BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên http://www.ebook.edu.vn Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Ngô Nh Khoa - Photocopyable 37 Chơng 2 Biểu diễn hệ thống v tín hiệu rời rạc trong miền tần số liên tục I. Mở đầu. Trong chơng 1 đã trình by về việc biểu diễn tín hiệu của hệ thống rời rạc trong miền biến số độc lập tự nhiên (miền n); đây l phơng pháp nghiên cứu trực tiếp. ở chơng 2, thông qua biến đổi Z chúng ta đã nghiên cứu tín hiệu của hệ thống rời rạc trong miền Z v đây l một phơng pháp nghiên cứu gián tiếp. Một trong những phơng pháp nghiên cứu (biểu diễn) gián tiếp khác thờng đợc sử dụng l biến đổi Fourier (FT) để chuyển việc biểu diễn tín hiệu v hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập tự nhiên n sang miền tần số liên tục . Sự liên hệ giữa các miền đợc biểu diễn qua hình 3.1 sau: Hình 3.1. Sơ đồ liên hệ giữa các miền. II. Biến đổi Fourier của các tín hiệu rời rạc II.1. Định nghĩa biến đổi Fourier. a. Định nghĩa: Biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc x(n) đợc định nghĩa nh sau: j n j e)n(x)e(X = = (3.2.1) b. Các phơng pháp thể hiện X(e j ) - Thể hiện dới dạng phần thực v phần ảo. X(e j ) = Re[X(e j )] + j.Im[X(e j )] (3.2.2) trong đó: Re[X(e j )] l phần thực của X(e j ) Im[X(e j )] l phần ảo của X(e j ) Z IZ F I F Miền n Miền Z Miền BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên http://www.ebook.edu.vn Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Ngô Nh Khoa - Photocopyable 38 - Thể hiện dới dạng modun v argument [ ] )e(Xargjjj j e)e(X)e(X = trong đó: X(e j ) gọi l phổ biên độ của x(n). arg[X(e j )] gọi l phổ pha của x(n). Quan hệ giữa phổ biên độ, phổ pha với phần thực v phần ảo của X(e j ) nh sau: [][] )e(XIm)e(XRe)e(X j2j2j += (3.2.3) [] = ) j e(XRe ) j e(XIm arctg)e(Xarg j (3.2.4) Thờng dùng ký hiệu () để chỉ argument: () = arg[X(e j )] Cuối cùng ta có: )(jjj e)e(X)e(X = (3.2.5) - Thể hiện dới dạng độ lớn v pha Giả sử ta biểu diễn X(e j ) ở dạng sau: )(jjj e)e(A)e(X = (3.2.6) khi đó: A(e j ) l thực v: A(e j ) = X(e j ) (3.2.7) [] () <+ = = 0)(:12 , 2,1,0;0)(:2 )(arg j j j eAk keAk eA (3.2.8) hay: [] [] += += )( )( 1 2 1 2)](sgn[1 2 1 2)(arg j j jj eA eA keAkeA (3.2.9) Còn () sẽ đợc thể hiện nh sau: arg[X(e j )] = arg[A(e j )] + () = () () = () - arg[A(e j )] (3.2.10) Ví dụ: Cho phổ X(e j ) có dạng sau: 3sin)( 2 j j eeX = Tìm: a. Re[X(e j )] v Im[X(e j )] b. A(e j ) v (). c. X(e j ) v (). d. Vẽ A(e j ), (), X(e j ) v (). Giải: a. Ta có: BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên http://www.ebook.edu.vn Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Ngô Nh Khoa - Photocopyable 39 [] [] 3sin. 2 sin)(Im 3sin. 2 cos)(Re 3sin 2 sin 2 cos3sin)( 2 = = == j j j j eX eX jeeX b. Từ biểu thức (3.2.6) ta có: A(e j ) = sin3 v 2 )( = c. X(e j ) = sin3 ++= 3sin 3sin 1 2 1 k2 2 )( d. Đồ thị của A(e j ), (), X(e j ) v () đợc biểu diễn trên các hình: /2 -/2 - ( ) - A(e j ) 2 /3 / 3 -2 /3- X(e j ) - ( ) - BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên http://www.ebook.edu.vn Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Ngô Nh Khoa - Photocopyable 40 Hình 3.2. Đồ thị của A(e j ), ( ), X(e j ) v ( ) II.2. Sự tồn tại của biến đổi Fourier. Biến đổi Fourier chỉ tồn tại nếu chuỗi trong (3.2.1) hội tụ. Ta có thể phát biểu điều kiện hội tụ của chuỗi ny nh sau: Chuỗi trong (3.2.1.1) hội tụ nếu v chỉ nếu x(n) thoả mãn điều kiện sau đây: < =n )n(x (3.2.11) Nếu điều kiện ny đợc thoả mãn thì chuỗi (3.2.1) sẽ hội tụ tuyệt đối về một hm liên tục của . Nhận xét: Về mặt toán học chúng ta có quan hệ sau: 2 nn 2 x )n(x)n(xE = = = Nếu (3.2.11) thoả mãn thì: 2 n )n(x = < <= =n 2 x )n(xE (3.2.12) Vậy: nếu năng lợng E x của tín hiệu x(n) l hữu hạn thì x(n) sẽ thoả mãn điều kiện (3.2.11) hay: Biến đổi Fourier của tín hiệu có năng lợng hữu hạn l luôn hội tụ. Ví dụ: Xét sự tồn tại của biến đổi Fourier v tính năng lợng E x của các dãy x(n) sau: a. x 1 (n) = u(n). b. x 2 (n) = r(n). c. x 3 (n) = (n). d. x 4 (n) = rect N (n). Giải: a. === = = = 0nnn 1 1)n(u)n(x === = = 0n 2 n 2 11x 1)n(xE Vậy X 1 (e j ) không tồn tại. b. === = = = 0nnn 2 n)n(r)n(x === = = 0n 2 n 2 22x n)n(xE Vậy X 2 (e j ) không tồn tại. c. 1)n()n(x nn 3 = = == 1)n()n(xE 0n 2 n 2 33x = = === BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên http://www.ebook.edu.vn Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Ngô Nh Khoa - Photocopyable 41 Vậy X 3 (e j ) tồn tại. d. N1)n(rect)n(x N 0nn N n 4 = = = === N1)n(xE N 0n 2 n 2 44x = = === Vậy X 4 (e j ) tồn tại. II.2. Biến đổi Fourier ngợc. Vì X(e j ) l một hm tuần hon của biến tần số có chu kỳ 2 v X(e j ) tồn tại nếu thoả mãn điều kiện (3.2.11). Nên ta có thể khai triển hm X(e j ) thnh chuỗi Fourier trong khoảng (-, ) v có thể coi các hệ số của khai triển chuỗi Fourier ny chính l x(n), tức l ta có thể tìm đợc các giá trị của x(n) từ X(e j ) xét trong khoảng (-, ). Từ biểu thức (3.2.1); j n j e)n(x)e(X = = Nhân cả hai vế với e j m rồi lấy tích phân trong khoảng (-, ) ta đợc: = = == de)n(xde)n(xde)e(X )nm(j n )nm(j n mjnj Mặt khác ta có: = = nm:0 nm:2 de )nm(j = = = nm:0 nm:)m(x2 de)n(x )nm(j n Cuối cùng ta có: = de)e(X 2 1 )m(x mjj Hay: = de)e(X 2 1 )n(x njj (3.2.13) Đây chính l biểu thức biến đổi Fourier ngợc (IFT). Ví dụ: Cho: >< = cc c nj j ,:0 :e )e(X 0 Tìm x(n), vẽ X(e j ) v x(n) với: 4n, 2 0c == . Giải: [] )nn( )nn(sin 1 e )nn(j 1 2 1 de 2 1 de)e(X 2 1 )n(x 0 0c )nn(j 0 )nn(j njj c c 0 c c 0 = = == BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên http://www.ebook.edu.vn Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Ngô Nh Khoa - Photocopyable 42 Với: 4n, 2 0c == ta có: = 0 2 :e )e(X 4j j v [ ] )4n( )4n( 2 sin 1 )n(x = Biểu diễn X(e j ) v x(n) bằng đồ thị: Ta có: = 0 2 :1 )e(X j v: [] = 0 2 :4 )e(Xarg j Hình 3.3. Đồ thị của X(e j ) v x(n). 1 X(e j ) 2 - /2-3/2-2 - - -10 2 4 6 8 arg[X(e j )] 10 x (n) n -1/9 1/5 1/ -1/3 -1/5 -1/5 1/9 1/3 BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên http://www.ebook.edu.vn Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Ngô Nh Khoa - Photocopyable 43 III. các tính chất của Biến đổi Fourier III.1. Tính chất tuyến tính. Giả sử có hai tín hiệu x 1 (n) v x 2 (n) với các biến đổi Fourier tơng ứng l: X 1 (e j ) v X 2 (e j ). Gọi dãy x(n) l tổ hợp tuyến tính của x 1 (n) v x 2 (n): x(n) = ax 1 (n) + bx 2 (n); với a, b l các hằng số. thì biến đổi Fourier của x(n) nh sau: [] )e(bX)e(aXe)n(xbe)n(xa e)n(x.b)n(axe)n(x)e(X j 2 j 1 n nj 2 n nj 1 n nj 21 n njj +=+= +== = = = = (3.3.1) III.2. Tính chất trễ. Giả sử y(n) l tín hiệu trễ của x(n), tức l: y(n) = x(n- n 0 ) Ta có: )e(Xee)nn(xe ee)nn(xe)nn(xe)n(y)e(Y j nj nn )nn(j 0 nj nn nj)nn(j 0 n nj 0 n njj 0 0 00 0 00 = = = = == === (3.3.2) Biểu diễn dới dạng mô đun v argumen ta có: Y(e j )= X(e j ) arg[Y(e j )] = - n 0 + arg[X(e j )] (3.3.3) Từ biểu thức (3.3.3) ta thấy rằng tín hiệu x(n) bị trễ đi n 0 mẫu trong miền biến số độc lập, thì trong miền tần số phổ biên độ của nó không đổi, còn phổ pha của nó thì sẽ tăng thêm một lợng -n 0 . Ví dụ: Cho x(n) = rect N (n-n 0 ). - Tìm X(e j ) - Tìm phổ biên độ v phổ pha của x(n). Giải: áp dụng tính chất trễ ta có: 2 sin 2 N sin e e e ee ee e e1 e1 eeee)e(X ) 2 1N n(j 2 j 2 N j 2 j 2 j 2 N j 2 N j nj j Nj nj 1N 0n nj nj 1nN nn njj 0 0 00 0 0 + = + = = = === Vậy ta có phổ biên độ v phổ pha của x(n) nh sau: 2 sin 2 N sin )e(X j = BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên http://www.ebook.edu.vn Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Ngô Nh Khoa - Photocopyable 44 [] + += 2 sin 2 N sin arg) 2 1N n()e(Xarg 0 j trong đó: += 2 sin 2 N sin sig1 2 1 k2 2 sin 2 N sin arg III.3. Tính chất đối xứng. Trong trờng hợp tổng quát, tín hiệu x(n) l tín hiệu phức v ta có thể viết: x(n) = Re[x(n)] + j .Im[x(n)] Vậy dãy liên hợp phức của x(n) l x * (n) có dạng: x * (n) = Re[x(n)] - j .Im[x(n)] Khi đó, quan hệ giữa các biến đổi Fourier tơng ứng nh sau: [] = == n njj e)n(x)e(X)n(xFT [] [] )e(X)e(Xe)n(x e)n(xe)n(x)n(xFT nj* * nj * n nj * * n nj* n nj** = = = == = == Vậy: [ ] )e(X)n(xFT j** = (3.3.4) Với x(n) l thực, ta có quan hệ: X * (e -j ) = X(e j ) hay X * (e j ) = X(e -j ). (3.3.5) Quan hệ (3.3.5) cho thấy tính chất đối xứng Hermit của phổ của tín hiệu thực. Từ đây thấy rằng, đối với x(n) thực ta có: Re[X(e j )] = Re[X(e -j )] Im[X(e j )] = - Im[X(e -j )] (3.3.6) Tơng tự, đối với modun v argument ta cũng có: X(e j )= X(e -j ) arg[X(e j )] =- arg[X(e -j )] (3.3.7) III.4. Tính chất biến số n đảo Giả sử ta có tín hiệu x(n) v biến đổi Fourier của nó l: [] [] )e(Xargj n njj j e)e(Xe)n(x)e(X)n(xFT === = Xét biến đổi Fourier của tín hiệu x(-n): [] = = n nj e)n(x)n(xFT đổi biến: m = - n ta có: [] )e(Xe)m(x)n(xFT j m mj = == (3.3.8) BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên http://www.ebook.edu.vn Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Ngô Nh Khoa - Photocopyable 45 Nếu x(n) v x(-n) l thực thì từ tính đối xứng Hermit ta có: [] [ ] [] )e(Xargjj)e(Xargjjj*j jj e)e(Xe)e(X)e(X)e(X)n(xFT ==== III.4. Tích chập của hai tín hiệu Xét hai dãy x 1 (n) v x 2 (n) có biến đổi Fourier tơng ứng l X 1 (e j ) v X 2 (e j ). Ta có tích chập của hai dãy l: x 3 (n) = x 1 (n)*x 2 (n) Biến đổi Fourier của x 3 (n) đợc xác định nh sau: [] [ ] = = = = = = == n nj 2 k 1 n nj k 21 n nj 213 e)kn(x)k(x e)kn(x)k(xe)n(x*)n(x)]n(x[FT áp dụng tính chất trễ ta có: )e(X)e(Xe)k(x)e(X)e(Xe)k(x)e(X j 2 j 1 kj k 1 j 2 j 2 kj k 1 j 3 === = = Vậy: X 3 (e j ) = X 1 (e j ).X 2 (e j ). Ví dụ: Cho hai tín hiệu: x 1 (n) = x 2 (n) = (n+2) + (n-2). Tính tích chập: x 3 (n) = x 1 (n)*x 2 (n) thông qua tính chất biến đổi Fourier. Giải: Ta có: [] 2cos2ee e)2(k)2(ke)k(x)e(X)e(X 2j2j kj k kj k 1 j 2 j 1 =+= ++=== = = Vậy X 3 (e j ) = X 1 (e j ).X 2 (e j ) = 2cos2.2cos2 = 4cos 2 2 = (e j 2 + e -j 2 ) 2 = e j 4 + 2 + e -j 4 . áp dụng biến đổi Fourier ngợc ta có: x 3 (n) = (n+4) +2(n) + (n-4). III.5. Tích của hai dãy Nếu ta có: FT[x 1 (n)] = X 1 (e j ) v FT[x 2 (n)] = X 2 (e j ). thì: [][] 'd)e(X)e(X 2 1 )e(X)n(xFT)n(x).n(xFT 'j 2 )'(j 1 j 3321 === Chứng minh: [] = = = = == 'd)e(Xe)n(x 2 1 e'de)e(X 2 1 )n(xe)n(x).n(x)e(X 'j 2 n)'(j n 1 nj n n'j'j 21 n nj 21 j 3 BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên http://www.ebook.edu.vn Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số Ngô Nh Khoa - Photocopyable 46 Vậy: () = 'd)e(XeX 2 1 )e(X 'j 2 )'(j 1 j 3 = )e(X*)e(X j 2 j 1 (3.3.9) = )e(X*)e(X j 1 j 2 (3.3.10) Quan hệ (3.3.9 v 3.3.10) đợc gọi l tích chập liên tục v tuần hon voí chu kỳ 2. Nhận xét: Tích x 3 (n) = x 1 (n). x 2 (n) thờng đợc dùng trong trờng hợp nghiên cứu x 1 (n) có chiều di rất lớn, để hạn chế chiều di của x 1 (n) ta sẽ nhân nó với x 2 (n) có chiều di hữu hạn, nh l ta dùng một cửa sổ chữ nhật x 2 (n) = rect N (n). Đây gọi l kỹ thuật cửa sổ, đợc dùng để tổng hợp bộ lọc số FIR. III.6. Vi phân trong miền tần số Nếu: FT[x(n)] = X(e j ) thì: [] d )e(dX j)n(nxFT j = Chứng minh: [] )n(nxFT.je)n(nxje d d )n(x e)n(x d d d )e(dX e)n(x)e(X n nj n nj n nj j n njj === == = = = = Vậy ta có: [] d )e(dX j)n(nxFT j = III.7. Trễ tần số Nếu ta có: FT[x(n) ] = X(e j ) thì: [ ] )e(X)n(xeFT )(jnj 00 = (3.3.11) Chứng minh: Theo định nghĩa của biến đổi Fourier ta có: [] )e(Xe)n(xee)n(x)n(xeFT )(j n n)(j n nj njnj 0000 = = === Nhận xét: Việc nhân dãy x(n) với nj 0 e trong miền biến số n sẽ tơng đơng với việc dịch chuyển tần số của phổ X(e j ) đi một lợng 0 . Ví dụ: Cho x(n) v FT[x(n)] = X(e j ). Tìm phổ của x(n)cos 0 n = y(n) v minh hoạ phổ của x(n) v y(n) với 0 = /2. Giải: [...]... (m n) m= 1 2 X1(ej ) X2(e -j ) rxx(n) R xx (e j ) = Sxx (e j ) = X (e j ) Ngô Nh Khoa - Photocopyable 2 50 BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số http://www.ebook.edu.vn IV Định lý lấy mẫu Để có thể áp dụng các kỹ thuật xử lý tín hiệu số trong việc xử lý các tín hiệu tơng tự thì điều cơ bản đầu tiên l cần chuyển đổi các tín hiệu tơng tự... Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số http://www.ebook.edu.vn cos 0 n = Vì: e j0n + e j0n 2 Do đó: FT[x (n ) cos 0 n ] = x (n) cos 0 ne jn = n = e j0n + e j0n jn e 2 x (n ) n = ( ) ( ) ( 1 1 1 = x (n ) e j( 0 ) n + e j( +0 ) n = X e j( 0 ) + X e j( +0 ) 2 2 2 n = ) Minh hoạ phổ của x(n) v y(n) với 0 = /2 X(ej ) 1 - -2 /2 -/ 2 2 j Y(e... -/ 2 2 j Y(e ) 1 /2 X(ej ( + /2) /2 X(ej ( - /2) /2 III.8 Quan hệ parseval Nếu ta có: FT[x1(n) ] = X1(ej ) FT[x2(n) ] = X2(ej ) x1 (n ).x *2 (n ) = thì: n = 1 X1 (e j )X * (e j )d 2 2 (3.3. 12) Chứng minh: 1 x1 (n ).x (n ) = n x1 (n ) 2 n = = * 2 x1 (n ) = n = = 1 2 1 2 X j jn 2 ( e )e * 2 * (e j )e jn d X d 1 X * (e j ) x1 (n )e jn d = 2 n= 2 X * 2 (e j )X1 (e j )d... 2 rxx (0) = 1 2 R xx (e j )e jn d xx (e j )d R Theo giả thiết x(n) l thực, nên: rxx (0) = 1 2 X(e j 2 ) d Cuối cùng ta có: E x = rxx (0) = x ( m) m = Ngô Nh Khoa - Photocopyable 2 = 1 2 X(e j 2 ) d 49 BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số http://www.ebook.edu.vn III.10 Tổng kết các tính chất của biến đổi Fourier với tín hiệu. .. = ( k + 1 ) Fs 2 k = ( k 1 ) F 2 s X a (F)e j2n F Fs dF (3.4. 12) Thực hiện việc đổi biến trong (3.4. 12) v sử dụng tính chất tuần hon của hm mũ: e j2 n ( F kFs ) Fs =e j2 n F Fs sẽ cho ta: Xa(F) trong khoảng tần số (k-1 /2) Fs đến (k+1 /2) Fs sẽ hon ton tơng ứng với Xa(F - kFs) trong khoảng -Fs /2 đến Fs /2 Từ đó, ta có: ( k + 1 ) Fs 2 k = ( k 1 ) F 2 s X a (F)e j 2n F Fs Fs dF = 2 k = Fs X a... s Ngô Nh Khoa - Photocopyable (3.4.16) 52 BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số http://www.ebook.edu.vn trong trờng hợp ny hiện tợng trùng phổ sẽ không xảy ra v vì vậy, trong miền giới hạn của tần số cơ bản F Fs /2 hoặc f 1 /2, phổ của tín hiệu rời rạc sẽ đồng nhất với phổ của tín hiệu tơng tự F Nếu chọn tần số lấy mẫu Fs< 2B thì trong công... Biến số đảo x(-n) X(e -j ) Tích chập x1(n)*x2(n) X1(ej ) X2(ej ) x1(n).x2(n) 1 2 Vi phân trong miền nx(n) j Trễ tần số e j 0 n x ( n ) X (e j( 0 ) ) x(n) cos0n 1 1 X(e j( +0 ) ) + X(e j( 0 ) ) 2 2 Tích số Điều chế Quan hệ Farseval x (n ).x n = 1 x (n ) * 2 2 1 2 n = Tơng quan rx1x2 (n) = X (e j( ') 1 ) X 2 ( e j ' ) d ' dX (e j ) d 1 2 (n ) X * 2 (e j )X1 (e j )d X(e j 2 ) d x (m)x... x1(n) = x2 (n) = x(n), quan hệ Parseval cho ta: n = 2 x (n ) = 1 2 Ngô Nh Khoa - Photocopyable X(e j 2 ) d (3.3.13) 47 BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số http://www.ebook.edu.vn 2 X(e j ) gọi l phổ mật độ năng lợng của x(n), nó thể hiện sự phân bố năng lợng theo hm của tần số; đợc ký hiệu l Sxx(ej ) Sxx(ej ) = X(e j ) Vậy: 2 (3.3.14)... Photocopyable 2 (3.3.17) 48 BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên Bi giảng Xử Lý Tín Hiệu Số http://www.ebook.edu.vn Quan hệ (3.3.17) gọi l định lý Weiner - Khintchine Định lý ny có ý nghĩa rất quan trọng v nó chứng tỏ rằng dãy tự tơng quan v phổ mật độ năng lợng có chứa cùng một thông tin về tín hiệu Tuy vậy, cả hai đều không chứa thông tin về pha, do vậy việc phục hồi tín hiệu. .. rạc Tính chất Miền tần số liên tục Miền biến số tự nhiên n 1 2 j jn X ( e ) e d X ( e j ) = x ( n )e j n FT v IFT x (n ) = Tuyến tính ax1(n) + bx2(n) aX1(ej ) + bX2(ej ) Tính chất trễ x(n - n0) e jn 0 X(e j ) Đối xứng x(n) thực X*(ej ) = X(e -j ) Re[X*(ej )] = Re[X(e -j )] Im[X*(ej )] = -Im[X(e -j )] n = X ( e j ) = X ( e j ) arg[X*(ej )] = -arg[X(e -j )] Liên hợp phức x*(n) X*(ej ) Biến số . X(e j ) 2 - / 2- 3 / 2- 2 - - -1 0 2 4 6 8 arg[X(e j )] 10 x (n) n -1 /9 1/5 1/ -1 /3 -1 /5 -1 /5 1/9 1/3 BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN Thái Nguyên. d)e(X 2 1 )n(x 2 j n 2 = = (3.3.13) X(e j ) /2 2 - /2 - -2 1 1 /2 Y(e j ) X(e j ( - /2 ) /2 X(e j ( + /2 ) /2 BM Kỹ Thuật Máy Tính - Trung tâm Kỹ Thuật Máy Tính - ĐH KTCN. [] 2cos2ee e )2( k )2( ke)k(x)e(X)e(X 2j2j kj k kj k 1 j 2 j 1 =+= ++=== = = Vậy X 3 (e j ) = X 1 (e j ).X 2 (e j ) = 2cos2.2cos2 = 4cos 2 2 = (e j 2 + e -j 2 ) 2 = e j 4 + 2 + e -j 4 .