Bài tập hình học Afin

2 2.1K 39
Bài tập hình học Afin

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Bài tập hình học Afin

Bài 12: Cho ánh xạ tuyến tính φ: V → V. Chứng minh rằng: Nếu φ2 = φ thì V = Imφ ⴲ Kerφ.GiảiĐể c/m: V = Imφ ⴲ Kerφ, ta cần c/m:V = Imφ + KerφImφ ⋂ Kerφ = {θ}C/m: V = Imφ + Kerφ•V ⊂ Imφ + Kerφ•V ⊃ Imφ + KerφDễ thấy:☺ Imφ ⊂ V☺ Kerφ ⊂ V⇒ Imφ + Kerφ ⊂ V. (1)Ta xét: ∀x∊V: x = φ(x) + (x – φ(x)), trong đó φ(x) ∊ Imφ.Mặt khác: φ(x – φ(x)) = φ(x) – φ(φ(x)) = φ(x) – φ(x) = {θ}⇒ x – φ(x) ∊ Kerφ.Do đó: x ∊ Imφ + Kerφ⇒ V ⊂ Imφ + Kerφ. (2)Từ (1),(2) suy ra: V = Imφ + Kerφ. (Ⅰ)C/m: Imφ ⋂ Kerφ = {θ}Giả sử y = Imφ ⋂ Kerφ:•y ∊ Imφ (✼)•y ∊ Kerφ (✼✼)Từ (✼) suy ra: ∃x ∊ V: φ(x) = yTa có: y = φ(x) = φ(φ(x)) = φ(y) = θ (Do (✼✼))Vậy: Imφ ⋂ Kerφ = {θ}. (Ⅱ)Từ (Ⅰ),(Ⅱ) nên: V = Imφ ⴲ Kerφ. ◼ . Bài 12: Cho ánh xạ tuyến tính φ: V → V. Chứng minh rằng: Nếu φ2 = φ thì V =

Ngày đăng: 12/09/2012, 16:20

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan