Câu V (1,0 điểm) Cho ,, x yz là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 23 =++ ++ + x yz P x yyzzx Tr ướ c h ế t ta ch ứ ng minh: 11 2 (*), 11 1 ab ab +≥ ++ + v ớ i a và b d ươ ng, ab ≥ 1. Thật vậy, (*) ⇔ ( a + b + 2)(1 + ab ) ≥ 2(1 + a)(1 + b ) ⇔ (a + b) ab + 2 ab ≥ a + b + 2 ab ⇔ ( ab – 1)( a – b ) 2 ≥ 0, luôn đúng với a và b dương, ab ≥ 1. Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi: a = b hoặc ab = 1. Áp dụng (*), với x và y thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, ta có: 11 23 11 x P zx xy y z =++ + ++ ≥ 12 . 3 2 1 y x x y + + + Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: z y = x z ho ặ c 1 x y = (1) Đặt x y = t , t ∈ [1; 2]. Khi đ ó: P ≥ 2 2 2 231 t tt +⋅ ++ Xét hàm f ( t ) = 2 2 2 , 231 t tt + ++ t ∈ [1; 2]; 3 22 2 2(43)3(21)9) '( ) (2 3) (1 ) tt tt ft tt ⎡ ⎤ −−+−+ ⎣ ⎦ = ++ < 0. ⇒ f ( t ) ≥ f (2) = 34 ; 33 dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: t = 2 ⇔ x y = 4 ⇔ x = 4, y = ⇒ P ≥ 34 . 33 Từ (1) và (2) suy ra dấ u " = " xả y ra khi và chỉ khi: x = 4, y = 1 và z = 2. V ậ y, giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a P b ằ ng 34 ; khi x = 4, y = 1, z = 2. Lấ y đạ o hàm theo z ta có : P’ (z) = 22 0 ()() y x y zzx    = 22 ()( ()() ) x yz xy yz zx   + Nếu x = y thì P = 6 5 + Ta xét x > y thì P  P( x y ) = 2 23 y x xy yx    Kh ả o sát hàm P theo z, ta có P nh ỏ nh ấ t khi z = x y 33 www . l a i s ac . pag e. t l  Ạ Ọ ( S ư u  t ầ m , t ổ n g  h ợ p  các b à i  g i ả i c ủ a  n h i ềut á c giả t r ênI n t er n e t )  C ác h  1 C ác h  2 ĐỀ Khố i  . 2011 A N  N  N H H H I I I Ề  Ề  Ề U  U  U  C  C  C Á  Á  Á C  C  C H H H G G G I I I Ả  Ả  Ả I I I K K K H H H Á  Á  Á C  C  C  N  N  N H H H A  A  A U  U  U  C  C  C Â  Â  Â U  U  U  5  5  5  Đ  Đ  Đ Ề  Ề  Ề  T  T  T H H H I I I Đ  Đ  Đ Ạ  Ạ  Ạ I I I H H H Ọ Ọ Ọ C  C  C  K K K H H H Ố Ố Ố I I I A  A  A , , , B  B  B  N  N  N Ă  Ă  Ă M M M 2  2  2 0  0  0 1  1  1 1  1  1 Đặ t t = x y  P thành f(t) = 2 2 2 231 t tt    (t  (1; 2])  f’(t) = 32 22 2 2[4 ( 1) 3(2 3)] (2 3) ( 1) tt t t tt   < 0 Vậy P  f(t)  f(2) = 34 33 . Dấu “=” x ảy ra khi x = 4, y = 1, z = 2 V ậ y min P = 34 33 . Đặt ,,, yzx abctbc xyz ==== thì ta có 1 1,1 4 aabc ££= và 12. t ££ Biểu thức P được viết lại thành 111 . 3211 P abc =++ +++ Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 11221 1 11(1)(1)11 122 1. 1 211 bcbcbc bcbcbcbcbcbc bc t bcbcbc ++++- +===+ ++++++++++ - ³+== + +++ Từ đó suy ra 2 2 2 12122 (). 321311 23 2 t Pft attt t t ³+=+=+= ++++ + + Khảo sát hàm () ft trên đoạn [1,2], ta thấy 222 31 ()20 (23)(1) t ft tt éù êú ¢ =-< êú ++ ëû vì 222 323 3(1)(23)(1)(23)(1)(23) 22 (41)(1) 0. 2 t ttttttt tt ++ +-+£+-+£+-+ =-£ Do đó () ft là hàm nghịch biến trên [1,2], suy ra 34 ()(2). 33 Pftf³³= Mặt khác, dễ thấy đẳng thức xảy ra khi y 4,1 x == và 2. z = Vậy ta đi đến kết luận 34 min. 33 P = Xét hàm số f(x) = x 2x+3y + y y+z + z z+x ⇒ f  (x) = 3y (2x+3y) 2 − z (z+x) 2 Ta sẽ chứng minh 3y(x + z) 2 ≤ z(2x + 3y) 2 ⇔ z(4x 2 + 9y 2 ) + 6xyz ≥ 3y x 2 + 3yz 2 ⇔ z(2x − 3y) 2 + 3y(4z −x) + 3yz(2x − z) ≥ 0 luôn đúng vì z ≤ x ≤ 4z C ác h  3 C ác h  4 ⇒ f(x) nghịch biến trên khoảng [1;4] ⇒ f(x) ≥ f(4) = 4 3y+8 + y y+z + z z+4 = f(y) ⇒ f  (y) = z (y+z) 2 − 12 (3y+8) 2 Tiếp theo ta sẽ chứng minh z(3y + 8) 2 ≥ 12(y + z) 2 ⇔ z(48 − 12z) + 9y 2 (z −1) + 3y(8z −y) ≥ 0 bởi vì 4 ≥ z ≥ 1; y ≤ 4z ⇒ f(y) đồng biến trên khoảng [1;4] ⇒ f(y) ≥ f (1) = 4 11 + 1 1+z + z z+4 ≥ 34 33 Xét x =++ +++ 23 xyz fx yyzzx () Sẽ có ( ) ( ) zxxz x - - =< ++ +- 2222 22 436 2 0 39 23 yzyzy fx y x z y x '() vì tử số của nó là: ( ) zxx yxx xx x xx x æö ÷ ç £ ÷ ç ÷ ç èø - = + - + - - £-=- - <- =-£ 2 22222 222 22 22 22 2 3 27 16 2716 94 9 4 16 394 4 94 3627 4 4 3648 4 302 yxzz x yyxy y yy xyy yy y () Từ đó ³= + ++= ++ 4 83 4 4 yz P z y fgy yz ()() để rồi lại thấy ( ) ( ) ( ) ( ) zz + =- - = ++++ - 222 2222 12649 1212 8383 zzy g yzyyzy y y'() Xét tử số chính là: zzzz=12(z-1)(4-z)+4z ³ +++- > 2222222 12126412120 6499483 y zyyy y Vì =-+ ³ - 2 144 4 8 4 3 30 zzy yy ()(); ()() vậy nên: () ³=++= ++ 11 41 1 14 z z P ghz z () Lại có nốt ( ) ( ) z -+ = ++ 22 236 41 z hz zz ()() '() Thế cho nên hz '() đổi dấu từ âm qua dương khi z chạy qua 2 vì vậy giá trị nhỏ nhất của h(x) là = 3 2 34 3 h() Tóm lại giá trị bé nhất cần tìm là 34 33 nó đạt được khi x === 412 yz ;; C ác h  5 ĐỀ Khố i B . 2011 Câu V (1,0 điểm) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a + b ) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 33 22 33 22 49 ab ab P ba ba ⎛⎞⎛ =+−+ ⎜⎟⎜ ⎞ ⋅ ⎟ Với a, b dương, ta có: 2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) ⇔ 2( a 2 + b 2 ) + ab = a 2 b + ab 2 + 2( a + b) ⇔ 2 ab ba ⎛ + ⎜ ⎞ ⎟ + 1 = ( a + b) + 2 11 . ab ⎛⎞ + ⎜⎟ ( a + b ) + 2 11 ab ⎛⎞ + ⎜⎟ ⎝⎠ ≥ 2 11 2( )ab ab ⎛⎞ ++ ⎜⎟ ⎝⎠ = 22 2 ab ba ⎛ ++ ⎜ ⎝⎠ ⎞ ⎟ , suy ra: 2 ab ba ⎛ + ⎜ ⎝⎠ ⎞ ⎟ + 1 ≥ 22 2 ab ba ⎛⎞ ++ ⎜⎟ ⎝⎠ ⇒ ab ba + ≥ 5 . 2 Đặ t t = ab ba + , t ≥ 5 2 , suy ra: P = 4(t 3 – 3t) – 9(t 2 – 2) = 4t 3 – 9t 2 – 12t + 18. Xét hàm f ( t ) = 4 t 3 – 9 t 2 – 12 t + 18, v ớ i t ≥ 5 . 2 Ta có: '( ) f t = 6(2 t 2 – 3 t – 2) > 0, suy ra: 5 ; 2 min ( ) f t ⎡⎞ +∞ ⎟ ⎢ ⎣⎠ = 5 2 f ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ = – 23 . 4 Vậy, minP = – 23 ; 4 khi và ch ỉ khi: 5 2 ab ba += và 11 2ab ab ⎛⎞ += + ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔ (a; b) = (2; 1) hoặc (a; b) = (1; 2). The o g iả  t h i ết ta  c ó ( ) ( ) ( )  2 2  2 2  a b ab a b a b + + = + +  . Từ đ ây su y r a : ( )  1 1 2 1 2  a b a b b a a b æ ö æ ö + + = + + ç ÷ ç ÷ è ø è ø  h a y  2 2 2 1  a b a b b a b a æ ö + + = + + + ç ÷ è ø  Áp  d ụ n g  b ất đ ẳ n g  th ứ c  C a u c h y , ta có : 2 2 2 2  a b a b b a b a æ ö + + + ³ + ç ÷ ç ÷ è ø  Đặ t t =  a b b a +  , ta  su y r a  : 2 t +1 ³  2 2 2  t + Þ 4 t 2  – 4 t – 1 5 ³ 0 Þ t ³  5 2 Mặ tk h ác : P =  3 3 2 2  3 3 2 2  4 9  a b a b  b a b a æ ö æ ö + - + ç ÷ ç ÷ è ø è ø  =  4 ( t 3  – 3 t) – 9(t 2  – 2 )  =  4 t 3  – 9 t 2  – 1 2 t  +  1 8  = f ( t) f ’ ( t) =  1 2 t 2  – 1 8 t – 1 2 ,  f ’ ( t)  = 0 Þ  t =  1 2 -  h a y t =  2 Þ M in f ( t ) =  23 4 -  k h it =  5 2 V ậ y m in  P=  23 4 -  k h i a =  1 và b =  2 hay a =  2 và b  =  1 .  Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có ab +2 ≥2  2ab. C ác h  1 C ác h  2 C ác h  3 Từ đó suy ra  2(a 2 +b 2 ) +ab  2 ≥8ab(a +b) 2 . Bất đẳng thức này có thể viết lại thành  2  a b + b a  +1  2 ≥8  a b + b a +2  . Đặt t = a b + b a thì ta có (2t +1) 2 ≥8(t +2). Giải bất phương trình này với chú ý rằng t ≥2, ta tìm được t ≥ 5 2 . Bây giờ, biến đổi biểu thức P theo t, ta có P =4(t 3 −3t) −9(t 2 −2) =4t 3 −9t 2 −12t +18 = f (t). Xét hàm f (t) trên  5 2 , +∞  , ta có f ′ (t) =12t 2 −18t −12 =6(2t 2 −3t −2) >0, vì 2t 2 −3t −2 = t(2t −5) +2(t −1) >0. Vậy f (t) đồng biến trên  5 2 , +∞  , suy ra P = f (t) ≥ f  5 2  =− 23 4 . Mặt khác, dễ thấy đẳng thức xảy ra khi a =2 và b =1. Do vậy, ta đi đến kết luận min P =− 23 4 . . của biểu thức 33 22 33 22 49 ab ab P ba ba ⎛⎞⎛ =+−+ ⎜⎟⎜ ⎞ ⋅ ⎟ Với a, b dương, ta có: 2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b) (ab + 2) ⇔ 2( a 2 + b 2 ) + ab = a 2 b + ab 2 + 2( a + b) . 2 (*), 11 1 ab ab +≥ ++ + v ớ i a và b d ươ ng, ab ≥ 1. Thật vậy, (*) ⇔ ( a + b + 2)(1 + ab ) ≥ 2(1 + a)(1 + b ) ⇔ (a + b) ab + 2 ab ≥ a + b + 2 ab ⇔ ( ab – 1)( a – b ) 2 . ra  2(a 2 +b 2 ) +ab  2 ≥8ab(a +b) 2 . B t đẳng thức này có thể viết lại thành  2  a b + b a  +1  2 ≥8  a b + b a +2  . Đặt t = a b + b a thì ta có (2t +1) 2 ≥8(t +2). Giải b t phương