TÀI LIỆU ƠN TẬP XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Câu 1A: Dạng 1: Cho hệ thống mô tả phương trình sai phân tuyến tính hệ số sau đây: y ( n) − y (n − 1) + y (n − 2) = x(n) + x(n − 1) + x(n − 2) Biết y ( n) = với n c3 c2 0, 0224 0, 0176 = = 5,8.10−4 c1 0, 0034 0, 0286 r2 = Ta có: c0 c3 c0 c3 c1 0, 0224 0, 0286 = = 2,97.10−4 c2 0, 0034 0, 0176 Vậy hệ thống ổn định r0 > r2 16 Câu 4A: Giải: Hãy tổng hợp lọc số thơng thấp FIR pha tuyến tính với N=11, ωc = π phương pháp cửa sổ chữ nhật sau vẽ sơ đồ lọc WR (n) N cửa sổ nhân tâm đối xứng - Theo đầu ta chọn cửa sổ chữ nhật - Bộ lọc số lý tưởng thơng thấp có dạng: h( n) = N −1 với N=11 ωc sin ωc n nên để thực lọc thông thấp thực tế ta π ωc n phải biến đổi thành lọc FIR pha tuyến tính có tâm đối xứng N −1 π tần số cắt ωc = N −1 ωc sin ωc ( n − ) π Vậy: h(n) = với ωc = N=11 π ω ( n − N − 1) c π sin[ ( n − 5)] → h( n) = π (n − 5) - Nhân cửa sổ WR (n)11 với h(n) lý tưởng ta được: hd ( n) = WR ( n)11.h(n) Kết phép nhân thể bảng sau: n 10 h( n) 10π 8π 3π 4π 2π 2π 4π 3π 8π 10π WR (n) hd ( n) 10π 1 3π 8π 4π 1 2π 1 2π 4π 1 1 3π 8π 10π 3 1 δ ( n) + δ (n − 1) + δ (n − 2) + δ (n − 3) + δ (n − 4) + δ (n − 5) + 10π 8π 3π 4π 2π Vậy Ta có: 3 + δ (n − 6) + δ (n − 7) + δ ( n − 8) + δ (n − 9) + δ (n − 10) 2π 4π 3π 8π 10π hd ( n) = H (e jω ) = A(e jω )e jθ (ω ) = A(e jω )e − j 5ω jω Với A(e ) = ∑ a ( n) cos ω n n=0 a (0) = h(5) = a (1) = 2h(4) = π 17 a (2) = 2h(3) = 2π a (3) = 2h(2) = Vậy: 3π a (4) = 2h(1) = 4π a (5) = 2h(0) = 5π 1 3 + cos ω + cos 2ω + cos 3ω + cos 4ω + cos 5ω π 2π 3π 4π 5π θ (ω ) = −5ω A(e jω ) = Sơ đồ lọc: −1 −2 −3 −4 −5 + Z + Z + Z + Z + Z + 10π 8π 3π 4π 2π −6 −7 −8 −9 −10 + Z + Z + Z + Z + Z 2π 4π 3π 8π 10π H D (Z ) = 18 x(n) Z −1 8π Z −1 3π Z −1 4π Z −1 2π Z −1 Z −1 Z −1 Z −1 Z −1 y(n) 2π 4π 3π 8π 10π 19 Câu 4B: Hãy tổng hợp lọc số thơng thấp FIR pha tuyến tính với N = 11, tần số cắt ωc = π phương pháp cửa sổ tam giác Vẽ sơ đồ lọc N −1  2n 0≤n ≤  N −1  2n N −1  ≤ n ≤ N −1 Biết hàm cửa sổ có dạng WT (n) N = 2 − N −1  0 n ∉[0,N-1]   Giải: - Theo đầu ta chọn cửa sổ tam giác WT (n) N cửa sổ nhân tâm đối xứng N −1 với N=11 n 0≤n≤5 5   n WT ( n) N = 2 − ≤ n ≤ 10  0 n ∉ [0,10]   Bộ lọc số lý tưởng thơng thấp có dạng: h( n) = ωc sin ωc n nên để thực lọc thông thấp thực tế ta phải π ωc n biến đổi thành lọc FIR pha tuyến tính có tâm đối xứng N −1 ωc sin ωc ( n − ) π Vậy: h(n) = với ωc = N=11 π ω ( n − N − 1) c π sin[ ( n − 5)] → h( n) = π (n − 5) - Nhân cửa sổ WT (n)11 với h(n) lý tưởng ta được: hd ( n) = WT (n)11.h(n) Kết phép nhân thể bảng sau: 20 N −1 π tần số cắt ωc = N 10 h ( n) 10π hd ( n) 4π 3 20π 2π 5π 2π 5π 4π 3 20π 3π 15π 8π 40π 10π 3π 15π WR (n) 8π 40π 1 0 Vậy: 3 δ (n − 1) + δ (n − 2) + δ (n − 3) + δ (n − 4) + δ (n − 5) + 40π 15π 20π 5π 3 + δ (n − 6) + δ (n − 7) + δ (n − 8) + δ (n − 9) 5π 20π 15π 40π hd ( n) = Ta có: H (e jω ) = A(e jω )e jθ (ω ) = A(e jω )e − j 5ω Với x(n) A(e jω ) = ∑ a( n) cos ω n Z −1 n=0 a (0) = h(5) = Sơ đồ lọc: a1(1) = 2h(4) = − Z 15π 5π 15π y(n) a (2) = 2h(3) = a (5) = 2h(0) = a (4) = 2h(1) = −1 3 20π Z 3 20π A(e jω ) = + cos ω + cos 2ω + cos 3ω + cos 4ω 5π 10π 15π 20π −1 θ (ω ) = −5ω Z 5π a (3) = 2h(2) = Vậy: 40π −1 −2 3 Z−−1 14 −5 Z + Z + Z 3+ Z− + Z + 40π 15π 20π 5π 6 −6 3 −7 −8 −9 + Z + Z + Z + Z 5π 20π 15π 40π −1 Z H D (Z ) = 5π Z −1 3 20π 15π Z −1 21 40π 3 10π Câu 4C: Hãy tổng hợp lọc số thông cao FIR pha tuyến tính với N = 11, tần số cắt tam giác Vẽ sơ đồ lọc N −1  2n 0≤n ≤  N −1  2n N −1  ≤ n ≤ N −1 Biết hàm cửa sổ có dạng WT (n) N = 2 − N −1  0 n ∉[0,N-1]   Giải: 22 ωc = π phương pháp cửa sổ - Theo đầu ta chọn cửa sổ tam giác WT (n) N cửa sổ nhân tâm đối xứng N −1 với N=11 n 0≤n≤5 5   n WT ( n) N = 2 − ≤ n ≤ 10  0 n ∉ [0,10]   Bộ lọc số lý tưởng thông cao có dạng: h ( n ) = δ ( n) − ωc sin ωc n nên để thực lọc thông cao thực tế ta π ωc n phải biến đổi thành lọc FIR pha tuyến tính có tâm đối xứng N −1 π tần số cắt ωc = N −1 sin ωc (n − ) N − ωc π )− Vậy: h(n) = δ ( n − với ωc = N=11 π ω (n − N − 1) c → h(n) = δ ( n − 5) − - Nhân cửa sổ π sin[ (n − 5)] π (n − 5) WT (n)11 với h(n) lý tưởng ta được: hd ( n) = WT (n)11.h(n) Kết phép nhân thể bảng sau: N h ( n) WR (n) hd ( n) 1 − − 10π 8π − 40π 1 − − − 3π 2π 4π 5 2 3 − − − 15π 5π 20π 6 − − 2π 4π 5 3 − − 5π 20π Vậy: 23 10 1 − − − 3π 10π 8π 5 − − 15π 40π 3 δ (n − 1) − δ (n − 2) − δ (n − 3) − δ (n − 4) + δ (n − 5) + 40π 15π 20π 5π 3 − δ (n − 6) − δ ( n − 7) − δ (n − 8) − δ ( n − 9) 5π 20π 15π 40π hd ( n) = − Ta có: H (e jω ) = A(e jω )e jθ (ω ) = A(e jω )e − j 5ω Với A(e jω ) = ∑ a( n) cos ω n n=0 a (0) = h(5) = a (3) = 2h(2) = − Vậy: Sơ đồ lọc: a (1) = 2h(4) = − 15π 5π a (4) = 2h(1) = − 20π a (2) = 2h(3) = − a (5) = 2h(0) = 3 − cos ω − cos 2ω − cos 3ω − cos 4ω 5π 10π 15π 20π x(n) −1 y(n) − θ (ω ) = −5ω Z 40π A(e jω ) = −1 −2 3 Z −3 − Z − Z − Z− − Z − 15π Z −5 + +5 40π 15π 20π 5π −6 3 −7 −8 −9 − Z − Z − Z − Z 3 5π 20π 15π 40π Z −1 − 20π H D (Z ) = − Z −1 − 5π − 5π − 3 20π − 15π − 324 40π Z −1 Z −1 Z −1 Z −1 Z −1 3 10π Câu 4C: Hãy tổng hợp lọc số chắn dải FIR pha tuyến tính với N =11, ωc1 = pháp cửa sổ tam giác Vẽ sơ đồ lọc Biết hàm cửa sổ có dạng: 25 π π , ωc = phương N −1  2n 0≤n ≤  N −1  2n N −1  WT ( n) N = 2 − ≤ n ≤ N −1 N −1  0 n ∉[0,N-1]   Giải: - Theo đầu ta chọn cửa sổ tam giác WT (n) N cửa sổ nhân tâm đối xứng N −1 với N=11 n 0≤n≤5 5   n WT ( n)11 = 2 − ≤ n ≤ 10  0 n ∉ [0,10]   Bộ lọc số lý tưởng chắn dải có dạng: h( n) = ωc1 sin ωc1n ω sin ωc n + δ ( n) − c nên để thực lọc chắn π ωc1n π ωc n dải thực tế ta phải biến đổi thành lọc FIR pha tuyến tính có tâm đối xứng ωc = N −1 π tần số cắt ωc1 = , π π π sin (n − 5) sin (n − 5) 1 + δ (n − 5) − Vậy: h(n) = π π (n − 5) (n − 5) - Nhân cửa sổ WT (n)11 với h(n) lý tưởng ta được: hd ( n) = WT (n)11.h(n) Kết phép nhân thể bảng sau: N h ( n) − 10π WR (n) hd ( n) 8π 40π 3π 15π 4π 3 20π − 2π − 5π − 2π − 5π 26 4π 3 20π 3π 15π 8π 40π 10 − 10π 0 3 2 δ (n − 1) + δ (n − 2) + δ ( n − 3) − δ (n − 4) + δ (n − 5) − 40π 15π 20π 5π 3 − δ (n − 6) + δ (n − 7) + δ ( n − 8) + δ (n − 9) 5π 20π 15π 40π hd ( n) = Ta có: H (e jω ) = A(e jω )e jθ (ω ) = A(e jω )e − j 5ω Với A(e jω ) = ∑ a( n) cos ω n n=0 a (0) = h(5) = a (3) = 2h(2) = Vậy: a (1) = 2h(4) = − 15π A(e jω ) = a (4) = 2h(1) = 5π 20π a (2) = 2h(3) = a (5) = 2h(0) = 3 − cos ω + cos 2ω + cos 3ω + cos 4ω 5π 10π 15π 20π θ (ω ) = −5ω Sơ đồ lọc: −1 −2 3 −3 −4 −5 Z + Z + Z − Z + Z − 40π 15π 20π 5π −6 3 −7 −8 −9 − Z + Z + Z + Z 5π 20π 15π 40π H D (Z ) = 27 3 10π x(n) Z −1 40π Z −1 15π Z −1 3 20π Z −1 − Z −1 Z −1 Z −1 Z −1 Z −1 − y(n) 5π 5π 3 20π 15π 40π 28 Câu 5: n 2 Cho dãy tín hiệu số: x(n) =   u(n) 3 a Tìm biến đổi Fourier dãy x(n) b Biểu diễn X (e jω ) dạng phần thực - phần ảo, modul - pha Giải: a Tìm biến đổi Fourier Ta có: jω X (e ) = +∞ ∑ x ( n )e − jω n n =−∞ +∞ n n +∞ 2 2 = ∑  ÷ u (n)e − jω n =∑  ÷ e − jω n = n =−∞   n=0   n 3e jω   = ∑  jω ÷ = = jω 3e −  1− n =  3e jω 3e +∞ b Biểu diễn - Phần thực-phần ảo : X (e jω ) = ( 3cos ω + j 3sin ω ) ( 3cos ω − ) − j3sin ω  3cos ω + j 3sin ω  = = 2 ( 3cos ω − ) + j 3sin ω ( 3cos ω − ) + 9sin ω 3cos ω ( 3cos ω − ) + 9sin ω + 3sin ω ( 3cos ω − ) − j sin ω cos ω    13 − 12 cos ω ( − cos ω ) − j sin ω = − cos ω − j 6sin ω = 13 − 12cos ω 13 − 12 cos ω 13 − 12 cos ω − cos ω → Re { X (e jω } = 13 − 12 cos ω 6sin ω → Im { X (e jω } = 13 − 12 cos ω = - Modul pha: X (e jω ) = X (e jω ) e jϕ (u ) X (e jω ) = Re { X (e jω } + Im { X (e jω } = = 13 − 12 cos ω 117 − 108cos ω = 13 − 12 cos ω 13 − 12 cos ω → ϕ ( ω ) = arctg Im { X (e jω } Re { X (e } jω = −arctg 6sin ω − cos ω 29 ( − cos ω ) + ( 6sin ω ) =