Phần 1: GIẢI TÍCH CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM I TÓM TẮT KIẾN THỨC: 1) Sự đơn điệu hàm số: * Định nghĩa:  Hàm số y = f ( x ) đồng biến (a;b)  ⇔ ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f ( x ) nghịch biến (a;b) ⇔ ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) * Định lí:  Hàm số y = f ( x) y = f ( x) y ′ ≥ ; ∀x ∈ (a;b) nghịch biến (a;b) ⇔ y ′ ≤ ; ∀x ∈ (a;b) đồng biến (a;b) ⇔  Hàm số Chú ý: dấu “=” xảy số điểm hữu hạn * Chú ý: • Khi yêu cầu “Tìm khoảng đơn điệu” tức “Tìm khoảng đơn điệu tập xác định” • Để xét tính đơn điệu hàm số: ta thực sau: + Tìm D + Tính y ′ + Tìm nghiệm y ′ ( có) + Lập bảng biến thiên + Căn vào bảng biến thiên ta kết luận khoảng đơn điệu • Hàm số biến đồng biến (nghịch biến) tập xác định, xét điều kiện đủ không xảy dấu “=” 2) Cực trị hàm số: a) Dấu hiệu : Khi x qua x0 mà y ′ đổi dấu ( theo hướng từ trái sang phải) từ : • (+) → (−) : x0 điểm cực đại (−) → (+) : x0 điểm cực tiểu • → Quy tắc 1: Lập bảng biến thiên, vào bảng biến thiên ta kết luận cực trị hàm số b) Dấu hiệu : • • → Quy tắc 2: + Tính y ′ + Tìm điểm + Tính + Tính Chú ý: y ′′ y ′′( xi )  f ′( x0 ) =    ⇒ x0 điểm cực tiểu f ′′( x0 ) >    f ′( x0 ) =    ⇒ x0 điểm cực đại  f ′′( x0 ) <  xi mà đạo hàm không xác định xi điểm cực đại hay cực tiểu y = f ( x) ⇒ f ′( x0 ) = dùng dấu hiệu để kết luận x0 điểm cực trị hàm số 3) GTLN – GTNN hàm số * Định nghĩa: y = f ( x) D : -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -1 -  Số M gọi GTLN hàm số  Số m gọi GTNN hàm số 4) Các đường tiệm cận đồ thị hàm số: a) Tiệm cận đứng: lim y = ±∞ ⇒ x = x0 x → x0± Phương pháp: Tìm điểm ⇒ x = x0 ∀x ∈ D : f ( x ) ≤ M  y = f ( x) D ⇔  ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M  ∀x ∈ D : f ( x ) ≥ m  y = f ( x) D ⇔  ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m  x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số nghiệm mẫu không nghiệm tử tiệm cận đứng đồ thị hàm số b) Tiệm cận ngang: lim y = y0 ⇒ y = y0 x →±∞ Phương pháp: Tính lim y x →+∞ tiệm cận ngang đồ thị hàm số lim y x →−∞ Chú ý: + Hàm đa thức: đồ thị tiệm cận P ( x) : Q ( x) P ( x ) ≤ bậc Q ( x ) : đồ thị có tiệm cận ngang P ( x ) > bậc Q ( x ) : đồ thị khơng có tiệm cận ngang + Xét hàm phân thức:  Nếu bậc y=  Nếu bậc 5) Khảo sát hàm số:  Tìm tập xác định hàm số  Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm phương trình y’= 0, tính giá trị hàm số nghiệm vừa tìm  Tìm giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực tìm tiệm cận (nếu có)  Lập bảng biến thiên  Tìm điểm đặc biệt tính đối xứng đồ thị  Vẽ đồ thị Chú ý:  Hàm số bậc ba: đồ thị có tâm đối xứng nghiệm phương trình y ′′ = ( đặc biệt hàm số có cực đại cực tiểu tâm đối xứng trung điểm điểm cực đại, cực tiểu)  Hàm số trùng phương: đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng  Hàm biến: đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng II CÁC DẠNG TỐN ĐIỂN HÌNH: SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Xét tính đơn điệu hàm số: lập bảng biến thiên Dạng 2: Định giá trị tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) TXĐ: dùng định lý phần kiến thức để tìm m Chú ý: Nếu y ′ = ax + bx + c a ≠ thì: (   ) a > y ′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ a < y ′ ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tìm điểm cực trị hàm số: ta dùng quy tắc quy tắc -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -2 - Dạng 2: Định giá trị tham số m để hàm số đạt cực trị Phương pháp: + Tìm D + Tính y ′ ⇒ y ′ x0 ( ) x0 : ( ) + Lập luận: Hàm số đạt cực trị cực trị x0 ⇒ y ′ x0 = → giải tìm m + Với giá trị m vừa tìm ta dùng quy tắc quy tắc kiểm tra lại xem có thỏa điều kiện đề không + Kết luận giá trị m thỏa điều kiện Dạng 3: Định giá trị tham số m để hàm số ln ln có cực đại, cực tiểu: Phương pháp: + Tìm D + Tính y ′ + Tính ∆ y′ ⇔ y ′ = có hai nghiệm phân biệt đổi dấu ⇔ ∆ y′ > → giải tìm m (nếu y ′ không tam + Lập luận: Hàm số luôn có CĐ, CT hai lần khác qua hai nghiệm thức bậc hai ta phải lập bảng biến thiên để đổi dấu hai lần khác qua hai nghiệm đó) + Kết luận giá trị m vừa tìm Dạng 4: Chứng minh với giá trị tham số m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu: Phương pháp: + Tìm D + Tính y ′ + Tính ∆ y′ + Chứng minh : ∆ y′ > đổi dấu hai lần khác qua hai nghiệm ln ln có CĐ, CT GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) TRÊN D : Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN hàm số khoảng  Lập bảng biến thiên (a;b)  Nếu bảng biến thiên có cực trị : • Cực đại ⇒ Cực tiểu ⇒ hàm số ( a; b ) : ta thực sau: f CD = max f ( x) ( a ;b ) • ⇒ f CT = f ( x) ( a ;b ) Dạng 2: Tìm GTLN – GTNN hàm số đoạn [ a; b] : ta thực sau: Cách 1:  Tính y ′ y ′ = (hoặc y ′ khơng xác định)  Tính : f ( a ); f ( xi ); f (b) (với xi ∈ ( a; b) ) → so sánh giá trị bên →  Tìm điểm xi cho Cách 2:  Lập bảng biến thiên [a;b] → kết luận CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ: Dạng 1: Sự tương giao đồ thị: a) Bài tốn 1: Tìm số giao điểm hai đường C1 : y = f x ( ) Lập phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) kết luận ( ) ( C ) : y = g ( x) ( C ) : f ( x ) = g ( x ) + + Số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm số giao điểm hai đường -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -3 - b) Bài toán 2: Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: ta thực sau: + Biến đổi phương trình cho phương trình hồnh độ giao điểm (một vế phương trình hàm số có đồ thị (C), vế phần cịn lại) + Lập luận: Số nghiệm phương trình số giao điểm (C) (d) + Dựa vào đồ thị, ta tìm giá trị m ảnh hưởng đến số giao điểm (C) (d) → Kết luận Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f x : Phương trình có dạng: ( ) y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 ) a) Tại M ( x0 ; y0 ) b) Biết hệ số góc k tiếp tuyến: sử dụng Chú ý: d / / tt ⇔ k d = ktt d ⊥ tt ⇔ kd ktt = −1 k = f ′( x0 ) tìm x0 → tìm y0 III BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a) y = x+ x b) c) y = x 2e− x d) Kết quả: Câu Đồng biến khoảng: a) −∞; −1 ; 1; +∞ ( ( 0; e ) b) ) ( ) ( 0; ) ( −∞;0 ) ; ( 2; +∞ ) c) d) Bài 2: Chứng minh hàm số y = ( ) khoảng −3;0 Bài 3: Định m để hàm số : a) y = x − 2m + ( )x ln x x2 x2 − x + y= x −1 y= Nghịch biến khoảng: ( −1;0 ) ; ( 0;1) ( e ; +∞ ) ( −∞;0 ) ; ( 2; +∞ ) ( 0;1) ; ( 1; ) − x2 nghịch biến khoảng + (12m + 5) x + ( 0;3) đồng biến đồng biến tập xác định Kết quả: b) y = mx − ( 2m − 1) x + ( m − ) x − − 6 ≤m≤ 6 đồng biến tập xác định Kết quả: khơng có m Kết quả: ≤ m ≤ y = − mx + mx − x + nghịch biến tập xác định x + mx − d) y = nghịch biến khoảng xác định Kết quả: m ≤ − 3− x 2 Bài 4: Định m để hàm số y = x − 3mx + ( m − 1) x + đạt cực tiểu x = Kết : m = Bài 5: Định m để hàm số y = x − x + 3mx + 3m + : c) -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -4 - Kết : m ≥1 Kết : m 3 Kết : m = Kết : m = y = f ( x ) = − x + 2mx − 2m + m ≤ : có cực đại; m > : có hai cực đại cực tiểu Bài 7: Biện luận theo tham số m số cực trị hàm số Đáp số: Bài 8: Chứng minh hàm số y = x − mx − ( 2m + 3) x + có cực trị với giá trị tham số m Bài 9: Tìm GTLN, GTNN hàm số : a)    − ;1   y = f (0) = −1 −1 y = x + 3x − treân [ y = x − + − x2 y = f ( −2) = −7 [ −2;2] b) y = 2sin x − sin x Kết quả: Kết quả: x+2 đoạn ;1]  2; ÷=  [ −1; 2] ln x đoạn 1;e    x y = f ( 1) = e) đoạn [0;π] π   3π Max y = f  ÷ = f  [0;π ] 4  y = f ( ) = f ( π ) = [0;π ] y = −x +1− [ max y = f ( 2) = 2 − ; [ −2;2] Kết quả: d) max y = f (1) = ; −1 ;1] c) đoạn y= Kết quả: Max y = f ( e ) = [1;e2 ] ; e [1;ee ] Bài 10: Tìm tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số sau: a) c) e) x2 − x − b) y = ( x − 1) 3− x d) y = x − 4x + x2 − x + f) y = x −3 2x −1 y= x+2 x + 3x y= x −4 x +1 y= x2 + Kết quả: Câu Tiệm cận đứng a) x = −2 b) x =1 c) x = ±2 d) x =1 e) Khơng có f) x=3 -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -5 - Tiệm cậng ngang Bài 11: Cho hàm số y=2 y =1 y =1 y=0 y = ±1 Khơng có y = x − x − (C ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C) M o ( −2; −4 ) Kết quả: y = x + 14 Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24 x + 2009 ( d ) Kết quả: y = 24 x + 52; y = 24 x − 56 Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: y = x − 2009 (d ') Kết quả: y = −3 x − Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm đồ thị với trục tung Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: Bài 12: Cho hàm số x − x + 6m − = y = x − x + x ( ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị C hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ nghiệm phương trình y ′′ = Kết quả: y = −3 x + Với giá trị tham số m, đường thẳng y = x + m2 − m thẳng nối hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị qua trung điểm đoạn ( C) m = m =  x = 2; x = Kết quả: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục Ox hai đường thẳng Kết quả: S hp = 13 Bài 13: Cho hàm số y = x − x − 1(C ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Định m để (C) cắt đường thẳng (d): mx − y − = ba điểm phân biệt Kết quả: m > −3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục Ox hai đường thẳng x = 0; x = Kết quả: S hp = Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm phương trình: x − x − k = Bài 14 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m - 2, có đồ thị (Cm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = Gọi A giao điểm (C) trục tung Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) tiếp tuyến (C) A Kết quả: S hp = Xác định m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành ba điểm phân biệt -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -6 - 27 Kết quả: Bài 15: Cho (C) : y = f(x) = x4- 2x2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) Dựa vào đồ thị (C), tìm k để ∆ : y = k cắt (C) bốn điểm phân biệt Kết quả: m < −1 < k < Viết phương trình tiếp tuyến (C) : a) Tại điểm có hồnh độ Kết quả: b) Tại điểm có tung độ y= x0 = ± ⇒ tt Kết quả: y = 24 x − 40 Kết quả: c) Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2009 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hồnh Bài 16 : Cho hàm số y = 2x − x +1 x −1 Khảo sát biến thiên, vẽ đồ thị (C) hàm số Chứng tỏ đường thẳng d : y = 2x + k luôn cắt (C) điểm thuộc nhánh khác Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Kết quả: [ −2;0] max y = f (−2) = [ −2;0] y = f (0) = −1 ; [ −2;0] Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung Kết quả: y = −2 x − Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hoành Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x − 2y − = Kết quả: y = −2 x − 1; y = −2 x + Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) hai trục tọa độ Tìm tất điểm (C) có tọa độ số nguyên Bài 17 : Cho hàm số y= ( m − 4) x + x−m (C ) m Khảo sát biến thiên, vẽ đồ thị (C) hàm số với ( d ) đường thẳng qua A ( 2;0 ) (C) ( d ) Gọi k m = có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm k Gọi (H) hình phẳng giới hạn (C), trục Ox hai đường thẳng tích (H) Tính thể tích khối tròn xoay sinh quay (H) quanh trục Ox x = 0; x = Tính diện -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -7 - CHƯƠNG II: HÀM LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT I TÓM TẮT KIẾN THỨC: 1) Luỹ thừa: * Các công thức cần nhớ: a = n; a a = 1; * Tính chất lũy thừa: a a = a m n m+n (a ) m ; am = a m−n ; n a ( ab ) * Quy tắc so sánh: + Với a > a m + Với < a < 2) Căn bậc n n m n a = n am n n n =a mn n a a  ÷ = n b b ; ; = a n b n > an ⇔ m > n am > an ⇔ m < n a.b = a b ; n m n −n n n a na = b nb n am = ( ) n a m a = mn a 3) Lơgarit: * Định nghĩa: Cho * Tính chất: a, b > 0; a ≠ : log a b = α ⇔ aα = b log a = 0; log a aα = α ; log a a = 1; a log b = b a * Quy tắc so sánh: + Với a > thì: log a b > log a c ⇔ b > c + Với < a log a c ⇔ b < c + log a b = log a c ⇔ b = c * Quy tắc tính: log a ( b1 b2 ) = log a b1 + log a b2 log a bα = α log a b log a b = α * Công thức đổi số: log a c log a b log a b = log b a log b c = log a b1 = log a b1 − log a b2 b2 log a b α hay log a b.log b c = log a c hay log a b.log b a = ; * Chú ý: Lơgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx lgx Lơgarit số e kí hiệu là: lnx 4) Bảng đạo hàm cần nhớ: Đạo hàm hàm số sơ cấp thường gặp Đạo hàm hàm số hợp u = u(x) ( x ) ' = α x α α −1 ( u ) ' = α u α α −1 u ' -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -8 - , ' 1  ÷ =− x  x ' x = x ' ( sin x ) = cos x u' 1  ÷=− u u ' u' u = u ' ( sin u ) = u '.cos u ( ) ( cos x ) ( ) ( cos u ) ' = − sin x ' ( tan x ) = cos x ' ( cot x ) = − sin x ' ( ex ) = ex (a ) = −u '.sin u u' ' ( tan u ) = cos u u' ' ( cot u ) = − sin u ' ( eu ) = u '.eu (a ) ' = a x ln a ' ( ln x ) = x ' ( log a x ) = x.ln a x Đạo hàm Sự biến thiên + α ∈ Z + : có nghĩa với x + α ∈ Z − : có nghĩa với x ≠ + α ∉ Z : có nghĩa với x > * ' = u '.a u ln a u' ' ( ln u ) = u u' ' ( log a u ) = u.ln a u 5) Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit: HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ Dạng y = xα ( α tùy ý) y = a x ( < a ≠ 1) Chú ý: Điều kiện x để hs có nghĩa: ' a > : a x > 0, ∀x có nghĩa ∀x HÀM SỐ LOGARIT y = log a x ( < a ≠ ) có nghĩa với x > α >0 α 1 Hàm số đb Hàm số nb Hàm số đb Hàm số nb Hàm số đb D D D (0; +∞) Đồ thị (0; +∞) Luôn qua điểm ( 1;1) < a 1 Nằm hoàn toàn phía trục hồnh ln qua hai điểm A(0;1) < a : Pt có n0: x = log a b Chú ý: Xét b + Đưa số: áp dụng: Pt ln có n0: + Đưa số: áp dụng: log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) ( < a ≠ f ( x) > g ( x) > a = a ⇔ f ( x) = g ( x) ( < a ≠ ) f ( x) + Đặt ẩn phụ: t = a ( t > 0) f ( x) x = ab g ( x) + Logarit hóa hai vế ( ý hai vế phải dương) ) + Đặt ẩn phụ: t = log a f x + Mũ hóa hai vế Chú ý: Điều kiện xác định phương trình ( ) 7) Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit: phương pháp tương tự phương pháp giải phương trình mũ logarit ta cần xét a (khi sử dụng phương pháp mũ hóa lơgarit hóa) để xác định chiều bất phương trình Chú ý: • Khi giải pt, bất phương trình mũ ta phải xét b • Khi giải pt, bất phương trình logarit ta cần đặt điều kiện xác định phương trình II CÁC DẠNG TỐN ĐIỂN HÌNH VÀ BÀI TẬP ÁP DỤNG: LUỸ THỪA Dạng 1: Thu gọn biểu thức Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau: −0,75 a) 1 A = 27 +  ÷  16  b) B = 0,008 − ( −2 ) 64 − + ( 90 ) − − 250,5 −2 KQ: − A = 12 KQ: B= 1 1  −7 2 c) C =  :  : 16 :  3.2   ÷   ÷         −2      −1   d) D = ( 0, 25 )  ÷ + 25  ÷ :  ÷   4      25.2−3 + 5−3 : 5−4 e) E = − (0, 25)0 f) F = a −2 : a ( KQ: 31 16 15 C= 149 20 D= KQ: E =3 KQ: F= KQ: −1) KQ: G =1 a4 ( +1)2 1 g) G = +  ÷ 2 Bài 2: Biến đổi thành dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a) A = b3 b ( b > ) b) B = a a (a > 0) -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -10 - Phần 2: HÌNH HỌC CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN I TÓM TẮT KIẾN THỨC: Khối lập phương: V = a , với a cạnh hình lập phương Chú ý: Đường chéo hình lập phương cạnh a có độ dài Khối hộp chữ nhật: V = abc , với a,b,c ba cạnh hình hộp chữ nhật a Chú ý: Đường chéo hình hộp chữ nhật cạnh a,b,c có độ dài Khối lăng trụ: V = B.h , với B diện tích đáy h chiều cao lăng trụ Khối chóp: a + b2 + c2 V = B.h , với B diện tích đáy h chiều cao hình chóp Chú ý: Gọi A’, B’, C’ điểm cạnh SA, SB, SC hình chóp S.ABC Khi đó: VS A' B 'C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC (Cơng thức tỉ số khối chóp tam giác) II CÁC DẠNG TỐN ĐIỂN HÌNH: Tính thể tích khối đa diện: Phương pháp: + Dùng công thức trực tiếp + Dùng cơng thức tỉ số thể tích khối chóp tam giác Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đường cao khối lăng trụ, khối chóp Dùng cơng thức thể tích khối chóp, khối lăng trụ III BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho khối lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có đường chéo 2a Tính thể tích khối lập phương KQ: V = 8a Bài 2: Cho khối hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = a, BB ' = 2a, BD = a Tính thể tích khối hộp chữ nhật KQ: V = 4a Bài 3: Cho khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC KQ: V a 11 = 12 Bài 4: Cho khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC a3 KQ: V = 24 Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, SA = AB = a , góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) SA ⊥ ( ABC ) , 600 a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -29 - b/ Gọi H hình chiếu A lên SC’ Tính thể tích khối chóp S.ABH KQ: a/ V a , d A, SBC = a ( ( )) = 12 b/ V a3 = 18 Bài 6: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, , · ACB S.ABC = 300 , khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) SA ⊥ ( ABC ) , SA = 2a a Tính thể tích khối chóp 4a KQ: V = 3 Bài 7: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, SA ⊥ ( ABC ) , SA = a , khoảng cách hai đường thẳng SA BC a Tính thể tích khối chóp S.ABC a3 KQ: V = Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , góc SC với mặt phẳng đáy 450 a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD b/ Gọi M, N trung điểm SC, SD Tính thể tích khối chóp S.ABMN KQ: a/V a3 = b/V a3 = Bài 9: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh bên 2a cạnh đáy a a/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ b/ Gọi M, N trung điểm hai cạnh BB’ CC’ Tính thể tích khối chóp A.MNCB a3 KQ: a/V = a3 b/V = Bài 10: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có hai đáy hai hình thoi, AC = 6a, BD = 8a, AC ' = 10a Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ KQ: V = 192a -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -30 - CHƯƠNG II: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU I TĨM TẮT KIẾN THỨC: Khối nón: S xq = π rl , với r bán kính đáy l độ dài đường sinh Stp = S xq + Sdáy , với S dáy = π r V = π r h , với h chiều cao Khối trụ: S xq = 2π rl , với r bán kính đáy l độ dài đường sinh Stp = S xq + Sdáy , với S dáy = π r V = π r h , với h chiều cao Chú ý: h = l Khối cầu: S = 4π r , với r bán kính V = π r , với r bán kính II CÁC DẠNG TỐN ĐIỂN HÌNH: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (lăng trụ) + Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy + Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy + Xác định giao điểm mặt phẳng trung trực cạnh bên với trục đường trịn + Giao điểm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (lăng trụ) III BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA ⊥ ABC , ( ) SA = a Khi quay đường gấp khúc SBA quanh trục đường thẳng SA hình nón trịn xoay Tính số đo góc đỉnh, diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích khối nón π a3 KQ: 60 , S xq = 2π a , Stp = 3π a ,V = 2 Bài 2: Cho hình nón đỉnh S có chiều cao a Thiết diện qua đỉnh hình nón hợp với đáy góc 300 có diện tích 4a Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón KQ: S xq = π a 7π a 56,V = Bài 3: Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy 2a Một thiết diện qua đỉnh hình nón cách tâm đường trịn đáy khoảng a cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài 2a.Tính diện tích xung quanh, thể tích khối nón KQ: 2π a 23 4π a 3 S xq = ,V = 5 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng ABCD cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 2a Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích khối trụ có đường cao SA đáy đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -31 - KQ: ( ) S xq = 2π a 2, Stp = π a 2 + ,V = π a Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a a/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC b/ Tính diện tích, thể tích khối cầu 6a KQ: a/ r = 33 48π a 96π a ,V = b/ S = 11 11 33 Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a a/ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD b/ Tính diện tích, thể tích khối cầu KQ: a/ r 2a = b/ S 32π a 64 2π a = ,V = 21 Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, SA = AB = 3a, BC = 4a SA ⊥ ( ABC ) , Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC KQ: r= a 34 Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, SA ⊥ ( ABC ) , SA = AB = AC = a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC a KQ: r = Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = AB = a , BC = 2a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD a KQ: r = Bài 10: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ KQ: r= 2a Bài 11: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ KQ: r= a -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -32 - CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I TÓM TẮT KIẾN THỨC: Hệ tọa độ không gian: r r r r r a) u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + yj + zk rr r r rr r2 r r i = j = k = i j = j.k = k i = r r r i = (1; 0; 0), j = (0;1;0) , k = (0;0;1) u ur uu r r r M ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + yj + zk r r b) Cho a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = ( b1 , b2 , b3 ) r r a ± b = ( a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ) r k.a = ( ka1 , ka2 , ka3 )  a1 = b1 r r  a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 r r r r a a a a / / b ⇔ a = k b ⇔ = = b1 b2 b3 c) Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) uu ur AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) AB = ( xB − xA ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) x + xB y A + y B z A + z B + Tọa độ M trung điểm đoạn thẳng AB: M ( A ; ; ) 2 + Tọa độ G trọng x + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC G( A ; ; ) 3 rr d) a.b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 r a = a12 + a22 + a32 r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = rr r r a.b cos(a; b) = r r a b e) r r a a; b  =     b2 a3 a3 , b3 b3 a1 a1 , b1 b1 tâm tam giác a2  ÷ b2  Phương trình mặt cầu: a) Mặt cầu (S) tâm I ( x0 ; y0 ; z0 ) , bán kính r có phương trình: ( x−x ) b) Phương trình + ( y − y0 ) + ( z − z ) = r x + y + z + Ax + By + 2Cz + D = 2 -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -33 - ABC: + B + C − D > , phương trình mặt cầu có tâm I (− A; − B; −C ) r = A2 + B + C − D với điều kiện A2 bán kính Phương trình mặt phẳng:   a) Vectơ pháp tuyến mặt phẳng: vectơ n ≠ gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng  (α ) giá n vng góc với mặt phẳng (α ) b) Phương trình tổng quát mặt phẳng:  (α ) qua điểm Ax + By + Cz + D = ( A2 + B + C > 0) M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ pháp tuyến ⇒ (α ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = r n = (A; B;C) c) Các trường hợp đặc biệt phương trình tổng quát + (α ) qua gốc O ⇔ D = + (α ) // Ox chứa Ox ⇔ A=0 + (α ) // (Oxy) trùng (Oxy) ⇔ A = B =  (Oxy): z = 0, (Oyz): x = 0, (Oxz): y = _ Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng qua điểm: N (0; b;0) P(0;0; c) có phương trình dạng: d) Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Cho α : Ax + By + Cz + D = M (a;0;0) , x y z + + =1 a b c ( ) (α’):A’x + B’y + C’z + D = o ( α ) cắt ( β )⇔ A : B : C ≠ A': B ': C ' A B C D o (α) // (α’) ⇔ = = ≠ A' B ' C ' D ' A B C D o (α) ≡ (α’) ⇔ = = = A' B ' C ' D ' e) Điều kiện vng góc mp: ( α ) ⊥ ( β ) ⇔ AA '+ BB '+ CC ' = f) Khoảng cách từ điểm M (x ,y ,z ) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = Ax0 + By0 + Cz0 + D d ( M ;(α ) ) = A2 + B + C Phương trình đường thẳng: a) Phương trình tham số đường thẳng Trong (Oxyz) cho (d) qua M (x ,y ,z ) có vectơ phương: Khi đó:  x = x0 + at  d :  y = yo + bt (t∈R)  z = z + ct  o r u = (a;b;c) x − xo y − yo z − zo = = a b c Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian r u r Trong Oxyz cho (d) qua M có VTCP u (d’) qua M’ có VTCP u ' r u r r uuu r u ur u , u ' = u , MM ' = o d trùng d’ ⇔     b) Phương trình tắc đường thẳng -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -34 - o o o r u r r  u , u ' =   d // d’ ⇔  r u u u u ur r u , MM ' ≠    r u r r  u , u ' ≠   d d’ cắt ⇔  r u u u u r u ur  u , u ' MM ' =   r u uuu r u ur d d’ chéo ⇔ u , u ' MM ' ≠   Vận dụng xét vị trí tương đối hai đường thẳng khơng gian : r u uuu r u ur u , u ' MM ' ≠ :chéo 1)   r u uuu r u ur 2) u , u ' MM ' =   r u r r u , u ' ≠ : cắt a)   r u r r u , u ' = b)   r uuu r u ur r uuu r u ur u , MM ' ≠ : song song* u , MM ' = : trùng *     II CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH: Vấn đề 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:  Phương pháp chung: r + Tìm điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) mà mặt phẳng qua véctơ pháp tuyến n = (A; B;C) mặt phẳng + Phương trình mặt phẳng có dạng: A x − x0 + B y − y0 + C z − z0 = ( Loại 1: Mặt phẳng qua điểm A, B, C: (α) qua A có véctơ pháp tuyến ) ( ) ( ) ur ur r u u u u nα =  AB, AC  Loại 2: Mặt phẳng (α) qua điểm A, B (α) song song với đường thẳng ∆ (α) qua A có véctơ pháp tuyến uu r ur r nα =  AB, u∆    Loại 3: Mặt phẳng (α) qua điểm A, B (α) vng góc mặt phẳng (β) (α) qua A có véctơ pháp tuyến uu r ur r nα =  AB, nβ    Loại 4: Mặt phẳng (α) qua điểm A (α) vng góc với đường thẳng ∆ r r (α) qua A có véctơ pháp tuyến nα = u∆ Loại 5: Mặt phẳng (α) qua điểm A (α) song song với mặt phẳng (β) (α) qua A có véctơ pháp tuyến r r nα = nβ Loại 6: Mặt phẳng (α) qua điểm A (α) song song với hai đường thẳng ∆, d (α) qua A có véctơ pháp tuyến r r r nα = [ u∆ , ud ] Loại 7: Mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng ∆ d song song Gọi A ∈ ∆ B ∈ d (α) qua A có véctơ pháp tuyến ur r r uu nα = u∆ , AB    Loại 8: Mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng ∆ d cắt Gọi A ∈ ∆ -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -35 - (α) qua A có véctơ pháp tuyến r r r nα = [ u∆ , ud ] Loại 9: Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ (α) song song với đường thẳng d (∆ d chéo nhau) Gọi A ∈ ∆ r [ r r (α) qua A có véctơ pháp tuyến nα = u∆ , ud Vấn đề 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG  Phương pháp chung: + Tìm điểm thẳng ] r M ( x0 ; y0 ; z0 ) mà đường thẳng qua véctơ phương u = (a;b;c) đường + Phương trình đường thẳng có dạng: khác 0)  x = x0 + at   y = yo + bt  z = z + ct  o x − xo y − yo z − zo = = a b c (a, b, c Loại 1: Đường thẳng ∆ qua điểm A, B ur r uu u∆ = AB α Loại 2: Đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∆ vng góc với mặt phẳng (α) r r ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có véctơ phương u∆ = nα Loại 3: Đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∆ song song với đường thẳng d r r ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có véctơ phương u∆ = ud ∆ qua điểm A có véctơ phương Vấn đề 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU  Phương pháp chung: + Tìm tâm I ( x0 ; y0 ; z0 ) bán kính r mặt cầu + Phương trình mặt cầu có dạng: ( x−x ) + ( y − y0 ) + ( z − z ) = r 2 _ Phương trình x + y + z + Ax + By + 2Cz + D = (2) Loại 1: Mặt cầu (S) qua điểm A, B, C, D Thế tọa độ điểm vào (2) để tìm hệ số Loại 2: Mặt cầu (S) có đường kính AB Mặt cầu (S) có tâm I trung điểm AB bán kính r = ½ AB 2  x = x0 + at  Loại 3: Mặt cầu (S) qua điểm A, B có tâm nằm đường thẳng ∆:  y = yo + bt  z = z + ct  o Mặt cầu (S) có tâm I ( x0 + at ; yo + bt ; zo + ct ) IA=IB=r Loại 4: Mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (α) Mặt cầu (S) có tâm I bán kính r =d(I,(α)) Vấn đề 4: CÁC DẠNG TỐN KHÁC Loại 1: Tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng Loại 2: Tìm điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng Loại 3: Tìm hình chiếu điểm lên đường thẳng Loại 4: Tìm điểm đối xứng điểm qua đường thẳng Loại 5: Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Loại 6: Tìm giao điểm đường thẳng Loại 7: Tìm giao điểm đường thẳng mặt cầu -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -36 - Loại 8: Tìm tâm bán kính đường trịn giao tuyến Loại 9: viết phương trình hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng + Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) vng góc (α) + Bước 2: (d): ( α )   ( β )  từ suy phương trình tham số (d) Loại 10: viết phương trình đường vng góc chung đường thẳng chéo + Bước 1: d có VTCP r r r u = [ u1 ; u2 ] + Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa (d) (d1 ) + Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) (d2 ) + Bước 4: (d): ( α )   ( β )  từ suy phương trình tham số (d) III BÀI TẬP ÁP DỤNG: Vấn đề 1: Trong không gian (Oxyz) viết phương trình mặt phẳng (α) biết: 1) (α) qua điểm 2) (α) qua điểm x = + t  ∆ :  y = −3t  z = −1 + 2t  A ( 1; −2;5 ) , B ( 2;1; −7 ) , C ( 0; 2; −2 ) A ( 1; −2;5 ) , B ( 2;1; −7 ) (α) song song với đường thẳng A ( 1; −2;5 ) , B ( 2;1; −7 ) ( β ) : 2x + 3y − 6z + = 3) (α) qua điểm 4) (α) qua điểm 5) (α) qua điểm (α) vng góc mặt phẳng x = + t  A ( 1; −2;5 ) (α) vng góc với đường thẳng ∆ :  y = −3t  z = −1 + 2t  A ( 1; −2;5 ) (α) song song với mặt phẳng ( β ) : x + y − z + = -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -37 - 6) (α) qua điểm d: A ( 1; −2;5 ) (α) song song với hai đường thẳng x −1 y + z = = −2 7) phẳng (α) chứa hai đường thẳng x = + t  ∆ :  y = −3t  z = −1 + 2t  d d: x = + t  ∆ :  y = −3t  z = −1 + 2t  x −1 y + z = = song song −3 x = + t  x − y z +1 = = 8) (α) chứa hai đường thẳng ∆ :  y = −3t d : cắt −2  z = −1 + 2t  x = + t  9) (α) chứa đường thẳng ∆ :  y = −3t (α) song song với đường thẳng  z = −1 + 2t  x −1 y + z d: = = (∆ d chéo nhau) −2 Vấn đề 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ biết 1) Đường thẳng ∆ qua điểm A 1; −2;5 , B ( 2) Đường thẳng ∆ qua điểm ( α ) : 2x + y − 6z + = 3) Đường thẳng ∆ qua điểm d: x −1 y + z = = −2 ) ( 2;1; −7 ) A ( 1; −2;5 ) ∆ vuông góc với mặt phẳng A ( 1; −2;5 ) ∆ song song với đường thẳng Vấn đề 3: Viết phương trình mặt cầu (S) biết 1) Mặt cầu (S) qua điểm A 1; −2;5 , B ( ) ( 2;1; −7 ) , C ( 0; 2; −2 ) , D ( 3;1;0 ) 2) Mặt cầu (S) có đường kính AB biết A ( 1; −2;5 ) , B ( 2;1; −7 ) 3) Mặt cầu (S) qua điểm A ( 1; −2;5 ) , B ( 2;1; −7 ) có tâm nằm đường thẳng x = + t  ∆ :  y = −3t  z = −1 + 2t  4) Mặt cầu (S) có tâm I ( 0; 2; −2 ) tiếp xúc với mặt phẳng ( α ) : 2x + y − 6z + = Vấn đề 4: Một số tập tổng hợp: -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -38 - 1) Cho (d):  x = −1 + 2t   y = − t (t ∈ R )  z = −2t  a) Hãy tìm vectơ phương (d) ? b) Xác định điểm thuộc (d) ứng với t = 1, t = – ? c) Điểm sau thuộc (d): A(1;1;2); B(3;0;-4) d) Viết phương trình tham số đường thẳng qua M(1;0;1) song song với (d) 2) Trong (Oxyz) cho M (2; −3; 4) a) Hãy tìm hình chiếu M lên trục tọa độ b) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua hình chiếu 3) Trong không gian Oxyz cho tứ diên ABCD với :A(-3;0;2);B(2;0;0);C(4;-6;4); D(1;-2;0) a) Viết phương trình tắc đường thẳng qua A song song với cạnh BC? b) Viết phương trình tham số đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh C? c) Tìm toạ độ hình chiếu H C lên (ABD) Giải uu ur a) (BC) qua A(-3;0;2), có véctơ phương : BC = (2;-6;4) x+3 y z−2 = = −6 u u u u u4 ur r (ABD) có VTPT :  AB, AD  = (-4;2;-10)   ⇒ b) (∆): + đường cao CH qua C có vectơ phương ⇒ (CH): c)  x = − 2t   y = −6 + t  z = − 5t  r u = (-2; 1;-5)  x = − 2t  y = −6 + t  ⇔ toạ độ H nghiệm hệ phương trình:  z = − 5t  2 x − y + z − =  Vậy H (2;-5;-1) 4) Cho đường thẳng (d ): x −1 y + z = = ; (d ): −3 1 t = x =    y = −5  z = −1  x = t   y = −1 + 2t  z = + 3t  Viết phương trình tắc (d3) qua M (0;1;1) vng góc với (d1) (d2) Giải + (d1) (d2) có vectơ phương uu r u u uru r ⇒ VTCP (d3) là: u3 = u1 ;u2    x y −1 z −1 ⇒ (d3): = = 10 −7 u r u1 = (-3;1;1), u u r u2 = (1;2;3) = (1;10;-7) 5) Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(0; – 1;0), B(1;0;1), C(– 2;1;2), D(1;4;– 3) a/ Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện b/ Tính đường cao tứ diện xuất phát từ C -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -39 - c/ Tính góc cặp cạnh đối diện tứ diện ABCD d/ Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng Oxy Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1 ; ; 2) mặt phẳng (P) có phương trình : x + 2y + z – = a) Hãy tìm tọa độ hình chiếu vng góc A mặt phẳng (P) b) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P) Giải a) Kí hiệu d đường thẳng qua A vng góc với (P) Gọi H giao điểm d (P), ta có H hình chiếu vng góc A (P) Do r v = (1 ; ; 1) vectơ pháp tuyến (P) nên có phương trình : r v vectơ phương d Suy ra, d x −1 y − z − = = Do đó, tọa độ H nghiệm hệ phương trình: Giải hệ trên, ta : x = −  x −1 y − z − = =   x + y + z −1 =   1 ; ; ÷  3 3 2 ,y= ,z= 3 Vậy H  − b) Cách (dựa vào kết phần 1): Kí hiệu R bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) Ta có: 2 2  1  2  R = AH = 1 + ÷ +  − ÷ +  − ÷ = 3  3  3  Do đó, mặt cầu có phương trình là: ( x − 1) + ( y − 4) + ( z − 2) = 50 Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x – 24y – 12z + 13 = Cách (độc lập với kết phần 1): Kí hiệu R bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) Ta có R khoảng cách từ A đến (P) Suy : R= 1.1 + 2.4 + 1.2 − 12 + 22 + 12 = Do đó, mặt cầu có phương trình là: ( x − 1) + ( y − 4) + ( z − 2) = 50 Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x – 24y – 12z + 13 = -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -40 - Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1 ; ; 3) đường thẳng d có phương trình : x − y −1 z = = a) Hãy tìm tọa độ hình chiếu vng góc A d b) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d Giải a) Kí hiệu (P) mặt phẳng qua A vng góc với d Gọi H giao điểm (P) d, ta có H hình chiếu vng góc A d r r Do v = (1 ; ; 1) vectơ phương d nên v vectơ pháp tuyến (P) Suy ra, (P) có phương trình : x + 2y + z – = Do đó, tọa độ H nghiệm hệ phương trình: Giải hệ trên, ta : x =  x − y −1 z = =   x + y + z − =  7 1 ; ; ÷  3 3 ,y= ,z= 3 Vậy H  b) Cách (dựa vào kết phần 1): Kí hiệu R bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d Ta có: 2 165 7  5  1  R = AH =  + 1÷ +  − ÷ +  − ÷ = 3  3  3  Do đó, mặt cầu có phương trình là: ( x + 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = 55 Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 12y – 18z − 13 = Cách (độc lập với kết phần 1): Kí hiệu R bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d Ta có R khoảng cách từ A đến d Suy : R= 3 −3 −3 + + 1 1 12 + 22 + 12 = 165 Do đó, mặt cầu có phương trình là: ( x + 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = 55 Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 12y – 18z − 13 = Câu 7:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) : x+2 y z +3 = = −2 mặt phẳng (P) : x + y − z − = a) Chứng minh (d) cắt (P) A Tìm tọa độ điểm A b) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A , nằm (P) vng góc với (d) Giải -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -41 - a) A(5;6; − 9) b) + Vectơ phương đường thẳng (d) : r ud = (1; −2; 2) r + Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) : nP = ((2;1; −1) r r r + Vectơ phương đường thẳng ( ∆ ) : u∆ = [ud ; nP ] = (0;1;1) x =  + Phương trình đường thẳng ( ∆ ) :  y = + t (t ∈ ¡ )  z = −9 + t   x = + 4t  Câu 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :  y = + 2t  z = −3 + t  (P) : − x + y + z + = mặt phẳng a)Chứng minh (d) nằm mặt phẳng (P) b) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) nằm (P), song song với (d) cách (d) khoảng 14 Giải a) Chọn A(2;3; − 3),B(6;5; − 2)∈(d) mà A,B nằm (P) nên (d) nằm (P) r r u ⊥ ud r b) Gọi u vectơ phương ( d1 ) qua A vng góc với (d)  r r nên ta chọn u ⊥ uP  r r r u = [u , uP ] = (3; −9;6) = 3(1; −3; 2) Phương trình đường thẳng ( d1 )  x = + 3t   y = − 9t (t ∈ ¡ )  z = −3 + 6t  ( ∆ ) đường thẳng qua M song song với (d ) Lấy M ( d1 ) M(2+3t;3 − 9t; − 3+6t) 1 2 2 Theo đề : AM = 14 ⇔ 9t + 81t + 36t = 14 ⇔ t = ⇔ t = ± x −1 y − z + + t = − ⇒ M(1;6; − 5) ⇒ ( ∆1 ) : = = 1 x − y z +1 + t = ⇒ M(3;0; − 1) ⇒ ( ∆ ) : = = Câu 9:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) hai mặt phẳng (P) : x − y + z + = (Q) : x + y − z + = a) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) b) Viết phương trình mặt phẳng ( R ) qua giao tuyến (d) (P) (Q) đồng thời vng góc với mặt phẳng (T) : x − y + = Giải a) d(M;(Q)) = -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -42 - 2 x − y + 3z + = −1 ≠ ≠ ⇒ (d ) = ( P ) ∩ (Q) :  1 −1 x + y − z + = Lấy hai điểm A( − 2; − 3;0), B(0; − 8; − 3) thuộc (d) r + Mặt phẳng (T) có VTPT nT = (3; −1;0) ur r r uu + Mặt phẳng (R) có VTPT nR = [ nT , AB ] = (3;9; −13) + Qua M(1;0;5) ⇒ ( R) : x + y − 13 z + 33 = + ( R) :  r + vtpt : n R = (3;9; −13)  x + y +1 z − Câu 10:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) : = = 1 mặt phẳng (P) : x + y − z + = b) (1,5đ) Vì a Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) mặt phẳng (P) b Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) hình chiếu đường thẳng (d) lên mp(P) Giải − 1;0;4) a Giao điểm I( b Lấy điểm A( − 3; − 1;3) ∈(d) Viết pt đường thẳng (m) qua A vng góc với (P) (m) : x = −3 + t , y = −1 + 2t , z = − t (∆ ) ≡ ( IA ') : x = −1 + t , y = 0, z = + t 5 A '(− ;0; ) 2 ur u vtcp IA ' = − (1 ;0; 1) Suy : (m) ∩( P ) = , qua I( − 1;0;4) có -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -43 - ... 1  0;  ∪ [ 2; +∞ )  4 f) ( −∞;2 ) c) -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -15 - -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011 -16 - CHƯƠNG III : NGUN... nghiệm làm tương tự trường hợp Dạng toán trường hợp đặc biệt dạng toán đường cong g(x)=0 Nếu toán cho đường (C) (C’) tìm cận a,b cách giải pt : f(x) = g(x) Nếu toán q phức tạp ta vẽ hình để xác... −x ∫ x.e dx 12) ∫ x dx + x3 Đáp số: 1) 32 15 2) 14 9) 182 10) 3) π − 4) 11) e-1 ln 3 6)ln2 7) 8) 12) 5) 1 (2 − 1) (1 − ) e ( − 1) Bài 7: Tính tích phân sau : -TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT