Về việc sử dụng phơng trình Hazen - William trong tính thuỷ lực đờng ống TS. trần đình nghiên Bộ môn Thuỷ lực - Thuỷ văn - ĐH GTVT Tóm tắt: Báo cáo trình by phạm vi sử dụng, mức độ chính xác của phơng trình Hazen - Williams trong tính thuỷ lực đờng ống khi Re = 10 5 ữ 10 8 , đồng thời một lần nữa khẳng định các thông số nhám v nhớt (k s , ) của sức cản trong công thức Darey - Weisbach có cơ sở vật lý v một lợng lớn số liệu thí nghiệm của các nh khoa học chứng minh. Summary: The article prointed out the usage and the proper range of the Hazen - Williams equation in pipe flow from Re = 10 5 to 10 8 and one time affirmed Darcy - Weisbach equations resisstance, which possessed physically conceivable resistance parameters k s and and has supported by an extensive experimental data as well. 1. Giới thiệu Công thức HaZen - Willam là một công thức tính lực cản khá phổ biến trong tính đờng ở nhiều nớc trên thế giới. Tuy nhiên sự phát triển của thuỷ lực và máy tính đã chỉ ra những hạn chế của công thức khi áp dụng vào thực tế tính toán. Để góp phần sáng tỏ vấn đề này tác giả đã sử dụng những kết quả nghiên cứu thuỷ lực về sức cản trong đờng ống để phân tích và đánh giá. 2. Phân tích Công thức Hazen - William là công thức dạng số mũ: ba SKRV = (1) trong đó: a, b là số mũ không đơn vị; K là hằng số phụ thuộc vào hệ số nhớt động và gia tốc trọng lực trong khu vực thành trơn thuỷ lực, nơi mà các mấu nhám của thành rắn bị lớp mỏng chảy tầng che phủ. Trong khu vực thành nhám thuỷ lực, do các mấu nhám nhô cao, cắm sâu vào dòng rối nên nhám và gia tốc trọng lực cùng ảnh hởng tới hệ số K. Các nghiên cứu thuỷ lực đã chỉ ra trong khu vực thành nhám dù là trong đờng ống hay kênh hở, công thức Manning là khá phù hợp. Trong khu vực quá độ từ thành trơn thuỷ lực sang thành nhám thuỷ lực, khi số Reynolds (Re) tăng thì chiều dày lớp mỏng chảy tầng giảm và vai trò của nhám tăng cho đến khi chỉ còn vai trò của nhám. Đồ thị tiêu biểu cho hệ số sức cản dọc đờng phụ thuộc vào chế độ chảy (Re) và độ nhám tơng đối đối với một loại độ nhám nhất định đợc chỉ ra ở hình 1. Hình 1 thể hiện khu vực chảy tầng kết thúc ở Re fg = 2320 với Re 64 f = (Poiseuille); khu thành trơn thuỷ lực với f theo kết quả thí nghiệm Nikuradse (1933): 8,0fRelg2 f 1 tr tr = (2) Khu vực thành nhám thuỷ lực (Nikuradse, Prandtl): ) k D 71,1lg(2 k D lg21378,1 f 1 ss nh =+= (3) kKhu vực chuyển tiếp, từ thành trơn thuỷ lực sang thành nhám thuỷ lực với công thức của Colebrook - White: Hình 1. Hệ số ma sát f l hm của số Reynolds Re v giá trị nhám tơng đối k s /D. += fRe 7,18 R k log274,1 f 1 s (4) Trong khu vực này có hai đờng cong: đờng cong trên phù hợp với nhám không đều Colebrook và đờng cong võng xuống dới với độ nhám đều của Nikuradse. Đồ thị còn chỉ ra giới hạn trên của khu thành trơn 29,3 ku ReRe s* tr ** = == và giới hạn dới của khu vực nhám thuần tuý 70 ku ReRe s* nh ** = == . Sử dụng quan hệ hồi quy logarit phân tích công thức Nikuradse đối với hệ số sức cản trong khu vực thành trơn (2) cho: 16,0 Re 1079,0 f = (5) Với mức độ sai số lớn nhất là 5% trong phạm vi số Re = 10 5 ữ 10 8 . Sai số này cũng gây ra sai số tính tốc độ trung bình mặt cắt không vợt quá 2,5%, là mức độ đủ chính xác trong thực hành thuỷ lực. Thay D = 4R và đa (4) vào công thức Darcy - Weisbach rút ra tốc độ trung bình: 54,063,0 087,0 54,0 SR) g (71,11V = (6) So sánh (6) với (1) cho thấy: a = 0,63; b = 0,54; K = 11,71 ( 087,0 54,0 g ) (7) Công thức Hazen - William chỉ có giá trị đối với nớc, do đó có thể lấy = 1,01.10 -6 m 2 /s và = 998 kg/m 3 khi t o = 20 o hay trong phạm vi t o = 15 o ữ 20 o trung bình có thể lấy = 1,133.10 -6 m 2 /s và = 10 3 kg/m 3 . Trong những điều kiện này thì K = 133,5618 khi t o = 20 o và K = 132,2331 khi t o = 15 o ữ 20 o . Rõ ràng công thức (6) là công thức Hazen - William. Hằng số K phụ thuộc vào nhớt và gia tốc trọng lực, không phụ thuộc vào đờng kính ống và nhám. Phạm vi áp dụng công thức (6) đợc chỉ ra trong hình 2. Giới hạn trên của Re * ở khu vực thành trơn là Re * tr = 3,29 có thể sắp xếp lại: 29,3 D k x V u x VD D D x V V x kuku Re s * s*s* tr * = = = = (8a) hay D k x V u xRe29,3 s * d = (8b) trong đó 8 f V u * = , do đó: D k x 8 f xRe29,3 s d = (9) Thay giá trị của f theo Nikuradse vào (9) sẽ dợc Re: ss k D ) k D lg(2138,1306,9Re += (10) Tơng tự cho điểm bắt đầu của thành nhám thuần tuý, tại nơi Re * = 70 thì: Hình 2. Phạm vi áp dụng công thức Hazen - William ss k D ) k D lg(2138,1190Re += (11) Phơng trình (10) và (11) hoàn toàn tơng tự, chỉ khác nhau duy nhất 1 hằng số và đợc chỉ ra ở hình 2, là đờng 1 và 2. Không gian giữa hai đờng 1 và 2 là khu vực quá độ từ thành trơn thuỷ lực đờng1 sang thành nhám thuỷ lực đờng 2. Khu vực thành trơn thuỷ lực ở trên đờng 1, khu vực thành nhám thuỷ lực ở dới đờng 2. Hình 2 chỉ ra phạm vi áp dụng công thức (5) hay (6) là phần gạch chéo phía trên đờng1, đây là vùng giới hạn phạm vi áp dụng công thức cộng Hazen - William tơng ứng với Re = 10 5 ữ 10 8 và trong phạm vi nhám tơng đối 53 s 1010.441,1 k D ữ= , tức là đờng kính nhỏ nhất áp dụng công thức phải là D = 1,441k s . Đối với ống đã sử dụng thờng có k s = 1 mm do đó D min = 1,441 m . Đối với một số loại ống mới k s có thể: k s = 0,02 mm thì D min = 0,03 m; k s = 0,3 mm thì D min = 0,432 m; k s = 0,5 mm thì D min = 0,72 m; k s = 0,7 mm thì D min = 1,0 m. Hình 2 đồng thời cũng chỉ ra phạm vi các chế độ chảy là chảy tầng, chảy rối thành trơn, quá độ từ trơn sang nhám và thành nhám thuỷ lực với công thức tiêu biểu của khu vực thành trơn và nhám thuỷ lực. Để có thể sử dụng công thức của Hazen - William nhiều nghiên cứu đa vào giá trị C nh là hàm của đờng kính ống và nhám cát tơng đơng. Một trong số đó là Diskin (1960) đã đa ra biểu đồ phạm vi sử dụng công thức Hazen - William thông qua hệ số sức cản f của Darcy - Weisbach: 1481,00185,0148,085,1 DReC 84,133 f = (12) Để thấy rõ hơn quan hệ của f và K đối với nớc ở nhiệt độ thông thờng ta cho giá trị cụ thể. Khi t 0 = 15 0 ữ 20 0 thì = 1,133.10 -6 m 2 /s và 148,00185,0148,0 85,1 Re K DRe )C/100(2028,0 f == (13) Với 0185,0 85,1 D )C/100(2028,0 K = (14) Khi t 0 = 20 0 thì = 1,01.10 -6 m 2 /s và: 148,00185,0148,0 85,1 Re K DRe )C/100(2063,0 f == (15) với 0185,0 85,1 D )C/100(2063,0 K = (16) Công thức (13) và (15) cho thấy: thực sự công thức Hazen - William chỉ là quan hệ số mũ giữa f và Re với K là hằng số đối với một loại đờng kính và nhám cụ thể thông qua giá trị C. Diskin (1960) cho các giá trị đờng kính D và C khác nhau chỉ ra công thức Hazen - William là những đờng thẳng ở biểu đồ của của Moody đợc thể hiện ở hình 3. Hệ số ma sát f chảy tầng thnh trơn thuỷ lực Số Reynolds Re = VD/ Hình 3. Công thức HaZen - William vẽ trên biểu đồ Moody (Diskin 1960). Biểu đồ ở hình 3 của Diskin chỉ rõ: 1) Công thức Hazen - William chỉ có giá trị khi các đờng thẳng gần nh song song với đờng cong tơng ứng với của biểu đồ Moody. Khi C = 120 thì công thức phù hợp với k D/k s S /D = 0,0006 ữ 0,00003 và Re = 2.10 6 ữ 10 8 khi C = 140 và k S /D = 0,0006 ữ 0,00002 chỉ tơng ứng với Re trong phạm vi nhỏ hẹp: Re = 2.10 4 ữ 8.10 4 . 2) Khi C 100 công thức Hazen - William không có giá trị. 3) Công thức Hazen - William có giá trị khi C = 160 tơng ứng với Re = 4.10 5 ữ 6.10 6 và k s /D 0,00001 trong khu vực thành trơn thuỷ lực. 3. Kết luận Công thức Hazen - William chỉ có thể áp dụng trong phạm vi nhỏ hẹp: - Trong phạm vi Re = 10 5 ữ 10 7 và 54 s 1010.441,1 k D ữ= ; tơng ứng với C = 160 (hình 1 và hình 2) ở khu vực thành trơn thuỷ lực. - Vợt quá phạm vi thành trơn công thức chỉ đúng khi: Re = 2x10 6 ữ 10 8 tơng ứng với 33,3333367,1666 k D s = (hình 2). - Giá trị C 100 công thức không có giá trị (hình 2). - Đờng kính nhỏ nhất áp dụng công thức khi nhám k s = 1 mm là 1,441 m đối với ống cũ, đối với ống mới có thể dao động từ 0,03 m ữ 1,0 m khi k s = 0,02 mm ữ 0,7 mm. - Ngày nay với sự phát triển của ngành thuỷ lực và máy tính, công thức cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 - công thức Hazen - William với phạm vi áp dụng nhỏ hẹp không còn phù hợp. Việc so sánh chỉ ra nên áp dụng các công thức đợc nghiên cứu và phân tích đầy đủ về lý thuyết và thực nghiệm nh biểu đồ của Nikuradse, biểu đồ của Moody (1944), biểu đồ thiết kế đờng ống và kênh của trạm nghiên cứu thuỷ lực (HRS, 1978); các công thức về hệ số sức cản dọc đờng f đợc một lơng lớn số liệu thí nghiệm trong phòng và hiện trờng xác nhận, đợc công bố gần đây chẳng hạn nh công thức của Barr năm 1977: ()() () () + += 7,0 s 52.0 s k/D29/Re1Re 7Re/lg518,4Re/lg02,5 D7,3 k lg2 f 1 (17) Công thức cho tốc độ trung bình mặt cắt rút ra từ sự kết hợp Darcy - Weisbach & Coolebrook - White: += gDS2D 51,2 D7,3 k lggDS22V s (18) Tài liệu tham khảo [1] Trần Đình Nghiên v các tác giả. Thuỷ lực. Tập I: Thuỷ lực đại cơng. NXB Giao thông vận tải, Hànội, 2002. [2] Diskin M. H (1960). The limits of applicability of the Hazen Williams formula. La Houille Blanche, Grenoble, France. No 6 (Nov). [3] Swamee P. K (1993). Design of submarine oil pipline. J.Transp. Engineering. [4] B. A. Christensen. Discussion. J. Hydr. Engrg. 2 - 2002 Ă . Về việc sử dụng phơng trình Hazen - William trong tính thuỷ lực đờng ống TS. trần đình nghiên Bộ môn Thuỷ lực - Thuỷ văn - ĐH GTVT Tóm tắt: Báo cáo trình by phạm vi sử dụng, mức. phơng trình Hazen - Williams trong tính thuỷ lực đờng ống khi Re = 10 5 ữ 10 8 , đồng thời một lần nữa khẳng định các thông số nhám v nhớt (k s , ) của sức cản trong công thức Darey - Weisbach. 4.10 5 ữ 6.10 6 và k s /D 0,00001 trong khu vực thành trơn thuỷ lực. 3. Kết luận Công thức Hazen - William chỉ có thể áp dụng trong phạm vi nhỏ hẹp: - Trong phạm vi Re = 10 5 ữ 10 7 và