http://www.ebook.edu.vn Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI * Đặt vấn đề: - Các hệ thống tuyến tính liên tục được mô tả bởi hệ n phương trình vi phân cấp một mô tả n trạng thái của hệ thống mô hình toán hệ thống viết dưới dạng ma trận. x & (t) = A. x(t) + B. u(t) ; x o = x(o) (3-1) và y(t) = C. x(t) + D. u(t) (3-2) Ở đây: x ∈ ℜ n , u ∈ ℜ r , y ∈ ℜ P tương ứng là các vectơ trạng thái, các đầu vào, các đầu ra. Ma trận hệ số A n×n mô tả các mối liên hệ bên trong hệ thống. Các ma trận B n×r , C P×n , D P×r , đặc trưng cho mối liên hệ với bên ngoài của hệ thống. Nếu không có đường dẫn trực tiếp giữa các đầu vào với đầu ra thì D P×r là ma trận zero. * Mô hình không gian trạng thái của hệ thống điều khiển gián đoạn (tuyến tính) là các phương trình sai phân. x(k+1) = A d . x(k) + B d .u(k) , x(o) = x o (3-3) y(k) = C d x(k) + D d u(k) (3-4) 3.1- Các mô hình không gian trạng thái. Mô hình không gian trạng thái của hệ thống động lực học liên tục đều có thể diễn tả hệ thống trong lĩnh vực thời gian bằng các phương trình vi phân hoặc hàm truyền dưới bốn dạng (form) sau: - Dạng điều khiển (không gian pha). (Controller canonical form). - Dạng quan sát (không gian quan sát). (observer canonical form). - Dạng modal (không gian modal). (Modal canonical form). - Dạng Jordan (không gian Jordan). 3.2- Mô hình không gian trạng thái và các phương trình vi phân. Hệ thống động lực học cấp n được mô tả bằng ph ương trình vi phân cấp n. n n dt )t(yd + a n-1 1n 1n dt )t(yd − − + + a 1 dt )t(dy + a o y(t) = = b n n n d t )t(ud + b n-1 1n 1n d t )t(ud − − + + b 1 d t )t(du + b o u(t) (3-5) Ta giả thiết các điều kiện đầu của hệ thống http://www.ebook.edu.vn y(o - ) , dt ody )( − , , 1n 1n d t )o(yd − − đồng thời bằng không, ta tiến hành biến đổi phương trình vi phân cấp n thành hệ n phương trình vi phân cấp 1. + Xét phương trình vi phân cấp n sau: n n d t )t(yd + a n-1 1n 1n d t )t(yd − − + + a 1 d t )t(dy + a o y(t) = u(t) (3-6) Đổi biến theo: x 1 (t) = y(t) x 2 (t) = d t )t(dy x 3 (t) = 2 2 d t )t(yd (3-7) . . . . . . . . x n (t) = 1n 1n d t )t(yd − − Tiến hành lấy đạo hàm hai vế các phương trình (3-7). d t )t(dx 1 = x & 1 = d t )t(dy = x 2 (t) d t )t(dx 2 = x & 2 = 2 2 d t )t(yd = x 3 (t) (3-8) . . . . . . . . )t(d )t(dx n = x & n = n n dt )t(yd = - a o (y(t) - a 1 dt )t(dy - - a n-1 1n 1n dt )t(yd − − + u(t) = - a o x 1 (t) - a 1 x 2 (t) - - a n-1 x n (t) + u(t) Vậy không gian trạng thái (3-8) viết dưới dạng ma trận x & 1 0 1 0 L L 0 x 1 (t) 0 x & 2 0 0 1 L L 0 x 2 (t) 0 x & 3 M M O O O M M M M = M M M O O 0 × M + M × u(t) x & n-1 0 0 L L 0 1 x n-1 (t) 0 x & n -a o -a 1 L L L -a n-1 x n (t) 1 (3-9) Đầu ra được viết theo (3-7). y(t) = [1 0 0 0] × [x 1 (t) x 2 (t) x n (t)] T (3-10) (3-9) và (3-10) được gọi là dạng chính tắc của không gian pha. http://www.ebook.edu.vn + Đối với hệ thống được mô tả bởi phương trình (3-5) ta có: y(t) = [(b o - a o b n ) (b 1 -a 1 b n ) (b n-1 - a n-1 )] × [x 1 (t) x 2 (t) x n (t)] T + b n u(t) (3-11) Với: b n = 0 ta có: y(t) = [b o b 1 b n-1 ] × [x 1 (t) x 2 (t) x n (t)] T (3-12) 3.3- Xác định các biến trạng thái từ hàm truyền. Phần này giới thiệu các kỹ thuật hình thành mô hình không gian trạng thái từ hàm truyền của hệ thống thường được áp dụng trong thực tế. Đó là kỹ thuật chương trình trực tiếp và kỹ thuật chương trình song song. Để đơn giản ta xét với hệ thống một đầu vào một đầu ra. 3.3.1- Mô phỏng HT theo dạng điều khiển chính t ắc. Kỹ thuật này được sử dụng thuận lợi khi hàm truyền của thiết bị dạng đa thức không phân tích ra thừa số được. )s(U )s(Y = o1 1n 1n n o1 1n 1n n n aSa SaS bSb SbSb ++++ ++++ − − − − (3-13) Ở đây ta sử dụng biến phụ V(s). (Tính điều khiển được của hệ thống là với một tác động vào liệu có chuyển được trạng thái của hệ từ thời điểm đầu t o đến thời điểm cuối trong khoảng thời gian hữu hạn không?). )s(V )s(Y = b n S n + b n-1 S n-1 + + b 1 S + b o (3-14a) )( )( sU sV = o1 1n 1n n aSa SaS 1 ++++ − − (3-14b) Sơ đồ khối mô tả hệ thống có sử dụng biến phụ V(s). Hình 3.1 Phương trình (3-14a) được viết lại như sau: Y(s) = b n S n V(s) + b n-1 S n-1 V(s) + + b 1 S.V(s) + b o V(s) (3-15) Điều này chỉ ra rằng y(t) là sự chồng chất của V(t) và các đạo hàm của nó vì ta có thể trình bày (3-14a, b) dưới dạng phương trình vi phân khi điều kiện đầu đồng nhất bằng không bằng cách thay: S ≡ dt d ; S i ≡ i i dt d ; V(s) ≡ v(t), V(s)/U(s) Y(s)/V(s) U(s) V(s) Y(s) http://www.ebook.edu.vn Xây dựng mô hình không gian trạng thái của hệ thống từ các hàm truyền bằng cách sử dụng sơ đồ mô phỏng rất thuận tiện. Trong các trường hợp hệ thống liên tục sơ đồ mô phỏng các máy tính tương tự giải các phương trình vi phân mô tả các hệ thống động lực học sử dụng các bộ tích phân, bộ cộng bộ trừ và nhân được thực hiện như là bộ khuếch đại thuật toán. Số khối tích phân phụ thuộc vào cấp của phương trình vi phân. + Sơ đồ mô phỏng (3-14a, b) như sau: Sử dụng kỹ thuật chương trình trực tiếp: đặt n kh ối tích phân nối tiếp với đầu vào tương ứng là V (n) (t) , v (n-1) (t) , , V (1) (t) , v(t). Áp dụng (3-15) xác định y(t) bằng cách nhân đầu vào v i (t) với các hệ số b i và cộng bằng bộ cộng ∑ . + Từ (3-14b) ta có: v (n) (t) = u(t) - a n-1 v (n-1) (t) - - a 1 v (1) (t) - a o v(t) (3-16) Các phép trừ mô phỏng bằng mối liên hệ ngược trên sơ đồ ta có: Hình 3-2: Sơ đồ mô phỏng kỹ thuật chương trình trực tiếp (dạng điều khiển chính tắc). Theo hình 3-2 ta có mô hình không gian trạng thái của hệ thống dạng điều khiển chính tắc. 0 1 0 L L 0 0 0 0 1 L L 0 0 x & (t) = M M O O O M × x(t) + 0 × u(t) M M M O O 1 M -a o -a 1 -a 2 L L -a n-1 1 ∑ 1/S K 1/S 1/S b o ∑ U(t) x & n V (n-1) x n x & 2 x 2 x & 1 x 1 y(t) b 1 b 2 b n -a n-1 V (n) -a 1 -a o v (1) v (0) http://www.ebook.edu.vn (3-17) Và y(t) = [(b o -a o b n ) (b 1 - a 1 b n ) (b n-1 - a n-1 b n )] x(t) + u(t) . b n (3-18) ** (Để chuyển từ hàm truyền sang dạng không gian trạng thái trong Matlab sử dụng hàm tf2ss). Ví dụ: Cho hàm truyền. G(s) = S811S1213185.97S463S996.0S 1908065.90S576S331.0S65.1 23456 234 +++++ ++−− a) Vẽ sơ đồ mô phỏng hệ thống (dạng điều khiển). b) Dựng mô hình không gian trạng thái của hệ thống. 3.3.2- Mô phỏng HT theo dạng quan sát chính tắc. Cùng với dạng điều khiển, dạng quan sát chính tắc là quan hệ quan trọng đối với lý thuyết điều khiển hiện đại. * Quan sát được của một hệ thống là với các toạ độ đo được ở bi ến ra y(t) của hệ thống liệu ta có thể khôi phục được các vectơ trạng thái x (t) trong thời gian hữu hạn không? Không gian trạng thái của hệ thống và dạng quan sát chính tắc của nó được xác định có cấu trúc rất đơn giản. Xuất phát từ hàm truyền (3-13) ta có: Y(s)(S n + a n-1 S n-1 + + a 1 S + a o ) = U(s) (b n S n + b n-1 S n-1 + + b 1 S + b o ) (3-18) Y(s) = - n S 1 (a n-1 .S n-1 + + a 1 S + a o ) Y(s) + n S 1 . U(s) (b n S n + + b n-1 S n-1 + + b 1 S + b o ) (3-19) Khai triển ra ta có: Y(s) = - a n-1 . S 1 Y(s) - a n-2 2 S 1 Y(s) - - a 1 1n S 1 − Y(s) - a o n S 1 Y(s) + + b n U(s) + b n-1 S 1 U(s) + + b 1 1n S 1 − U(s) + b o n S 1 U(s) Mối quan hệ (3-20) được thể hiện trên sơ đồ mô phỏng qua n tầng tích phân. Nhãn của các tín hiệu đặt quá tầng tích phân ví dụ một khối S 1 chỉ một tầng tích phân. Tín hiệu a n-2 y(t) và b n-2 U(t) chỉ vượt qua hai tầng tích phân, a o y(t) và b o u(t) vượt qua n tầng tích phân. http://www.ebook.edu.vn Hình 3-3: Sơ đồ khối mô phỏng dạng quan sát chính tắc. + Các biến trạng thái như là đầu ra của các khối tích phân quan hệ đầu ra với các biến trạng thái theo sơ đồ trên ta có: Y(t) = x n (t) + b n u(t) (3-21) x & 1 (t) = - a o y(t) + b o u(t) = - a o x n (t) + (b o - a o b n ) u(t) x & 2 (t) = - a 1 y(t) + b 1 u(t) + x 1 = x 1 (t) - a 1 x n (t) + (b 1 - a 1 b n ) u(t) x & 3 (t) = - a 2 y(t) + b 2 u(t) + x 2 = x 2 (t) - a 2 x n (t) + (b 2 - a 2 b n ) u(t) x & n (t) = - a 1-1 y(t) + b n-1 u(t) + x n-1 = = x n-1 (t) - a n-1 x n (t) + (b n-1 - a n-1 b n ) u(t) (3-22) Từ (3-21) và (3-22) ta dễ dàng viết dưới dạng ma trận của dạng quan sát chính tắc: 0 0 L L -a o b o - a o b n 1 0 L L -a 1 b 1 - a 1 b n x & (t) = 0 1 L L -a 2 x(t) + b 2 - a 2 b n u(t) M 0 1 L L …. 0 0 0 L -a n-2 …. 0 0 0 1 -a n-1 b n-1 - a n-1 b n (3-23) và y(t) = [ 0 0 0 1] x(t) + b n u(t) (3-24) Ví dụ: G(s) = S11,8S12131S8,94S463S996,0S 19080S6,90S576S331,0S65,1 23456 234 +++++ ++−− Hãy viét dạng quan sát chính tắc dưới dạng ma trận. 3.3.3- Kỹ thuật mô phỏng chương trình song song. Đối với kỹ thuật này ta phân ra làm hai trường hợp: đa thức mẫu có nghiệm thực riêng biệt và có nghiệm lặp. + b o - a o + b 1 - a 1 + b n-1 - a n-1 1/S + b 1 - a 1 1/S 1/S L 1/S + b n U(s) y(s) x & 1 x & n-1 x 2 x n-1 x & n x n http://www.ebook.edu.vn a) Đa thức mẫu có hàm truyền, có nghiệm riêng biệt. Dạng không gian trạng thái này thuận tiện cho các ứng dụng kiểu này bắt nguồn từ việc khai triển hàm truyền thành tổng các phân thức. Một cách tổng quát m < n thì: )s(U )s(Y = )pS) (pS)(pS( )s(P n21 m +++ = 1 1 pS r + + 2 2 pS r + + + n n pS r + + k (3-25) Ở đây p 1 , p 2 , , p n các nghiệm riêng biệt (các cực) của đa thức mẫu của hàm truyền. - Sơ đồ khối mô phỏng dạng này như sau: (Dạng modal chính tắc) Hình 3-4: Sơ đồ khối mô phỏng kỹ thuật lập trình song song. Mô hình không gian trạng thái theo sơ đồ khối này như sau: -p 1 0 L L 0 1 0 -p 2 L L 0 1 x & (t) = 0 1 L L L x(t) + M u(t) (3-26) L L L L 0 M 0 0 0 0 -p n 1 y(t) = [ k 1 k 2 k n ] x(t) (3-27) b) Đa thức mẫu có nghiệm lặp. ∑ y(t) + 1/S r 2 x & 2 x & 2 x 2 - p 2 + 1/S r 1 x & 1 x 1 - p 1 + 1/S r n x & n x n - p n M u(t) http://www.ebook.edu.vn Khi hàm truyền có cực thực lặp. Giả thiết cực p 1 lặp r lần. )s(U )s(Y = )pS) (pS()pS( )s(N n1r r 1 +++ + Dạng khai triển của nó là: )s(U )s(Y = 1 11 pS k + + 2 1 12 )pS( k + + + r 1 r1 )pS( k + + 1r 1r pS k + + + + + n n pS k + Hình 3-5: Sơ đồ mô phỏng dạng Jordan chính tắc. 3.3.4- Các mô hình của hệ thống gián đoạn. (tương tự trong sơ đồ chỉ thay khối S 1 ≡ Z -1 ). 3.4. Xác định hàm đáp ứng từ phương trình trạng thái 3.4.1. Hệ thống điều khiển liên tục Phương trình trạng thái của hệ theo (3.1) và (3.2) Nghiệm của (3.1): x(t) = e At . x(0) + ∫ t At duBe 0 )( ττ (3-28) y(t) = C. e At . x(0) + C. ∫ t At duBe 0 )( ττ + D. u(t) (3-29) y(t) = y qđ (t) + y ôđ (t) + 1/S k r+1 x & r+1 x r+1 - p 1 M u(t) + 1/S k n - p n + 1/S k 1r+1 x & r x r - p 1 K + 1/S - p 1 x & 2 x 2 + 1/S - p 1 x & 1 k 1r ∑ y(t) x 1 k 1r+1 http://www.ebook.edu.vn Đáp ứng quá độ: Là đáp ứng của hệ thống không phụ thuộc vào kích thích u(t) mà do các điều kiện đầu của hệ ( trạng thái ban đầu). Gọi là dao động tự do của hệ thống. Đáp ứng ổn định: Đáp ứng phụ thuộc vào u(t). Đặc trưng cho quá trình cưỡng bức của u(t) làm cho hệ thống ổn định. 3.4.2. Hệ thống điều khiển gián đo ạn Phương trình trạng thái được biểu diễn ở (3-3) và (3-4) Nghiệm của phương trình (3-3): x(k) = A k-k 0 . x(k 0 ) + ∑ − = −− 1 1 0 )( n kj jk juBA (3-30) y(k) = C. A k-k 0 . x(k 0 ) + C. ∑ − = −− 1 1 0 )( n kj jk juBA + D.u(k) (3-31) 3.4.3. Các phương pháp tìm đáp ứng Tìm ma trận trạng thái: e At - Toán tử Laplace: Áp dụng công thức: e At = l -1 [ (SI - A) -1 ] - Phương pháp Sylvester: Dựa vào trị riêng của ma trận A: Tìm trị riêng bằng cách tìm nghiệm của phương trình sau det (λI - A) = 0, giải phương trình được các nghiệm: λ 1 , λ 2 , , λ n . Ta có: e At = α 0 (t).Ι + α 1 (t).Α + α 2 (t).Α 2 + + α n (t).A n Trong đó: Các hệ số α 0 (t), α 1 (t), α 2 (t), , α n (t) xác định từ hệ phương trình sau α 0 (t) + α 1 (t).λ 1 + α 2 (t).λ 2 1 + + α n (t).λ 1 1 −n = e λ 1 t α 0 (t) + α 1 (t).λ 2 + α 2 (t).λ 2 2 + + α n (t).λ 1 2 −n = e λ 2 t . . . α 0 (t) + α 1 (t).λ n + α 2 (t).λ 2 n + + α n (t).λ 1−n n = e λ n t . S11,8S12 131 S8,94S463S996,0S 19080S6,90S576S 331 ,0S65,1 234 56 234 +++++ ++−− Hãy viét dạng quan sát chính tắc dưới dạng ma trận. 3. 3. 3- Kỹ thuật mô phỏng chương trình song song. Đối với kỹ thuật. 1 L L -a 2 x(t) + b 2 - a 2 b n u(t) M 0 1 L L …. 0 0 0 L -a n-2 …. 0 0 0 1 -a n-1 b n-1 - a n-1 b n ( 3- 2 3) và y(t) = [ 0 0 0 1] x(t) + b n u(t) ( 3- 2 4) Ví. là kỹ thuật chương trình trực tiếp và kỹ thuật chương trình song song. Để đơn giản ta xét với hệ thống một đầu vào một đầu ra. 3. 3. 1- Mô phỏng HT theo dạng điều khiển chính t ắc. Kỹ thuật