Hình học sơ cấp: Phép nghịch đảo

43 1.3K 12
Hình học sơ cấp: Phép nghịch đảo

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí MinhKhoa Toán – TinHÌNH HỌC SƠ CẤPCHỦ ĐỀ:PHÉP NGHỊCH ĐẢO.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Khoa Toán – Tin HÌNH HỌC SƠ CẤP CHỦ ĐỀ: PHÉP NGHỊCH ĐẢO ___________________________ TP Hồ Chí Minh - tháng 11 năm 2010 LỚP TOÁN 4B PHÉP NGHỊCH ĐẢO GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Trang 2 DANH SÁCH NHÓM: 1. Đặng Minh Nhựt (Bài 1) 2. Lê Thị Hoài Thu (Bài 5) 3. Lê Hữu Phước (Bài 6) 4. Nguyễn Thị Tâm (Bài 8) 5. Trần Tâm (Bài 3) 6. Cao Thị như Thảo (Bài 2) 7. Nguyễn Thị Thảo (Bài 7) 8. Bùi Minh Nghĩa (Bài 4) 9. Nguyễn Thị Kim Ngân (Bài 10+Bài 4 LT) 10. Trịnh Thị Kim Ngân (Bài 13+Bài 3LT) 11. Nguyễn Thị Việt Nhân (Bài 14+Bài 5LT) 12. Huỳnh Thị Nhẫn (Bài 9 + Bài 7LT) 13. Đặng Nhi Thảo (Bài 12+Bài 6LT) 14. Nguyễn Thị Hoàng Yến(Bài 11+Bài 2LT) 15. Thạch Oanh Ni (Bài 15+Bài 1LT) 16. Nguyễn Hoàng Tuyết Nhung (Bài 16) 17. Lê Hoàng Thanh Trúc (Bài 17) 18. Huỳnh Thị Mỹ Hạnh (Bài 18) 19. Bùi Thị Hồng Cẩm (Bài 19) 20. Nguyễn Minh Tú (Bài 20) 21. Hồ Xuân Quân (Bài 21) 22. Mai Thị Xuyến (Bài 22) 23. Phan Lê Văn Thắng (Bài 23) 24. Mai Xuân Vinh (Bài 24) 25. Nguyễn Thanh Toàn (Bài 25) LỚP TOÁN 4B PHÉP NGHỊCH ĐẢO GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Trang 3 Câu 1: Cho dây cung của đường tròn có là trung điểm. là điểm thuộc , tiếp tuyến tại cắt tại Các tiếp tuyến tại cắt nhau tại . Xét phép nghịch đảo cực , phương tích a) b) Các đường thẳng c) đường thẳng , đường tròn đường kính . Giải: a).b). Qua : (do P ). c).  Gọi Qua : LỚP TOÁN 4B PHÉP NGHỊCH ĐẢO GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Trang 4  Ta có: vuông góc với tại (do tính chất đường kính, dây cung) Xét vuông tại : Từ đó qua : . BÀI 2: Cho (O) và điểm S nằm ngoài (O). Hai cát tuyến lưu động của S lần lượt cẳt (O) tại A,A’ và B, B’. Gọi M giao điểm thứ hai của (SAB’) và (SBA’). Tìm quỹ tích điểm M Giải: /( ) ' '' ' ' ' ( ) ( ) ' ' ( ') () K S S O N K P OO AA BB SAB A B SAB AB M M AB AB ' () lh O SM (cách dựng cát tuyến) S M () S KS MN (đường tròn).  LỚP TOÁN 4B PHÉP NGHỊCH ĐẢO GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Trang 5 Câu 3: Cho đường tròn (O) và điểm S nằm ngoài (O), AB là đường kính thay đổi. a) Chứng minh rằng đường tròn (SAB) đi qua điểm cố định khác S. b) SA, SB lần lượt cắt (O) tại M, N. Chứng minh rằng MN đi qua điểm cố định. Giải: a) Ta có: 2 OS. .OI OAOB R I là điểm cố định cần tìm. b) , P . ( ) ( )OO MA NB ()MN SAB ( ) ( ) K S I SAB J N I MN . LỚP TOÁN 4B PHÉP NGHỊCH ĐẢO GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Trang 6 Bài 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngoài tại A. M là điểm nằn trên tiếp tuyến chung của (O) và (O'). Chứng minh rằng có hai đường tròn qua M và tiếp xúc với (O) và (O’). Hãy tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của hai đường tròn này. Giải: Gọi d 1 , d 2 là các tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (M Giả sử đường tròn cần dựng là (C 1 ), là đường tròn qua M và tiếp xúc với (O) và (O’). Xét N (M,k) , với k=MA 2 (O) (O’) (O’) D 1 (C 1 ) Do (C 1 ) tiếp xúc với (O) và (O’) nên d 1 tiếp xúc với (O) và (O’) và 1 Md Từ đó suy ra d 1 là tiếp tuyến chung của (O) và (O’), 1 Md Do (O) và (O’) có 3 tiếp tuyến chung mà tiếp tuyến chung qua A và M là bất biến qua N (M,k) nên hai tiếp tuyến chung còn lại sẽ biến thành hai đường tròn qua M qua N (M,k) Vậy hai đường tròn (C 1 ), (C 2 ) qua M và tiếp xúc với (O), (O’) là ảnh của hai tiếp tuyến chung d 1, d 2 của (O),(O’). Tìm quỹ tích giao điểm của (C 1 ), (C 2 ). Gọi I là giao điểm của d 1, d 2 . Khi đó: N (M,k) d 1 (C 1 ) d 2 (C 2 ) LỚP TOÁN 4B PHÉP NGHỊCH ĐẢO GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Trang 7 I J (giao điểm của IM và (C 1 )) Ta có: M, I, J thẳng hàng và MI.MJ=k 2 =MA 2 Suy ra J thuộc đường tròn (IA). Bài 6: Cho (O) và hai đường thẳng Ox,Oy vuông góc với nhau .tiếp tuyến tại M thay đổi trên (O) cắt Ox,Oy tại A ,B .Trục đẳng phương của (O) và (OAB) cắt Ox,Oy lần lượt tại C,D. Tìm quỹ tích trung điểm I của CD. Giải: Vì tam giác ABC vuông nên (ABC) nhận AB làm đường kính ,khi đó N là trung điểm của AB là tâm của (OAB). Xét , trong đó k=OM 2 . MO MO (O) (O) E E F F (OAB) EF A C LỚP TOÁN 4B PHÉP NGHỊCH ĐẢO GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Trang 8 B D OA.OC=OM 2 OB.OD=OM 2 MC OA MD OB Suy ra: tứ giác MDOC là hình chữ nhật. Gọi I là trung điểm của CD khi đó I cũng là trung điểm của MO Vậy ; 2 R IO . Bài 7: Dựng đường tròn qua hai điểm cho trước và tiếp xúc với đường tròn cho trước. Ý tưởng: Thay vì dựng đường tròn đi qua hai điểm A,B cho trước và tiếp xúc với đường tròn O cho trước. Ta dùng phép nghịch đảo biến đường tròn thành đường thẳng d tiếp xúc với O ,việc dựng hình sẽ dễ hơn. Do đó, ta chọn phép nghịch đảo sao cho giữ lại O , còn biến thành d ; A,B nên chọn một trong hai điểm này làm tâm , vậy ta chọn phép nghịch đảo OA PAN / , . Phân tích: Xét phép nghịch đảo: OA PAN / , OO ' BB d tiếp xúc với O d tiếp xúc với O B dB ' Cách dựng: . Dựng cát tuyến ' ACC với O . Dựng ' BCC cắt AB tại ' B . Dựng d là tiếp tuyến qua ' B của O ,tiếp xúc với O tại M . Dựng AM cắt O tại ' M LỚP TOÁN 4B PHÉP NGHỊCH ĐẢO GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Trang 9 Vậy ' ABM là đường tròn cần dựng. Chứng minh: Xét phép nghịch đảo: OA PAN / , OO MM ' ( OA AMAM / ' . ) d ( OA ACACAMAMABAB / '''' ) ' BB Do tính bảo toàn góc nên: d tiếp xúc với O tại M tiếp xúc với O tại ' M Biện luận: . Khi A,B O : Đường tròn chính là đường tròn O . Bài toán có một nghiệm hình. . Khi A O , B O hoặc A O , B O . Bài toán có vô số nghiệm hình. . Khi A,B O : Có 2 đường tròn đó là đường tròn tiếp xúc trong O và đường tròn tiếp xúc ngoài O . Bài toán có 2 nghiệm hình. Bài 8: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d tiếp xúc nhau tại A .gọi ( ) là đường tròn thay đổi tiếp xúc với (O) và d tại các điểm khác A.chứng minh ( ) trực giao với đường tròn cố định. Giải: LỚP TOÁN 4B PHÉP NGHỊCH ĐẢO GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Trang 10 Chọn , trong đó k=AD 2 khi đó O D (O) d 1 d d D tiếp xúc (O) d//d 1 (tính chất bảo toàn góc) ( ) ( ) ( ) tiếp xúc với d và (O) ( ) tiếp xúc với d,d 1 Vẽ vuông góc với AD,ta có: ( ) ( ) . Vì cố định nên ( ) cố định. Vậy ( ) trực giao với đường tròn cố định. Chứng minh: Gọi R’ là bán kính của (O’). Xét phép nghịch đảo ' k O N với 2 ' ' R O kN Suy ra (O’) bất biến. Vì ( ) ( ')O nên 2 /( ) ' O Rk Do đó: ( ) bất biến qua phép nghịch đảo ' k O N . Giả sử ' ' 2 ( ) ( '') R O N OO Do (O) cố định nên (O’’) cố định. Ta cần chứng minh ( ) ( '')OO . Thật vậy, giả sử (O) bất biến. Khi đó với ()M O và 2 ' ' ' ( ) R O M N M thì (' )M O (*). Mặt khác: 2 O'M.O'M'=R' và ''O M R Suy ra: O’M’<R’ tức là M’ nằm trong (O’) hay M’ nằm ngoài (O) (vì (O) và (O’) ngoài nhau). Suy ra ' ( )MO : mâu thuẫn với (*). Vậy ( ) luôn tiếp xúc đường tròn cố định thứ hai khác . Bài 9: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ngoài nhau. ( ) là đường tròn thay đổi tiếp xúc (O) và trực giao (O’). Chứng minh rằng: ( ) tiếp xúc đường tròn cố định thứ hai khác (O). [...]... thành hai đường thẳng vuông góc bằng phép nghịch đảo có cực là A hoặc B Khi đó, ta có thể áp dụng định lí Pythagore để có được một đẳng thức bình phương nào đó Từ đó, áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm ảnh qua phép nghịch đảo để suy ra điều phải chứng minh Vì A, B có vai trò như nhau, nên ta có thể chọn một trong hai điểm này để làm cực trong phép nghịch đảo Xét N(A, k): B B'; C C'; D D'... đường thẳng d Trường hợp 2: O d thì Ax đường tròn O , và By ' Xét phép nghịch đảo N C , P C / O O A B ta có O A B ' M C , khi đó C chính là tâm đẳng phương của ba ' P GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Trang 26 PHÉP NGHỊCH ĐẢO LỚP TOÁN 4B Do đó khi M chạy trên d thì P sẽ chạy trên đường tròn qua C ( do C d ) là ảnh của đường thẳng d qua phép nghịch đảo N C , P C / O Vậy quỹ tích điểm P chính là đường tròn ABC... (đpcm) Bài 22:(Mai Thị Xuyến) Cho phép nghịch đảo cực I , phương tích k biến đường tròn (O) thành đường tròn (O’) CMR: O biến thành chân đường đối cực của I đối với (O’) Bài giải: Gọi d là tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm (O) qua I Xét phép nghịch đảo cực I, phương tích k: N ( I ,k ) d d (O) (O' ) A A' Suy ra d tiếp xúc với (O’) (Do tính bảo toàn góc qua phép nghịch đảo ) Hay d là tiếp tuyến của đường... Thiện Trang 29 PHÉP NGHỊCH ĐẢO LỚP TOÁN 4B IO.IH IA.IA' k N ( I ,k ) H O Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 23: Cho hai điểm A, B trên đường thẳng d Hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt tiếp xúc d tại A, B và trực giao nhau tại M, N Tìm quỹ tích M và N Ý tưởng: M, N thuộc 2 đường tròn cùng tiếp xúc với d cố định hay góc của (O), (O’) và d là 00 nên ta nghĩ đến phép nghịch đảo vì phép nghịch đảo bảo toàn... MN, MP, PN R , R’ lần lượt là bán kính của (O), (A’B’C’) Ta có: OA.OA ' OM 2 R2 OB.OB ' ON 2 R2 OC.OC ' OP 2 R2 Xét phép nghịch đảo: NO R 2 A' B C Suy ra: ( ABC ) A B' C' ( A ' B ' C ') Khi đó : ( A ' B ' C ') là đường tròn Euler của MNP GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Trang 18 PHÉP NGHỊCH ĐẢO LỚP TOÁN 4B R' R 2 A cố định suy ra A’ cố định Do đó: ( A ' B ' C ') tiếp xúc với đường tròn ( A ',2R ') cố định... A, P và tiếp xúc (O) cắt đường tròn ( ') qua A’, P và tiếp xúc (O) tại minh: Chứngđiểm thứ hai M Tìm quỹ tích M GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Trang 19 PHÉP NGHỊCH ĐẢO LỚP TOÁN 4B 1 Chứng minh PH đi qua trung điểm I của A’B’ và PH.PI là hằng số: Xét phép nghịch đảo k NP (với (O ) A' B B' AB (PA ' B ') H AB nên PH P /(O ) ) (O ) A Vì PH k H' (PA ' B ') Suy ra: PH đi qua tâm (PA’B’) Nên PH đi qua trung điểm... ' 2 PH.PI |k | 2 const 2 Tìm quỹ tích M: Qua phép nghịch đảo ( ) ( ') k NP : Ax A' y Do ( ) tiếp xúc (O) nên Ax tiếp xúc (O) Do ( ') tiếp xúc (O) nên A’y tiếp xúc (O) Gọi M’=Ax A’y Ta có: {M } M' ( ) ( ') Ax A ' y M k NP (M ') Suy ra Theo cách xác định, ta có: M AA ' mà P AA ' nên P GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện lh (O ) M ' Do đó: M ' D Trang 20 PHÉP NGHỊCH ĐẢO LỚP TOÁN 4B Câu 16:Cho tứ giác ABCD Chứng...PHÉP NGHỊCH ĐẢO LỚP TOÁN 4B Bài 10: AB.CD+ AD.BC=AC.BD minh: Cách 1: Dùng phép nghịch đảo k NA : B B’ C C’ (k 0) D’ D B’,C’,D’ t B’C’+C’D’=B’D’ K BC AB AC BC AB AC K CD AC AD CD AC AD K BD AB AD BD AB AD AB.CD+ AD.BC=AC.BD Cách 2: Sử dụng đường... Aa, Bb, Cc đồng quy nên (aαm), (bβn), (cγp) đi qua N R ( E ) O 2 GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện E ' Trang 13 PHÉP NGHỊCH ĐẢO LỚP TOÁN 4B Bài 12: Gọi (O, R) và (I, r) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC với OI = d d2 Chứng minh rằng: R2 2 Rr Chứng minh: Cách 1:( theo phép nghịch đảo) Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của (I, r) với AB, AC, BC A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của... (O ) Suy ra: M M lh (O ) F F M d d OF d F F là cực của đường thẳng d đối với đường tròn (O) Mà (O), d cố định Suy ra F cố định k b/ Xét phép nghịch đảo N F với k Gọi I PF /(O ) k N F (M ) Suy ra FM FI PF /(O) GVHD:Lê Ngô Hữu Lạc Thiện FA.FB FP.FQ Trang 27 PHÉP NGHỊCH ĐẢO LỚP TOÁN 4B Suy ra tứ giác MAIB , MPIQ nội tiếp Suy ra giao điểm thứ hai của (MAB) và (MPQ) là I Mà I k N F (M ) ; M (d ) k N F (d

Ngày đăng: 04/08/2014, 13:56

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan