhcủa DAKC=>BH= 1 2 AC Xét D BDCvà D BHCcó: BD=BH(vìBD= 1 2 AB;BH= 1 2 ACmàAB=AC); · · HBC DBC = vì · · · · DBC ACB mµ ACB HBC (do so le trong, BH//AC) = = ; BCcạnhchung; Vậy DBDC= DBHC(c.g.c) SuyraCH=DC(haicạnhtươngứng);(1) MàHlàtrungđiểmcủaKCnênCH= 1 2 CK(2). Từ(1)và(2)suyra:CD= 1 2 CK. Cách3: (hìnhbên) TrêntiađốicủatiaCAlấyđiểm MsaochoCA=CM;CDlàđường trungbìnhcủa DABM=>DC= 1 2 BM (1) Xét D KBCvà D MCBcó: BCcạnhchung; · · KBC MCB = (cùng bùvới · ABC ); (1) TríchNângcaovàphát triểntoán7Nhà xuất bảnGiáodục. H.1 E K D B C A H.2 H K D B C A M K D B C A 2 KB=MC(vìKB=AB;MC=AC;AB=AC); Vậy D KBC= D MCB(c.g.c)=>KC=MB(haicạnhtươngứng)(2). Từ(1)và(2)suyraDC= 1 2 CK. (đ.p.c.m); Cách4: (hình4) TrêntiađốicủatiaCBlấyđiểmNsaochoCB=CN; Tacó: DClàđường trungbìnhcủa D ABN=>CD= 1 2 AN (1); Xét D KBCvà DACNcó: BC=CN; · · KBC ACN = · · · · · · 0 0 (v× KBC 180 ABC; ACN 180 ACB mµ ABC ACB) = - = - = KB=AC(cùngbằngAB); Vậy DKBC= DACN(c.g.c)=>CK=AN (haicạnhtươngứng) (2); Từ(1)và(2)suyra: CD= 1 2 CK.(đ.p.c.m); Cách5: (hình5) GọiP;QlầnlượtlàtrungđiểmcủaBCvàBK; CóDPlàđườngtrungbìnhcủa D ABC=>DP= 1 1 AC = AB = DB 2 2 ; DP//AC=> · · DPB ACP = (cùngbùvới · DPC );Theogiảthiết · · ABC ACB = (D ABCcântại A); · · DPB DBP = mà · · 0 QBP 180 DBP = - ; · · 0 DPC 180 DPB = - => · · QBP DPC = Xét D QBPvà D DPCcó: QB=DP; · · QBP DPC = (chứngminhtrên);BP=CP(cùngbằng 1 2 BC); Vậy D QBP= D DPC(c.g.c)=>DC=QB (1); MặtkhácQPlàđườngtrungbìnhcủa DKBCnênQP= 1 2 CK(2); Từ(1)và(2)suyra:CD= 1 2 CK(đ.p.c.m); Cách6: (Hình6). GọiE;OlầnlượtlàtrungđiểmcủaACvàKC;OElàđườngtrungbìnhcủa DACK nênOE= 1 2 AKmàAK=2AB=2AC=>OE=AB=AC; Xét D CDAvà D OCEcó: AD=CE(cùngbằng 1 2 AC);OE=CA; · · DAC CEO = (đồngvị,OE//AD); Vậy D CDA= DOCE(c.g.c)=>OC=CD; (1) MặtkhácOlàtrungđiểmCKnênOC= 1 2 CK(2) Từ(1)và(2)suyraCD= 1 2 CK.(đ.p.c.m); Cách7: (hình7) GọiP;OlầnlượtlàtrungđiểmcủaBCvàCK; DPlàđườngtrungbìnhcủa DABCnênDP= 1 2 AC H.4 N K D B C A H.5 Q K D P B C A H.6 O E K D B C A H.7 O K D P B C A 3 OPlàđườngtrungbìnhcủa DCBKnênOP= 1 2 BK Theobài ra,tacóBK=ACnênDP=OP; · · · · · · · · · · OPB DBP (so le trong, OP//DB); DBP ACP vµ ACP DPB OPB DPB OPC DPC = = = Þ = Þ = Xét D DPCvà D OPCcó: DP=OP(c/mtrên); · · OPC DPC = (c/mtrên); Cạnh PCchung Vậy D DPC= D OPC(c.g.c)=>OC=CDmàOC= 1 2 CK=>CD= 1 2 CK. (đ.p.c.m). Cách8: (hình8) TrêntiađốicủatiaDClấyđiểmFsaochoDF=DC; Xét D BDFvà D ADCcó: DF=DC;DA=DB; · · FDB CDA = (haigócđốiđỉnh); suyra: DBDF= DADC(c.g.c)=>BF=ACmàAC=BKnênBF=BK; Talạicó: · · 0 FBC ACB 180 (BF // AC nªn hai gãc trong cïng phÝa bï nhau); + = · · 0 KBC ABC 180 (hai gãc kÒ bï) + = mà · · ABC ACB ( ABC c©n t¹i A) = D => · · KBC FBC = Xét D FBCvà D KBCcó: FB=KB(c/mtrên); · · KBC FBC = ; BCcạnhchung; Vậy D FBC= D KBC(c.g.c)=>FC=CK=>2CD=CK=>CD= 1 2 CK.(đ.p.c.m); Cách9:( hình 9); TừBkẻđường thẳng songsongvớiCKcắtACtạiO;TừCkẻđường thẳng songsongvớiBKcắtBOkéodàitạiR; Dễdàng chứngminhđược CR=BK=AB;BR=CK; Xét DROCvà DBOAcó: · · CRO ABO (so le trong, CR//AB) = ;CR=AB; · · RCO BAO (so le trong, CR//AB) = Suyra: DROC= DBOA(g.c.g); =>OA=OC= 1 2 AC== 1 2 AB;OB=OR;=>OR= 1 2 BR= 1 2 CK;(1); Xét DADCvà D CORcó: AD=OC(cùngbằng 1 2 AB); · · RCO DAO (so le trong, CR//AB) = ; CR=AC(cùngbằngAB); Vậy DADC= D COR(c.g.c);=>OR=CD (2); Từ(1)và(2)=>CD= 1 2 CK.(đ.p.c.m); Cách10: (hình10) H.8 F K D B C A H.9 R O K D B C A 4 TrêntiađốicủatiaBClấyđiểmFsaochoBF=BC;NốiFK;GọiIlàtrung điểmcủaFK; Xét D FBKvà D CBAcó: FB=CB; · · FBK CBA (hai gãc ®èi ®Ønh); = AB=KB(giảthiết); nên DFBK= DCBA(c.g.c)=>FK=AC màAB=AC=>FK=AB=> 1 2 FK= 1 2 AB =>FI=DB;(1) Theobài ra,tacó: · · · · · · · ACB ABC mµ ACB = BFI BFI = ABC = DBC = Þ (2) Xét D FBIvà D BCDcó: FB=BC; · · BFI = DBC (theo(2)); FI=BD (theo(1)); Vậy DFBI= DBCD(c.g.c)=>BI=CD(3); MặtkhácdoI;BlầnlượtlàtrungđiểmcủaFKvàFC=>IBlàđườngtrungbìnhcủa DKFC =>BI= 1 2 CK(4);Từ(3)và(4)suyra:CD= 1 2 CK.(đ.p.c.m); Chúý:Trongcáccáchvẽđườngphụ,cóthểlậpluậntheonhiềucáchkhácnhauđểchứngminhđược CD= 1 2 CK. NguyễnVănChương Trường THCSNguyễnHàm Ninh BaĐồnQuảng TrạchQuảng Bình Điệnthoại:0935187009 H.10 I F K D B C A . 1 NHIỀUCÁCHGIẢI CHO MỘTBÀITOÁN THCS Trong toán họccórất nhiều bài toán córất nhiều cách giải. Với bài viếtnàytácgiảxinđượcđềcậpđến một số cách giải bài toán cấp THCS thôngquaviệcvẽđườngphụ,Đâylàcác cách giải đượckhaitháctheocáchướng khácnhautrêncơsởtính. chấtđườngtrungbìnhcủatamgiác,nhằmpháthuytínhsángtạo cho họcsinhnhằm giúpcácemhứngthúhơntrongviệchọcvàlàm toán. Tácgiả bài viếtmongnhậnđượcsựđónggópýkiến, nhậnxétcủacácthầycô,bạnđọctrongcảnướcnhằmngàycànghoànthiệnhơn. Bài toán : Cho tamgiácABCcântạiA,đườngtrungtuyếnCD.TrêntiađốicủatiaBAlấyđiểmK sao cho BK=BA.Chứngminhrằng CD= 1 2 CK (1) Giải: Ởđâyxinđượcgiớithiệu 10 cách giải bài toán trên. Cách 1:(Hình 1) GọiElàtrungđiểmcủaAC. CóBElàđườngtrungbìnhcủa. chấtđườngtrungbìnhcủatamgiác,nhằmpháthuytínhsángtạo cho họcsinhnhằm giúpcácemhứngthúhơntrongviệchọcvàlàm toán. Tácgiả bài viếtmongnhậnđượcsựđónggópýkiến, nhậnxétcủacácthầycô,bạnđọctrongcảnướcnhằmngàycànghoànthiệnhơn. Bài toán : Cho tamgiácABCcântạiA,đườngtrungtuyếnCD.TrêntiađốicủatiaBAlấyđiểmK sao cho BK=BA.Chứngminhrằng