Tích chập suy rộng với hm trọng đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine v ứng dụng giải hệ phơng trình tích phân ThS. Nguyễn minh khoa Bộ môn Toán giải tích Khoa Khoa học cơ bản Trờng Đại học GTVT Tóm tắt: Xây dựng v nghiên cứu tích chập tổng quát với hm trọng đối với phép biến đổi tích phân Fourier v Fourier sine. Chúng tôi chứng minh một số tính chất của nó v áp dụng để giải hệ phơng trình tích phân. Summary: Formulating and researching generalized convoluntion with the weight - function to the Fourier and Fourier sine integral transforms. We will prove some of its properties and apply this notion to solving system of integral equation. CB A i. mở đầu Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân mà cụ thể là đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine lần đầu tiên đợc Churchill R. V công bố năm 1941 [2]: (f1* g) (x = 1 2 () [ () () ] dyyxgyxgyf 0 + + , x > 0 (1) Chúng ta đã có đẳng thức nhân tử hoá: Fs(f1*g) (y) = (Fsf)(y) (Fcg) (y), y > 0 (2) Mãi sau này vào những năm 90 của thế kỷ trớc, Yakubovich S. B có công bố một số công trình về tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân theo chỉ số (xem [9], [10], [11]) Tiếp theo, năm 1998 Kakichev V.A và Nguyễn Xuân Thảo đã đa ra phơng pháp kiến thiết tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân ( xem [3]). Trong những năm gần đây một số tích chập suy rộng mới đợc công bố, chẳng hạn nh: Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Stieltjes và Fourier cosine - sine. [5]. Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi H (xem [4]); Tích chập suy rộng đối với các phứp biến đổi I (xem [12]); Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi Fourier, Fourier cosine (xem [7]): (f* g) (x) = 1 2 2 () ( ) ()()() [] + >+++++++ 0 0x,dtt1xgt1xgt1xgt1xgtf Tích chập này có đẳng thức nhân tử hoá: F(f* g) (y) = cosy (Fcf) (y) . (Fcg) (y), y R Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier cosine và sine đợc xác định bởi (xem [6]): CB A (f2*g) (x) = 1 2 () ( ) [ () () ] + ++ 0 dyxygxygxysignyf , x > 0 (3) Tích chập này thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá: Fc(f2*g)(y) = (Fsf) (y) (Fsg) (y), y > 0 (4) Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi Fourier cosine và sine (xem [8]): (f1* g) (x) = 1 2 2 () ()() () () [] + >+++++ 0 0x,dy1yxg1yxg1yxg1yxgyf Tích chập này có đẳng thức nhân tử hoá: F(f1* g) (y) = siny (Fsf) (y) . (Fcg) (y), y > 0 Trong bài báo này chúng tôi xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng của các hàm f và g đối với các phép biến đổi tích phân Fourier và Fourier sine. Chúng tôi chứng minh một số tính chất của nó và ứng dụng giải hệ phơng trình tích phân. ii. tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân fourier v fourier sine Định nghĩa, Tích chập suy rộng với hàm trọng (y) = sin y đối với hai phép biến đổi Fourier và Fourier sine là biểu thức sau: [ (f *g) (x) = i 2 2 () () ] + ++ 0 1txsign.1txg)t(f ( ) ( ) ( ) ( ) tx1signtx1gtx1signtx1g +++++++ - g (1-x-t)sign (1-x-t)]dt, x R (5) Ta ký hiệu L (R) = (các hàm h xác định trên R () + +<dtth ) Nhận xét: Tích chập (1) là hàm lẻ: F (f *g) (y) = -i F s (f * g) (y) Định lý 1: Cho f, g là các hàm liên tục thuộc L (R t ) thì tích chập suy rộng (5) thuộc L (R) và thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá: F (f * g) (y) = sin y. (F s f) (y) (F s g) (y), y > 0 (6) Chứng minh () () () + + = 00 dxxg*f2dxx)g*f( CB A = 1 2 () () () () tx1g1txsign1txg.tf 00 ++++ + + . sign (1-x+t) - g( ( ) ( ) ( ) tx1gtx1signtx1 ++++ . sign (1-x-t) Rx,dx,dt 1 2 () () () + ++ ++++ 000 dxt1xgdxt1xgtf + () () dt]dxt1xgdxt1xg 00 ++ ++ 1 2 () () ++ +< 00 duug4.dttf => (f *g) (x) L (R) Bây giờ ta chứng minh đẳng thức nhân tử hoá (6) Từ: sin y (F s f) (y) (F s g) (y) = 2 siny.sin(yu).sin(yv) f(u) g(v)dudv + + 00 và siny. sinyu. sinyv = 1 4 [siny (u v + 1) + siny(u v - 1) - siny(u + v + 1) - siny(1 u - v)] Ta nhận đợc: [ siny (F s f) (y) (F s g) (y) = 1 2 () + + +++ 00 1vusign.1vuysin + siny u-v-1 - siny (u+v+1) - siny 1-u-vsign(1-u-v)]f(u)g(v)dudv (7) Bằng các phép biến đổi sơ cấp từ (7) ta có: siny (F s f) (y) (F s g) (y) = 1 2 () ( ) ( ) [ ++ ++ 00 1tusign1tugufytsin ( ) ( ) ( ) () ( ) ] 1tusign1tug1tug1tusign1tug +++++ } dtdu (8) Vì (f * g) (x) = - i F s (f * g) (x), x R (9) Từ (8) và (9) ta có: siny (F s f) (y) (F s g) (y) = F(f y *g) (y) Định lý 2: Tích chập suy rộng (5) có tính chất giao hoán. Chứng minh: Từ đẳng thức nhân tử hoá (6) ta có F (f * g) (y) = siny (F s f) (y) (F s g) (y) = sin y (F s g) (y) (F s f) (y) = F (g* f) (y), y > 0 suy ra (f* g) (x) = g* f) (x) Ta có điều phải chứng minh. Định lý 3: Tích chập suy rộng (5) không kết hợp và có đẳng thức sau: f*(g* 1 h) = g*(f1*h) Từ đẳng thức nhân tử hoá (6) ta có: F[f*(g1*h)(y) = siny (Fsf) (y) Fs (g1* h) (y) = Siny (Fsf) (y). (Fsg) (y) (F c h) (y) = siny. (Fsg) (y) . Fs(f1*h) (y) = F [g* (f1*h) ] (y), y > 0 => f* (g1* h) = g* (f1* h) Định lý đợc chứng minh Đặt L (e x , R +) = () +< + dxxfe:f 0 x Định lý 4: (Định lý kiểu tichmarch) Cho các hàm f và g L (e x , R+), khi đó nếu (f * g) (x) 0 x R thì hoặc f(x) = 0 hoặc g (x) = 0, x > 0 Chứng minh: Từ giả thiết (f * g) (x) = 0 x R ta suy ra F(f * g) (y) = 0, y > 0 CB A Theo định lý 1 ta có: siny (F s f) (y) (F s g) (y) = 0, y > 0 (10) Vì (F s f) (y), (F s g) (y) là giải tích y > 0 nên từ (10) ta có (F s f) (y) = 0, y > 0 hoặc (F s g) (y) = 0, y > 0 Điều đó dẫn tới f(x) = 0, x > 0 hoặc g(x) = 0, x > 0. Định lý đợc chứng minh iii. ứng dụng giải hệ phơng trình tích phân Xét hệ f(x)signx + r 1 () ( ) () Rx,signxxhdtt,xtg 0 1 = + (11) r 2 () ( ) () () + >=+ 0 2 0y,ykygdtt,ytf ở đây r 1 , r 2 ; là các hằng số phức, còn h, k là các hàm đã biết thuộc L(R +), f và g là các hàm cha biết và: 1 (x,t) = i 2 2 [(x-t+1) sign (x-t+1) + + (1-x+t) sign (1-x+t) - (1+x+t )sign (1+x-t) - (1-x-t)sign (1-x-t)] 2 (y, t) = i 2 [(y - t) - (y+t)]), trong đó , là các hàm đã biết thuộc L (R+). Định lý 5: Với điều kiện: 1 - r 1 r 2 F s ( *) (y) 0 tồn tại duy nhất nghiệm thuộc L (R+) của hệ (11) xác định bởi: f(y) = h(y) - r 1 ( * k) (y) - F s [(F s h) (y) (F s l) (y)] (y) + + r 1 F s [F s ( *k) (y) (F s l) (y)] (y) g(y) = k (y) - r 2 (h 1 * ) (y) - F s [(F s k) (y) (F c l) (y)] (y) + r 2 F s [F s (h 1 *) (y) (F s l) (y)] (y) ở đây, l L (R+) và đợc xác định bởi: (F s l) (y) = - r 1 r 2 F s ( * ) (y) 1-r 1 r 2 F s ( *) (y) Chứng minh hệ (11) có thể viết lại dới dạng: f(x)signx + r 1 (g * ) (x) = h(x)signx, x R r 2 (f 1 * ) (y) + g(y) = k (y) , y > 0 Sử dụng các đẳng thức nhân tử hoá của tích chập suy rộng (5) và (f 1 * g) (x), ta có: - i (F s f) (y) + r 1 siny (F s g) (y) (F s ) (y) = - i (F s h) (y) r 2 (F s f) (y) . (F c ) (y) + (F s g) (y) = (F s k) (y) CB A = ()() ( ) ( ) = 1 yFysinr yFr i s1 c2 = - i[1 - i r 1 r 2 siny(F s ) (y) (F s ) (y)] = - i[1 - i r 1 r 2 F( * ) (y)] = -i [1 - r 1 r 2 F s ( * )] 0 1 = ()() ()() ( ) ( ) ()() = yhFi 1 yFysinr ykF yhFi s s1 s s - r 1 siny (F s ) (y) (F s k) = -i (F s h) (y) - r 1 F ( * k) (y) = = - i (F s h) (y) + i r 1 F s ( * k) (y) ( ) ( ) () () () Do đó: (F s f) (y) = 1 -i y*Frr1 y*Frr 1 s21 s21 Theo định lý Win ner - Levy [1] tồn tại một hàm l L (R+) Sao cho: (F s l) (y) = -r 1 r 2 F s ( * )(y) 1-r 1 r 2 F s ( * )(y) Điều đó dẫn tới: (F s f) (y) = 1 -i - 1 -i (F s l) (y) = (F s h) (y) - r 1 F s ( * k)(y) - (F s h) (y) (F s l) (y) + r 1 F s (ϕ γ * k) (F s h) (y) vµ f(y) = h (y) - r 1 (ϕ γ * k)(y) - F s [(F s h) (y) (F s l) (y)] (y) + r 1 F s [F s (ϕ γ * k) (y) (F s l) (y) ] (y) ∈L (R+) T−¬ng tù Δ 2 = ()() ( ) ( ) ()() ykF yhFi yFr i s s c2 − ψ − = -i (F s k) (y) + i r 2 (F s h) (y) (F c Ψ) (y) = - i (F s k) (y) + i r 2 F s (h 1 * Ψ) (y) §iÓu ®ã dÉn tíi: (F s g) (y) = Δ 2 Δ = Δ 2 -i - Δ 2 -i (F s l) (y) = (F s k) (y) - r 2 F s (h 1 * Ψ) (y) - (F s k) (y) (F s l) (y) + r 2 F s (h 1 * Ψ) (y) (F s l) (y) Do ®ã: g(y) = k (y) - r 2 (h 1 * Ψ) (y) - F s [(F s k) (y) (F c l) (y)] (y) + r 2 F s [ F s (h 1 * Ψ) (y) (F s l) (y)] (y) ∈ L (R+) Tµi liÖu tham kh¶o [1]. N. I. Achiezer. Lectures on Approximation Theory, Science Publishing House, Moscow, 1965, PP. 157 - 162. [2]. R.V Churchill. Fourier Series and Boundary Value Problems, New York, 1941. CB A [3]. V. A. Kakichev and Nguyen Xuan Thao. On the design method for the generalized integral convolution, Izv. Vuzv. Math.1 (1998) 31 - 40 (in Russian). [4]. V.A. Kakichev and Nguyen Xuan Thao. On the genneralized convolution for H - Transforms, Izv. Vuzov. Math. n.8 (2001) 21 - 28 (in Russian). [5]. Nguyen Xuan Thao. On the generalized convolution for the Stieltjes, Hilbert, Fourier cosine and sine transforms, U K R. math. J (2001) 53, 560 - 567 (in Russion) [6]. Nguyen Xuan Thao, V. A. Kakichev and Vu Kim Tuan. On the genaralized convolution for Fourier cosine and sine transform, East - West. J. Math. (1998) 1, 85 - 90. [7]. Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa. On the generalized convolution with a weight - function for the Fourier and cosine - Fourier integral transforms, the 2 nd seminar on environmental Science and technology issues related to the urban and coastal zones developtment. Organized by Vietnam National University and Osaka University. September 28 - 29, 2004, Ha Long - Viet Nam. 133 - 139. [8]. Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan and Nguyen Minh Khoa. A generalized comvolution with a weight function for the Fourier cosine and sine transforms; FCAA Jornal - Bulgaria - No 4 of vol. 7 (2004). [9]. M. Saigo and S.B. YaKubovic. On the theory of convolution integrals for G - transforms, Fohuoka, Univ. Sci. Report (1991) 21, 181 - 193. [10]. S.B YaKubovic. On the contruction method for contruction of integral convolution DAN BSSR 34 (1990) 588 - 591 (in Russian). [11]. S.B YaKubovic and A. I. Mosinshi. Integral equation and convolutions for transforms of Kontorovich - Lebedev type, Dif, Uravnenia 29 (1993) 1272 - 1284 (in Russian) [12]. Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan. On the generalized convolution for I - transform.Acta Mathematica (2003) 28, 159 - 174 ♦ . Tích chập suy rộng với hm trọng đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine v ứng dụng giải hệ phơng trình tích phân ThS. Nguyễn minh khoa Bộ môn Toán giải tích Khoa Khoa. hạn nh: Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Stieltjes và Fourier cosine - sine. [5]. Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi H (xem [4]); Tích chập suy rộng đối với các. các phép biến đổi tích phân Fourier và Fourier sine. Chúng tôi chứng minh một số tính chất của nó và ứng dụng giải hệ phơng trình tích phân. ii. tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích