ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG CONG TẠI HAI TIẾP ĐIỂM PHÂN BIỆT A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong kỳ thi tuyển sinh vào các trường Cao Đẳng và Đai học ta thường gặp bài toán sau đây: “Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). Tìm các điểm M để từ đó vẽ được 2 hoặc 3 tiếp tuyến phân biệt đến đường cong (C).” Tôi xin đơn cử ví dụ sau đây:  Ví dụ: “ Cho đường cong (C): 2 1 . x y x   Tìm các điểm trên trục Ox để từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đường cong (C).  Lời giải của đa số các sách tham khảo: Gọi M(x 0 ,0)  Ox, (d) là đường thẳng qua M và có hệ số góc k, phương trình của (d) là: y=k(x-x 0 ). (d) tiếp xúc với (C) <=>hệ phương trình sau đây có nghiệm: 2 0 2 1 ( ) 1 x k x x x x k x             (1) Thay (2) vào (1) được phương trình: 2 2 0 2 1 1 ( ) x x x x x x     <=> x 0 x 2 + 2x – x 0 =0 (x  0) (3) Từ M vẽ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị hàm số <=> (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 : <=> ' (3) 0 0 (0) 0 x g          trong đó g(x)= x 0 x 2 + 2x – x 0 <=> 2 0 0 0 0 1 0 0 0 x x x x             Kết luận: Các điểm cần tìm là: 0 0 ( ,0) 0 M x x     Rõ ràng lời giải trên thiếu chặt chẽ, bởi vì nếu phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khác 0 và k (x1) =k (x2) thì ta chỉ tìm được 1 tiếp tuyến vẽ từ M đến đường cong (C) chứ không phải 2 tiếp tuyến phân biệt. Do đó, để tìm lời giải chặt chẽ cho ví dụ trên và các bài toán tương tự là 1 công việc cấp bách và cần thiết. Trong phạm vi của bài viết này, tôi xin bổ sung để bài giải cho loại toán này được chính xác, mong nhận được sự đóng góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp. B.NOÄI DUNG, BIEÄN PHAÙP: I. Quá trình phát triển kinh nghiệm: Trước đây khi giảng dạy đến dạng bài tập này, tôi cũng thực hiện tương tự như lời giải trong sách tham khảo. Ưu điểm của cách giải trên là gọn gàng, nếu học sinh nắm vững cách viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) đi qua 1 điểm cho trước thì có thể làm được dạng toán này. Nhược điểm lớn nhất của cách giải trên là thiếu chính xác, từ đó bản thân cảm thấy day dứt khi mình truyền đạt cho học sinh cách giải này. Đặc biệt, trong kỳ thi tuyển sinh vào trường Đại Học An Giang năm học 2001 có bài tương tự và tôi có tham gia chấm. Những học sinh giải thiếu chính xác chỗ này bị trừ điểm rất nặng. II. Biện pháp mới thực hiện: Sau khi dạy xong bày “ Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) đi qua 1 điểm cho trước” tôi làm theo các bước sau đây: 1. Bước 1: Cho học sinh các bài tập sau đây về nhà chuẩn bị: Bài 1: Cho đường cong (C) : 2 4 1 x x y x    . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua A(1, -4). Bài 2: Cho đường cong (C): y=x 4 -2x 2 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua A(0, -1). Bài 3: Cho đường cong (C): y=x 3 -9x 2 + 17x +3. Qua A(-2,6) có thể vẽ được mấy tiếp tuyến với (C). 2. Bước 2: Giáo viên và học sinh thực hiện tại lớp: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò - Nếu cách viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C): y= f(x) đi qua điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) cho trước - Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=x 4 -2x 2 . đi qua A(0, -1). - Gọi (d) là đường thẳng đi qua M 0 và có hệ số góc k.(d): y= k(x-x 0 ) +y 0 (d) tiếp xúc với (C) <=> hệ phương trình sau đây có nghiệm: 0 0 ( ) ( ) '( ) f x k x x y f x k        (1) (2) Thay (2) vào (1) được phương trình: f(x)=f’(x).(x-x 0 ) + y 0 (3) Giải (3) tìm x, thay x tìm được vào (2) tìm k, từ đó suy ra phương trình của (d). - Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(0,-1) và có hệ số góc k. - Bài giải này, giáo viên cho học sinh nhận xét và sau đó không xoá bảng, vì còn để gợi ý cho bài tập tiếp theo - Thầy nói: Trên nền tảng của bài toán này, các em hãy, suy nghĩ và giải bài toán sau đây: “Cho đường cong (C): 2 1 . x y x   Hãy tìm các điểm M thuộc trục hoành để từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đường cong (C).” - Để giúp học sinh giải bài toán này, thầy có thể dựa trên hệ thống câu hỏi sau đây: + Điểm M  Ox có toạ độ như thế nào? + Khi thay (2) vào (1) thì ta được phương trình với ẩn là gì? + Để vẽ được hai tiếp tuyến (d): y=kx-1 (d) tiếp xúc (C) <=> hệ phương trình sau đây có nghiệm: 4 2 3 2 1 4 4 x x kx x x k           (1) (2) Thay (2) vào (1) ta được: x 4 -2x 2 =(4x 3 -4x)x-1 <=> 3x 4 -2x 2 -1=0 <=> x 2 =1 <=> 1 1 x x       Khi x=1 ta được k=0 Khi x=-1 ta được k=0 Kết luận: Có 1 tiếp tuyến với (C) đi quan A(0,- 1) là (d): y = -1 - Gọi M(x 0 ,0)  Ox, (d) là đường thẳng qua M và có hệ số góc k. (d): y= k(x-x 0 ) (d) (C) <=> hệ phương trình sau có nghiệm: phân biệt đến (C) <=> phương trình (3) phải như thế nào? - Thầy cho các em khác nhận xét về cách giải bài toán trên bảng. - Nếu học sinh không phát hiện ra thì giáo viên hướng dẫn học sinh lại bài toán về nhà đã làm còn để trên bảng, giáo viên nói, phương trình 3x 2 -2x 2 -1=0 có 2 nghiệm phân biệt x=1 và x=-1 nhưng khi tìm k chỉ có 1 giá trị duy nhất k=0, vì vậy chỉ có 1 tiếp tuyến duy nhất. - Đến đây thầy nói: “Từ M vẽ được 2 tiếp tuyến phân biệt vơi (C) <=> phương trình (3) phải giải như thế nào? 2 0 2 1 ( ) 1 x k x x x x k x             Thế (2) vào (1) ta được: 2 2 0 2 1 1 ( ) x x x x x x     <=> x 0 x 2 + 2x – x 0 =0 (x  0) (3) Từ M vẽ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị hàm số <=> (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 : <=> ' (3) 0 0 (0) 0 x g          trong đó g(x)= x 0 x 2 + 2x – x 0 <=> 2 0 0 0 0 1 0 0 0 x x x x             Kết luận: Các điểm cần tìm là: 0 0 ( ,0) 0 M x x     hay M  Ox và M  O - Trò trả lời: (3) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khác 0 và k (x1) =k (x2) 0 ' (3) 2 2 1 2 1 2 0 0 (0) 0 1 1 x g x x x x                 0 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 0x x x x x x x         0 2 2 1 2 0 0 x x x        0 1 2 1 2 0 ( )( ) 0 x x x x x         0 1 2 0 0 x x x       vì 1 2 x x   0 0 0 2 0 x x          0 0 x  Gọi M(x 0 ,1)  y=1 và (d) là đường thẳng qua M có hệ số góc k. => (d): y= k(x-x 0 ) +1 (1) (d) tiếp xúc (C)  hệ phương trình có nghiệm: -Thầy bổ sung cho bài giải đầy đủ. - Thầy nêu ví dụ 2: Tìm những điểm trên đường thẳng y=1 để từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến phân biệt đến đường cong (C): 3 2 3 3 y x x     cho học sinh tự giải và gọi 1 học sinh lên bảng. 3 2 0 2 3 3 ( ) 1 3 6 x x k x x x x k              Thay (2) vào (1) ta được: 3 2 2 0 3 3 (3 6 )( ) 1 x x x x x x         2x 3 -3(x 0 +1)x 2 + 6x.x 0 -1 =0  (x-2) [2x 2 +(1-3x 0 )x + 2] =0 (3)  2 0 2 2x +(1-3x )x + 2 =0 x     Từ M vẽ được 3 tiếp tuyến phân biệt đến (C)  (3) có 2 ngiệm phân biệt x 1 , x 2 khác 2 và k (x1) =k (x2) ) =k (2)  ' (3) 1 2 1 2 0 (2) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) g k x k x k x k x                 2 0 0 1 2 1 2 (1 3 ) 16 0 8 (1 3 )2 2 0 ( ). ( ) 0 ( ) ( ) x x k x k x k x k x                 - Thầy hỏi: Có nhận xét gì về hiệu x 1 -2 và x 2 -2  0 0 0 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 or 5/3 2 [-3 ( 2].[-3 ( 2)] 0 3 6 3 6 x x x x x x x x x x x                     0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 or 5/3 2 . 0 ( )( 2) 0 x x x x x x x x x                  0 0 0 0 1 or 5/3 2 2 0 2 3 1 ( 2) 0 2 x x x x                   0 0 0 1 or 5/3 2 5 3 x x x x              0 0 0 5 1 or 3 2 x x x          Kết luận: Các điểm cần tìm là: 0 0 0 0 ( ,1) 5 1 or and 2 3 M x x x x          Thầy cho VD 3 : Tìm các điểm trên Oy để từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến phân biệt đến đường con (C): 4 2 2 y x x    - Giáo viên hỏi: Phương trình (3) là phương trình gì và phương pháp giải của nó? - Giáo viên hỏi: Khi nào phương trình (3) có 3 nghiệm? Lúc đó phương trình các tiếp tuyến với (C) vẽ từ M có tìm được không? -Gọi M(0,y 0 )  Oy và (d) đi qua M có hệ số góc k. => (d) : y=kx+y 0 (d) tiếp xúc (C) Hệ phương trình sau có nghiệm:  4 2 0 3 2 4 2 x x kx y x x k            (1), (2) Thế (2) vào (1) ta được: 4 2 4 2 0 2 4 2 x x x x y       4 2 0 3 2 0 x x y     (3) Đặt: t=x 2 , đk: t  0 (3) trở thành: 2 2 0 3 2 0 t t y     (4) * Trường hợp 1: Phương trình (4) có 1 nghiệm bằng 0. Khi đó: y 0 = - 2 Lúc đó (4)  0 1 t= 3 t      [...]... 0  3 3 6 Từ (7) (8) (9) => nếu x1, x2 là nghiệm phân biệt của (3) thì k(x1)  k(x2) Do đó trong trường hợp phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt thì có 4 tiếp tuyến phân biệt với (C) vẽ từ M Kết luận: Điểm cần tìm là: M(0,-2) 3 Chuyển biến của sự việc: - Học sinh hiễu rõ hơn bản chất của bài tốn viết phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua 1 điểm cho trước, cụ thể là từ số nghiệm của phương... dụng của sáng kiến kinh nghiệm: a Đối với bản thân: - Mở ra hướng nghiên cứu tổng qt sau đây: “ Trong các đồ thị của những hàm số sơ cấp trong chương trình phổ thơng thì đồ thị của những đồ thị hàm số nào tồn tại tiếp tuyến tiếp xúc với nó tại 2 điểm phân biệt Nếu nó có điều kiện tơi sẽ nghiên cứu tiếp tục vấn đề này theo hướng nói trên b Đối với học sinh: Đối với học sinh khá giỏi, giúp các em giải... từ đó vẽ ít nhất 1 tiếp tuyến, đúng 1 tiếp tuyến, 2 tiếp tuyến vng góc đến (C) 4 Kiểm nghiệm kết quả thực hiện: Sau khi dạy xong phần này, tơi cho học sinh lớp 12A3 (lớp khá giỏi) làm bài kiểm tra 20 phút với nội dung sau đây: “ Cho đường cong (C): y  x2  9 Tìm các điểm trên Ox để từ đó vẽ đúng 1 x 1 tiếp tuyến với (C).” Tơi thu được kết quả sau đây: a Thống kê: Dưới Lớp TS Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7... 4 nghiệm phân 1 , 3 biệt ? x3= - Giáo viên hỏi: Khi (4) có 2 1 Thay x1, x2, x3 lần lượt vào (2) được 3 nghiệm phân biệt (0 . ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG CONG TẠI HAI TIẾP ĐIỂM PHÂN BIỆT A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong kỳ thi tuyển sinh vào các trường Cao. nào tồn tại tiếp tuyến tiếp xúc với nó tại 2 điểm phân biệt. Nếu nó có điều kiện tôi sẽ nghiên cứu tiếp tục vấn đề này theo hướng nói trên. b. Đối với học sinh: Đối với học sinh khá giỏi,. là nghi ệm phân biệt của (3) thì k (x1)  k (x2) . Do đó trong trường hợp phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt thì có 4 tiếp tuyến phân biệt với (C) vẽ từ M. Kết luận: Điểm cần tìm