Giáo trình Toán ứng dụng I - Đại học Bách Khoa Hà Nội

16 2.8K 25
Giáo trình Toán ứng dụng I - Đại học Bách Khoa Hà Nội

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Giáo trình Toán ứng dụng I - Đại học Bách Khoa Hà Nội

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK - TOÁN HK1 0708 • BÀI 4: VCBÉ – VCLỚN LIÊN TỤC (SINH VIÊN) • TS NGUYỄN QUỐC LÂN (11/2007) VÔ CÙNG BÉ - Đại lượng (x) – vô bé (VCB) x  x0: lim   x   x x0 VCB (x  0): Lượng giác   x   sin x ,  cos x , tgx Muõ, ln: e x  1, ln 1  x  Lũy thừa: 1  x   VD :  3x  x0: Khoâng quan troïng VCB x  : VCB x  1: sin(x–1) … x (x), (x) – VCB x  x0  (x)  (x) , (x)(x): VCB VD: a / lim sin  b / lim x sin  x 0 x 0 x x BT: lim sin x   sin x  x  (x) VCB, C(x) bị chặn  C(x)(x): VCB c / lim x sin x   x SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ (x), (x) – VCB, x  x0 vaø   x lim  c  So sánh x x0   x  1/ c = : (x) – VCB caáp cao so với (x): (x) = o((x)) Cách nói khác: (x) – VCB cấp thấp 2/ c = : Ngược lại trường hợp c =  (x) = o((x)) 3/ c  0, c   : vô bé cấp VCB cấp thấp: Chứa “thừa số 0” VD: sin2x, x3 p dụng: So sánh vô bé xm , xn (m, n > 0) x  VD: So saùnh VCB: sin x,  cos x, tgx VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN TROÏNG) - (x), (x) – VCB tương đương x  x0   x lim 1 x x0   x  x2 VCB lượng giác: sin x ~ x , tgx ~ x,  cos x ~ , x  VCB muõ, ln: e x  ~ x, ln 1  x  ~ x, x  VCB lũy thừa (căn): 1  x   ~ x, x  VD:  x ~ x VCB tương đương: Được phép thay thừa số tương đương vào tích & thương (nhưng không thay vào tổng & hiệu!) VD: Tìm số C  để: tgx  sin x ~ Cx , x  DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HAÏN - p dụng: Dùng vô bé tương đương tính giới hạn   x  ~ 1  x  ,  ~ 1  x x0 x x0  x  x  lim x x0   x  x x0 1  x  lim Tìm lim: Có thể thay VCB tđương vào TÍCH (THƯƠNG) Nhưng không thay tùy tiện VCB tđương vào TỔNG (HIỆU) ln 1  2tg x  VD: Tìm 1/ lim x 0 x sin x ln cos 3x  / lim x x 0 e  1sin x x  x0 VD: Tìm lim  x 2 x     x   x  x 1   ~ & 1 ~  x  x0    1 ~    x sin x  tgx VD : lim x 0 x3 QUY TAÉC NGAÉT BỎ VÔ CÙNG BÉ - ,  – VCB khác cấp   +  tương đương VCB cấp thấp Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: (x), (x) – tổng VCB khác cấp  lim / = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp tử & mẫu) sin  x     x  3tg x lim x0 sin x  x ln cosx   x VD: lim x 0 ln 1  x  Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa &    f ~ x , x  a        f  g ~ x  x iff     g ~ x , x  a    &       sin x  x / lim / lim x  x  x  x x 0 x  x  ln 1  x   lim   x 0 x1  x  x2    VÔ CÙNG LỚN – SO SÁNH VCL- NGẮT BỎ VCL - Hàm y = f(x) – vô lớn (VCL) x  x0 : lim f  x    x x0 So saùnh VCL: f(x), g(x) – VCL x  x0 vaø  giới hạn f/g c  0, : f(x), g(x) – VCL cấp f ( x) lim c x  x0 g ( x ) c = 1: f, g – VCL tương đương : f ~ g c = : f – VCL cấp cao g Viết: f >> g VD: 3x  x  ~ 3x x  a x  x  log  x a  1,   0 x  x   Tổng vô lớn khác cấp tương đương VCL cấp cao  Thay VCL tương đương vào TÍCH (THƯƠNG) tính lim KẾT LUẬN - Với giới hạn chứa Vô Cùng Bé (chẳng hạn dạng 0/0 …):  Dạng tích (thương)  Thay THỪA SỐ biểu thức tương đương & đơn giản f  x g  x  f1  x g1  x  với f(x) ~ f (x), g(x) ~ g (x) … lim  lim 1 x  x0 x  x0 h x  h1  x   Dạng tổng VCB khác cấp  Thay VCB cấp thấp  Dạng tổng VCB tổng quát fi(x)  Thay fi(x) VCB tương đương dạng luỹ thừa: f i  x  ~ Ci xi &  Ci xi  Giới hạn chứa Vô Cùng Bé (dạng / …): 1/ Thay tương đương vào tích (thương) tìm lim 2/ Tổng VCL ~ VCL cấp cao HÀM LIÊN TỤC Haøm f(x) liên tục x0: Hàm liên tục/[a, b]  (C): đường liền  f(x) xác định x0 Gián  lim f  x   f  x0  đoạn! x  x0 Hàm sơ cấp (định nghóa qua biểu thức) liên tục  xác định VD: Khảo sát tính liên tục hàm số: : Khoâng tgx  x   x, x  sin x a/ y  c / f ( x)   b/ y  x 1 x 1  x, x  sơ cấp! VD: Tìm a để hàm liên tục x = 0: sin x , x   x y a , x   LIÊN TỤC MỘT PHÍA Tương tự giới hạn phía: Hàm ghép, chứa trị tuyệt …  Khảo sát f(x) liên tục trái x0 xác định x0 lim f  x   f  x0  x  x0   f  x0   f(x) liên tục phải x0 xác định x0 lim f  x   f  x0  x  x0   f  x0   Hàm f(x) liên tục x0  Liên tục trái & liên tục phải x0  , x 1  VD: Khaûo sát tính liên tục: f ( x)   Chú yù: lim a x  ? x 1 1 e x   1, x  PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN Haøm f xác định & gián đoạn x0  Không coù lim f  x   f  x0  x  x0 Hoaëc  lim f  f(x0), lim–  lim+,  lim f: trường hợp! Loại 1:  Điểm khử được:  lim f  x   f  x0  x  x0  Điểm nhảy: lim f  x   lim f  x  f(x) gián đoạn x0 x  x0  x  x0  Bước nhảy: lim f  x   lim f  x  x  x0  x  x0  Loaïi 2:  lim f  x  hoaëc  lim f  x  x  x0  x  x0  (Hoặc không tồn ghạn phía) VÍ DỤ - Điểm x0 = có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại sin x , x   f x   x a , x0  VÍ DỤ - Điểm x0 = có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại sin x , x   f x   x 1 , x0  VÍ DỤ - Bieän luận tính chất điểm gián đoạn hàm số sau theo a sin , x   f x   x a , x0  f 0  a f 0  a TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN - f bị chặn [a, b]:  m, M f đạt GTLN, BN [a, b]: & m  f(x)  M  x  [a, b]  x0, x1  [a, b]: f(x0) = m, … Haøm y = f(x) liên tục đoạn [a, b] Chú ý: Không thể thay đoạn khoảng! f nhận giá trị trung gian: (Hay sử dụng) Định lý giá  k & GTBN  k  GTLN  trò hai đầu trái dấu: f(a).f(b)  c  [a, b]: f(c) = k <   c  (a, b) : f(c) = VÍ DỤ -  x  12 , x  1/ Tìm a, b để hàm số  f  x   ax  b ,  x  sau liên tục R  x , x 1  f liên tục & 2/ Chứng minh phương trình sau có nghiệm âm x5   x f(x) liên tục (0, 3) Để pt f(x) = có nghiệm treân (a, b): a/ f(2)f(3) < 0, (a, b) = (2, 3) b/ f(1)f(2) < 0, (a, b) = (1, 2) a/ Bao nhiêu hàm số f(x) xác định R: f2(x) =  x  R b/ Bao nhiêu hàm số f(x) liên tục R: f2(x) =  x  R ... - ? ?i? ??m x0 = có ph? ?i ? ?i? ??m gián đoạn? Hãy phân lo? ?i sin x , x   f x   x a , x0  VÍ DỤ - ? ?i? ??m x0 = có ph? ?i ? ?i? ??m gián đoạn?... định & gián đoạn x0  Không coù lim f  x   f  x0  x  x0 Hoaëc  lim f  f(x0), lim–  lim+,  lim f: trường hợp! Lo? ?i 1:  ? ?i? ??m khử được:  lim f  x   f  x0  x  x0  ? ?i? ??m nhảy: lim f... f  x0   Hàm f(x) liên tục x0  Liên tục tr? ?i & liên tục ph? ?i x0  , x 1  VD: Khaûo sát tính liên tục: f ( x)   Chú yù: lim a x  ? x 1 1 e x   1, x  PHÂN LO? ?I ? ?I? ??M GIÁN ĐOẠN

Ngày đăng: 12/09/2012, 16:20

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan