Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 Bài 5 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG Trong không gian hai mặt phẳng có các vị trí tương đối: giao nhau hoặc song song I. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Định lý Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng song song nhau là trong mặt phẳng này chứa hai đường thẳng giao nhau lần lượt song song với hai đường thẳng giao nhau thuộc mặt phẳng kia  Ví dụ Cho mặt phẳng (a,b) và điểm M. Qua M hãy dưng mp(c,d) // mp(a,b) b 2 d 1 c 1 d 2 b 1 c 2 a 1 a 2 I 1 M 1 M 2 I 2 Giải Qua điểm M vẽ hai đường thẳng c, d: _ c // a ⇒ c 1 // a 1 và c 2 // a 2 x _ d // b ⇒ d 1 // b 1 và d 2 // b 2 Vậy mp(c, d) // mp(a,b) là mặt phẳng cần dựng Hình 5.1  Chú ý ♦ Hai mặt phẳng song song nhau thì các vết cùng tên của chúng song song Giả sử : mpα // mpβ ⇒ m α // m β và n α // n β ; (Hình 5.2) ♦ Điều ngược lại chỉ đúng khi chúng là mặt phẳng thường, còn mặt phẳng chiếu cạnh thì chưa chắc Hình 5.2 P 2 P 1 x x x x n β n β n α n α n P α 2 n β m β m α m β m β m α m α P 1 m β n β m α n α II. HAI MẶT PHẲNG GIAO NHAU Nội dung của phần này là vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng 1) Trường hợp biết một hình chiếu của giao tuyến a) Nếu cả hai mặt phẳng đã cho là mặt phẳng chiếu cùng tên, thì: _ Ta biết được một hình chiếu của giao tuyến suy biến thành một điểm chính là giao điểm của hai đường thẳng suy biến của hai mặt phẳng chiếu đó _ Hình chiếu còn lại của giao tuyến đi qua điểm suy biến đó và vuông góc với trục hình chiếu . GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 31 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Vớ d Hóy v giao tuyn ca hai mt phng , chiu bng (Hỡnh 5.3) Gii Gi g = mp mp . Vỡ mp v mp P 1 nờn giao tuyn g ca chỳng vuụng gúc mpP 1 ; cú hỡnh chiu bng g 1 = ( 1 ) ( 1 ) 1 im Hỡnh chiu ng ca giao tuyn : g 2 x Hỡnh 5.3 Hỡnh 5.4 B 1 B 2 A 1 A 2 x g 2 ( 2 ) I 1 I 2 b 1 b 2 a 1 g 1 a 2 g 1 ( 1 ) ( 1 ) g 2 n n x b) Nu mt trong hai mt phng ó cho l mt phng chiu, thỡ: _ Ta bit c mt hỡnh chiu ca giao tuyn trựng vi ng thng suy bin ca mt phng chiu ú. _ v hỡnh chiu cũn li ca giao tuyn ta ỏp dng bi toỏn ng thng thuc mt phng khụng chiu. Vớ d Hóy v giao tuyn ca mt phng (a, b) vi mt phng chiu ng ; (Hỡnh 5.4) Gii Gi g = mp mp(a, b) . Vỡ mp P 2 nờn g 2 ( 2 ) . Theo trờn, g mp(a, b) nờn g s ct a, b ln lt ti cỏc im A, B. Do ú g 1 A 1 B 1 2) Trng hp tng quỏt v giao tuyn g ca hai mt phng , bt k (Hỡnh 5.5). Ta phi tỡm hai im chung ca chỳng bng cỏch dựng hai mt phng ph tr. Trỡnh t gii nh sau: 1) Dng mt phng phu tr ( thng l mt phng chiu) ct c mp v mp 2) V hai giao tuyn ph: a = mp mp v b = mp mp 3) V giao i m: M = a b , l mt im thuc giao tuyn g Tng t, v mp phu tr th hai [thng () // () ], ta tỡm c im th hai N g Vy g MN = mp mp Vớ d Hóy v giao tuyn ca mt phng (c, d) vi mt phng (m , n ) (Hỡnh 5.6) Gii _ Dng mp - lm mt phng bng ph tr (cng l mt phng chiu ng) _ V hai ng bng giao tuyn ph: GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 32 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 + a = mpϕ ∩ mpα; Vì mp ϕ ⊥ P 2 nên a 2 ≡ (ϕ 2 ) ⇒ a 1 // m α + b = mpϕ ∩ mp(c, d) ; Vì mpϕ ⊥ P 2 nên b 2 ≡ (ϕ 2 ) ⇒ b 1 _ Vẽ giao điểm M = a ∩ b ; Từ a 1 ∩ b 1 = M 1 ⇒ M 2 ∈ a 2 Hình 5.5 Hình 5.6 a’ 2 ≡ b' 2 ≡ (ϕ’ 2 ) I 2 a 2 ≡ b 2 ≡ (ϕ 2 ) c 1 d 2 d 1 I 1 g 2 x g 1 c 2 M 2 N 2 M 1 N 1 b 1 b’ 1 a’ 1 m α n α a 1 β α mpϕ’ mpϕ a b b’ a’ M N g Tng t _ Dựng mp ϕ’ // mpϕ - làm mặt phẳng phụ trợ _ Vẽ hai đường bằng giao tuyến phụ: + a’ = mpϕ’ ∩ mpα; Vì mpϕ’ ⊥ P 2 nên a’ 2 ≡ (ϕ’ 2 ) ⇒ a’ 1 // a 1 + b’ = mpϕ’ ∩ mp(c, d); Vì mpϕ’⊥ P 2 nên b’ 2 ≡ (ϕ’ 2 ) ⇒ b’ 1 // b 1 _ Vẽ giao điểm N = a’ ∩ b’ ; Từ a’ 1 ∩ b’ 1 = N 1 ⇒ N 2 ∈ a’ 2 Kết luận: g ≡ MN = mpα ∩ mp(c, d) III. MỘT VÀI VÍ DỤ GIẢI SẴN  Ví dụ 1 Hãy vẽ giao tuyến của mp α và mpβ; được cho trong các trường hợp ở (Hình 5.7a,b,c) Giải a) Vì m α , m β ∈ P 1 ⇒ m α ∩ m β = M thuộc giao tuyến của (α) và (β). Từ M 1 = m α ∩ m β ⇒M 2 ∈ x Và n α , n β ∈ P 2 ⇒ n α ∩ n β = N thuộc giao tuyến của (α) và (β). Từ N 2 = n α ∩ n β ⇒ N 1 ∈ x Vậy MN = mpα ∩ mpβ ; (Hình 5.7a) x x M 1 ∞ M 2 ∞ g 1 g 2 N 2 ≡ M 1 N 1 ≡M 2 N 1 M 2 M 1 N 1 N 2 N 2 m β m β m β n α n β n β m α m α m α n α n α n β Hình 5.7a Hình 5.7b Hình 5.7c b) Tương tự như trên, vì m α // m β ⇒ m α ∩ m β = M ∞ ⇒ mpα ∩ mpβ = NM ∞ ≡ g (g là đường bằng của mpα và mpβ); (Hình 5.7b) c) Tương tự như trên ⇒ mpα ∩ mpβ = NM - là đường cạnh ; (Hình 5.7c) GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 33 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005  Ví dụ 2 Hãy vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng : mpα (m α , A) và mpβ (n β , B) ; (Hình 5.7) Giải _ Qua điểm A∈ mpα, vẽ đường bằng h và vẽ vết đứng H của h ⇒ Vết đứng n α di qua H 2 và qua giao điểm của m α với trục x _ Qua điểm B∈ mpβ, vẽ đường mặt f và vẽ vết đứng F của f ⇒ Vết bằng m β đi qua F 1 và qua giao điểm của n β với trục x Vẽ giao tuyến MN = mp α ∩ mpβ ; (Hình 5.7) n α m α H 1 H 2 h 2 h 1 M 2 M 1 N 1 N 2 F 1 F 2 f 2 f 1 m β n β A 2 B 2 B 1 A 1 x Hình 5.7 ====================== GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 34 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Bi 6 V TR TNG I GIA NG THNG V MT PHNG I. NG THNG SONG SONG MT PHNG nh lý iu kin cn v mt ng thng song song vi mt mt phng l ng thng ú song song vi mt ng thng nm trong mt phng ú Vớ d Cho mp(a, b) v im M; (Hỡnh 6.1). Qua M, hóy dng ng thng d // mp(a, b) Gii Trong mt phng (a,b), v ng thng l. Qua im M v ng thng d // l d 1 // l 1 v d 2 // l 2 Theo nh lý trờn thỡ d // mp(a, b) Hỡnh 6.1 Hỡnh 6.2 II. NG THNG V MT PHNG GIAO NHAU Ni dung ca phn ny l v giao im ca ng thng vi mt phng 1) Trng hp bit mt hỡnh chiu ca giao im a) Nu mt phng ó cho l mt phng chiu, ng thng bt k, thỡ: _ Ta bit c mt hỡnh chiu ca giao im l giao ca ng thng suy bin ca mt phng chiu ú vi hỡnh chiu cựng tờn ca ng thng _ v hỡnh chiu cũn li ca giao im, ta ỏp dng bi toỏn dim thuc ng thng Vớ d Hóy v giao im ca ng thng d vi mt phng chiu bng (Hỡnh 6.2) Gii Gi A = d mp A mp, vỡ mp P 1 nờn A 1 ( 1 ) A d A 1 d 1 I 1 I 2 l 1 b 2 d 2 b 1 d 1 M 2 M 1 A 2 x n d 2 d 1 A 1 ( 1 ) l 2 a 1 x a 2 Vy A 1 = ( 1 ) d 1 A 2 d 2 ; (Hỡnh 6.2) b) Nu ng thng ó cho l ng thng chiu, mt phng bt ky, thỡ: _ Ta bit c mt hỡnh chiu ca giao im trựng vi im suy bin ca ng thng chiu ú _ v hỡnh chiu cũn li ca giao im, ta ỏp dng bi toỏn im thuc mt phng GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 35 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Vớ d Hóy v giao im ca mp(a, b) vi ng thng d chiu bng; (Hỡnh 6.3) Gii Gi M = d mp(a, b) M d, vỡ d P 1 nờn M 1 d 1 M mp(a, b) M g mp(a, b) T M 1 g 1 M 2 g 2 ; (Hỡnh 6.3) Hỡnh 6.3 Hỡnh 6.4 2) Trng hp tng quỏt v giao im M ca ng thng d vi mp bt k; (Hỡnh 6.4). Ta phi tỡm mt im chung ca chỳng bng cỏch dựng mt phng ph tr, vi trỡnh t gii nh sau: 3) Dng mt phng phu tr cha ng thng d ( thng l mt phng chiu) 4) V giao tuyn ph: g = mp mp 3) V giao im: M = g d Vy M 2 b 2 b 1 I 2 I 1 g 2 g 1 A 2 A 1 B 2 B 1 d 2 M = d mp M 1 d 1 a 1 a 2 x M g d F 1 F 2 E 1 x M 1 K 1 g 1 I 2 J 2 B 1 A 1 C 1 d 1 B 2 C 2 g 2 ( 2 ) M 2 E 2 K 2 I 1 J 1 A 2 Vớ d Hóy v giao im ca ng thng d vi mp(ABC) Hỡnh 6.5) Gii 1) Dng mt phng phu tr chiu ng cha ng thng d ( 2 ) d 2 2) V giao tuyn ph: g EF = mp mp (ABC) T g 2 E 2 F 2 ( 2 ) g 1 E 1 F 1 3) V giao im: M = g d T M 1 = g 1 d 1 M 2 d 2 M = d mp Hỗnh 6.5 Biu din thy khut trờn hỡnh chiu Sau khi v giao im ca ng thng vi mt phng, gõy n tng ni cho hỡnh chiu, ngi ta thng biu din thy - khut ca hỡnh vi qui c nh sau: _ Mt ngi quan sỏt t trờn P 1 , trc P 2 v t xa vụ tn theo cỏc hng nhỡn vuụng gúc vi hai mt phng hỡnh chiu ny _ Mt phng xem nh khụng trong sut (vt th c) Vi qui c ny, thỡ: + Cp im nm trờn ng thng chiu bng, im no cao hn s thy hỡnh chiu bng. GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 36 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 + Cặp điểm nằm trên đường thẳng chiếu đứng, điểm nào xa hơn sẽ thấy ở hình chiếu đứng Trở lại ví dụ (hình 6.5)  Thấy khuất ở hình chiếu bằng: Xét cặp điểm I, J với I∈d, J ∈ BC sao cho I 1 ≡ J 1 . Ta thấy điểm I cao hơn J nên : I 1 - thấy ⇒ I 1 M 1 - thấy; do đó trên hình chiếu này mặt phẳng che khuất phần còn lại của đường thẳng thuộc phạm vi mặt phẳng  Thấy khuất ở hình chiếu đứng: Xét cặp điểm E, K với K∈ d, E ∈ AC sao cho E 2 ≡ K 2 . Ta thấy điểm K xa hơn E nên : K 2 - thấy ⇒ K 2 M 2 - thấy; do đó trên hình chiếu này mặt phẳng che khuất phần còn lại của đường thẳng thuộc phạm vi mặt phẳng III. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Dựa vào định lý về hình chiếu của góc vuông và định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong không gian, ta nêu ra định lý sau: 1) Đối với mặt phẳng thường Định lý Điều kiện cần và đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thường là hình chiếu bằng của đường thẳng vuông góc với hình chiếu bằng của đường bằng (vết bằng) của mặt phẳng và hình chiế u đứng của đường thẳng vuông góc với hình chiếu đứng của đường mặt(vết đứng) của mặt phẳng Cho đường thẳng d và mp α (Hình 6.6), ⎩ ⎨ ⎧ ⊥⊥ ⊥⊥ ⇔⊥ )( )( 222 111 αα αα α ndhayfd mdhayhd mpd định lý trên viết lại như sau: y o y’ z x γ 3 B 3 B 2 A 2 m γ n γ Hình 6.6 Hình 6.7 n α f 1 α x h 2 α f 2 α h 1 α d 2 m α d 1 A 3 Chứng minh  Điều kiện cần: Giả sử d ⊥ mpα ⇒ d ⊥ h α ∈ mpα ⇒ d 1 ⊥ h 1α hay (d 1 ⊥ m α ) d ⊥ f α ∈ mpα ⇒ d 2 ⊥ f 2α hay (d 2 ⊥ n α )  Điều kiện đủ: Giả sử có đường bằng h α , đường mặt f α thuộc mpα và đường thẳng d ; mà trên đồ thức thoả mãn : d 1 ⊥ h 1α hay (d 1 ⊥ m α ) d 2 ⊥ f 2α (d 2 ⊥ n α ) Thì theo định lý về hình chiếu của góc vuông ⇒ d ⊥ h α hay d ⊥ m α d ⊥ f α d ⊥ n α Mà h α , f α hay (m α , n α ) là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mpα nên: d ⊥ mpα 2) Đối với mặt phẳng chiếu cạnh Nếu mặt phẳng đã cho là mặt phẳng chiếu cạnh thì đường thẳng vuông góc với nó phải là đường cạnh; ngược lại đường cạnh thì chưa chắc vuông góc với mặt phẳng chiếu cạnh GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 37 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 nh lý : iu kin cn v ng cnh vuụng gúc vi mt phng chiu cnh l hỡnh chiu cnh ca ng cnh vuụng gúc hỡnh chiu cnh suy bin ca mt phng chiu cnh Cho ng cnh AB v mt phng chiu cnh (Hỡnh 6.7), nh lý trờn c vit thnh: AB mp A 3 B 3 ( 3 ) IV. MT VI V D GII SN Vớ d 1 Chng minh rng : a) Mt phng cú hai vt i xng nhau qua trc x thỡ vuụng gúc vi mt phng phõn giỏc 1 b) Mt phng cú hai vt trựng nhau thỡ vuụng gúc vi mt phng phõn giỏc 2 O 1 O 2 x d 2 d 1 n m Gii a) Gi s cho mp cú hai vt n , m i xng nhau qua trc x (Hỡnh 6.8). Qua im O tu ý trờn trc x, ta v ng thng d mp (1) d 1 m v d 2 n . b) Vỡ n , m i xng nhau qua trc x nờn d 1 , d 2 i xng nhau qua trc x dmp phg1 (2) T (1) v (2) mp mp phg1 Hỗnh 6.8 c) Gi s cho mp cú hai vt trựng nhau (n m ) Qua im I tu ý trờn trc x, ta v ng thng d mp d 1 m v d 2 n (1) Vỡ n m nờn d 1 d 2 dmp phg 2 (2) T (1) v (2) mp mp phg 2 I 1 I 2 d 1 d 2 x m n Hỗnh 6.9 Vớ d 2 Cho im A ( A 1 , A 2 ) v mt phng (m , n ); g 2 ( 2 ) d 2 B 1 H 2 A 2 d 1 A 0 A 1 H 1 B 2 g 1 x n m (Hỡnh 6.10). a) Xỏc nh khong cỏch t im A n mp b) Hóy v im B i xng vi im A qua mp Gii a) xỏc nh khong cỏch t im A n mp , ta lm nh sau: _ Qua A v d mp d 1 m v d 2 n _ V giao im : H = d mp ( dựng mt phng ph tr). Bng phng phỏp tam giỏc, xỏc nh di tht ca on AH l cnh huyn H 1 A 0 ca tam giỏc vuụng H 1 A 1 A 0 Hỗnh 6.10 b) v im B i xng vi im A qua mp , ta lm nh sau: Trờn ng thng d ly im B sao cho BH = HA B 1 H 1 = H 1 A 1 B 2 d 2 ; (Hỡnh 6.10) Vy B l im cn v . GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 38 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005  Ví dụ 3 Cho đoạn thẳng AB (A 1 B 1 , A 2 B 2 ) và mặt phẳng α (m α , n α ). Hãy tìm tập hợp những điểm trên mpα cách đều hai đầu mút A, B (Hình 6.11) Giải Tập hợp những điểm cách đều hai đầu mút A, B là mặt phẳng β - trung trực của đoạn thẳng AB (mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I của nó), mpβ được vẽ bằng vết như sau: _ Vẽ đường bằng h β ⊥ AB tại trung điểm I của AB ⇒ h 1β ⊥ A 1 B 1 tại I 1 _ Vẽ vết đứng H của đường bằng h β : H = h β ∩ mp P 2 ⇒H 2 ≡ H Vì h β ∈ mpβ nên vết đứng n β của mpβ phải đi qua vết đứng H 2 ≡ H của đường bằng h β và vuông góc A 2 B 2 O x d 2 d 1 m β n α n β H 1 H 2 h 2 β B 1 B 2 K 1 N 2 N 1 M 1 M 2 K 2 g 2 g 1 m α h 1 β g 1 H 1 x O M 1 N 1 N 2 n α n β h 2 β h 1 β m β A 1 A 2 H 2 B 1 B 2 I 1 I 2 g 2 M 2 m α Hình 6.11 Hình 6.12 _ Gọi O = n β ∩ x thì vết bằng m β đi qua O và vuông góc A 1 B 1 (hay m β // h 1β ) Theo yêu cầu của đề bài thi tập hợp những điểm cần tìm là giao tuyến của mpα và mpβ: g ≡ MN = mpα ∩ mpβ (Hình 6.11)  Ví dụ 4 Cho hai mặt phẳng α (m α , n α ), mặt phẳng β (m β , B) và điểm K; (Hình 6.12).Yêu cầu: a) Hãy vẽ vết đứng của mpβ b) Qua K hãy vẽ đường thẳng d song song với hai mặt phẳng α, β Giải a) Vẽ vết đứng của mpβ như sau : _ Trong mpβ, qua điểm B vẽ đường bằng h β ⇒ h 2β // x và h 1β // m β _ Vẽ vết đứng H của đường bằng h β : H = h β ∩ mp P 2 ⇒ H 2 ≡ H _ Vì h β ∈ mpβ nên vết đứng n β của mpβ phải đi qua vết đứng H 2 ≡ H của đường bằng h β b) Vẽ giao tuyến g của mpα và mpβ như sau: _ Vẽ N = nα ∩ nβ ⇒ (N 2 ≡N; N 1 ∈x ) ⇒N ∈g _ Vẽ M = mα ∩ mβ ⇒ (M 1 ≡M; M 2 ∈x ) ⇒M ∈g Vậy g ≡ MN = mpα ∩ mpβ Qua K, vẽ đường thẳng d // g ⇒ ( d 1 // g 1 và d 2 // g 2 ).Vậy d là đường thẳng cần vẽ (Hình 6.12) GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 39 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005  Ví dụ 5 Cho điểm A(A 1 , A 2 ) và đường thẳng d (d 1 , d 2 ); (Hình 6.13). Hãy xác điịnh khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Giải _ Qua A, dựng mp(h, f) ⊥ d ⇒ h 1 ⊥ d 1 và ⇒ h 2 ⊥ d 2 _ Vẽ giao điểm: H = d ∩ mp(h, f) - (Dùng mặt phẳng ϕ phụ trợ chiếu đứng chứa d) Từ H 1 = g 1 ∩ d 1 ⇒ H 2 ∈ d 2 _ Bằng phương pháp tam giác, xác định độ dài thật của đoạn AH là: H 1 A 0 (Hình 6.13) Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là đoạn AH = H 1 A 0 x k 1 k 2 C 1 C 2 B 2 B 1 A 1 A 2 h 1 f 2 h 2 g 1 x A 0 A 2 A 1 H 1 H 2 f 2 h 2 h 1 g 2 ≡ (ϕ 2 ) ≡d 2 d 1 f 1 f 1 Hình 6.13 Hình 6.14  Ví dụ 6 Cho đoạn thẳng AB (A 1 B 1 , A 2 B 2 ) và hình chiếu đứng C 2 của điểm C (Hình 6.14). Hãy vẽ hình chiếu bằng C 1 của điểm C, biết rằng tam giác ABC vuông tại A Giải Theo giả thiết CA ⊥ AB nên C ∈ mp(h, f) ⊥ AB tại A, vì vậy ta thực hiện như sau : _ Vẽ mp(h, f) ⊥ AB tại A _ C ∈ mp(h, f) ⇒ C∈ k ∈ mp(h, f) ; [ k - là dường bằng thuộc mp(h, f)] Từ C 2 ∈ k 2 ⇒ C 1 ∈ k 1 (Hình 6.14)  Ví dụ 7 Cho mặt phẳng α (m α , n α ), đường thẳng d (d 1 , d 2 ) và hình chiếu đứng A 2 của điểm A thuộc mặt phẳng α (Hình 6.15). Hãy vẽ trong mp α đường thẳng đi qua A và vuông góc với d Giải _ Vẽ hình chiếu bằng A 1 của điểm A, bằng cách gắn điểm A vào đường bằng g của mpα Đường thẳng cần vẽ đi qua điểm A vuông góc với d nên thuộc mp β đi qua A, vuông góc với d. Mặt phẳng β được vẽ như sau : _ Qua điểm A vẽ đường bằng h β ⊥ d ⇒ h 2β // x và h 1β ⊥ d 1 _ Vẽ vết đứng H của đường bằng h β : H = h β ∩ mpP 2 ⇒ H 2 ≡ H _ Vì h β ∈ mpβ nên vết đứng n β của mpβ phải đi qua vết đứng H 2 ≡ H của đường bằng h β GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 40 [...]...Baìi giaíng HÇNH HOAû 20 05 N2 H2 nβ A2 x M2 mβ H1 A1 d2 g2 h2β nα N1 mα g1 d1 M1 h1β Hình 6. 15 _ Vẽ nβ ⊥ d2 và mβ ⊥ d1 (hoặc mβ // h1β) Vã lại, đường thẳng cần dựng thuộc mpα nên nó là giao tuyến của mpα với mpβ: Vậy MN = mpα ∩ mpβ ; (Hình 6. 15) ===================== GVC — ThS Nguyãùn Âäü 41 Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût . f 1 Hình 6. 13 Hình 6. 14  Ví dụ 6 Cho đoạn thẳng AB (A 1 B 1 , A 2 B 2 ) và hình chiếu đứng C 2 của điểm C (Hình 6. 14). Hãy vẽ hình chiếu bằng C 1 của điểm C,. và mp α (Hình 6. 6), ⎩ ⎨ ⎧ ⊥⊥ ⊥⊥ ⇔⊥ )( )( 222 111 αα αα α ndhayfd mdhayhd mpd định lý trên viết lại như sau: y o y’ z x γ 3 B 3 B 2 A 2 m γ n γ Hình 6. 6 Hình 6. 7 n α f 1 α x h 2 α f 2 α h 1 α d 2 m α d 1 A 3 . _ Vẽ giao điểm M = a ∩ b ; Từ a 1 ∩ b 1 = M 1 ⇒ M 2 ∈ a 2 Hình 5. 5 Hình 5. 6 a’ 2 ≡ b' 2 ≡ (ϕ’ 2 ) I 2 a 2 ≡ b 2 ≡ (ϕ 2 ) c 1 d 2 d 1 I 1 g 2 x g 1 c 2 M 2 N 2 M 1 N 1 b 1 b’ 1 a’ 1 m α n α a 1 β