Đang tải... (xem toàn văn)
Tuyển tập 30 năm Tạp Chí Toán Học và Tuổi Trẻ (part4-1)
lượng mà ta muốn, nơi cách khác : làm tÌm phân số hay số thập phân hữu hạn biểu diễn gần số vơ tỈ đó, với độ xác cho trước ? Trường hợp đơn giản với bậc hai số, người ta tÌm thuật tốn để giải vấn đề (thuật toán khai phương số) Tuy nhiên nhiều bạn khơng biết thuật tốn này, số bạn khác biết, khơng hiểu Nếu lấy a, = V8 ~1+ a, = 1th V3 =1+—+ _-7 1+ 2+1 sở lí luận thuật tốn khơng dùng thường xun nên khơng cịn nhớ Bây giờ, có người nhờ bạn : "viết giúp (tính từ đưới lên : 2+ = 81+ hay số thập phân, với sai số không Nếu lấy a, = thi duge đấu cấp II để trả lời không ? đãx~i+—1 Y3 gần đưới dạng phân số thường 1/105", bạn sử dụng kiến thức lớp Sau cách bạn trả lời câu hỏi Chú ý ta cd thé dat giản đơn 1 Người 8ð hoàn Cong thee | tìm _ a Bảng bên ghi số hoàn thiện mà loài người biết Số pr} a loại máy tính điện tử đại, _ ¬ số Nó tính sau 40 phút 6i 12% 5) (6232, 6368) ;11) (67095, 71145) ; 6) (10744, 10856) ;12) (69615, 87633) 18) (79750, 88730), Hầu hết cặp số thân mật ch số Ít cặp số lẻ Chưa ! thấy cặp số thân mật gồm số ct số lẻ chưa chứng m không tồn vài nhà toán học đưa thân mật lẻ chia hết số cặp số thân cặp Một giả thiết số cho tổng hai mật chia hết cho Nhưng chưa biết cơng thức tổng qt số thân mật chưa thể nói đến việc chứng minh điểu đoán trên, tất nhiên chưa biết tập hợp cập số thân mật hữu hạn hay vơ hạn Trở lại "vịng" số (a, a @,) ndi trén, năm 1918 nhà toán học Pháp Pu-lê tim "vòng" 15472, 14536, gồm 28 số (bắt "vàng" gồm ba tÌm thấy, mặc máy gồm ð số (12494, 14288, 14264) "vòng" khác đầu từ số 14316) Cịn số chưa đầu vận dụng rộng rãi khả tính điện tử Việc tìm kiếm tiếp tục chừng chưa tÌm chừng chưa có chứng minh "vịng" không tồn Viết theo tự liệu tạp chí Lién x6 "Co-van-to” s6 10/1973, VE GIAI MOT LOP PHUONG TRINH HAM PHAN ĐỨC THÀNH Giải phương trình ham số chưa biết xác định hàm phương trình Chẳng han : Hay xdc dinh ham s6 f(x) thỏa mãn phương trình ham sau 2f(1 — x) + 1987 = xf(x) : quen với toán cần thiết : vài ~ 1) wv khái niệm Thi du : Ham AAC) = Fe f ; DO) = AC FO) = sfx) s6 f(x) = sin (1987x + 1) chập hàm s6 gfx) = 1987x + va h(x) = sinx, tite la f(x) = (heghx) Cha y : nói chung, phép chập hàm số khơng có tính chất giao hốn, tức fog + gof, có tính chất kết hợp, tức với ham f, g, A ta cd (.8),h = f,h) Phép chập /»ƒ gọi phép lập (2 lần) hàm ƒ cho ta hèm lặp (2 lần) f2) = 0œ) = fŒ&)) n f,œ) = fỨ@)) = xI[T + 2x? Bằng quy nạp chứng minh f,@ =zÄT+n phép Gia st f(x) g(x) hàm số cho miền xác định hàm số g(x) chứa miền giá trị hàm số ƒ#fz) Ta gọi chộp ham f va g la ham số, ký hiệu g‹ƒ, cho công thức A” hàm Thi dụ Cho f(x) = x/{1 + x7 Khi Trước trình bày phương pháp giải cho lớp phương trình hàm, làm lặp n lần n f(x) + ƒ(1988/(1988 - x)) =x (Œœ— 1Œ) + fla) = Mở rộng khái niệm ta định nghĩa hàm Thi du Cho f(x) = (xV¥3 — 1)(x + YB) Tinh bam lap f g(x) Giải : Chú ý chập hàm phân tuyến tính hŒ) = (ax+b)(—bx+g) kí) = (ex + đ)/(—dx + e) đễ dàng tính —_(ae — bđyw + (sở + be) A) = [Ca¥ bon F (eo — bd) hệ số chập h-k tugng ứng luật nhân số phức (a + ib) (aœ + ¡đ) Hàm cho fx) = @3 — D/œ + Ý3) = = (NB x/2 - 1/2)(x/2 + {Š/2) tương ứng với số phức z = V8/2 — i/2 = cos(—z/6) + ísin(—x/6) Do dé ham 86 fiog,(x) tương ứng với số phức 21988 — cos[1988(—z/6)] + isin[1988(—z/6)] 269 = -1⁄2 + i¥3/2 G={ø tức fos4x)= (—zl2 + {5/2)/(—Ýã x/2~ 1/2) = Võ + =œ-8)/Œœ biến đổi ø; —> g; thÌ ø; -> By 8, >, tu phương trình hàm cho ta nhận hệ fe, + fle) = 8, đọc phương pháp giải lớp phương trình fey + fey = By» fey) + fey = 8, hàm Từ rút Thi du Tim ham s6 ffx) cho : fey) = 6, + 83> 8,2 = #f@) - 2ƒ - x) = sử tổn hàm số ƒ{z) thỏa Œ~#/ =>) ~ 2/6) =1 Ta nhận hệ phương trình hai 4in ffx) - z) Giải ta xét : Nếu với x # +1/3 Thi du : Giải phương trình hàm xflx) + 3œ — 1œ + D =1 Giải : Đặt Ø=*.,8;= ƒŒ) = œ ~ 8/@2 - x + 4) Nhận = (9x3 + 6x? ~ x + 2)(18x? — 2) mãn phương trình Thay z - x ta có phương trinh ƒ(1 ta đặt g¡ =x,g;= 1—*x việc thay + I - z làm cho hàm số [g,,gø;] biến thành hàm số kia, tức —*8; 8; > 8, Dễ dàng nhận thấy hàm số ø) ø; có tính chất 82.8; = 8, +881 = 8y đóng đơi i phép chập Ta nơi tập hợp ham số G={ø,} lập thành nhóm phép chập : 1, Véi moi g, € G, ổi 6ø; ta nhận hệ 8ƒ6)) + 2f@;) = 8z) + 2/;) = By = 81 = Bo Ta bảo tập hợp G =[ø,ø;} L/Q — 8x), &3 = (x — D/(đx + 1)] với x # +1/8 Với phép Các thí dụ sau giới thiệu với bạn Giả =x,8; = (+ 8ø) + 2/4) = 8/,) + 2ƒ) = Giải ta Fla) = (4c? — x + 1J/6xŒ — 1) vớix # -1,x# 0,x # ] Thi dụ Tìm hàm số ƒíx) thỏa mãn ƒf&) + ƒ(19882/(1988 - x)) = x Giải : Dat g, = x, ø; = 19882/(1988 - x) (x 1988 — 19882 83 = 82.82 = ———xz— 1988) #0) Trong trường hợp xét nhớm G có phần tử GŒ = {ø„ ø„ ø;} Nhờ phép biến đổi 8, 8, từ phương trình hàm cho ta nhận hệ : f(ø,) † f(g) = 8, fey + f8) = 8; fey) + fey) = 8, Giải ta có fe) = @, + 83- 8/2 = = (x3 — 1988x + 19889/2x(x — 1988) vớix # 0, x + 1988 Bây mời bạn thử giải hai bai toán sau : 1, Giả gử œ z +1 số thực, @(z) hàm số cho trước xác định với x # Tim hàm số ƒffx) xác định với moi x # va théa man f@l@ ~ 1) = afix) + pe) x Tim ham s6 f(z) n&u biét rang véi moi thỏa mãn @ + Ife) = - (1) DAY SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌN vt VAN THOA Choy = f(x) hàm số liên tục z Ta xét phuong trinh dang x = f(x) (1), va day số tạ} (2) xác định sau : *ị = @ cho trước : x„.¡ = ffx„) với n > Rõ ràng dãy số {zn} có giới hạn x* : limx, =x* thi tinh liên tục ƒØí) ne ta có limƒffx„) =2”) na ` Từ cách xách định dãy số (2) ta suy x* = ffx") Nhu vậy, x* nghiệm phương trình (1) Ngược lại phương trỉnh (1) có nghiệm +* ta xác định dã số (2), với x, = a, đủ gần x* để xz” = limx, Khi no x„„ø = 1, 2, gọi xấp xỈ nghiệm x* Phuong pháp tỉm nghiệm +* phương trình (1) gọi phương pháp xấp xỉ liên tiếp hay phương pháp lặp đơn Vậy, ta nêu trọng sau mối quan nhận xét quan hệ đặc biệt phương trình (1) dãy số (2), Nhận xét : Phương trình (1) có nghiệm tồn dãy số (2) Có tồn hay khơng hồng s6 C cho uới Giải : n > la Theo cô xa x, với n > Do {xu} day số đơn diệu tăng x, véi moi n Giả sử tồn sé C cho a = C, Vn Khi dé {x,} có giới hạn z° : lim x, = #” n» Mặt khác hàm số ƒ() = x + 1+ với x > hàm số liên tục Do đở theo nhận xét x* nghiệm phương trình # = ffx) Nhưng phương trình x = ffx) ox =x + Lư! ©@ljy4 = 0: vô nghiệm Mau thuẫn nhận chứng tỏ khơng tồn tốn số C thỏa mãn Bài toán điều kiện Cho dãy số thực {x„} xác dinh theo quy 4,4, = V8 +4,0e luật x, -1 véin = 2,9 Hãy tìm số thục nằm bên trai day {xụ #; } uờ bên phải {xu #z «} số {xạ} } (Bài kì thi chọn đội tuyển thi Toán quốc tế năm 1985) Qua số tốn trình bày bạn thấy phương pháp vận dụng nhận Giải : Từ quy luật xác định dãy số {x,} ta suy x, > V8, Vn = You có giới hạn giới hạn nghiệm phương trình (1) xét để giải số đạng tốn hay gặp kÌ thi học sinh giỏi mà nhiều bạn dạng toán lạ khó Bài tốn sau : Cho số {xạ} xác định = với > X==1; 155,41, =4%, + lay4 voin ; cầu phải tìm số thực ø cho Tay SO V3 phương trình (4) cố nghiệm *¿= L/sinz = Vỗ(Vỗ - 1)/2 voix > V8 Ta có fix) = =UQxz7-1}, < với xe VB Ta od f(x) = —UQ|x2— 1} < với Do dé ham số y = f(x) la ham nghịch biến trén khoảng (V5, +0] Lấy a =V3(V5 + 1/2 ta chứng minh ø thỏa mãn điều kiện (3) phép quy nạp theo & #& = Ì ta có xị = 29 > V3(VB + 1/2 =a Do fx) nghich biến nên x, - tạ) < fla) = a Vayx,
