Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo trình Toán ứng dụng I - Đại học Bách Khoa Hà Nội
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK - TOÁN HK1 0708 • BÀI 4: VCBÉ – VCLỚN LIÊN TỤC (SINH VIÊN) • TS NGUYỄN QUỐC LÂN (11/2007) VÔ CÙNG BÉ - Đại lượng (x) – vô bé (VCB) x x0: lim x x x0 VCB (x 0): Lượng giác x sin x , cos x , tgx Muõ, ln: e x 1, ln 1 x Lũy thừa: 1 x VD : 3x x0: Khoâng quan troïng VCB x : VCB x 1: sin(x–1) … x (x), (x) – VCB x x0 (x) (x) , (x)(x): VCB VD: a / lim sin b / lim x sin x 0 x 0 x x BT: lim sin x sin x x (x) VCB, C(x) bị chặn C(x)(x): VCB c / lim x sin x x SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ (x), (x) – VCB, x x0 vaø x lim c So sánh x x0 x 1/ c = : (x) – VCB caáp cao so với (x): (x) = o((x)) Cách nói khác: (x) – VCB cấp thấp 2/ c = : Ngược lại trường hợp c = (x) = o((x)) 3/ c 0, c : vô bé cấp VCB cấp thấp: Chứa “thừa số 0” VD: sin2x, x3 p dụng: So sánh vô bé xm , xn (m, n > 0) x VD: So saùnh VCB: sin x, cos x, tgx VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN TROÏNG) - (x), (x) – VCB tương đương x x0 x lim 1 x x0 x x2 VCB lượng giác: sin x ~ x , tgx ~ x, cos x ~ , x VCB muõ, ln: e x ~ x, ln 1 x ~ x, x VCB lũy thừa (căn): 1 x ~ x, x VD: x ~ x VCB tương đương: Được phép thay thừa số tương đương vào tích & thương (nhưng không thay vào tổng & hiệu!) VD: Tìm số C để: tgx sin x ~ Cx , x DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HAÏN - p dụng: Dùng vô bé tương đương tính giới hạn x ~ 1 x , ~ 1 x x0 x x0 x x lim x x0 x x x0 1 x lim Tìm lim: Có thể thay VCB tđương vào TÍCH (THƯƠNG) Nhưng không thay tùy tiện VCB tđương vào TỔNG (HIỆU) ln 1 2tg x VD: Tìm 1/ lim x 0 x sin x ln cos 3x / lim x x 0 e 1sin x x x0 VD: Tìm lim x 2 x x x x 1 ~ & 1 ~ x x0 1 ~ x sin x tgx VD : lim x 0 x3 QUY TAÉC NGAÉT BỎ VÔ CÙNG BÉ - , – VCB khác cấp + tương đương VCB cấp thấp Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: (x), (x) – tổng VCB khác cấp lim / = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp tử & mẫu) sin x x 3tg x lim x0 sin x x ln cosx x VD: lim x 0 ln 1 x Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa & f ~ x , x a f g ~ x x iff g ~ x , x a & sin x x / lim / lim x x x x x 0 x x ln 1 x lim x 0 x1 x x2 VÔ CÙNG LỚN – SO SÁNH VCL- NGẮT BỎ VCL - Hàm y = f(x) – vô lớn (VCL) x x0 : lim f x x x0 So saùnh VCL: f(x), g(x) – VCL x x0 vaø giới hạn f/g c 0, : f(x), g(x) – VCL cấp f ( x) lim c x x0 g ( x ) c = 1: f, g – VCL tương đương : f ~ g c = : f – VCL cấp cao g Viết: f >> g VD: 3x x ~ 3x x a x x log x a 1, 0 x x Tổng vô lớn khác cấp tương đương VCL cấp cao Thay VCL tương đương vào TÍCH (THƯƠNG) tính lim KẾT LUẬN - Với giới hạn chứa Vô Cùng Bé (chẳng hạn dạng 0/0 …): Dạng tích (thương) Thay THỪA SỐ biểu thức tương đương & đơn giản f x g x f1 x g1 x với f(x) ~ f (x), g(x) ~ g (x) … lim lim 1 x x0 x x0 h x h1 x Dạng tổng VCB khác cấp Thay VCB cấp thấp Dạng tổng VCB tổng quát fi(x) Thay fi(x) VCB tương đương dạng luỹ thừa: f i x ~ Ci xi & Ci xi Giới hạn chứa Vô Cùng Bé (dạng / …): 1/ Thay tương đương vào tích (thương) tìm lim 2/ Tổng VCL ~ VCL cấp cao HÀM LIÊN TỤC Haøm f(x) liên tục x0: Hàm liên tục/[a, b] (C): đường liền f(x) xác định x0 Gián lim f x f x0 đoạn! x x0 Hàm sơ cấp (định nghóa qua biểu thức) liên tục xác định VD: Khảo sát tính liên tục hàm số: : Khoâng tgx x x, x sin x a/ y c / f ( x) b/ y x 1 x 1 x, x sơ cấp! VD: Tìm a để hàm liên tục x = 0: sin x , x x y a , x LIÊN TỤC MỘT PHÍA Tương tự giới hạn phía: Hàm ghép, chứa trị tuyệt … Khảo sát f(x) liên tục trái x0 xác định x0 lim f x f x0 x x0 f x0 f(x) liên tục phải x0 xác định x0 lim f x f x0 x x0 f x0 Hàm f(x) liên tục x0 Liên tục trái & liên tục phải x0 , x 1 VD: Khaûo sát tính liên tục: f ( x) Chú yù: lim a x ? x 1 1 e x 1, x PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN Haøm f xác định & gián đoạn x0 Không coù lim f x f x0 x x0 Hoaëc lim f f(x0), lim– lim+, lim f: trường hợp! Loại 1: Điểm khử được: lim f x f x0 x x0 Điểm nhảy: lim f x lim f x f(x) gián đoạn x0 x x0 x x0 Bước nhảy: lim f x lim f x x x0 x x0 Loaïi 2: lim f x hoaëc lim f x x x0 x x0 (Hoặc không tồn ghạn phía) VÍ DỤ - Điểm x0 = có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại sin x , x f x x a , x0 VÍ DỤ - Điểm x0 = có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại sin x , x f x x 1 , x0 VÍ DỤ - Bieän luận tính chất điểm gián đoạn hàm số sau theo a sin , x f x x a , x0 f 0 a f 0 a TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN - f bị chặn [a, b]: m, M f đạt GTLN, BN [a, b]: & m f(x) M x [a, b] x0, x1 [a, b]: f(x0) = m, … Haøm y = f(x) liên tục đoạn [a, b] Chú ý: Không thể thay đoạn khoảng! f nhận giá trị trung gian: (Hay sử dụng) Định lý giá k & GTBN k GTLN trò hai đầu trái dấu: f(a).f(b) c [a, b]: f(c) = k < c (a, b) : f(c) = VÍ DỤ - x 12 , x 1/ Tìm a, b để hàm số f x ax b , x sau liên tục R x , x 1 f liên tục & 2/ Chứng minh phương trình sau có nghiệm âm x5 x f(x) liên tục (0, 3) Để pt f(x) = có nghiệm treân (a, b): a/ f(2)f(3) < 0, (a, b) = (2, 3) b/ f(1)f(2) < 0, (a, b) = (1, 2) a/ Bao nhiêu hàm số f(x) xác định R: f2(x) = x R b/ Bao nhiêu hàm số f(x) liên tục R: f2(x) = x R ... - ? ?i? ??m x0 = có ph? ?i ? ?i? ??m gián đoạn? Hãy phân lo? ?i sin x , x f x x a , x0 VÍ DỤ - ? ?i? ??m x0 = có ph? ?i ? ?i? ??m gián đoạn?... định & gián đoạn x0 Không coù lim f x f x0 x x0 Hoaëc lim f f(x0), lim– lim+, lim f: trường hợp! Lo? ?i 1: ? ?i? ??m khử được: lim f x f x0 x x0 ? ?i? ??m nhảy: lim f... f x0 Hàm f(x) liên tục x0 Liên tục tr? ?i & liên tục ph? ?i x0 , x 1 VD: Khaûo sát tính liên tục: f ( x) Chú yù: lim a x ? x 1 1 e x 1, x PHÂN LO? ?I ? ?I? ??M GIÁN ĐOẠN