Một phơng pháp xác định ma trận độ cứng trong hệ phơng trình vi phân dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do PGS. TS. Lê văn doanh Bộ môn Đầu máy - Toa xe Khoa Cơ khí - Trờng ĐHGTVT ThS. Lê quang hng Bộ môn Cơ kết cấu Khoa Công trình - Trờng ĐHGTVT Tóm tắt: BI báo trình by một phơng pháp xác định ma trận độ cứng trong hệ phơng trình vi phân dao động của hệ hữu hạn bậc tự do. Đây l phơng pháp có u điểm l đơn giản, thuận lợi cho quá trình tính toán. Trên cơ sở phơng pháp ny có thể dễ dng xác định các ma trận khối lợng m v ma trận quán tính J; ma trận cản của hệ phơng trình vi phân dao động. Summary: The article presents the method to define hardness matrix in the system of vibrating differential equations of the free finite system. The advantage of this method is the simplicity and convenience in calculation process. The mass matrix [M] and matrix [ ] in the system of vibrating equations can similarly be defined. i. ma trận độ cứng Chúng ta đã biết phơng trình dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do đợc biểu thị: [ ] {} [ ] { } [ ] {} [ ] PqkqqM =+ + &&& (1) trong đó: - [M] là ma trận khối lợng và mô men quán tính. - [ ] là ma trận cản - [k] là ma trận độ cứng - [P] là ma trận kích động - {q} là ma trận cột của biên độ tổng quát ở đây giới thiệu chủ yếu về cách tính ma trận độ cứng từ đó bằng cách tơng tự có thể xác định các ma trận [ ] và [M]. Một cách tổng quát theo nguyên lý cộng tác dụng ta có: q i = a i1 F 1 + a i2 F 2 + a i3 F 3 ++a in F n trong đó: - q i là biên độ do các lực tổng quát F 1 , F 2 , F n gây ra. - a i1 là biên độ theo phơng của q i do lực tổng quát F 1 = 1 gây ra. - a i2 là biên độ theo phơng của q i do lực tổng quát F 2 = 1 gây ra. - a in là biên độ theo phơng của q i do lực tổng quát F n = 1 gây ra. Từ đó ta có thể biểu diễn các biên độ tổng quát q i nh sau: +++= +++= +++= nnn22n11nn nn22221212 nn12121111 Fa FaFaq Fa FaFaq Fa FaFaq viết dới dạng ma trận: {} [ ] {} Faq = suy ra: {} { } [] 1 aqF = đặt [] [] Ka 1 = ta có: {} { } [ ] KqF = hay: = n 2 1 nn2n1n n22221 n11211 n 2 1 q q q K KK K KK K KK F F F ở đây: K i j là lực cần thiết theo hớng q i khi biên độ q j = 1, các biên độ q q j đều bằng không. Từ đó ta có quy tắc xác định các phần tử cột bất kỳ nào đó trong ma trận [K] là lấy biên độ q i của cột nào đó trong ma trận bằng 1 còn các biên độ q q j bằng không. Thí dụ xây dựng cột thứ nhất của ma trận độ cứng [K] cho q 1 = 1 còn các q 2 , q 3 , , q n = 0 khi đó lực cần thiết để các toạ độ tổng quát (biên độ) q i biến dạng do q 1 = 1 lần lợt là K 11 , K 21 , K 31 , , K n1 . II. xác định ma trận độ cứng a. Khái niệm về ma trận cơ sở - ký hiệu là [K v ] Nếu gọi K 1 , K 2 , , K m là độ cứng của m phần tử đàn hồi trong hệ thống dao động. Gọi q 1 , q 2 , , q n là các toạ độ tổng quát của hệ thống. Khi lấy q 1 = 1 còn các q i khác bằng không thì lực đàn hồi suy rộng sản sinh trên k 1 là k 11 ; trên k 2 là k 12 , trên k n là k 1n . Khi lấy q n = 1 còn các q i khác bằng không thì lực trên các phần tử đàn hồi là k n1 , k n2 , , k nn . Ta qui định dấu nh sau: khi phần tử đàn hồi chịu kéo là ; chịu nén là \. Khi đó ta sẽ đợc một ma trận [k v ] đợc gọi là ma trận cơ sở mà các phần tử của ma trận này là các lực đơn vị, và có thể xác định đợc từ mô hình dao động cụ thể. Ta có ma trận [k v ]: [] = ' nn ' 2n ' 1n ' n2 ' 22 1 21 ' n1 ' 12 ' '11 v K KK K KK K KK k Gọi b ii , b i j , b ji là các hệ số của các phần tử K ii , K I j , K ji các hệ số này với K i j khác không sẽ có trị số là 1 hoặc -1. Khi đó quan hệ K i j với K I j và b i j là: K 11 = K 11 .b 11 + K 12 b 12 + + k 1n b 1n hay có thể viết: K 11 = [K 11 K 12 K 1n ][b 11 b 12 b 1n ] T Tổng quát các phần tử của đờng chéo: K ii = [K i1 K i2 K in ][b i1 b i2 b in ] T Các phần tử khác: K 12 = [K 11 K 12 K 1n ][b 21 b 22 b 2n ] T K 21 = [K 11 K 22 K 2n ][b 11 b 12 b 1n ] T . K i j = [K i1 K i2 K in ][b j1 b j2 b jn ] T Khi đó ta có ma trận độ cứng viết dới dạng: ì = nnnn n n nnnn n n nnnn n n bbb bbb bbb KKK KKK KKK KKK KKK KKK 21 22212 12111 '' 2 ' 1 ' 2 ' 22 ' 21 ' 1 ' 12 ' 11 21 22221 11211 Nhận xét: - Ma trận T nn2n1n n22221 n11211 nnn2n1 2n2212 1n2111 b bb b bb b bb b bb b bb b bb = ta gọi là [K D ] T ma trận [K D ] chính là ma trận hệ số của ma trận [K v ]. Từ đây ta rút ra ma trận độ cứng [k] tính nh sau: [K] = [K v ][K D ] T (*) Để làm rõ hơn cho tính đúng đắn của công thức (*) chúng ta kiểm tra lại với hệ dao động có 2 bậc tự do với toạ độ là Z 1 và Z 2 ; độ cứng của hệ đàn hồi là k 1 và k 2 . Khi đó ma trận độ cứng của hệ phơng trình là: [] = + = 2221 1211 2121 11 KK KK KKK KK K gọi: - k ii là lực tác dụng bởi phần tử đàn hồi I lên toạ độ Z i do Z i biến dạng 1 đơn vị (Z i = 1). - k ij là lực tác dụng bởi phần tử đàn hồi I lên toạ độ Z j do Z j biến dạng 1 đơn vị (Z j = 1). Từ định nghĩa và từ hệ dao động 2 bậc tự do trên ta có thể xác định ma trận [K V ] . [] = = 21 1 ' 22 ' 21 ' 12 ' 11 V KK 0K KK KK K Gọi các hệ số K ii và K I j là b ii và b i j khi đó ta có thể viết đợc: [][ T 121112111212111111 bb'K'Kb'Kb'KK =+= ] [] [ ] T 222122212222212122 bb'K'Kb'Kb'KK =+= suy ra các phần tử k i j K 12 = [k 11 k 12 ][b 21 b 22 ] T K 21 = [k 21 k 22 ][b 11 b 12 ] T khi đó ta có: [] = + = 2212 2111 21 1 211 11 bb bb KK 0K KKK KK K Dễ dàng tìm đợc: b 11 = -1; b 12 = 0; b 21 = 1; b 22 = -1 nghĩa là: [] T D T 2212 2111 K 11 01 10 11 bb bb = = = [] v 21 1 K KK 0K = là ma trận cơ sở. [ K D ] là ma trận hệ số của [K v ] từ đó ta có: [ ] [ ] [ ] T Dv KKK = Tơng tự nh vậy chúng ta hoàn toàn có thể xác định các ma trận [M]; [] trong hệ phơng trình dao động (1). [ ] [ ] [ ] [ ][][] T DV T DV ;MMM == Phơng pháp trên gọi tắt là phơng pháp VZ. III. Kết luận Sử dụng phơng pháp VZ thiết lập hệ phơng trình vi phân dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do là đơn giản, nhanh, thuận lợi trong tính toán. Phơng pháp trên không những sử dụng cho hệ tuyến tính mà còn có thể sử dụng đợc cho một số phơng trình phi tuyến. Tài liệu tham khảo [1]. PGS. TS. Lê Văn Doanh. ổn định động lực học toa xe. Tài liệu giảng dạy cao học. [2] Nguyễn Văn Khang. Dao động kỹ thuật - NXB KHKT, 2001. [3]. versínki c. b. Động lực học toa xe (tiếng Nga) - NXB Matxcơva, 1999 . cấu Khoa Công trình - Trờng ĐHGTVT Tóm tắt: BI báo trình by một phơng pháp xác định ma trận độ cứng trong hệ phơng trình vi phân dao động của hệ hữu hạn bậc tự do. Đây l phơng pháp có u. Một phơng pháp xác định ma trận độ cứng trong hệ phơng trình vi phân dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do PGS. TS. Lê văn doanh Bộ môn Đầu máy - Toa xe Khoa Cơ khí - Trờng ĐHGTVT. lợi cho quá trình tính toán. Trên cơ sở phơng pháp ny có thể dễ dng xác định các ma trận khối lợng m v ma trận quán tính J; ma trận cản của hệ phơng trình vi phân dao động. Summary: The article