ÔN T P HÈ MÔN TOÁN H C DÙNG CHO H C SINH KH I 11 LÊN 12 Tài li u g m nhi u ph n ñư c sưu t m Internet, v i s chia s c a th y giáo d y Tốn THPT http://urbooks.info ch T p h p chúng l i ñ b n ñ c d dàng ôn t p Tuy nhiên m t s Tác gi khơng đ l i tên Tài li u c a nên không th k h t Xin g i l i c m ơn t i th y Tr n M nh Tùng (THPT Lương Th Vinh), Phan Phú Qu c (THPT Phan Châu Trinh), th y khác chia s nh ng Tài li u c a ***** Gi i H n Hàm S Bài : ð nh nghĩa Và M t S ð nh Lý 1.Gi i h n t i m t m : Ví d : Cho hàm s f(x) = 3x − dãy s 5x + ( xn ) bi t xn = 2n + n a) Tính f( xn ) b) Tính lim xn limf( xn ) a) Gi i h n h u h n : Cho hàm s f(x) xác ñ nh m t kho ng (a;b ) , có th tr m x ∈ (a;b) Hàm s f(x) có gi i h n L x d n t i x , n u m i dãy s ( xn ) ( xn ∈ ( a; b), xn ≠ x0 , ∀n ∈ N ) cho lim xn = x lim f( xn ) = L Ta vi t : lim f (x ) = L x →x b) Gi i h n vô c c : ð.n : lim f ( x ) = +∞ ( hay -∞ ) ⇔ ∀(x n ), limx n = x0 ⇒ lim f ( xn ) = +∞ ( hay -∞ ) x → x0 Gi i h n t i vô c c : ð.n: lim f (x ) = L ⇔ ∀(x n ), limx n = +∞ ⇒ lim f (x n ) = L x →+∞ lim f (x ) = L ⇔ ∀(x n ), limx n = −∞ ⇒ lim f (x n ) = L x →−∞ ð nh lý v gi i h n : ð nh lý : N u hai hàm s f(x) g(x) ñ u có gi i h n x d n t i a : lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) lim[ f ( x).g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) x → x0 x → x0 x → x0 lim f ( x) f ( x) x → x0 lim (lim g ( x) ≠ 0) = x → x0 g ( x ) lim g ( x) x → x0 x → x0 lim x → x0 x → x0 x → x0 f ( x) = lim f ( x) x → x0 x → x0 lim x → x0 f ( x) = lim f ( x) ( f(x) ≥ ) x → x0 Bài t p http://urbooks.info Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí V n đ 1: Tìm Gi i H n C a Hàm S Phương pháp : S d ng gi i h n b n sau : • lim C = C V i C h ng s T i ði m a x→a • lim x n = a n x→a Bài : Tính gi i h n sau : a) lim( x + 3) , b) lim( x + x − x + 5) , c) lim x→2 x →1 x →0 x + 3x + 3x + , lim x → −1 x + 3x + Bài 2: Tính gi i h n sau : 8x -3x+7 (x -5x+7)(4x-1)2 2x -1 - x − x b) lim c) lim x → -∞ 3x + x + x →+∞ x → -∞ (3x + 2)2 27x + x - a) lim Bài : Gi i H n M t Bên 1.ð nh nghĩa : a) Gi i h n bên ph i : cho hàm s f(x) xác ñ nh ( x ; b) lim f (x ) = L ⇔ ∀x n ∈ (x ; b ), limx n = x ⇒ lim f (x n ) = L x → x 0+ b) Gi i h n bên trái : cho hàm s f(x) xác ñ nh (a; x ) Ta có : lim f (x ) = L ⇔ ∀x n ∈ (a; x ), limx n = x ⇒ lim f (x n ) = L x → x 0− ð nh lý : ði u ki n c n ñ ñ hàm s f(x) có gi i h n b ng L gi i h n bên ph i b ng gi i h n bên trái b ng L Ta có : lim f ( x) = L ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L x→a x→ a x→ a M t s k t qu : 1 lim k = +∞ (k ∈ Z) , lim− k = +∞ , lim− k +1 = −∞ x → 0= x x →0 x x →0 x Ví d 1: Tìm gi i h n m t bên c a hàm s sau 2x − x |x −6| x − + 3x lim x - lim- lim lim2 + + x →1 x → x + 5x x →3 x →1 x − x −9  x − 1, x ≤  Ví d 2: Tìm gi i h n m t bên c a hàm s sau : f(x)=  x +  x −7 ,x >1  Bài t p Tìm gi i h n c a hàm s sau x2 − 6x + x2 − 6x + − x −1 lim4 lim x →5 x →1 x →2 x →1− x −1 x −5 x − 5x + | x2 − x | Tìm gi i h n c a hàm s sau x − 4x + x − 3x   b limc lim-  a lim−  x →5 x →5 x →5  x − |1− x | x − 3x +  3x − x lim- 4x + lim - lim − x →5 5x − x x − 6x + http://urbooks.info Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí  x + x + 5, x ≤  Cho hàm s : f(x) =  x + m  x −7 ,x >1  Tìm m đ hàm s f(x) có gi i h n x d n t i tìm gi i h n Bài : Kh Các D ng Vô ð nh Các d ng vơ đ nh : ∞ , , ∞ − ∞,0 × ∞ g i d ng vơ đ nh Khi ∞ ta khơng s d ng ñư c ñ nh lý v gi i h n không bi t gi i h n ð tính đư c gi i h n ta ph i kh d ng vơ đ nh Khi tính gi i h n c a hàm s ta g p gi i h n sau : V n ñ : Kh D ng Vô ð nh f ( x) có d ng Ta kh d ng sau : x → a g ( x) • Phân tích f(x) = (x-a)f (x) g(x) = (x-a)g (x) f ( x) f ( x) = lim , sau tính bình thư ng • Khi : lim x→ a g ( x) x → a g ( x) Bài T p Bài : Tìm gi i h n sau : 6x − 5x + x2 − x2 − x + 4x + a) lim b) lim c) lim d) lim x→2 x − x→2 x − x → −1 x − x − x→ x − x + Phương pháp : Gi s lim Bài : Tìm gi i h n sau : x3 − 2x + x + 3x − x − x − x + 3x + a) lim b) lim c) lim x → −2 x→2 x →3 x + 2x x3 − x − x − 8x − Bài 3: Tìm gi i h n sau 3 x− x+2 x+3 −2 x+6 −2 x + 11 − x + c) lim b) lim d) lim a) lim 2 x →1 x→2 x →3 x→2 x −1 x −1 x − 3x + 4x + − e) lim x →0 x +1 + x + − x V n đ 2: Kh D ng Vơ ð nh ∞ ∞ ∞ f ( x) có d ng Ta kh d ng sau : x→ a g ( x ) ∞ • Chia c t m u cho x k s h ng có s mũ l n nh t c a t m u Bài t p Bài : Tính gi i h n sau : 2x + x + 3x + 10 x + x + x + 10 a) lim b) lim c) lim d) lim x→∞ x + x + x →∞ x + x + x→∞ x + x→∞ x + x + 2 (2 x + 3)(3 x + 5) e) lim x →∞ x3 + 4x + Phương pháp : Gi s lim http://urbooks.info Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí V n đ 3: Kh D ng Vơ ð nh ∞ − ∞ lim f(x) = +∞ limg(x) = +∞ lim[f(x) – g(x)] có d ng ∞ − ∞ ∞ Phương pháp : ðưa d ng ∞ − ∞ v d ng ∞ Bài T p Bài : Tính gi i h n sau a) lim ( x + − x) , b) lim ( x + − x) , c) lim( x − x − x) d) lim( − ) x → +∞ x → −∞ x →∞ x →1 x − x −1 3 ) , f) lim( e) lim( − − ) x →1 x − x →1 x + x − − x3 x −1 Gi s V n ñ 4: Gi i H n Hàm S Lư ng Giác Phương pháp : S d ng ñ nh lý sau : sin x =1 • ð nh lý : lim x →0 x sin u ( x) =1 • H qu : N u lim u ( x) = lim x→a x→a u ( x) Bài T p Bài Tính gi i h n : − cos x sin x sin x sin x a) lim b) lim c) lim d) lim x →0 x →0 x →0 sin x x →0 x 2x x2 sin x − cos x sin ( x − 1) sin πx , f) lim g) lim e) lim( x + 1) 2 π x →1 x →0 x − sin x ( x − 1) x→ T ng H p Phương Pháp Kh Các D ng Vô ð nh A PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN: Các d ng vơ đ nh: Gi i h n c a hàm s d ng: lim x →a f ( x)     g( x)   o N u f(x) , g(x) hàm ña th c có th chia t s , m u s cho (x-a) ho c (x-a)2 o N u f(x) , g(x) bi u th c ch a nhân t m u cho bi u th c liên h p Gi i h n c a hàm s d ng: lim x →∞ f ( x)  ∞    g( x)  ∞  m u cho xk v i k ch n thích h p Chú ý r ng n u x → +∞ coi x>0, n u x → −∞ coi x1) (   x x 1+ tìm gi i h n ( Gi i ) Ta có : lim  f ( x )  = lim x − x + =  x →1− x →1−  x+a = a +1 x →1 x →1 x V y lim  f ( x )  = ⇔ a + = ⇔ a =   lim  f ( x )  = lim  +  + x →1 ( ) ( x − 2) x2 + 2x + x3 − 0 = lim = lim x + x + = 12 D ng   11 lim x →2 x − x →2 x →2 x−2 0 x3 + 2x − 1+ − 3 x + 2x − x3 x x = D ng  ∞  = lim = lim 12 lim ∞ x →∞ x →∞ x →∞ 2x3 + 2x3 +   2+ 3 x x 3x − x + 3x − x +   2 x2 13 lim  = lim  x − x + = lim 3 x →∞ x →∞ x →∞ x x + x x +  x x +  x2 1   2 − +  x x  = lim  = =6 x →∞ 1 1+ x ( 14 lim x →+∞ ( = lim x →+∞ x2 + x + − x ) ) x +3 x2 + x + + x ( ) ( ) ) ( = lim x2 + x + − x = lim x+3 1+ x x = lim = D ng ( ∞ − ∞ ) x + x + + x x →+∞ + + + x x2 x x →+∞ x →+∞ )( ( x2 + x + + x x2 + x + + x ) = lim x x →+∞ + x + − x2 x2 + x + + x Bài T p Tính ð o Hàm Bài 1: B ng ñ nh nghĩa, tính đ o hàm c a hàm s : y = 2x − t i x0 = 1  Gi i: T p xác ñ nh D =  x : x ≥  2  • V i ∆ x s gia c a x0 = cho 5+ ∆ x ∈ ∆ • ∆ y = 2(5 + ∆x) − - 10 − http://urbooks.info Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí • Ta có: • = lim ∆x →0 ∆y + ∆x − = ∆x ∆x + ∆x − ∆x ( + ∆x + ) Bài : Ch ng minh hàm s ∆y = lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 Khi đó: y’(5)= lim = lim ( y= x ∆x →0 + 2∆x + + ∆x − ∆x ( )( + ∆x + + ∆x + ) ) liên t c t i x0 = 0, khơng có đ o hàm t i m ñó x +1 x HD: Chú ý ñ nh nghĩa: x =  -x ) = ( ,neáu x ≥ ,neáu x 0) Ta có: lim+ ∆x → − x Bài 3: Cho hàm s y = f(x) =  x ∆x ∆y = lim+ = lim+ =1 ∆x ∆x →0 ∆x ( ∆x + 1) ∆x →0 ( ∆x + 1) , neáu x ≥ , neáu x