www.VNMATH.com Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 1 CHUYÊN ĐỀ ĐỐI XỨNG TÂM ĐỐI XỨNG- TRỤC ĐỐI XỨNG- ĐỒ THỊ ĐỐI XỨNG VÀ CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN : Cho hàm số y=f(x). có đồ thị (C) 1.Nếu f(x) là hàm số chẵn : Đồ thị của có đối xứng nhau qua trục Oy - Có nghĩa là ,trục Oy là trục đối xứng của nó . 2. Nếu f(x) là hàm số lẻ : Đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng 3. Cho hai điểm   11 2 2 ;; ; A xy Bxy và đường thẳng d : mx+ny+p=0 . Nếu A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau : 21 AB 21 .1 ;i:k êm I d AB d kk y y vo Trungdi x x         4. Cho điểm I( 00 ;) x y . Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương của véc tơ OI thì công thức chuyển trục là : 0 0 x xX y yy      Khi đó phương trình của đồ thị (C) trong hệ mới : Y=F(X;y 0 ;x 0 ) B. GHI NHỚ : - Đối với đồ thị hàm phân thức , thì giao hai tiệm cận là tâm đối xứng - Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứng - Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số . C. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP I.CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG CÁCH GIẢI Có hai cách * Cách 1. - Giả sử trục đối xứng có phương trình : 0 x x  . Gọi điểm   0 ;0Ix - Chuyển   0 Oxy IXY OI x xX yY        - Viết phương trình đường cong (C) trong tọa độ mới : Y=F(X;x 0 ;y 0 ) (*) - Buộc cho (*) là một hàm số chẵn : ( Cho hệ số các ẩn bậc lẻ bằng 0 ) - Giải hệ các ẩn số bậc lẻ bằng 0 ta suy ra kết quả cần tìm . * Cách 2. Nếu với 0 x x là trục đối xứng thì : f(   00 ) x xfxx   đúng với mọi x , thì ta cũng thu được kết quả . Ví dụ 1. Cho hàm số   432 4764yxxxxC   . Chứng minh rằng đường thẳng x=1 là trục đối xứng của đồ thị (C) ( Hoặc : Chứng minh rằng đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình của trục đối xứng đó ? ) GIẢI www.VNMATH.com Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 2 - Giả sử đường thẳng x= 0 x là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I( 0 ;0)x - Chuyển :   0 Oxy IXY OI x xX yY        - Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :        432 0000 432232 432 0000000000 4764 44 65 4576 4764 Yxx xx xx xx YX x X x xX x x x X x x x x                - Để hàm số là chẵn thì các hệ số của ẩn bậc lẻ và số hạng tự do bằng không : 0 32 00 0 0 432 0000 440 45760 1 47640 x xxx x xxxx           Chứng tỏ đồ thị hàm số có trục đối xứng , và phương trình của trục đối xứng là : x=1. Ví dụ 2. Tìm tham số m để đồ thị hàm số :   43 2 4 m yx x mx C  có trục đối xứng song song với trục Oy. GIẢI - Giả sử đường thẳng x= 0 x là trục đối xứng của đồ thị (C). Gọi I( 0 ;0)x - Chuyển :   0 Oxy IXY OI x xX yY        - Phương trình của (C) trong hệ tọa độ mới là :     432232 432 000 000000 44 63 4122 4YX x X x xmX x x mxXx xmx        - Để là hàm số chẵn thì :  0 0 32 00 0 410 1 4 4122 0 x x m xmx              II. Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng . CÁCH GIẢI Ta cũng có hai cách giải Cách 1. - Giả sử đồ thị (C) có tâm đối xứng là   00 ; I xy - Chuyển :   0 0 Oxy IXY OI x xX yyY        - Viết phương trình (C) trong hệ tọa độ mới : Y=F(X;x0;y0) (*) - Buộc cho (*) là một hàm số lẻ : ( Cho hệ số các ẩn bậc chẵn ) - Giải hệ ( với hệ số các ẩn bậc chẵn bằng 0 ) ta suy ra kết quả . Cách 2. Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng thì : 000 ()()2 f xxfxx y  với mọi x www.VNMATH.com Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 3 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. ( ĐH-QG-98). Cho (C) : 2 1 x y x   a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b. Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng đó . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Giả sử (C) có tâm đối xứng là I   00 ; I xy - Phương trình (C) viết lại thành dạng : 1 1 1 yx x   - Chuyển :   0 0 Oxy IXY OI x xX yyY          - Phương trình (C) trong hệ mới là :     00 0 00 0 1 1 1 1 1 1 Yy x X xX YX x y Xx           - Để hàm số là lẻ :  00 0 00 10 1 1; 2 10 2 xy x I xy          Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;2). Ví dụ 2. (ĐH-NNI-99). Cho hàm số  1 x yC x   a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Chứng minh giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C) GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Hàm số viết lại : 1 1 1 y x   - Giả sử (C) có tâm đối xứng là  00 ; I xy - Chuyển :   0 0 Oxy IXY OI x xX yyY        - Phương trình (C) trong hệ mới là :   0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Yy xX Yy Xx      www.VNMATH.com Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 4 - Để hàm số là lẻ :  00 00 10 1 1;1 10 1 yx I xy         Nhận xét : Giao hai tiệm cận là (-1;1) trùng với I . Chứng tỏ giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của (C). III. Tìm tham số m để ( ) m C : y=f(x;m) nhận điểm I( 00 ;) x y là tâm đối xứng . CÁCH GIẢI 1. Nếu f(x;m) là hàm số phân thức hữu tỷ : - Tìm tọa độ giao hai tiệm cận . Giả sử giao hai tiệm cận là J(a;b) - Để I là tâm đối xứng thì buộc J trùng với I ta suy ra hệ : 0 0 ax m by       2. Nếu f(x;m) là hàm số bậc ba . - Tìm tọa độ điểm uốn :  ''( ; ) 0 ; (; ) yxm x a Jab yfxm yb       - Tương tự như trên , đẻ I là tâm đối xứng , ta cho J trùng vố I ta suy ra hệ : 0 0 ax m by       Vídụ 3. Tìm m để đồ thị hàm số  3 2 32;0 m x ymxCm m     nhận điểm I(1;0) là tâm đối xứng . GIẢI Ta có : 2 36 '6''6 xx y mx y m mm      . Cho y''=0 2 6 60; u x mxmx m     - Tính   6 45 25 ;3.222;22 uu m yyxm mm m Umm m   - Để I là tâm đối xứng thì : cho U trùng với I : 2 5 5 1 1 1 1 220 m m m m m              - Vậy với m=-1 và m=1 thì I(1;0) là tâm đối xứng của đồ thị . Ví dụ 4. (ĐH-Luật -99) . Cho hàm số   2 2421 2 m xm xm y C x     Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng . GIẢI - Ta viết lại hàm số ; 1 2 2 yxm x   . Chứng tỏ với mọi m đồ thị luôn có tiệm cận xiên với phương trình là : y=2x+m và tiệm cận đứng : x=2 . - Gọi J là giao hai tiệm cận , thì J(2;m+4) www.VNMATH.com Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 5 - Để I làm tâm đối xứng thì ta buộc J trùng với I , nghĩa là ta có hệ : 22 3 41 m m       - Vậy với m=-3 thì I là tâm đối xứng của đồ thị . Ví dụ 5.( ĐH-CĐ-2000). Cho hàm số   32 33 34 m yx x mx m C    Tìm m để  m C nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng . GIẢI - Tìm tọa độ điểm uốn : Ta có : 2 '3 6 3; ''6 6 ''0 6 60; 1 u yxxmy x y x x x   Tính    1133 3 46 2; 1;6 2 u yy mm m U m  - Để I là tâm đối xứng thì : 11 0 622 m m       - Vậy với m=0 , thì I là tâm đối xứng của đồ thị . IV. TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ Bài toán : Cho đồ thị (C) : y=f(x) , tìm trên đồ thị những cặp điểm M,N đối xứng nhau qua điểm A hoặc đường thẳng d: Ax+By+C=0 ( cho sẵn ) CÁCH GIẢI - Giả sử     00 0 0 ;() 1Mxy C y fx - Tìm tọa độ điểm N theo 00 , x y sao cho N là điểm đối xứng của M qua A ( hoặc qua d ) Nên ta có :  2 NN yfx - Từ (1) và (2) ta tìm được tọa độ của điểm M,N . Ví dụ 6. ( ĐH-GTVT-97) Cho hàm số 32 94yx mx x . Xác định m để trên đồ thị hàm số có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. GIẢI Giả sử    00 0 0 ;à N-x; M xy v y là cặp điểm đối xứng nhau qua O, nên ta có :    32 00 0 0 32 0000 941 942 yxmx x yxmxx            Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có :   2 0 40 3mx  Để (3) có nghiệm khi và chỉ khi m<0 . Khi đó : 0 4 x m   Thay vào (1) ta tìm dược 0 y . Vậy đáp số : m< 0 . www.VNMATH.com Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 6 Ví dụ 7. ( ĐH GQTPHCM-97) . Cho hàm số  2 2 1 xx y C x    a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Tìm tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(0;5/2) GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị b. Giả sử   11 2 2 ;; ; M xy Nxy thuộc (C) và I là trung điểm của M và N. Ta có :  12 2 1 11 12 2 1 20 ;5 25 5 I I xx x x x Nx y yy y y y           M và N đều thuộc (C) nên ta có hệ :   2 11 1 1 2 11 1 1 2 1 1 2 52 1 xx y x xx y x              ; Lấy (1) cộng với (2) ta được : 22 11 11 11 22 5 11 xx xx xx           22 2 1111111 2 1 51 1 2 1 2 93 xxxxxxx xx      - Với       11 22 32;3;2,3;2 37;3;7,3;2 xyM N xyMN          Ví dụ 8. ( ĐH-Hàng Hải -99). Cho hàm số  2 1 x y C x   a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Tìm hai điểm A,B nằm trên (C) và đối xứng nhau qua đường thẳng d : y= x-1 . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Ta có hai cách giải . * Cách 1. - Viết lại phương trình (C) 1 1 1 yx x   . Gọi       11 2 2 ;, ; A xy Bxy C . Nên ta có -    21 21 21 21 1 2 1 2 22 11 11 11 AB xx yy k xx xx x x x x              ; 1 d k  - Nếu A,B đối xứng nhau qua d thì :        12 1212 12 .11 2 1:1 1; 1 1 1; . 2 0(*) 11 2 AB d kk xx xxxx xx Id          Nếu I là trung điểm của AB thì : 12 1212 12 2 ;2 2 I I xx x Id y y xx yy y        www.VNMATH.com Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 7    12 12 12 12 12 12 12 11 22 11 2 40420 11 6 (**) xx xx xx xx xx xx xx             Từ (*) và (**) ta có hệ : 12 02 12 12 6 ;à 2 n: 6 40 .4 xx xxl ptX X xx       Vậy : 12 1 1 35, 35 45 25 XX Y       Chú ý : Ta còn có cách giải khác - Gọi d' là đường thẳng vuông góc với d suy ra d': y=-x+m ( m là tham số ) - Do A,B thuuộc d' đồng thời thuộc (C) , cho nên tọa độ A,B là nghiệm của hệ : 2 1 x x m x yxm           ( có hai nghiệm khác 1)  2 (; ) 2 1 0(1)gxm x m x m( có 2 nghiệm khác 1) Điều kiện :  2 2 18 0 610 322 322(*) (1; ) 2 1 1 0 mm mm m m gm m m               Với điều kiện (*) thì (1) có hai nghiệm khác 1 , đó cũng chính là hoành độ của A và B. - Gọi I là trung điểm của AB tọa độ I : 12 12 11 244 2131 44 2 III III xx mm xxx xx m m m ymy y                     - Để A và B đối xứng nhau qua d thì I thuộc d : 31 1 11;22;1 44 II mm yx m m      . Với m=-1 , thỏa mãn (*) - Khi m=-1 (1) trở thành : 1 1 2 22 11 1 1 1 1 222 1 22 210 1111 1 1 22 22 1 2 y x x xy                             Ví dụ 9.( ĐH-ThủyLợi -99) . Cho hàm số  2 22 1 xx y C x    a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Tìm m để đường thẳng d : y=-x+m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho A,B đối xứng nhau qua đường thẳng d': y= x+3 . GIẢI A. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) www.VNMATH.com Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 8 b. Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm A,B có hoành độ là nghiệm của phương trình :      2 2 22 1(;)23 2 02 1 xx xm gxm x mx m x            ( có hai nghiệm khác 1)  2 2 3820 29; 110 110(*) (1; ) 2 3 2 1 0 mm mm om m gm m m               - Gọi I là trung diểm của AB thì : 12 3 24 333 44 I II xx m x mm yxmm                 - Để A,B đối xứng nhau qua d thì I phải thuộc d : 333 33;218;9 44 II mm yx m m       - Với m=9 thì (2) trở thành : 11 2 22 6 14 6 14 12 14 9 222 212110 6 14 6 14 12 14 9 222 xy xx xy            Ví dụ 10. ( ĐH-Huế -2001). Cho hàm số  323 31 22 m y xmxmC  a. Tìm tham số m để đồ thị m C có CĐ, CT đồng thời các điểm CĐ,CT đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x b. Tìm m để m C cắt trục OX tại ba điểm A,B,C sao cho : AB=BC. GIẢI a. Ta có :  2 0 '3 3 3 0 x yxmxxxm x m         - Để tồn tại cực đại , cực tiểu : 0m  (*) - Gọi A(0; 3 1 2 m ) và B(m; 0) là hai điểm cực trị . - Tính : 3 2 1 0 1 2 ;1 02 AB AB d AB m yy kmk xx m      . - Gọi I là trung điểm của AB : 3 3 0 22 2 1 0 1 2 2 24 AB I I AB I I mm xx x x yy m y y m                     - Để A,B đối xứng nhau qua d thì : 2 2 3 1 2 .1 .1 1 ;2 2 1 42 AB d II m kk m m m Id m yx                  Thỏa mãn điều kiện (*). www.VNMATH.com Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 9 b. Nếu m C cắt Ox tại ba điểm phân biệt A,B,C thì :  323 31 01 22 xmxm , có ba nghiệm. Khi A,B,C lập thành cấp số cộng ( AB=BC) ,thì gọi hoành độ của A,B,C theo thứ tự là : 123 ,, x xx. Áp dụng vi ét cho phương trình (1).    123 13 2 22 21 3 13 12 23 31 22 13 2 3 3 213 123 23 13 2 21 32 3 3 11 2 2 22 .0 0 1 .22 4 1 1 . 11 1 2 2 2 22 2 b xxx m xx x m xm xm a c xx x xx xx xx xx xx x m x a d xxx m xxx m mm ma xx x xxxx                                    2 13 1 . 2 0 x m m            Nhưng khi m=0 ,thì đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại duy nhất một điểm .Cho nên , không tồn tại giá trị m nào để hàm số cắt Ox tại ba điểm lập thành cấp số cộng . Ví dụ 11 .((HVKTQS-2001). Cho hàm số    2 21 1 m xm xm y C x     a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m=2 b. Tìm m để trên m C có hai điểm A,B sao cho : 530;530 AA BB xy xy    . Tìm m để A,B đối xứng nhau qua đường thẳng x+5y+9=0. GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Từ giả thiết ta thấy tọa độ A,B thỏa mãn phương trình : 5x-y+9=0 . Có nghĩa là A,B nằm trên đường thẳng d' : y=5x+9 .Nhưng A,B lại nằm trên m C , cho nên A,B là giao của d' với m C .    2 2 21 (; ) 4 10 2 0 1 53 1 53 53 xm xm gxm x m x m x x yx yx                  2 4680 (1; ) 4 10 2 2 0 mm mR gm m m          . - Gọi I là trung điểm của AB : 12 10 28 10 5 26 535 3 88 I II xx m x mm yx                 - Nếu A,B đối xứng nhau qua d : x+5y+9=0 , thì I phải thuộc d . ( Thỏa mãn tính chất d' vuông góc với d rồi ).  55 26 10 34 90; 88 13 m m m     . Ví dụ 12.( CĐSPHN-2001) Cho hàm số  2 23 2 m xmxm y C x    a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m=3. www.VNMATH.com Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 Trang 10 b. Chứng minh rằng với một điểm M tùy ý thuộc (C), tiếp tuyến tại M cắt (C) tại hai điểm A,B tạo với I ( là giao hai tiệm cận ) một tam giác có diện tích không đổi ,không phụ thuộc vào vị trí của M. c. Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại ,cực tiểu với mọi m . Tìm m để hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d : x+2y+8=0 . GIẢI a. Khi m=3 . (C) : 2 33 1 1 22 xx yx xx    . ( Học sinh tự vẽ đồ thị (C) ) b. Ta có :  2 1 '1 2 y x   . Gọi  00 0 0 0 1 ;() 1 (*) 2 Mxy C y x x   Tiếp tuyến với (C) tại M là   00 2 0 0 11 :1 1 2 2 yxxx x x          - Nếu 2x  tại điểm A , thì   0 00 2 00 0 11 121 22 2 A x yxx xx x            0 0 2; 2 x A x      - Tiếp tuyến cắt tiện cận xiện y=x+1 tại điểm B.   00 0 0 2 0 0 11 111;22123 2 2 BBBBB xx x x x x yx x x x                  00 22;23Bx x - Nếu I là giao hai tiệm cận , thì I có tọa độ I(-2;-1). - Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng : x=-2 suy ra H(-2; 0 23x  ) - Diện tích tam giác AIB 0 0 0 11 1 1222 22 22 AIBH x SAIBH yyxx x x    0 0 12 .2 2 2 dvdt 22 Sx x    Chứng tỏ S là một hằng số , không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. c.Ta có :     2 2 22 22 23 1 43 '0 3 22 xmx x mx m x xx y x xx            Chứng tỏ y' không phụ thuộc vào m , hay với mọi m hàm số luôn có hai điểm cực trị . - Gọi hai điểm cực trị là :    1; 2 ; 3; 6Mm Nm  - Tính :  62 1 2; 31 2 MN d mm kk     . Gọi J là trung điểm của MN , 13 2 2 26 4 2 J J x mm ym               [...]... Bài 1.( Đề 27) Cho hàm số y  x 4  4ax3  2 x 2  12ax  Ca  Tìm a để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy Bài 2.( Đề 66) Cho hàm số y  x 2  3x  4 2x  2 C  a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) hai điểm A ,B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x x2  2 x  2 Bài 3. (Đề 89) Cho hàm số y  x 1  H  và đường thẳng d' : y=-x+m ( m là tham số ) a Khảo sát sự biến... cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x+3 Bài 4 ( Đề 142) Cho hàm số y  x 4   m  3 x3  2  m  1 x 2  Cm  Tìm tham số m để hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy ? Bài 5 ( ĐH-Hàng Hải -99) Cho hàm số y  x2 x 1 C  a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) hai điểm A,B sao cho A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x-1 Bài 6 ( HVKTQS-99) Cho hàm số y  x... tâm đối xứng Bài 8 ( ĐH-Thủy Lợi-99) Cho hàm số y  x3  3mx 2  3  m 2  1 x  1  m2  Cm  a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=2 b Tìm m để đồ thị (Cm) chứa hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O Bài 9 ( ĐH-QGA-2001) Cho hàm số y  x3  3m 2 x  m  Cm  a Khỏa sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=0 b Tìm m để đồ thị hàm số có CĐ,CT đồng thời hai điểm CĐ,CT đối xứng. .. a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với a=4 b Tìm a để đồ thị  Ca  có trục đối xứng song song với Oy.Viết phương trình trục đối xứng Bài 13.(ĐH-YHP-2000) Cho hàm số y  x2 x 1 C  a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d : y=x+1 Bài 14.(ĐH-YHP-2001) Cho hàm số y   x3  3  m  1 x 2  3  2m  1 x  4  Cm  a Khảo sát sự biến thiên... 10.( ĐH-PCCC-2001) Cho hàm số y  x3  3x 2  3  C  a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Viết phương trình đường thẳng d mà các điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua nó Bài 11 (ĐH-Thủy sản-2000) Cho hàm số y  x 2  4mx  5m x2  Cm  a Khảo sát sự biến thiên và vẽ dồ thị (C) với m=1 b Tìm m để trên đồ thị  Cm  có hai điểm đối xứng nhau qua O Bài 12 ( CĐKS-2000) Cho hàm số y  x 4  4 x3 ... 4  x 3 Ví dụ 5 (HVKTQS-99) Cho hàm số y  C  x2 x2 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d : y=2 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Gọi : A  x; y   (C ); B  x '  x; y '   C ' ;  y  x  3  4 x2 - Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , thì A và B phải đối xứng nhau qua d : - Ta có : y'+y=2.2 Suy ra : y=4-y' 4 4... (C') đối xứng với (C) qua I thì A và B đối xứng nhau qua I  x  2 xI  x '  x  2  x ' 1 1    2  y '  2  x ' 1  ;   y '   x ' 5  2  x ' 2 x'  y  2 yI  y '  y  2  y ' 1 Vậy (C') có phương trình : y  x  5   C ' x 4 x 5 Ví dụ 2 Cho hàm số y   3x 2   C  2 2 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(0;2) GIẢI... đối xứng với (C) thì tức là A và B đối xứng nhau qua I  x  2.0  x '   x '  3  x ' 2  5  y '   x '4  3x '2  3 - Do đó :   4 y'    2 2 2 2  y  2.2  y ' x4 3 -Kết luận : phương trình của (C') : y    3x 2  , đối xứng với (C) qua I 2 2 2 x  3x  3 1  x 1 Ví dụ 3 Cho hàm số y  C  x2 x2 4 a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng. .. x ' x ' 2 x ' 2 4 - Vậy phương trình của (C') đối xứng với (C) qua d : y  1  x  x2 - Do A thuộc (C) , cho nên : 4  y '  x ' 3  Ví dụ 6 Cho hàm số y  2 x(4  x)  C  a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua Ox Chứng minh rằng (C) cắt (C') theo một E-líp, viết phương trình E-Líp đó ? GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) Nguyễn Đình Sỹ-... ' 3 y ' 4  4 y ' 3 x ' 4  5  Từ phương trình hàm số : 5 y  5 x  5  5 x  10 4 y ' 3 x ' 4  10  Trang 12 Nguyễn Đình Sỹ- ĐT: 02403833608 www.VNMATH.com Ví dụ 4 (ĐHLâm Ngiệp -2001 ) Cho hàm số y  3x  1 x 3 C  a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đừng thẳng d : x+y-3=0 GIẢI a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Gọi A  x; y   (C . 1 CHUYÊN ĐỀ ĐỐI XỨNG TÂM ĐỐI XỨNG- TRỤC ĐỐI XỨNG- ĐỒ THỊ ĐỐI XỨNG VÀ CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN : Cho hàm số y=f(x). có đồ thị (C) 1.Nếu f(x) là hàm số chẵn : Đồ thị của có. 1.( Đề 27). Cho hàm số   432 4212 a y xaxx axC   Tìm a để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy. Bài 2.( Đề 66). Cho hàm số  2 34 22 xx y C x    a. Khảo sát sự. xứng - Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số . C. CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP I.CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG CÁCH GIẢI Có hai cách * Cách