Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ mơn: Tốn Ứng Dụng Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp Chương 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1.Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp tổng quát có dạng F(x, y, y’) = Ở đây: hay y’ = f(x,y) x biến độc lập, y(x) hàm chưa biết y’(x) đạo hàm • Nghiệm tổng qt phương trình vi phân cấp hàm y=φ(x,c) Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp • Nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát cho số c giá trị cụ thể gọi nghiệm riêng • Nghiệm phương trình vi phân cấp nghiệm không nhận từ nghiệm tổng quát cho dù c lấy giá trị gọi nghiệm kỳ dị Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp VD: Xét phương trình vi phân cấp y' = − y dy y' = = − y dx Ta có: dy ⇒ = dx 1− y ⇒∫ (*) ( ĐK :y ≠ ± 1) dy = x + c ⇒ arcsin y = x + c 1− y Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp ⇒ y = sin( x + c) Trường hợp: y=±1 Đây nghiệm tổng quát thỏa phương trình (*) nên nghiệm phương trình vi phân chúng khơng nhận từ nghiệm tổng quát nên nghiệm kỳ dị Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy tốn tìm nghiệm phương trình vi phân cấp kiện ban đầu y(xo) = yo y’=f(x,y) thỏa điều Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp VD: Xét toán Cauchy y y' = x thỏa y(1) = dy y Ta có: y ' = = dx x dy dx ⇒ = ĐK :y ≠ y x dy dx ⇒ ln y = ln x + c ⇒∫ =∫ y x ⇒ y = c x Từ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải c=2 Vậy nghiệm toán thỏa điều kiện đầu y(1)=2 y=2.x Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp Nhận xét: Nghiệm toán Cauchy nghiệm riêng Các loại phương trình vi phân cấp 3.1 Phương trình tách biến a Dạng: f(x)dx + g(y)dy = b Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta nghiệm tổng quát phương trình là: ∫ f ( x)dx + ∫ g ( y )dy = c Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp VD: Giải phương trình vi phân xdx + ydy = Ta có: ∫ xdx + ∫ ydy = c x + y =c ⇒ 2 ⇒ x + y = 2c 2 nghiệm phương trình Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp c Một số phương trình vi phân cấp đưa dạng tách biến ∗ Phương trình dạng: y’=f(y) • Nếu f(y) ≠ phương trình đưa dạng tách biến: dy = dx f ( y) • Nếu f(y) = có nghiệm y=b y=b nghiệm riêng phương trình Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp VD: Tìm nghiệm phương trình − 1− y y' = y thỏa điều kiện )= y( 2 1− y dy Ta có: y' = = − dx y y ⇒− dy = dx ( ĐK : y ≠ ±1) 1− y y ⇒ ∫− dy = ∫ dx 1− y Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp ln x dx + c] ⇒ z ( x) = x[ ∫ − x ⇒ z ( x) = x[ ln x + + c] x x ⇒ = ln x + + cx y Trường hợp y = thỏa mãn phương trình ta nhận nghiệm Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 3.5 Phương trình vi phân tòan phần a) Dạng: Ở đây: P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = P(x, y), Q(x, y) đạo hàm riêng hàm liên tục miền D thỏa mãn ∂P = ∂Q ; ∀( x, y ) ∈ D điều kiện ∂y ∂x Khi đó: ∃U (x, y) thỏa dU = P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy dU (x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy ∂U = P , ∂U = Q ∂x ∂y Chương 5: Phương Trình Vi Phân b) Cách giải: Vì nên Cấp Từ Từ ∂U = P ⇒ U ( x, y ) = P ( x, y ) dx + c( y ) ∫ ∂x ∂U = Q ⇒ ∂ ( P( x, y )dx) + c' ( y ) = Q( x, y ) ∂y ∂y ∫ Ta tính c' ( y ) , từ suy c( y ) cuối ta tìm hàm mà U ( x, y ) dU ( x, y ) = P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = Suy nghiệm toán là: U ( x, y ) = c Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp VD1: Giải phương trình vi phân: ( x + y + 1)dx + ( x − y + 3)dy = ∂P = ∂Q = nên phương trình vi ∂y ∂x Vì phân tịan phần Do đó: ∃U ( x, y ) : dU = P ( x, y )dx + Q( x, y )dy  ∂U = P = x + y +  ∂x ⇒ ∂U  ∂y = Q = x − y +  (1) ( 2) Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp Từ (1) ⇒ U (x, y) = ∫ (x + y + 1)dx + c( y) ⇒ U ( x, y ) = x + xy + x + c( y ) ∂U = x + c' ( y ) = x − y + ⇒ ∂y ⇒ c' ( y ) = − y + 3 y ⇒ c( y ) = − + y + c1 3 x − y + xy + x + y + c U ( x, y ) = Vậy: Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp Nghiệm toán là: U ( x, y ) = c2 x − y + xy + x + y + c = c ⇒ 2 3 x − y + xy + x + y = c ⇒ VD2: Giải phương trình vi phân ( x + y − 1)dx + (e + x)dy = ∂P = ∂Q = nên PT vi phân tòan phần ∂y ∂x y Vì Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp Do : ∃U ( x, y ) : dU = P ( x, y )dx + Q( x, y )dy (1)  ∂U = P = x + y −  ∂x ⇒  ∂U y ( 2)  ∂y = Q = e + x  Từ (1) ⇒ U ( x, y ) = ∫ ( x + y − 1) dx + c ( y ) ⇒ U ( x, y ) = x + xy − x + c( y ) ∂U = x + c' ( y ) = x + e y ⇒ ∂y Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp ⇒ c' ( y ) = e y ⇒ c( y ) = e + c1 y Vậy x + xy − x + e y + c U ( x, y ) = Vậy nghiệm phương trình x + xy − x + e y + c = c ⇒ 2 x + xy − x + e y = c ⇒ Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp c) Thừa số tích phân Khi phương trình P ( x, y )dx + Q ( x, y )dy = khơng phương trình vi phân tồn phần có hàm trình với H ( x, y ) H ( x, y ) cho nhân vế phương ta phương trình: H ( x, y ) P ( x, y )dx + H ( x, y )Q ( x, y ) dy = phương trình vi phân tồn phần Lúc này: Hàm H ( x, y ) gọi thừa số tích phân Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp Nói chung khơng có phương pháp tổng qt để tìm thừa số tích phân Ta xét trường hợp đơn giản nhất: •Nếu ∂P − ∂Q ∂y ∂x = f (x) Q H ( x, y ) = H ( x ) = e ∂P − ∂Q ∂y ∂x = g ( y) P − ∫ g ( y ) dy đó: H ( x, y ) = H ( y ) = e đó: •Nếu ∫ f ( x ) dx Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp VD1 Giải phương trình vi phân (x − sin y)dx + x sin ydy = Ta có: ∂P = −2 sin y cos y ; ∂Q = sin y ∂y ∂x Vậy khơng phải phương trình vi phân tồn phần ∂P − ∂Q ∂x Nhận xét: ∂y =− Q x ∫ − x dy = 12 Do thừa số tích phân H ( x ) = e x Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp 1 ( x − sin y ) dx + ⋅ x sin ydy = ⇒ 2 x x phương trình vi phân tồn phần Giải phương trình ta nghiệm tổng quát là: sin y = c x+ x VD2: Giải phương trình vi phân ( y cos x + 1)dx + ( y sin x − x)dy = y Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp Ta có: ∂P = y cos x ; ∂Q = y cos x − ∂y ∂x y Vậy khơng phải phương trình vi phân tồn phần ∂P − ∂Q ∂y ∂x Nhận xét: = P y Do thừa số tích phân H ( x) = e − ∫ dy y =1 y ( y cos x + 1)dx + ( y sin x − x ) dy = ⇒ y y y Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp phương trình vi phân tồn phần Giải phương trình ta nghiệm tổng quát là: y sin x + x = c y  Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp ... Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp VD: Xét phương trình vi phân cấp y'' = − y dy y'' = = − y dx Ta có: dy ⇒ = dx 1? ?? y ⇒∫ (*) ( ĐK :y ≠ ± 1) dy = x + c ⇒ arcsin y = x + c 1? ?? y Chương 5: Phương Trình. .. (1 + x ). (1 + y ) ≠ 2 Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp chia vế phương trình cho (1 + x ). (1 + y ) 2 ta phương trình tách biến: x dx + y dy = 2 1+ x 1+ y y x dx + ⇒∫ ∫ + y2 dy = c 1+ x ln (1. .. ( x) g1 ( y ) Chương 5: Phương Trình Vi Phân Cấp • Nếu f2(x) = x=a x=a nghiệm phương trình • Nếu g1( y) = y=b y=b nghiệm riêng phương trình VD1: Tìm nghiệm phương trình x (1 + y )dx + y (1 + x