Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 32 Chương V NHỮNG BÀI TOÁN VỀ VỊ TRÍ Trong chương này ta nghiên cứu các bài toán về vị trí giữa các yếu tố hình học cơ bản. Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng . I. GIAO ĐIỂM CỦA MẶT PHẲNG CHIẾU VỚI ĐƯỜNG THẲNG 1.1: Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng chiếu Bài toán 1: Cho mặt phẳng chiếu bằng ABC và một đường thẳng d. Xác định giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ABC ( H 5.1 ) Giải: gọi I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ABC. Vì ABC là mặt phẳng chiếu bằng nên mọi điểm thuộc ABC đều có hình chiếu bằng thuộc A 2B2C2 ⇒ I 2 thuộc A2B2C2 đồng thời I2 phải thuộc d2 ⇒ I2 là giao của A2B2C2 và d2, từ I2 ⇒ I 1 thuộc d1. ( H 5.1 ) Hình 5.1 Hình 5.2 Bài toán 2: Cho mặt phẳng chiếu đứng ABC và một đường thẳng d. Xác định giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ABC ( H 5.1 ) Giải: gọi I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ABC. Vì ABC là mặt phẳng chiếu đứng nên mọi điểm thuộc ABC đều có hình chiếu đứng thuộc A 1B1C1 ⇒ I 1 thuộc A1B1C1 đồng thời I1 phải thuộc d1 ⇒ I1 là giao của A1B1C1 và d1, từ I1 ⇒ I 2 thuộc d2. ( H 5.2 ) C2 I 1 x C1 B 2 A 1 B 1 A 2 d 1 d 2 I 2 C2 d 1 x C1 B 2 A 1 B 1 A 2 d 2 I 1 I 2 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 33 II. GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG CHIẾU VỚI MẶT PHẲNG Bài toán : Cho mặt phẳng R xác định bởi hai đường thẳng l và d cắt nhau tại điểm O và mặt phẳng chiếu đứng ABC. Hãy vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng ấy? Giải : Như ta đã biết giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng. Muốn xác định đường thẳng này ta đi xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng đã cho. Ở đây hai đi ểm chung ấy là hai giao điểm N, M của các đường thẳng d, l với mặt phẳng ABC mà cách tìm ta đã biết ở trên ⇒ NM là giao tuyến cần tìm. ( H 5.3 ) III. GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG Ở trên khi tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng chiếu và giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng chiếu, ta thấy một hình chiếu của giao điểm hay giao tuyến biết được ngay. Trong trường hợp đường thẳng và mặt phẳng điều là mặt phẳng thường. Giả sử cần xác định giao điểm I của đường thẳng d và mặt ph ẳng P, ta làm như sau: + Qua d dựng mặt phẳng chiếu R. + Xác định giao tuyến MN của P và R. + Xác định giao điểm I của d và MN ⇒ I chính là giao điểm cần tìm.( H 5.4 ) C2 N 1 x C1 B 2 A1 B1 A2 d 1 d 2 N 2 M 1 l1 l 2 M 2 O1 O 2 Hình 5.3 N P R d M I O a b Hình 5.4 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 34 Bài toán : Cho đường thẳng d và mặt phẳng P xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b tại điểm O. Xác định giao điểm I của d và P? Giải : Qua d dựng mặt phẳng chiếu đứng R ⇒ D1 ≡ R1, dễ dàng thấy rằng mặt phẳng R cắt b tại N, cắt a tại M ⇒ N1, M1 lần lượt là giao của d1 với b1 và a1 khi đó ta tìm được N2, M2 thuộc b2, a2 ⇒ M2N2 cắt d2 t ại I2 ⇒ I1 . ( H 5.5 ) IV. GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, thường chỉ cần xác định hai điểm chung thuộc mặt phẳng đó. Ta có một điểm chung như thế bằng cách tìm giao điểm của một đường thẳng bất kỳ của mặt phẳng này với mặt phẳng kia. Do vậy việc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng có thể đưa về việc giải liên tiếp hai lầ n bài toán xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng mà ta vừa nghiên cứu ở trên. Dưới đây ta trình bầy một phương pháp khác để tìm điểm chung của hai mặt phẳng . Cho mặt phẳng P và Q, trong đó mặt phẳng P được xác định bởi hai đường thẳng song song e và g, mặt phẳng Q được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau h và f. ( H 5.6 ) Để có một điểm chung của hai mặt phẳng P và Q ta cắt P và Q bằng một mặt phẳng R. + R cắt P theo giao tuyến AB ( Trong đó A là giao của đường thẳng e và mặt phẳng R, B là giao của đường thẳng g với mặt phẳng R ) I2 b2 d2 d1 ≡ R1 I 1 x M 2 N 2 N 1 M1 O1 O2 a2 a1 b1 Hình 5.5 T U k N M S I C B D A R Q P e g h f Hình 5.6 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 35 + R cắt Q theo giao tuyến CD ( Trong đó C là giao của đường thẳng h và mặt phẳng R, D là giao của đường thẳng f với mặt R ) Hai đường thẳng AB và CD cùng thuộc mặt phẳng R nên phải cắt nhau tại một điểm I, tất nhiên I là điểm chung của P và Q. Để có được điểm chung thứ hai K ta làm tương tự. ( H 5.6 ) Cắt P và Q bằng mặt phẳng thứ hai S. + S cắt P theo giao tuyến MN ( Trong đó M là giao của đường thẳng e và mặt ph ẳng R, N là giao của đường thẳng g với mặt phẳng R ) + S cắt Q theo giao tuyến UT ( Trong đó U là giao của đường thẳng f và mặt phẳng R, T là giao của đường thẳng h với mặt R ) ⇒ IK là giao tuyến cần tìm giữa mặt phẳng P và Q. Nhưng mặt phẳng phụ trợ R và S là những mặt phẳng bất kỳ. Tuy nhiên ta phải chọn chúng thế nào để có thể vẽ được giao tuyến của chúng với mặt phẳ ng P và Q, thông thường ta dùng các mặt phẳng phụ trợ là các mặt phẳng chiếu mà việc vẽ giao tuyến của chúng với mặt phẳng thường ta đã biết. Trên ( H 5.7 ) trình bày cách vẽ giao tuyến IK trên đồ thức của hai mặt phẳng P và Q nói trên, ở đây ta chọn mặt phụ trợ R là mặt phẳng chiếu đứng mà hình chiếu đứng là đường thẳng R 1, và S là mặt phẳng hình chiếu bằng mà hình chiếu bằng là đường thẳng S 2. V. QUY ƯỚC VỀ THẤY KHUẤT TRÊN ĐỒ THỨC Như chung ta biết khi quan sát các hình thực tế, chẳng hạn khi nhì hai tấm phẳng cắt nhau, một tấm màu xanh và một tấm màu đỏ, ta chỉ nhìn thấy một phần của tấm màu xanh và một phần tấm màu đỏ, còn những phần còn lại thì bị khuất. Để hình biểu diễn cũng gây cho người xem ấn tượng giống như ấn tượng có được khi quan xát thực tế về mặt hình dáng, trên đồ thức ngườ i ta cũng biểu diễn sự thấy khuất theo những quy ước sau. e2 g2 I2 f2 h2 C2 D2 B2 A2 K2 K1 x R1 B 1 D1 C1 f1 h1 I1 g1 e1 A1 S2 Hình 5.7 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 36 5.1 Xét thấy khuất trên hình chiếu đứng Người quan xát đứng ở phía trước mặt phẳng hình chiếu đứng. Khi xét thấy khuất người quan xát xem như đứng ở xa vô tận trên hướng thẳng góc với mặt phẳng ấy. Hình biểu diễn đều là vật thể đục, mặt phẳng hình chiếu cũng là mặt phẳng đục Vậy điểm nào nằm phía sau mặt phẳng hình chiếu đứng là điểm khuất. Hai điểm cùng tia chiếu đứng điểm nào có độ xa lớn hơn sẽ là điểm nhì thấy trên hình chiếu đứng. Điểm A là điểm nhìn thấy trên hình chiếu đứng ( H 5.8 ) Hình 5.8 Hình 5.9 5.2 Xét thấy khuất trên hình chiếu bằng Người quan xát đứng ở phía trên mặt phẳng hình chiếu bằng. Khi xét thấy khuất người quan xát xem như đứng ở xa vô tận trên hướng thẳng góc với mặt phẳng ấy. Hình biểu diễn đều là vật thể đục, mặt phẳng hình chiếu cũng là mặt phẳng đục Vậy điểm nào nằm phía dưới mặt phẳng hình chiếu bằng là điểm khuất. Hai điểm cùng tia chiếu bằng điểm nào có độ cao lớn hơn sẽ là điểm nhì thấy trên hình chiếu bằng. Đi ểm C là điểm nhìn thấy trên hình chiếu bằng ( H 5.9 ) Ví dụ: Cho đường thẳng a và tấm phẳng tam giác CDE. Vẽ giao điểm của đoạn thẳng với tấm phẳng và chỉ phần thấy, phần khuất của đoạn thẳng Việc xác định giao điểm của đoạn thẳng a với mặt phẳng CDE ta đã biết trên hình 5.10 giao điểm I được xác địmh bằ ng cách dùng mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu đứng chứa đường thẳng a. Để xét thấy, khuất của đoạn thẳng ta chú ý rằng điểm I là điểm thấy trên các hình chiếu. x B2 A 1 ≡ B1 A 2 x C1 D1 C2 ≡ D2 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 37 Xét thấy, khuất trên hình chiếu đứng: Gọi M, N là hai điểm cùng tia chiếu đứng, ở đây M thuộc đường thẳng a, N thuộc DE. Vì độ xa của điểm M nhỏ hơn độ xa của điểm N nên M là điểm khuất do đó phần đoạn IM là phần khuất, phần còn lại của đoạn Xét thấy, khuất trên hình chiếu bằng: Gọi T , S là hai điểm cùng tia chiếu bằng, ở đây T thuộc đường thẳng a, S thuộc CD. Vì độ cao của điểm S nhỏ hơn độ cao của điểm T nên S là điểm khuất do đó phần đoạn IT là phần khuất, phần còn lại của đoạn thẳng là thấy. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP 1. Trình bày các bước giải bài toán xác định giao điểm của đường th ẳng với mặt phẳng ? 2. Trình bày các bước giải bài toán xác định giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng ? 3. Tìm giao điểm của đường thẳng chiếu bằng a và mặt phẳng P xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và b. ( H 5.11 ) 4. Vẽ giao tuyến của mặt phẳng ABC với mặt phẳng chiếu bằng Q cho bằng hai vết m α và nα . ( H5.12 ) 5. Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng Q cho bởi hai đường thẳng song song b và f. ( H 5.13 ) a2 I2 C2 D2 M2 E2 N 2 T1 x a1 D 1 C1 I1 S1 E1 M 1≡ N1 S2≡ T2 Hình 5.10 d2 a2 x d1 a1 b2 b1 Hình 5.11 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 38 6. Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng Q cho bởi đường thẳng b và điểm A. 7. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng Q cho bởi điểm A và trục x. A 2 C2 nα m α A1 B1 B2 C 1 x Hình 5.12 d2 x d1 f1 b 1 f2 b 2 Hình 5.13 b2 d2 A2 x b1 d 1 A1 Hình 5.14 d2 A2 x d1 A1 Hình 5.15 . giao điểm cần tìm .( H 5. 4 ) C2 N 1 x C1 B 2 A1 B1 A2 d 1 d 2 N 2 M 1 l1 l 2 M 2 O1 O 2 Hình 5. 3 N P R d M I O a b Hình 5. 4 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn. phẳng R ) I2 b2 d2 d1 ≡ R1 I 1 x M 2 N 2 N 1 M1 O1 O2 a2 a1 b1 Hình 5. 5 T U k N M S I C B D A R Q P e g h f Hình 5. 6 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn 35 + R. thẳng song song b và f. ( H 5. 13 ) a2 I2 C2 D2 M2 E2 N 2 T1 x a1 D 1 C1 I1 S1 E1 M 1≡ N1 S2≡ T2 Hình 5. 10 d2 a2 x d1 a1 b2 b1 Hình 5. 11 Pham Duy Thuỳ Hình học hoạ hình http://www.ebook.edu.vn