Đang tải... (xem toàn văn)
Kỹ năng giải các bài toán chia hết trên vành số nguyên
A Mở đầu1. Lý do chọn đề tàiSố học là môn học lâu đời nhất và hấp dẫn nhất của toán học. Vậy số học là gì? Số học là khoa học về số, trong số học ngời ta nghiên cứu những tính chất đơn giản nhất của số và những quy tắc tính toán. ở chơng trình THCS số học chiếm 1 lợng khá lớn trong số học thì phép chia hết trên vành số nguyên đã thực sự thu hút đối với giáo viên và học sinh, có lẽ đó không chỉ bởi vấn đề lý thuyết về phép chia có giá trị thực tiễn mà qua đó rèn cho học sinh t duy sáng tạo toán học. Càng học các em càng đợc cuốn hút bởi 1 lợng bài tập vô cùng sáng tạo và phong phú.Cái khó khi dùng phép chia hết trên vành số nguyên và khi học sinh là vấn đề nhận diện và vận dụng lý thuyết để chỉ ra phơng pháp giải các bài toán, khi ngành Giáo dục đang thi đua giảng dạy theo phơng pháp đổi mới, trong luật Giáo dục Việt Nam và Nghị quyết đại hội Đảng lần thứ 7 và 8 cũng đã nhấn mạnh: Dạy cho học sinh phơng pháp tự nghiên cứu và với tình hình hiện nay còn nhiều giáo viên cha thực sự quan tâm đúng mức đến việc rèn luyện năng lực tự học cho học sinh.Xuất phát từ vấn đề nên trên đã thúc đẩy Tôi viết.Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán chia hết trên vành số nguyên.2. Nội dung đề tài gồmPhần I: Tóm tắt lý thuyếtPhần II: Các phơng pháp giải các bài toán chia hết.1. Phơng pháp sử dụng dấu hiệu chia hết.2. Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết.3. Phơng pháp sử dụng xét tập hợp số d trong phép chia.4. Phơng pháp sử dụng các phơng pháp phân tích thành nhân tử.5. Phơng pháp biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tổng.6. Phơng pháp quy nạp toán học.7. Phơng pháp sử dụng đồng d thức.8. Phơng pháp sử dụng nguyên lý Đ.9. Phơng pháp phản chứng.Trong mỗi phơng pháp đều có những ví dụ điển hình và các bài tập tơng tự. Vẫn biết rằng những khái niệm về số học đợc rất nhiều tác giả đề cập đến ở nhiều khía cạnh khác nhau. Do đó không thể có sự sáng tạo hoàn toàn trong đề tài mà đề tài này mới chỉ dừng lại ở 1 mức độ nhất định. Với nội dung và cách trình bày trong đề tài này không tránh khỏi những hạn chế của bản thân, rất mong đợc các Thầy cô giáo và đồng nghiệp góp ý để nội dung đề tài ngày càng đợc hoàn thiện hơn.1 B - Nội dungPhần I: Tóm tắt lý thuyếtI. Định nghĩa phép chiaCho 2 số nguyên a và b trong đó b 0 ta luôn tìm đợc hai số nguyên q và r duy nhất sao cho:a = bq + r Với 0 r | b|Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thơng, r là số d.Khi a chia cho b có thể xẩy ra | b| số dr {0; 1; 2; ; | b|}Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a.Ký hiệu: ab hay b\ a Vậy:a b Có số nguyên q sao cho a = bqII. Các tính chất1. Với a 0 a a2. Nếu a b và b c a c3. Với a 0 0 a4. Nếu a, b > 0 và a b ; b a a = b5. Nếu a b và c bất kỳ ac b6. Nếu a b (a) (b)7. Với a a (1)8. Nếu a b và c b a c b9. Nếu a b và cb a c b10. Nếu a + b c và a c b c11. Nếu a b và n > 0 an bn12. Nếu ac b và (a, b) =1 c b13. Nếu a b, c b và m, n bất kỳ am + cn b14. Nếu a b và c d ac bd15. Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!III. Một số dấu hiệu chia hếtGọi N = 011nna .aaa1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125+ N 2 a0 2 a0{0; 2; 4; 6; 8}+ N 5 a0 5 a0{0; 5}+ N 4 (hoặc 25) 01aa 4 (hoặc 25)+ N 8 (hoặc 125) 01aaa2 8 (hoặc 125)2. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9+ N 3 (hoặc 9) a0+a1+ +an 3 (hoặc 9)3. Một số dấu hiệu khác+ N 11 [(a0+a1+ ) - (a1+a3+ )] 112 + N 101 [(01aa+45aa+ ) - (23aa+67aa+ )] 101+ N 7 (hoặc 13) [(01aaa2 + 67aaa8+ ) - [(34aaa5 + 910aaa11+ ) 11 (hoặc 13)+ N 37 (01aaa2 + 34aaa5+ ) 37 + N 19 ( a0+2an-1+22an-2+ + 2na0) 19IV. Đồng d thứca. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dơng. Nếu hai số nguyên a và b cho cùng số d khi chia cho m thì ta nói a đồng d với b theo modun m.Ký hiệu: a b (modun)Vậy: a b (modun) a - b mb. Các tính chất1. Với a a a (modun)2. Nếu a b (modun) b a (modun)3. Nếu a b (modun), b c (modun) a c (modun)4. Nếu a b (modun) và c d (modun) a+c b+d (modun)5. Nếu a b (modun) và c d (modun) ac bd (modun)6. Nếu a b (modun), d Uc (a, b) và (d, m) =1 dbda(modun)7. Nếu a b (modun), d > 0 và d Uc (a, b, m) dbda(modun dm)V. Một số định lý1. Định lý EulerNếu m là 1 số nguyên dơng (m) là số các số nguyên dơng nhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhau với m, (a, m) = 1Thì a(m) 1 (modun)Công thức tính (m)Phân tích m ra thừa số nguyên tốm = p11 p22 pkk với pi p; i N*Thì (m) = m(1 - `11p)(1 - 21p) (1 - kp1)2. Định lý FermatNếu t là số nguyên tố và a không chia hết cho p thì ap-1 1 (modp)3. Định lý WilsonNếu p là số nguyên tố thì( P - 1)! + 1 0 (modp)phần II: các phơng pháp giải bài toán chia hết1. Phơng pháp 1: Sử dụng dấu hiệu chia hết3 Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b 45GiảiTa thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 để a56b 45 a56b 5 và 9Xét a56b 5 b {0 ; 5}Nếu b = 0 ta có số a56b 9 a + 5 + 6 + 0 9 a + 11 9 a = 7Nếu b = 5 ta có số a56b 9 a + 5 + 6 + 0 9 a + 16 9 a = 2Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560a = 2 và b = 5 ta có số 2560Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh răng số đó chia hết cho 9.GiảiGọi số đã cho là aTa có: a và 5a khi chia cho 9 cùng có 1 số d 5a - a 9 4a 9 mà (4 ; 9) = 1 a 9 (Đpcm)Ví dụ 3: CMR số 1 số 81 111 111 81GiảiTa thấy: 111111111 9Có 1 số 81 111 111= 111111111(1072 + 1063 + + 109 + 1)Mà tổng 1072 + 1063 + + 109 + 1 có tổng các chữ số bằng 9 9 1072 + 1063 + + 109 + 1 9 Vậy: 1 số 81 111 111 81 (Đpcm)Bài tập tơng tựBài 1: Tìm các chữ số x, y sao cho a. 34x5y 4 và 9b. 2x78 17Bài 2: Cho số N = dcba CMRa. N 4 (a + 2b) 4b. N 16 (a + 2b + 4c + 8d) 16 với b chẵnc. N 29 (d + 2c + 9b + 27a) 29Bài 3: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó.4 Bài 4: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta đợc số A = 1920217980. Hỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao?Bài 5: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao?Bài 6: Chứng tỏ rằng số 1 số 100 11 11 2 số 100 22 22 là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.Hớng dẫn - Đáp sốBài 1: a. x = và y = 2 x = và y = 6b. 2x78= 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 x = 2Bài 2: a. N4 ab4 10b + a4 8b + (2b + a) 4 a + 2b4b. N16 1000d + 100c + 10b + a16 (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16 a + 2b + 4c + 8d16 với b chẵnc. Có 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca29 mà (1000, 29) =1 dbca29 (d + 3c + 9b + 27a) 29Bài 3: Gọi ab là số có 2 chữ số Theo bài ra ta có:ab= 10a + b = 2ab (1) ab2 b {0; 2; 4; 6; 8} thay vào (1) a = 3; b = 6Bài 4: Có 1980 = 22.32.5.11 Vì 2 chữ số tận cùng của a là 80 4 và 5 A 4 và 5Tổng các số hàng lẻ 1+(2+3+ +7).10+8 = 279Tổng các số hàng chẵn 9+(0+1+ +9).6+0 = 279Có 279 + 279 = 558 9 A 9 279 - 279 = 0 11 A 11Bài 5: Tổng 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số lẻ nên không chia hết cho 2. Có 46 số tự nhiên liên tiếp có 23 cặp số mỗi cặp có tổng là 1 số lẻ tổng 23 cặp không chia hết cho 2. Vậy tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46.Bài 6: Có 1 số 100 11 11 2 số 100 22 22= 1 số 100 11 11 0 số 99 02 100Mà 0 số 99 02 100= 3. 3 số 9934 33 1 số 100 11 11 2 số 100 22 22= 3 số10033 33 3 số 9934 33 (Đpcm)2. Phơng pháp 2: Sử dụng tính chất chia hết* Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n.5 CMR: Gọi n là số nguyên liên tiếpm + 1; m + 2; m + n với m Z, n N*Lấy n số nguyên liên tiếp trên chia cho n thì ta đợc tập hợp số d là: {0; 1; 2; n - 1}* Nếu tồn tại 1 số d là 0: giả sử m + i = nqi ; i = n1, m + i n* Nếu không tồn tại số d là 0 không có số nguyên nào trong dãy chia hết cho n phải có ít nhất 2 số d trùng nhau.Giả sử: +=++=+r qjn j mn j i;1 r nqi i m i - j = n(qi - qj) n i - j nmà i - j< n i - j = 0 i = j m + i = m + jVậy trong n số đó có 1 số và chỉ 1 số đó chia hết cho nVí dụ 1: CMR: a. Tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 b. Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.Giảia. Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn Số chẵn đó chia hết cho 2.Vậy tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2.Tích 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2b. Trong 3 sô nguyên liên tiếp bao giơ cũng có 1 số chia hết cho 3. Tích 3 số đó chia hết cho 3 mà (1; 3) = 1.Vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6.Ví dụ 2: CMR: Tổng lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9.GiảiGọi 3 số nguyên liên tiếp lần lợt là: n - 1 , n , n+1Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + 9 = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18nTa thấy (n - 1)n (n + 1) 3 (CM Ví dụ 1) 3(n - 1)n (n + 1) 9mà +9189)1(92nn A 9 (ĐPCM)Ví dụ 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n 3 84 với n chẵn, n4GiảiVì n chẵn, n4 ta đặt n = 2k, k2Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = đặt 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1)6 Với k 2 nên k - 2, k - 1, k + 1, k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4. (k - 2)(k - 1)(k + 1)k 8Mà (k - 2) (k - 1)k 3 ; (3,8)=1 (k - 2) (k - 1) (k + 1)k 24 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k (16,24)Vậy n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 với n chẵn, n 4Bài tập tơng tựBài 1: CMR: a. n(n + 1) (2n + 1) 6b. n5 - 5n3 + 4n 120 Với n NBài 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 Với n ZBài 3: CMR: Với n lẻ thìa. n2 + 4n + 3 8b. n3 + 3n2 - n - 3 48c. n12 - n8 - n4 + 1 512Bài 4: Với p là số nguyên tố p > 3 CMR : p2 - 1 24Bài 5: CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27.Hớng dẫn - Đáp sốBài 1: a. n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)]= n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) 6b. n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n= n(n2 - 1) (n2 - 4)= n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2) 120Bài 2: n4 + 6n3 + 6n + 11n2= n(n3 + 6n2 + 6 + 11n)= n(n + 1) (n + 2) (n + 3) 24Bài 3: a. n2 + 4n + 3 = (n + 1) (n + 3) 8b. n3 + 3n2 - n - 3 = n2(n + 3) - (n + 3)= (n2 - 1) (n + 3)= (n + 1) (n - 1) (n + 3)= (2k + 4) (2k + 2) (2k với n = 2k + 1, k N)= 8k(k + 1) (k +2) 48c. n12 - n8 - n4 + 1 = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1)= (n4 - 1) (n8 - 1)= (n4 - 1)2 (n4 + 1) = (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1)= 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1)Với n = 2k + 1 n2 + 1 và n4 + 1 là những số chẵn (n2 + 1)2 2 n4 + 1 2 n12 - n8 - n4 + 1 (24.22. 22. 1 . 21)Vậy n12 - n8 - n4 + 1 512Bài 4: Có p2 - 1 = (p - 1) (p + 1) vì p là số nguyên tố p > 3 p 3 ta có: (p - 1) (p + 1) 87 và p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k N) (p - 1) (p + 1) 3Vậy p2 - 1 24Bài 5: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1; n + 2; ; n + 1989 (1)trong 1000 tự nhiên liên tiếp n, n + 1; n + 2; ; n + 999 có 1 số chia hết cho 1000 giả sử n0, khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0 giả sử tổng các chữ số của n0 là s khi đó 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; ; n0 + 99; n0 + 199; n0 + 899 (2)Có tổng các chữ số lần lợt là: s; s + 1 ; s + 26Có 1 số chia hết cho 27 (ĐPCM)* Chú ý: n + 899 n + 999 + 899 < n + 1989 Các số ở (2) nằm trong dãy (1)3. Phơng pháp 3: xét tập hợp số d trong phép chiaVí dụ 1: CMR: Với n NThì A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hết cho 6GiảiTa thấy 1 trong 2 thừa số n và 7n + 1 là số chẵn. Với n N A(n) 2Ta chứng minh A(n) 3Lấy n chia cho 3 ta đợc n = 3k + 1 (k N)Với r {0; 1; 2}Với r = 0 n = 3k n 3 A(n) 3Với r = 1 n = 3k + 1 2n + 7 = 6k + 9 3 A(n) 3 Với r = 2 n = 3k + 2 7n + 1 = 21k + 15 3 A(n) 3 A(n) 3 với n mà (2, 3) = 1Vậy A(n) 6 với n NVí dụ 2: CMR: Nếu n 3 thì A(n) = 32n + 3n + 1 13 Với n NGiảiVì n 3 n = 3k + r (k N); r {1; 2; 3} A(n) = 32(3k + r) + 33k+r + 1 = 32r(36k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + 1ta thấy 36k - 1 = (33)2k - 1 = (33 - 1)M = 26M 1333k - 1 = (33 - 1)N = 26N 13với r = 1 32n + 3n + 1 = 32 + 3 +1 = 13 13 32n + 3n + 1 13với r = 2 32n + 3n + 1 = 34 + 32 + 1 = 91 13 32n + 3n + 1Vậy với n 3 thì A(n) = 32n + 3n + 1 13 Với n NVí dụ 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n - 1 7GiảiLấy n chia cho 3 ta có n = 3k + 1 (k N); r {0; 1; 2}Với r = 0 n = 3k ta có 8 2n - 1 = 23k - 1 = 8k - 1 = (8 - 1)M = 7M 7với r =1 n = 3k + 1 ta có:2n - 1 = 28k +1 - 1 = 2.23k - 1 = 2(23k - 1) + 1mà 23k - 1 7 2n - 1 chia cho 7 d 1với r = 2 n = 3k + 2 ta có :2n - 1 = 23k + 2 - 1 = 4(23k - 1) + 3 mà 23k - 1 7 2n - 1 chia cho 7 d 3Vậy 23k - 1 7 n = 3k (k N)Bài tập tơng tựBài 1: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4) 5 Với n ZBài 2: Cho A = a1 + a2 + + an B = a51 + a52 + + a5nBài 3: CMR: Nếu (n, 6) =1 thì n2 - 1 24 Với n ZBài 4: Tìm số tự nhiên W để 22n + 2n + 1 7Bài 5: Cho 2 số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4 + 1 = n2CMR: mn 55Hớng dẫn - Đáp sốBài 1: + A(n) 6+ Lấy n chia cho 5 n = 5q + r r {0; 1; 2; 3; 4}r = 0 n 5 A(n) 5r = 1, 4 n2 + 4 5 A(n) 5r = 2; 3 n2 + 1 5 A(n) 5 A(n) 5 A(n) 30Bài 2: Xét hiệu B - A = (a51 - a1) + + (a5n - an) Chỉ chứng minh: a5i - ai 30 là đủBài 3: Vì (n, 6) =1 n = 6k + 1 (k N)Với r {1}r = 1 n2 - 1 24Bài 4: Xét n = 3k + r (k N) Với r {0; 1; 2}Ta có: 22n + 2n + 1 = 22r(26k - 1) + 2r(23k - 1) + 22n + 2n + 1Làm tơng tự VD3Bài 5: Có 24m4 + 1 = n2 = 25m4 - (m4 - 1)Khi m 5 mn 5Khi m 5 thì (m, 5) = 1 m4 - 1 5(Vì m5 - m 5 (m4 - 1) 5 m4 - 1 5) n2 5 ni5Vậy mn 54. Phơng pháp 4: sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tửGiả sử chứng minh an k9 Ta có thể phân tích an chứa thừa số k hoặc phân tích thành các thừa số mà các thừa số đó chia hết cho các thừa số của k.Ví dụ 1: CMR: 36n - 26n 35 Với n NGiảiTa có 36n - 26n = (36)n - (26)n = (36 - 26)M= (33 + 23) (33 - 23)M= 35.19M 35 Vậy 36n - 26n 35 Với n NVí dụ 2: CMR: Với n là số tự nhiên chăn thì biểu thức A = 20n + 16n - 3n - 1 232GiảiTa thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = 1 ta chứng minhA 17 và A 19 ta có A = (20n - 3n) + (16n - 1) có 20n - 3n = (20 - 3)M 17M16n - 1 = (16 + 1)M = 17N 17 (n chẵn) A 17 (1)ta có: A = (20n - 1) + (16n - 3n) có 20n - 1 = (20 - 1)p = 19p 19 có 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q 19 (n chẵn) A 19 (2)Từ (1) và (2) A 232Ví dụ 3: CMR: nn - n2 + n - 1 (n - 1)2 Với n >1GiảiVới n = 2 nn - n2 + n - 1 = 1 và (n - 1)2 = (2 - 1)2 = 1 nn - n2 + n - 1 (n - 1)2với n > 2 đặt A = nn - n2 + n - 1 ta có A = (nn - n2) + (n - 1)= n2(nn-2 - 1) + (n - 1)= n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + + 1) + (n - 1)= (n - 1) (nn-1 + nn-2 + + n2 +1) = (n - 1) [(nn-1 - 1) + +( n2 - 1) + (n - 1)]= (n - 1)2M (n - 1)2Vậy A (n - 1)2 (ĐPCM)Bài tập tơng tựBài 1: CMR: a. 32n +1 + 22n +2 7 b. mn(m4 - n4) 30Bài 2: CMR: A(n) = 3n + 63 72 với n chẵn n N, n 2Bài 3: Cho a và b là 2 số chính phơng lẻ liên tiếpCMR: a. (a - 1) (b - 1) 192Bài 4: CMR: Với p là 1 số nguyên tố p > 5 thì p4 - 1 240Bài 5: Cho 3 số nguyên dơng a, b, c và thoả mãn a2 = b2 + c2CMR: abc 60Hớng dẫn - Đáp sốBài 1: a. 32n +1 + 22n +2 = 3.32n + 2.2n= 3.9n + 4.2n10 [...]... n số đó có 1 số và chỉ 1 sè ®ã chia hÕt cho n… VÝ dơ 1: CMR: a. Tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 b. TÝch cđa 3 sè nguyªn liªn tiÕp chia hết cho 6. Giải a. Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn Số chẵn đó chia hÕt cho 2. VËy tÝch cđa 2 sè nguyªn liªn tiếp luôn chia hết cho 2. Tích 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia. .. sè 1994 11 111 1993 (ĐPCM) Bài 3: Xét dÃy số gồm 17 số nguyên bất kỳ là a 1 , a 2 , , a 17 Chia các số cho 5 ta đợc 17 số d ắt phải cã 5 sè d thc tËp hỵp{0; 1; 2; 3; 4} NÕu trong 17 sè trªn cã 5 sè khi chia cho 5 cã cïng sè d th× tỉng cđa chóng sẽ chia hết cho 5. Nếu trong 17 số trên không cã sè nµo cã cïng sè d khi chia cho 5 tồn tại 5 số có số d khác nhau tổng các số d là: 0 + 1 + 2 + 3 + 4... Víi 17 số nguyên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 1 tỉng 5 sè chia hÕt cho 5. Bµi 4: Cã hay không 1 số có dạng. 19931993 1993000 00 1994 Hớng dẫn - Đáp số Bài 1: Xét dÃy số 17, 17 2 , , 17 25 (tơng tự VD2) Bài 2: Ta có 1994 số nguyên chứa toàn bộ số 1 là: 1 11 16 Bài 4: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta đợc số A = 192021… 7980. Hái sè A cã chia hÕt cho 1980 không ? Vì sao? Bài. .. sè cã hiƯu chia hÕt cho n. NÕu kh«ng cã 1 tổng nào trong các tổng trên chia hết cho n nh vậy số d khi chia mỗi tổng trên cho n ta đợc n số d là 1; 2; ; n - 1 Vậy theo nguyên lý Đirichlet sẽ tồn tại ít nhất 2 tổng mà chi cho n có cïng sè d ⇒ (theo VD1) hiƯu cïadr tỉng nµy chia hết cho n (ĐPCM). Bài tập tơng tự Bài 1: CMR: Tån t¹i n ∈ N sao cho 17 n - 1 25 Bài 2: CMR: Tồn tại 1 bội của số 1993 chØ... đại số Võ Đại Mau Lê Tất Hùng Vũ Thị Nhàn. 8. Các đề vô định toán các nớc Nhà xuất bản Hải phòng. 9. 255 bài toán số học chọn lọc Sở GD Hà Tây 1993. 10. Chuyên đề bồi dỡng giỏi toán 6 - Đinh Vũ Nhân Võ Thị ái Nơng Hoàng Chúng. 11. Số học bà chúa của toán học Hoàng Chúng. Mục lục Nội dung Trang A Mở đầu 1 B Nội dung 2 Phần I: Tóm tắt lý thuyết 2 Phần II: Các phơng pháp giải các bài toán chia. .. luôn chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 b. Trong 3 sô nguyên liên tiếp bao giơ cũng có 1 sè chia hÕt cho 3. ⇒ TÝch 3 sè ®ã chia hÕt cho 3 mµ (1; 3) = 1. VËy tÝch cđa 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6. Ví dụ 2: CMR: Tổng lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9. Giải Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lợt là: n - 1 , n , n+1 Ta cã: A = (n - 1) 3... d m ) V. Một số định lý 1. Định lý Euler Nếu m là 1 số nguyên dơng (m) là số các số nguyên dơng nhỏ hơn m và nguyên tố cïng nhau víi m, (a, m) = 1 Th× a ϕ (m) ≡ 1 (modun) Công thức tính (m) Phân tích m ra thừa số nguyªn tè m = p 1 α 1 p 2 α 2 p… k α k víi p i ∈ p; α i ∈ N * Th× ϕ (m) = m(1 - `1 1 p )(1 - 2 1 p ) (1 - k p 1 ) 2. Định lý Fermat Nếu t là số nguyên tố và a không chia hết cho p... dung Phần I: Tóm tắt lý thuyết I. Định nghĩa phép chia Cho 2 số nguyên a và b trong đó b 0 ta luôn tìm đợc hai số nguyên q và r duy nhất sao cho: a = bq + r Víi 0 ≤ r ≤ | b| Trong ®ã: a là số bị chia, b là số chia, q là thơng, r là số d. Khi a chia cho b cã thÓ xÈy ra | b| sè d r ∈ {0; 1; 2; ; | b|} Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hÕt cho b hay b chia hÕt a. Ký hiÖu: ab hay b\ a VËy: a... abc Nếu a, b, c đều không chia hÕt cho 3 ⇒ a 2 , b 2 vµ c 2 chia hÕt cho 3 ®Ịu d 1 ⇒ a 2 ≠ b 2 + c 2 . Do ®ã cã Ýt nhÊt 1 sè chia hÕt cho 3. VËy M 3 NÕu a, b, c đều không chia hết cho 5 a 2 , b 2 và c 2 chia 5 d 1 hc 4 ⇒ b 2 + c 2 chia 5 thì d 2; 0 hoặc 3. a 2 ≠ b 2 + c 2 . Do ®ã cã Ýt nhÊt 1 sè chia hÕt cho 5. VËy M 5 NÕu a, b, c là các số lẻ b 2 và c 2 chia hÕt cho 4 d 1. ⇒ b 2 ... Víi ∀ n ∈ Z Bµi 3: CMR: Với n lẻ thì a. n 2 + 4n + 3 8 b. n 3 + 3n 2 - n - 3 48 c. n 12 - n 8 - n 4 + 1 512 Bài 4: Với p là số nguyên tố p > 3 CMR : p 2 - 1 24 Bµi 5: CMR: Trong 1900 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27. Hớng dẫn - Đáp số Bài 1: a. n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)] = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) 6 b. n 5 - 5n 3 + . rèn luyện năng lực tự học cho học sinh.Xuất phát từ vấn đề nên trên đã thúc đẩy Tôi viết.Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán chia hết trên vành số nguyên. 2.. tiếp chia hết cho 6.Giảia. Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn Số chẵn đó chia hết cho 2.Vậy tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết